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1、2022年中考数学复习新题速递之图形的相似一、选 择 题（共10小题）1.（2021秋长丰县期末）以下列数据（单位：为长度的各组线段中，成比例的是（）A.2、3、4,5 B.2、3、4、6 C.1、2、3、4 D.1、4、9、162.（2021秋长丰县期末）两个相似六边形，若对应边之比为3:2,则这两个六边形的周长比为（）A.9:4 B.9:2 C.3:1 D.3:23.（2021秋永春县期末）如果两个三角形相似且相似比9:1 6,那么这两个三角形对应边上的高的比是（）A.81:256 B.9:16 C.3:4 D.16:94.（2021秋南京期末）已知点P 是线段他 的黄金分割点（APPB）
2、,若 AB=1O,则 A P的长约为（）A.0.382 B.0.618 C.3.82 D.6.185.（2021秋汉寿县期末）如图，若点P 为 AABC的边AB上一点（A 84C）,下列条件不能判定4 c p 的是（）A.ZB=ZACP B.ZACB=ZAPC C.=D.=AB AC CB ABB.146.（2021秋海州区期末）如图,则。F 的值是（）m 7两条直线被三条平行线所截，若 AC=8,CE=12,BD=6,A.15C.10D.97.（20 21 秋高州市期末）如果必=3,那么2 的值是（）a 5 a2 3 2 1A.-B.-C.-D.-5 5 3 38.（20 21 秋福州期末）
3、下列说法正确的是（）A.有一个角等于1 0 0。的两个等腰三角形相似B.两个矩形一定相似C.有一个角等于4 5。的两个等腰三角形相似D.相似三角形一定不是全等三角形9.（20 21 秋达川区期末）如图，已 知 四 边 形 是 矩 形，点 E在 54的延长线上,A E =AD,EC分别交4 D,BD于点F ,G ,若=则 的值为（）1 0.（20 21 梧州模拟）某校兴趣小组为了测量教学大楼的高度，用 1.5,”的竹竿作为测量工具.在阳光明媚的某天，该兴趣小组移动竹竿，使得竹竿顶端的影子与楼顶的影子在地面O处重合，如图，测得8 =3?，3 0 =3 3?，则教学楼他 的高是（）A二、填 空 题（
4、共 7小题）1 1.（20 21 秋源汇区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点0（0,0）,4（0,2）,3（1,0）,点尸是反比例函数=工 图象上的一个动点，过点尸作轴，垂足为点Q.若以点O,XP,。为顶点的三角形与O A B 相似，则相应的点尸共有 个.1 2.（20 21 秋余姚市期末）已知线段 =8,b=2,线段c 是线段a,6的比例中项，则1 3.（20 21 秋市北区期末）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念.如图，一架小提琴中AC、B C、.各 部分长度的比满足箓=告则 带=B1 4.（20 21 秋漂阳市期末）两个相似三角形的周长之比为1:4,那么它们的面积之比是.1 5
5、.（20 21 秋海州区期末）如图所示，边长为1 菱形A B C D 中，Z D A B =60,连接对角线A C,以AC为边作第二个菱形A C C Q i，连接AG，再以AQ为边作第三个菱形AGG2，使得所做的菱形都相似；，按此规律所作的第20 22个菱形的边长为1 6.（20 21 秋海曙区期末）若0 =则巴也4 3 a+b1 7.（20 21 秋常州期末）如图，在 A A B C 中，点。在 45上，4）:3 =2:3,点 E是CO的中点，连接AE并延长，交 比 1 于点P,贝 I J 8 GF C =三、解 答 题（共 8 小题）1 8.（2 02 1 秋镇海区期末）如图，在4 x 6
6、 的网格中，A 4 8 C 的顶点都在边长为1 的小正方形的顶点上.（1）NCAB的 正 切 值 为.（2）分别在答题卡上的图1 和图2中各画一个格点三角形，使得所画的三角形和A A B C 相似且不全等（所画的两个三角形也不全等）.1 9.（2 02 1 秋宣城期末）已知线段a,b,c 满足g =2 =且 a +%+c =2 6.求线段a,3 2 6b,c的长.2 0.（2 02 1 秋揭西县期末）碧桂园进驻揭西，一栋栋高楼拔地而起.如图，小 明（线段A 8）利用学到的知识，计算楼房（线段C0 的层数，他把一镜子放在E处（点 3、E、。共线）,此时小明通过镜子刚好可以看到大楼的顶端C,若 小
7、 明 身 高 1 5 ，测 得 3 E =l z,ED=58m，碧桂园层高为2.9 机，求这栋楼房有多少层？2 1.（2 02 1 秋常州期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”.（1）在 A A B C 中，Z A=3 0 .如图1,若 N B =1 00。，请过顶点C画出A 4 B C 的“形似线段”C M,并标注必要度数；如图2,若 N 3 =9 0。，B C =1,则 A A B C 的 形似线段”的长是；（2）如图3,在 A D 所 中，DE=4,EF=6,DF=8,若 EG
8、是 D 印 的“形似线段”，求EG 的长.BEB22.（2021 秋北仑区期末）（1）计算：4sin260+tan45o-2cos30.(2)己知土=2,求”2的值.y 3 2x+y23.(2021秋安居区期末)如图，在 AA8C中，AB =8an,B C=6 c m,动点尸从点A 开始沿4 5 运动，速度为2a”/s；动点。从点3 开始沿3 c 运动，速度为4c,/s.设 P,Q 两点同时运动，运动时间为f s(0f、G N ,如果NZ)M9=45。，的半径为2,则ON+GN?为定值吗？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由.2 5.已知三角形A8C中，点。、E 是 8 c 边上的两点，且
9、 8。DE:E C=3:2:1 ,点尸是AC边上的两点，A F:F C =2:1,连接4),AE,BF.相交于点G、H .求的值.2022年中考数学复习新题速递之图形的相似参考答案与试题解析一、选 择 题（共10小题）1.（2021秋长丰县期末）以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（）A.2、3、4、5 B.2、3、4、6 C.1、2、3、4 D.1、4、9、16【答案】B【考点】比例线段【专题】图形的相似；运算能力【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选项一一分析，排除错误答案.【解答】解：A、1x4/2 x 3,故选项不符合题意；
10、B、3x4=6 x 2 故选项符合题意；C、1 x 4/2 x 3,故选项不符合题意；D、1x169x4,故选项不符合题意.故选：B.【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等.同时注意单位要统一.2.（2021秋长丰县期末）两个相似六边形，若对应边之比为3:2,则这两个六边形的周长比为（）A.9:4 B.9:2 C.3:1 D.3:2【答案】D【考点】相似多边形的性质【专题】推理能力；图形的相似【分析】根据相似多边形的周长的比等于相似比求解.【解答】解：两个相似六边形的对应边之比为3:2,则这两个相似六边形的周长之
11、比3:2.故选：D.【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形的周长的比等于相似比.3.（2021秋永春县期末）如果两个三角形相似且相似比9:1 6,那么这两个三角形对应边上的高的比是（）A.81:256 B.9:16 C.3:4 D.16:9【答案】C【考点】相似三角形的性质【专题】图形的相似；应用意识【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质解答即可.【解答】解：；两个相似三角形的面积比为9:16,两个相似三角形的相似比为3:4,这两个三角形对应边上的高之比为3:4,故选：C.【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比
12、的平方、相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比是解题的关键.4.（2021秋南京期末）已知点尸是线段A 3的黄金分割点（APPB）,若 A8=1 0,则 A P的长约为（）A.0.382 B.0.618 C.3.82 D.6.18【答案】D【考点】黄金分割【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答.解答解：.点P是线段A B的黄金分割点（A P PB）,pA.p 0.618,ABv AB=10,.=0.61845=6.18,故选：D.【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.5.（2021秋汉
13、寿县期末）如图，若点P 为 A 48c的 边 上 一 点（4?A C）,下列条件不能判定A A B C A A C P的是（）A.N B =Z A C P B.Z A C B =Z A P C C.=D.=AB A C CB AB【答案】D【考点】相似三角形的判定【专题】图形的相似；推理能力【分析】欲证A 4C Q A A B C,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即/4=4 4,此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可.【解答】解：A、Z B =Z A C P,因为Z4=N A,所以AABCS M C P,不符合题意；B、Z A C B =Z A P C,因为/
14、4=/4,所以 AABCs44cP，不符合题意；AC 4P。、一=，因为/4 =/4,所以AABCSA4CP,不符合题意；AB A CPC ACD、,因为/4 =N 4,而 PC 和 3 c 的夹角为N C,所以不能判定AABCS A A CP,CB AB符合题意.故选：D.【点评】本题考查相似三角形的判定.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等.6.（2021秋海州区期末）如图，两条直线被三条平行线所截，若 AC=8,CE =12,B D =6,14C.10D.9【答案】D【考点】平行线分线段成比例【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识【分
15、析】利用平行线分线段成比例定理求解即可.【解答】解：:a/力/c,.AC _BDC ED F8 6.=-,12 DF:.DF=9,故选：D.【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理.7.（2021秋高州市期末）如果巴 心=3,那么。的值是（）a 5 a2 3 2 1A.-B.-C.-D,上5 5 3 3【答案】A【考点】比例的性质【专题】运算能力；分式【分析】利用比例的基本性质进行计算即可.【解答】解：.巴 心=3,a 5:.5a-5b=3a,/.2a=5b,一b=一2，a 5故选：A.【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.8.
16、（2021秋福州期末）下列说法正确的是（）A.有一个角等于100。的两个等腰三角形相似B.两个矩形一定相似C.有一个角等于45。的两个等腰三角形相似D.相似三角形一定不是全等三角形【答案】A【考点】相似图形；全等三角形的判定【专题】应用意识；图形的相似【分析】根据相似图形的定义一一判断即可.【解答】解：A、有一个角等于1 0 0。的两个等腰三角形相似，因为1 0 0。只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意；5、两个矩形一定相似，错误，边不一定成比例，本选项不符合题意；C、有一个角等于4 5。的两个等腰三角形相似，错误，4 5。角不一定是对应角，本选项不符合题意；
17、D,相似三角形一定不是全等三角形，相似比为1 时，是全等三角形，本选项不符合题意.故选：A.【点评】本题考查相似图形，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解相似图形的定义,属于中考常考题型.9.（2 0 2 1 秋达川区期末）如图，已知四边形他 8 是矩形，点 E在 84的延长线上，A E A D,EC分别交A ）,B D 于点F ,G ,若 =他，则的值为（）A3 D V5+1 r n G +lA.B.-C.2 D.-2 2 2【答案】B【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质【专题】运算能力；推理能力；图形的相似AF AJ7【分析】证明A A E 尸 sgcF,得出_=一,即 A E.
18、尸=A*-Z）C,设 A E =A D =a,D C D FA F =AB=b,则有。（-。）二/，化简得/他-。2=0 ,解方程即可得出答案.【解答】解：.四边形/W C。是矩形,/.AE/CD,：.ZAEF=Z D C F ,Z EAF=Z C D F ,A A E F z W C F，AEDCAFDF:.A E D F =A F D Cf设 AE=AO=3 0),AF=AB=b(b0),a(a-b)=b2,化简得 a?ab b2=0,解得“=lb或上正人（舍去），2 2AD:AB=a:b=+1.2故选：B.【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程，证明出AAEF
19、ADCF是解题的关键.10.（2021 梧州模拟）某校兴趣小组为了测量教学大楼的高度，用15的竹竿作为测量工具.在阳光明媚的某天，该兴趣小组移动竹竿，使得竹竿顶端的影子与楼顶的影子在地面O处重合，如图，测得 8=3 ，BD=3 3 m,则教学楼A3的高是（）【答案】A【考点】相似三角形的应用；平行投影【专题】应用意识；图形的相似【分析】由条件可证明 O（W A Q 4 B,利用相似三角形的性质可求得答案.【解答】解：由题意可知：ZABO=ZODC=90,NO=NO.:.OABOCD.AB OPCDB而 OB=OD+BD=3+33=36（?），.AB 36 f1.5 3.AB=l8(/n)f教学
20、楼AB的高为18加.故选：A.【点评】本题主要考查相似三角形的应用，证得三角形相似得到关于他 的 方 程是解题的关键.二、填 空 题(共7小题)1 1.(2 0 2 1秋源汇区校级月考)在平面直角坐标系中，己知点0(0,0),4(0,2),5(1,0),点P是反比例函数 =工图象上的一个动点，过点P作轴，垂足为点Q.若以点O,XP，。为顶点的三角形与O A f i相似，则相应的点P共有 4个.【答案】4.【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定【专题】推理能力；运算能力；反比例函数及其应用；图形的相似【分析】设P(f,3,由于N P Q O =ZAO8,则根据相似三角形的判定方法
21、，当 丝=变 时,t OA OB O P Q B A O ,当 丝=丝 时，AOPQSAABO,然后分别解方程求出t,从而可判断点POB OA的个数.【解答】解：.4(0,2),8(1,0),:.OA=2,0 8 =1,N P Q O =9 0。，Z P Q O =Z A O B ,.当 丝=丝 时，A O尸2sAs40,即2 =邑，则2 f =1,解得f =_ 也，/,=正，此时OA OB 2 1 t 2-2尸点坐标为(-也，血)或(农，-7 2)；2 2当 丝=色2时，O P Q W B O ,即1-=,则=解得/夜，2=&，此时夕OB OA 1 2 2/点坐标为（夜，-也）或（-夜，旦,
22、2 2，以点O,P,。为顶点的三角形与A Q 4 B相似，相应的点P共有4个.故答案为：4.【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.也考查了反比例函数函数图象上点的坐标特征.1 2.（2 0 2 1秋余姚市期末）已知线段a =8,6 =2,线段c是线段a,匕的比例中项，则。=4 .【答案】4.【考点】比例线段【专题】运算能力；图形的相似【分析】利用比例中项的定义得到/=必=1 6,然后求出1 6的算术平方根即可.【解答】解：.线段c是线段,的比例中项，/.c2=ab,而段 a =8 b=2,c2=8 x 2 =1 6 ,而 c 0,/.c =4.故
23、答案为：4.【点评】本题考查了比例线段，掌握比例中项的定义是解决问题的关键.1 3.（2 0 2 1秋市北区期末）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念.如图，一架小提琴中A C、B C、A B各 部 分 长 度 的 比 满 足 生=生，则 生=纪叵.BC AB AB 2 B【答案】上 正.2【考点】黄金分割【专题】图形的相似；运算能力；推理能力【分 析】证 明 点 C 是 线 段 4 3 的 黄 金 分 割 点，且 6 C A C,得 8C=叵DA B,则2AC=AB-BC=A B,即可得出答案.2【解答】解：点C 把线段AB分成两部分，,BC AB.点C 是线段他的黄金分割点，且 8C
24、 A C,BC=A B ，23-J5AC=AB-BC=f2.A C _3-V 5.=-,AB 2故答案为：匕 叵.2【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键.14.（2021秋滦阳市期末）两个相似三角形的周长之比为1:4,那么它们的面积之比是【答案】1:16.【考点】相似三角形的性质【专题】推理能力；图形的相似【分析】由两个相似三角形的周长之比为1:4,根据相似三角形的周长比等于相似比，可求得其相似比，再有相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案.【解答】解：.两个相似三角形的周长之比为1:4,相似比为：1:4,它们的面积之比为:1:1 6.故答案为：1:
25、1 6.【点评】此题考查了相似三角形的性质.注意熟记定理是解此题的关键.1 5.（2 0 2 1 秋海州区期末）如图所示，边长为1 菱形9 8 中，N Z M B =60。，连接对角线A C,以AC为边作第二个菱形ACGR，连接AG，再以AG为边作第三个菱形AGG2，使得所做的菱形都相似；，按此规律所作的第2 0 2 2 个菱形的边长为_（右）仙 _.【答案】（6 严.【考点】规律型：图形的变化类；相似多边形的性质【专题】图形的相似；推理能力【分析】根据已知和菱形的性质可分别求得A C,AG，Ag的长，从而可发现规律根据规律不难求得第个菱形的边长，据此可得答案.【解答】解：连接03,交 AC于
26、点.四 边 形 是 菱 形,:.AD=AB.ACA.DB,.ZZMB=60，.4/阳 是等边三角形，.DB=AD=I,B M =1,2,AA/_ 6.AM,2AC=6 ,同理可得 AG=y/3AC=（/3）2,AC-,=J3ACI=3-J3=（6）“，按此规律所作的第个菱形的边长为（石）T ,则 第2022个菱形的边长为（行 严,故答案为：（行严二【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，菱形的性质，含30。角的直角三角形以及锐角三角函数的运用；根据第一个和第二个菱形的边长得出规律是解决问题的关键.16.（2021秋海曙区期末）若则 土 心=1.4 3 a+h-7 一【答案】7【考点】比例的性质
27、【专题】分式；运算能力【分析】设4 =2=人 根据比例的性质得出”=4，b=3 k,把。=4A,b=3k代入匕士,4 3a+b再求出答案即可;【解答】解：设 =2=3则a=4%,b=3k,4 3a-b 4k-3k k 1a+b 4k+3%7k 7故答案为：7【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键,本题运用了设“火 ”法.17.（2021秋常州期末）如图，在AABC中，点。在上，AD:D8=2:3,点E是C。的中点，连 接AE并延长，交BC于点F,则M:F C=5:2.【答案】5:2.【考点】平行线分线段成比例【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力【分析】过。作DG
28、/AF交3 c于G,根据平行线分线段成比例定理即可得到结论.【解答】解：过。作Gw交BC于G,BG BD.-=-,GF AD AD:DB=2:3,BG 3二.-=，GF 2 ；DG/EF,CF CE -=-，FG DE .点是CD的中点，.CF.-1 1GF:.CF=GF,.-.BF:FC=5:2,【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确地作出辅助线是解题的关键.三、解 答 题(共8小题)18.(2021秋镇海区期末)如图，在4x6的网格中，AAfiC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)NC48的正切值为-.一3-(2)分别在答题卡上的图1和图2中各画一个格点三角形，使得所画的三
29、角形和A48c相似且不全等（所画的两个三角形也不全等）.【答案】（1）3（2）作图见解析部分.【考点】解直角三角形；作图-相似变换；全等三角形的判定【专题】应用意识；作图题【分析】（1）利用网格特征，寻找直角三角形解决问题即可；（2）利用相似三角形的性质画出图形即可.7 1【解答】解：（1）t anZ C AB =-=-；6 3故答案为：；3（2）如图，45。即为所求.A【点评】本题考查作图-相似变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题.1 9.（20 21 秋宣城期末）已知线段a,b,c 满足0 =2=,且.+给+c =2 6.求线段。，3 2 6b,c的长.【答
30、案】a=6,b=4,c =1 2.【考点】比例线段【专题】运算能力；图形的相似【分析】设g=2 =上，然后用左表示出。、b、c,再代入a+%+c=2 6 求解得到A,3 2 6即可得到4、b、C的值.【解答】解：设 巴 士 j,3 2 6贝 l J a=3Z,b=2k,c=6 k,a+2b+c=263%+2 x 2Z +64=26,解得/=2,=3 x 2-6，6=2 x 2=4,c =6x 2=1 2.【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，关键是利用“设/法”用人表示出0、匕、C 解答.20.（20 21 秋揭西县期末）碧桂园进驻揭西，一栋栋高楼拔地而起.如图，小 明（线段A B）利用学到
31、的知识，计算楼房（线段C0的层数，他把一镜子放在E处（点 3、E、。共线）,此时小明通过镜子刚好可以看到大楼的顶端C,若 小 明 身 高 1.5？，测 得 3E =l m,E D =5 8m.碧桂园层高为29 ，求这栋楼房有多少层？【答案】这栋楼房有30 层.【考点】相似三角形的应用【专题】应用意识；图形的相似；运算能力；推理能力【分析】证 AABES A C O E,得 丝=变，求出8 =8 7,进而得出答案.C D D E【解答】解：由已知可得：ZAE B =Z.C E D,又N A B E =N C D E =9 0 ,:.M B E AC D E,.AB _ BE C DD E即1 1
32、=_ L,C D 58解得：8 =8 7,.-.8 7 4-2.9 =30 （层），答：这栋楼房有30 层.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.21.（20 21 秋常州期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”.（1）在 A A B C 中，Z A=30 .如图1,若 4=1 0 0。，请过顶点C画出A A B C 的“形似线段”C M ,并标注必要度数；如图2,若 N B =9 0。，B C =,则A A B C 的“形似线段”的长是
33、正 或 辿 ；-2-3 一（2）如图3,在 A D 斯 中，D E=4 ,EF=6,O F =8,若 EG是 ）防 的“形似线段”，求EG的长.(2)3.【考点】作图一复杂作图；相似三角形的性质【专题】图形的相似；推理能力【分析】（1）根据，“形似线段”的定义画出图形即可;如图2 中，当8/7 _ LA C时，线段3”是“形似线段”，当C M平分N B C 4 时，线段C T 是“形似线段”，分别求出8 9,C T 即可;(2)当 时，=,当 F Gs 7)E时，=EF DF DE可.【解答】解：(1)如图1 中，线段C M即为所求；，分别求出石G 即图1如图2 中，当B 4 _ L A C
34、时，线段5 H是“形似线段”,图2v Z A B C=9 0,3 C =1,Z A =30 ,AC=2BC=2，AB=6B C =,-AB BC=-AC BH，2 2.B H=2=22 2当C M平分Z B C 4 时，线段C T 是“形似线段”,在 R LA CBT 中，CTBC 2/3c o s 300 3综上所述，A 4 8 C 的“形似线段”的 长 是 也 或 友;2 3(2)如图3 中,图3PC：DF当 A D E G s A D E E 时，=EF DFE G 46S.EG=3,当 A F E G s A F D 石时，,D E D FE G 6/.-=一，4 8/.EG=3,E
35、G=3.【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，“形似线段”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.22.（2021 秋北仑区期末）（1）计算：4s i n260 +t a n 450-2 c o s 30 .（2）己知2 =2,求&二上的值.y 3 2x +y【答案】（1）4-币;-.7【考点】比例的性质；特殊角的三角函数值【专题】分式；运算能力【分析】利用特殊角的三角函数值得到原式=4 x（且 了+1-2 x 2 ,然后进行二次根式2 2的混合运算；（2）利用比例性质得到y =W,然后把y =亘 代 入&二 中绩进行分式的混合运算.2 2 2x+
36、y【解答】解：（1）原式=4 x（+l_2 x迫2 2=3+1-6=4 -6；y 33x二 y 二一20 3x.2x-y 2 x-=l2 x +y 2x +包 7 2【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键.也考查了特殊角的三角函数值.23.（2021秋安居区期末）如图，在A 4 B C 中，AB =8cm,B C =6 cm,动点P从点A开始沿4 3 运动，速度为2cm/s；动点。从点3 开始沿B C 运动，速度为4a/s .设 P,。两点同时运动，运动时间为f s(O f 、GN,如果N N O =4
37、5。，的半径为2,则OV+GN?为定值吗？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由.EC【答案】(1)证明过程见解答；(2)DN?+G N?为 定 恒,定值为8.【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；垂径定理；轴对称的性质：切线的性质【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力【分析】(1)利 用 切 线 的 性 质 和 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 求 出 尸，ZDC=90%再利用M 0 _ L D F,可得O D/N M ,然后证明一组内错角相等即可解答；(2)根据点G 为点E 关 于 他 对 称 点，想到连接G E,再根据直径所对的圆周角是直角，想到连接G C,然后
38、证明A D N G是直角三角形，可得D N2+G M=G D-,最后证明N C G D是等腰直角三角形求出D G即可解答.【解答】(1)证明：尸与OO相切于点。，:.ODA-DF,-NM DF,:.OD/NM,:.ZMND=Z E D C,.,8 为 0 0 的直径，:.NDEC=90。,Z D E C =Z D M N=90,zXDAfiVACED；(2)解：O N G N?为定值,连接GE,GC,;Z D N O =45,:.ZDNO=Z A N E =45,：点G 为点E 关于AB对称点,.AO垂直平分GE,.GN=NE,-.GNA=ZANE=45,.-.ZGNE=90,Z.GND=18
39、00-ZGNE=90,.-.DN2+GN2=GD2,;GN=NE,ZGNE=90,NGEN=ZEGN=45,.-.ZGEN=ZGCD=45,.C为OO的直径，.-.ZCGD=90,OO的半径为2,:.CD=4,.-.G=CDsin45=4x=2A/2,2DN2+GN2=(2/2)2=8,;.DN2+GN2为 定 值定值为8.【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.2 5.已知三角形4 3 c中，点。、E是BC边上的两点，且3:DE:C=3:2:1,点尸是AC边上的两点，AF:FC=2:,
40、连接AD,AE,BF.相交于点G、H.求3G:G/:“/的值.【答案】85:20:14.【考点】平行线分线段成比例【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识；推理能力【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可.【解答】解：如图，过点。作。K/5/交AC于点K,A上D E c.BD:DE:EC=3:2:1,，BD=CD,DK/BF,:.FK=KC,:.BF=2DK,.AF:FC=2:1,.AF:FK=4A,.AF:AK=4：5,.GF/DK,.FG:DK=AF:AK=4:5f.BF:GF=5；2,;EJ 1/BF,:.EJ:BF=CE:CB=：6,EJH D K,:.CJ:KJ=CE:DE=1:
41、2,.*.AF:E/=12:5,.AF:A/=12:17,:.FH:EJ=12：nf:.FH:FB=2:7,设 FH=2k,BF=7k,:.BH=5k,BG=BF=k,7 7:.HG=15k-k=k,7 785 20:.BG:GH:HF=k:k:2k=85:20:l4.7 7过点E作 口 交AC于点J.【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题.考点卡片1.规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思
42、考，善用联想来解决这类问题.2.反比例函数图象上点的坐标特征反 比 例 函 数 =以（为常数，2 0）的图象是双曲线，图象上的点（x,）的 横 纵 坐 标 的 积 是 定 值 即 孙=%双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在y=A/x图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值因.3.全等三角形的判定（1）判定定理1：S S S-三条边分别对应相等的两个三角形全等.（2）判定定理2：SA S-两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（3）判定定理3：ASA-两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.（4）判定定理4：A 4 S-两角
43、及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）判定定理5：-斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引：全等三角形的5 种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.4.矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）矩形的性质平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点
44、连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点.（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.5.垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.（2）垂径定理的推论推 论1：平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.6.圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上.角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.（2）圆周角
45、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，9 0 的圆周角所对的弦是直径.（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握.（4）注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化.定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.7.切线的性质（1）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半
46、径.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件，这三个条件是:直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直.(3)切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.8.作图一复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.9.轴对称的性质(1)如果两个图形关于
47、某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.由轴对称的性质得到一下结论：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.(2)轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.10.比例的性质(1)比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项.(2)常用的性质有：内项之积等于外项之积.若包=,则ad=6 c.b d合比性质.若且=,则三也=也.b d b d分比性质.若包=,则且
48、二旦=二包.b d b d合分比性质.若且=q,则 三 也=也.b d a-b c-d等比性质.若包=3=&(Hd+W 0),则a+c+.也!=皿.b d n b+d+.+n n11.比例线段(1)对于四条线段。、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 必=加（即 =儿），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系.12.黄金分割（1）黄金分割的定义：/r 8如图所示，把线段A
49、8 分成两条线段A C 和 BC（A C B C）,且使A C 是 A B 和 B C 的比例中项（即A 8：A C=A C：B C）,叫做把线段A B 黄金分割，点 C 叫做线段A 8 的黄金分割点.其中A C=1 二IAB七0.618A8,并且线段A B 的黄金分割点有两个.2（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值.黄金三角形分两种：等腰三角形，两个底角为72 ,顶角为36 .这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：近 二；等腰三角形，两个底角为36 ,顶角为108 ；这种三2角形一腰与底边之长之比为黄金比：叵 二2_（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确
50、切值为丘工.213.平行线分线段成比例（1）定 理 1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.（2）推 论 1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（3）推 论 2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.14.相似图形（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似图形.（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定