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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（乙卷）试题文科数学【解析版】一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=k，I M,8=0,1,2,3,4 ,求 4 八8=（）A.-2,-1,0,1,2）B.-1,0,1,2,3,4 C.-2,-1,0,1,2,3,4D.0,1,22.设（l+2i）x=l+yi（i 是虚数单位，XGR,y e R）,则|x+yi卜（）A.2亚 B./5 C.2 D.近3.已知命题p：H tR,sinx+cosx-l；命题/若正实数x,y 满足x+4y=l,则则下列命题中x y为真命题的是
2、（)A.P 2B.(p)夕C.p M-yq)D.T p 7 G4.函数f(x)=sin|+cosfx-I 3）的最大值是（）A超2B.1C.73D.2x+y35.若 x,y 满足约束条件x-y 0A.1B.2C.3D.46.已知s in(a-=rjjlj cos(2a+卦（）7_7c 22A.一B.C.D.99997.在 区 间 0,y 内任取一个数x,使得不等式百sin2x+cos2x有成立的概率为（）A.-B.-6 3-1D-i8.下列结论中正确的是（）A.当0 x 0 且xwl 时，lgx+;2 2 D.当x 0 时，x+-0 2 0)的焦距为4,圆Y+y2=4 与双曲线C及C的一条渐近
3、线在第一象限的交点分别为A,B,若点B的纵坐标是点A纵坐标的2 倍，则C的方程为().12.已知函数f(x)=or-e*,Vxe(l,+a),f(x)alnx+a-ex,则实数的取值范围是()A.(-oo,l)B.(-oo.l C.(-,e)D.(-(,e二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.已知a=(l,2),b=/区,g(x 0),求实数。的取值范围.(-)选考题：共 10分。请考生在2 2、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。2 2.选修4-4：坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系x O y中，直 线/的 参 数 方 程 为(为参数)，曲
4、线C的参数方程为F=2+co s0(。为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.y=si n(1)求直线/的普通方程和曲线C的极坐标方程；(2)若直线/和曲线C交于A ,B两点，且 丽=3 而，求实数上的值.2 3.选修4 5 不等式选讲(10分)已知函数 x)=|2x a|2x+3|,g(x)=|x 2|.(1)当 =1时，解不等式/(x)N 2；若/(%)M g(x)在xe0,1时有解，求实数的取值范围.答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合4=卜,_ 143,8=0,1,2,3,4,
5、求 4 口8=()A.-2,-1,0,1,2 B.-1,04,2,3,4)C.-2-1,0,1,2,3,4 D.0,1,2【解析】解不等式V-1 4 3 得一2V x4 2,A =X|X2-13=X|-2X2),所以A cB =x|-24x42c0,1,2,3,4=0,1,2 ,故选：D2.设(l+2i)x=l+yi(i 是虚数单位，x e R ,y e R),则,+刊=()A.2yj2 B.75 C.2 D.近【解析】因为(l+2i)x=l+y i,所以x=l,y=2x=2,所以|x+)可=+2?=/.故选：B3.已知命题p:*e R,sin x+c o sx -l；命题。:若正实数x,y
6、满足x+4y=l,则,+，2 9,则下列命题中x y为真命题的是()A.八 4 B.(p)八q C./?A(-I)D.T p 7 G【解析】因为sinx+cosx=&sin(x+?),可知一0 s in x +cosxW夜，所以王/?2 访工+85%一 1,命题为真命题；-+=(-+-)(x+4y)=5+”+2、军=9,x y x y x y x y当且仅当X=2，y=，等号成立.命题q 为真命题.故命题。入 4 为真命题.故选：A3 64.函数/(x)=sin(x-g +c o s(x-f 的最大值是()A.B.1 C.6 D.22【解析】/(x)=sinx cos-cosx sin+cos
7、x cosy4-sinx-sinyG .1 1 G ./z.=sinx cosx+cos 无 +sinx=V3sinx,2 2 2 2丁 T K sin x K l,函数/(x)的最大值是G.故选：C.x+y0A.1 B.2 C.3 D.4【解析】根据题意，作出可行域，进而根据z 的几何意义求得答案.如图，作出可行域.由Z的几何意义可知，当直线Z=2x+y 过点c 时取得最大值，联立+=3 C（,2）,则 z 的最大值为 x-y =-l2xl+2=4.故选：D.6.已知s in(a-?)=g,贝！8$(21+专)=()又s in(c-5)=；,故cos(2a+4 )=2x(g-1=.故选：B.
8、jr7.在 区 间 0,-内任取一个数x,使得不等式&sin2x+cos2K百成立的概率为()A,-B.-C.-D.-6 3 3 6【解析】因为6 sin 2 x +cos2x百，所以sin(2 x+*,3乃 7t解得女)-x k/r H,k e Z,412因为x e 0,y ,所以xe。6,所以百s i n 2 x +c o s 2 x 石的解集的区间长度为毒+弓-?)=。，则所求概率P=2-3=3-乃一2故选C8.下列结论中正确的是()A.当0 0 且x#l 时，1 g 龙+JW2 D.当x 0 时，x +-1 时，x-l 0 ,t e x +=x-l +-+1 2 j(x-l)x i +
9、1 =3 ,当且仅当x-l ,x-1 x-1 v x-1 x-l即=2 时等号成立，由于1 之 3,故最小值3取不到，选 项 B错误；选项C,令x =o.l,l g x =-l,此时l g x+J 一0,不成立，故 C错误；l g x选项D,当x 0,f e x+-=4(-x)+(-!-)0 力0）的焦距为4,圆V+y 2=4与双曲线C及C的一条渐近线在第一象限cr h2的交点分别为A,3,若点8 的纵坐标是点A纵坐标的2 倍，则C的方程为（）.r2 v2 2 2 2 2A.-一匕=1 B.犬2 _ 2 _ =C.-一匕=1 D.-/=16 2 3 2 2 32 2【解析】由题意，双曲线C:=
10、-4 =l（a 0 1 0）的焦距为4,a b-可得2c=4,即c=2,即/+从=4,又由双曲线的一条渐近线方程为y =a联立方程组=,整 理 得 好 生y?=4,即y 2=，可 得%=匕，X2+/=4 廿（x2.2 v2_ _ 2 _ =i又由方程组“2 b2,整理得（。2+从2=4/?2一/从，x2+y2=4即4 y2 =(4-/).=/,可得以=_因为点B的纵坐标是点A纵坐标的2倍，可得6=2x0,解得6=1,22所以a=拒方=百，所以双曲线的方程为会-y2 =.故选：D.1 2.已知函数 f(x)=o x e ,V x (l,+o o),/(x)valnx +a-e r,则实数。的取值
11、范围是()A.(-o o,l)B.(-o o,lC.(f,e)D.(-8,e【解析】由已知alnx +a-e x ax:-e X,得e、-e x +(lnx+l-x)0 ,令夕b-e r+a Q n x+l-x),%1,则 d(x)=e*-e +a(/-1),可得以1)=0,=0,(1)当a V O时，(p,(x)=et-e+(-1)0,Q(x)在+)上单调递增,”(x)e(l)=O,成立；(2)当a 0时，令”(无)=e e+a(1),贝i j/(x)=e T-X X令i z(x)=e”一/,则M(x)=e、+?0,)在(1,-KO)上单调递增，.(x)M =e -。当 a W e 时，u(
12、x)wz(l)=e-6r 0(x)在(1,+)上单调递增，二.u(x)w(l)=0*(x)在(L-H)上单调递增，.(p M ,(1)=0,成立；当 a e 时，/(l)=e-avO,E)=-e 0，玉o w(l，A),/(%o)=O,当(L%O)，/(%)O，.(%)在(L/)上单调递减,即9。)在a，/)上单调递减，此时有“a x”=。，刎幻在a,%)上单调递减,(p(x)(P(X)=0,矛盾；综上a/2,tan NMBE=5=BE BC 2 四/.tan NMEB tan NMBE=1,.在 ABME 中，NMBE+/MBE=901：.ZBME=90,即 AE_LBD.又 AE A.PB
13、,BDCPB=B,BD,PBu平面 PB D,，AE_L平面(2)连接PM，；8。，平面以场，HWu平面R钻，A BD1PM,又；A_L 平面 PBO,HWu平面尸8),/.AEVPM,又；AEQBD=M,：.PM _L平面 A8C O,又 AM u 平面 ABC。，PM AM,在 RtA4B 中，AEA.BM,AB=0，BE=1,.AB2 25/3.2 2瓜 AM=-=-,PM=v PA-AM=-,AE 3 3四棱锥产一 ABCD的体积Vp ABCD=-Smc D-PM=x2 x而巫=处.r-nltU 3/T z/iiJVU 3 3 919.(12 分)已知正项等比数列%的前项和为，S2=1
14、,生%=16.(1)求 凡 的通项公式；若=-J，求数列出 的前项和人1 02 an+3,1 2。+4【解析】由已知可得，设等比数列 叫的公比为/因为4 0,。必=(%)2=16,所 以%=4或%=-4 （舍去），邑 可 得，+）=a,解得=4 4=4所以4 =qqT=4T=4-2,故%的通项公式为4=4 一2（N*）（2）由 第（1）问可知，a,=4-2（eN*）,所以log2a+3=log,4叫log2 22B+2=2n+2,log2*=log,4+2=log222B+4=2 +4,所以仇=1-号一1吗4+3既2=2（）（2+2）（2+4）（九 +1）（+2）+1 n+2所LL以l、tE刀
15、,=2er（5/-31）、+（z /1 /1+、（,I 1、z 1 1 、,1 1 、H+.+（Q-Q）=2（5 QXQ,数列我 的前n项和7,为一二（e N*）.20.（12 分）己知椭圆C：+%=1 o）的左、右焦点分别为，工，点 ，|）满 足 防|+|M|=2 a,且 M K K的面积为;.（1）求椭圆c的方程；（2）设椭圆C的上顶点为P,不过点尸的直线/交C于A,B两点，若 P AL P B,证明直线/恒过定点.IQ 3【解析】由SVMS 挪用则耳段=2=2 c,所以C =1y.MF+MF=2a,则点M在椭圆上1 Q所以*+京=1,又2=6+1,联 立 解 得=4/2 =32 2所以椭
16、圆C的方程；+=1 ,4 3（2）由题意尸（0,6）,根据条件直线AB的斜率必存在，设直线A 8的方程为 =履+?（，片6）,4（5,）,8（,必），y=kx+m由J y2，得（4 攵 2+3*+8 hnx+4?2-12=0 ,-F -14 3所以x+毛=小，A=（8 m）2-4（4）t2+3）（W -12）0（*）,由 丛_ L P 3,则 西丽=0,PA PB=（X，X 石）-6卜王/+卜 一 也 乂 必 一 石）=XjX2+（左 升 +%一 6）（5 +加-6）=（1 +42）&%+（加一6）（玉+工2）+（加一6）=(1+4空涔(一冲翁+(机-可=7m2-6拒m-33+4公=0所以7-
17、6月”-3 =0,即(7机+6)(加6)0,即?=或加=6 （舍）7C（将?=一 口 代 入（*）A=64X-7所以直线AB的方程为y =A x-乎，所以直线AB恒过点0成立.21.（12 分）已知函数f(x)=e -公+2(e为自然对数的底数).(1)若。=2时，求/)的单调区间;(2)设g(x)=e，+eT,若对任意xeR,均存在与e -l，2 ,使得/(x)g(x 0),求实数。的取值范围.【解析】(1)若a =2时，/(x)=e -2 x+2,则/(x)=e -2,令F(x)=e，-2 0,得x l n 2,令/(x)=e，-2 0,得x g(7 ),nh l成立的”的取值范围，因为g
18、(x)=e、+e T,%e -1,2,所以e e L e?,e所以e、+e T 2 2 (当且仅当x =0时取等号)，即g(%)m M=2,即求f(x)=e-奴+2 2对任意xeR成立的0的取值范围，当。0 ,此时/(x)在R上单调递增，3 2-且有f(-)=e -3 +2=e -l 0 2；a当a =0时，易知x)2,显然成立;当a0时，令/(x)=e*-4 0 ,得x l n a,令/(x)=e*-0 ,得x clna,A /(x)在(,ln“)上单调递减，在(I n a,+8)上单调递增，所以/(x)而1,=/(lna)=a-a lna +2,所以a-a lna +2 2,解得，0 a
19、将 x?+y2=p,x=pcos0 代入得：p-4 p cos0+3 =O ,所以曲线C的极坐标方程是：p2-4 p cos6 +3 =0.(2)设直线/的极坐标方程为*a,4(月,),8(.2，0,因 况=3 诟，贝 I J 4 3=3 而，即4 q=3。2，由,“2 a.八 消去。得：p2-4 p c o s a +3 =0,/r-4/?c o s 6+3 =0p、+p2=4 c o s c r曰 ze _ 2 bjjZ B 2 4 9 n i i i,2 2 s in cc 1 c o s-cc 1 5于是得：PPi-3 ,解得 c o s a=,则=t a n a=5 =-；-=,64
20、 c o s-a c o s-a 4 9 4 月=3 0 2解得k=l,所以实数女的值为士巫.7 723.选 修 4-5：不等式选讲(1 0 分)已知函数/(x)=|2x-a|-|2x+3|,(x)=|x-2|.当 a =l时，解不等式f(x 2；若/(x)V g(x)在时有解，求实数。的取值范围.3 解析当 a =时，/(x)=|2x-l|-|2x+3|=-4A-2,-X-、2当时，/(x)N2恒成立，3 1 3当一/W x /时，由-4 x 2 2 2,得 一/K x K 1,综上，%-1 ,所以不等式/(x”2 的解集为x|x4-l./(x)4 g(x),B P|2r-a|-|2A-+3|x-2|,又因为x w O,l,则疝一同一2x-3 4 2-x,整理得 1 2r-44x+5,贝 iJ-x-5 4 2r-a 4 x+5,即x-5 M a W 3 x+5 在x e O,l 有解，则-5 W a W 8所以实数4的取值范围为-5,8J