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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（甲卷）试题文科数学【解析版】一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A=xeZ|-l x 5,B=x 0 x 4 3 ,则 A p|3=（）A.|-l x 2 B.邓）0,60）的右焦点为尸（c,0）,若尸到直线or=0的距离为;c,则 E 的离心率为（）A.2 B.；C.3 D.g236.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量产（单位：m g/L）与时间”单位：h）间的关系为?=6 e ,其中兄，火是常数.已知当f=5 时，污染物含量降为过滤前的2 5
2、%,那么上=（）A.ln45In3-ln4B.-5C.-In45In4-ln3D.-57.设%是两条不同的直线，外尸是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若机_L,u a,则m _La B.若z_La,机u/7,则a_L/7C.若机 _L。,则6 _L D.若 m u a,n u f3,a/。,则加8.ABC中，三内角 A,B,。所对的边分别为 m b,c,已知asin3=2sin A,tzcosB=c+l,则4=（）.n-5兀 _ 2 n-3几A.-B.C.D.3 12 3 49.已知数列 丽 是首项为，公差为d 的等差数列，前项和为S，满足2%=%+5,则 5打（）A.35 B.4
3、0 C.45 D.5010.笼子中有2 只鸡和2 只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4 只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，贝厂长耳朵”恰好是第2 只被取出的动物的概率为（）A-iB-ic-ID.-4s in(2 a-).1 1.已知-=-,1-2COS2(-)52 6则 s i n(a-?)=()A-1B-1C.二5D.-512.设函数外 力 的定义域为R,1（x 7）为奇函数,x+l）为偶函数,当xel,3时，fx =k x+m,若/（0）-/（3）=-2,则“2022）=（）A.-2 B.0 C.2 D.4二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13
4、.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2,则 圆 锥 的 侧 面 积 是.14.已 知 向 量 满 足|口=1,|5|=2毋与I 的夹角为60。,则|及-25|=.15.函数 x）=4sin（5 +3）（AO,0O,时 0 力 0)的左右焦点分别为、尸 2,过 6 的直线/与圆f+相切于点、T,且直线/与双曲线C 的右支交于点尸，若 取=3 可，则双曲线C 的 离 心 率 为.三、解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7-2 1 题为必做题，每个考生都必须作答。第 2 2、2 3 题为选考题，考生根据要求作答。(-)必考题：共 60 分1 7.
5、(1 2 分)某市场研究机构为了解用户在选购相机时品牌因素的影响，用 A,B两个品牌的相机各拍摄了一张照片，然后随机调查了 2 0 0 个人，让他们从中选出自己认为更好的一张照片.这2 0 0 个人被分成两组，其中一组不知道两张照片分别是哪个品牌的相机拍摄的.称为“盲测组”；另一组则被告知相关信息，称为“对照组”.调查结果统计如下：选择A品牌相机拍摄的照片选择B品牌相机拍摄的照片盲测组663 4对照组4456(1)分别求盲测组和对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率;(2)判断是否有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响.n(ad-bc)2(a +b)(c+J)(A+c)(b+d)附：K2=
6、其中 n=a+b+c+d.P(K2.kH)0.0 500.0 1 00.0 0 1k。3.8416.63 51 0.82 81 8.(1 2 分)已知数列 可 的前项和为S”,且满足2 a,=S,-2 +1,数列 S,的前项和为T.求证：数列 a,-2 为等比数列：(2)求 7?19.(12 分)如图，直三棱柱A 8 C-4 4 G中，A B L B C,A B =2BC=y/2BBt=4,E为棱BB/的中点，F为棱A 8上的点.(1)证 明：C E 1 Q F.TT 当C/F与平面 C所成的角为丁寸求三棱锥4 C E F的体积.20.(12 分)已知函数/(x)=ln x-x,a&R.讨论f
7、(x)的单调性；若x l时，f(x)-e T恒成立，求的取值范围.21.(12 分)已知椭圆。+=1(人0)的左、右焦点分别为K，F2,是E上一点，且尸耳与x轴垂直.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点尸 2 的直线/与E交于A、8 两点，点M(O,1),且AMA鸟 的 面 积 是 8 面积的2倍，求直线/的方程.(-)选考题：共 1 0 分。请考生在2 2、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.选修4-4：坐标系与参数方程(1 0 分)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为丫 =2 +2 T、为参数)，直线C 2 的参数方程为y=2 22 石y=-m5(加为参数)
8、.以。为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线G的极坐标方程和直线G 的直角坐标方程;若曲线G与直线G交于A B两点，点p的坐标为(3,0),求I 尸 4|尸耳的值.2 3.选修4-5：不等式选讲(1 0 分)已知函数/(x)=|x+2|-麻-2|.当。=1 时，求不等式 x)2 的解集;当 xe(O,2)时，f x x,求实数。的取值范围.答案一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A=xe Z 卜 1 c x5 ,B =x|0 x3j ,则()A.1A-|-1 X2)B.x|0 x3C.1,2
9、,3)D.0,1,2【解析】因为 A=xe Z|-l x5 =0,l,2,3,4,3=x|0 =”为偶函数，且该函数在(0,+8)上单调递减；对于C 选项，令 g(x)=2，-2-，该函数的定义域为R,g(-x)=2 T-2 =g(x),所以，函数丫=2-2 一,为奇函数；对于 D 选项，令/z(x)=l巾 该 函 数 的 定 义 域 为 x|x=0,h(-x)=ln|-x|=ln|x|=hx),所以，函数y=ln|x|为偶函数，当x 0 时，y=l n x,故函数y=ln|M在(0,+co)上为增函数.故选：D.5.已知双曲线E:-=l(a()0)的右焦点为F(c,0),若 F 到直线a r
10、-c y=0 的距离为：c,则 E 的a：b2离心率为()A.2 B.!C.D.后2 3【解析】依题意d=J二；C,所以4/=/+0 2,即加2=/,所以e?=_=3,所以e=J L故选：D6.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量尸(单位：m g/L)与时间/(单位：h)间的关系为?=0,/.cos A=-;，又.4 (0，.A专.故 选：C.9.己知数列 助 是首项为4,公差为d 的等差数列，前,项和为S，满足2%=%+5,则 S k()A.35B.40C.45D.50【解析】2%=%+5,则 2（q+3d）=q+2d+5,即 a,+4d=5,即 为 =5,所以 S9=弘
11、生g=9%=9x5=45.2故选：C10.笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则 长耳朵 恰好是第2只被取出的动物的概率为（）【解析】把2只鸡记为外,出，2只兔子分别记为“长耳朵”和短耳朵，则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出，共有如下24种不同的取法:（4,外,”,）,（生冯凡力）,（,%,外的,（力吗,”），(%,。2，力,“),(a2,%,%H),(H,%也2)，（力Mi，,4）,（力,出，”），（4，”,力,见），（外,4,“）,（,令，4），（力，4，4）,（%,力,”,生），九%,）,（“也
12、4，出），（,”,6,生），(4,力(生,力,“吗)(“，人七(h,H,a2,%)（4，H,2,力）,（4，”吗,力）,（H,%，4，其中“长耳朵”“恰好是第2只被取出的动物，则共有6种不同的取法.则 长耳朵 恰好是第2只被取出的动物的概率尸=&=；,故选：Dsin(2 a-)4(兀、11.已知-=-,则sin a-7 =()1 _2C O S2(,)5 I 3j2 6【解析】B.sin(2cr-)l-2cos2(-)2 67T3故选：C2512.设 函 数 的 定 义 域 为H,x-1）为奇函数，x+l）为偶函数，当工耳1,3时，f =kx+m,若/（0）-/（3）=-2,则/（2022）=
13、（）A.-2 B.0 C.2 D.4【解析】因为/（x-1）为奇函数，所以/（-X1）=-/（X-1KD；又/（x+1）为偶函数,所以/(x+l)=f(x+l)；令x=l,由得：f(0)=f(2)=2 k+m,又f(3)=3%+m,所以/(0)_3)=2&+所(3%+?)=_&=_2,得&=2,令x=0,由得：/(-1)=-/(-1)=/(-1)=0;令x=2,由得：/(-1)=/(3)=0,所 以/=3A+zn=0 n，=-6.得xel,3时，/(x)=2x-6,结合得，/(x+2)=-/(x-2)n /(x+4)=-/=/(x+8)=/(x+4)=/(x),所以函数/(x)的周期为T=8,
14、所以/(2022)=/(252x8+6)=/(6)=/(2)=(2x2 6)=2.故选：C二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2,则 圆 锥 的 侧 面 积 是.【解析】设圆锥的底面半径为广，则母线长为/=夜厂=2,所以r=夜，则侧面积勿”=2贬14.已 知 向 量 满 足|初=1,|5|=2 4 与的夹角为60。,则隆-断=.【解析】根据题意，a-b=abcos6 00=l,X|a-2 i|2=|0,。0,网 0,G 0,|8|0)的左右焦点分别为耳、鸟，过 4 的直线/与圆/+相切于点7,且直线/与双曲线C 的右支交
15、于点尸，若 于=3不，则双曲线C 的 离 心 率 为.【解析】如图,pM由题可知|C*|=|OK|=c,|0刀=。,则 附=b,又 Q7P=3 f 7，.明=36,.忻月=4匕,又 用 一|尸腐=2,:.PF2=4 b-2 a,作用M O T,可得|马网=2%|T M|=3,则|啊=在AMP,仍用+.用 2=|尸乙，即/二仁匕一不，即=a+c,又.=4?+加,化简可得3c2-%c-5a2=0,同 除 以/得 3/-2 -5 =0解得e=g 或e=-l(舍去)；所以双曲线的离心率为三、解答题：共 70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个考生都必须作答。第
16、 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(-)必考题：共 60分17.(12 分)某市场研究机构为了解用户在选购相机时品牌因素的影响，用 A,B 两个品牌的相机各拍摄了一张照片，然后随机调查了 200个人，让他们从中选出自己认为更好的一张照片.这200个人被分成两组，其中一组不知道两张照片分别是哪个品牌的相机拍摄的.称为“盲测组”；另一组则被告知相关信息，称为“对照组”.调查结果统计如下：选择A 品牌相机拍摄的照片选择B品牌相机拍摄的照片盲测组6634对照组4456(1)分别求盲测组和对照组认为4 品牌相机拍摄的照片更好的概率;(2)判断是否有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响.1(/,
17、n(ad-hcY.附：K=,，其中 一。+人+c+d.(+b)(c+d)(+c)(b+d)P(K2.勺)0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）由题中数据可知：盲测组认为A 品牌相机拍摄的照片更好的概率为盆=0.66；44对照组认为4 品牌相机拍摄的照片更好的概率为丽=0.44.（2）零假设为用户选择的照片与相机品牌之间无关，即相机的品牌对用户无影响.根据所给数据可得K1=200 x（66x56-4 4 x 3 4/=登=9 7 7 8,110 x90 x100 x100 9因为9.7786.635,根据独立性检验推断”。不成立，即认为相机的品牌对用户有影响
18、，此推断犯错误的概率不超过0.01,即有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响18.（12 分）已知数列%的前项和为S“，且满足2q,=5,-2+l,数列 S,的前项和为7“.求证：数列 q -2 为等比数列；（2）求【解析】（1）当=1 时，2 q=-l,%=-1,当 2 2 时，=S-2+1,2%=5 小一2+3,一得a.=2”一 一 2,即“一 2=2（4_ 一 2）.又。一2=-3,q-2 是首项为-3,公比为2 的等比数列.由（1）知/一 2 二 -3-2 一，q=2-32”1 2a=S-2九+1,S=2+3-32”，.7；,=5+7+L+?+3）-3-（2i+22+L+2）=伽+8
19、）3，（2）一+4+6-6 2”.1 9.（12 分）如图，直三棱柱A 8 C-A 4 G 中，AB 1.BC,AB=2BC=4,E 为棱88/的中点，/为 棱 A B 上(1)证 明：C E LQ F.T T(2)当。尸与平面4 8 C 所成的角为了时，求三棱锥A-CE尸的体积.【解析】(1)连接B G.由题可知：平面A8C，平面88/C/C,平面 ABCC平面 BB/C/C=BC,ABu 平面 A B C,且 AB_LBC,所以4 8 _L平面28/GC.又因为E C u平面BBICIC,所以A81_EC.在 RfAEBC,tan NECB=与,在 RfABCC：,tanZClBC=/2,
20、所以 G B _L EC.因为 4 8,EC,G B，EC,GB c 4B=B,0 B,AB u 平面 FBCi,所以CEL平面F B G.又因为G F u 平面FBC，所以C E G F.7 T(2)连 接/C因为CG_L平面A B C,所以直线。尸与平面ABC所成角为N C/C =T4rr在 G b 中，CC,=2/2,ZC,FC=-,所以 FC=2贬，在尸中，CF=2夜，BC=2,所以F 3=2,即尸为A 8中点，所以匕 匕，*=5“，*郎=,、2*2乂 血=豆 1n-ir.r ft-/trc 3 3 2 320.(12 分)已知函数/(x)=ln x-x,a&R.讨论f(x)的单调性；
21、(2)若x l时，/(x)-e T 恒成立，求。的取值范围.【解析】(l)x)=alnx x 的定义域为(0,+司，八 功=/一 1 =匕当“V0时，-。)0 时，令解得：x e(O,a),所以f(x)在(O,a)上单调递增;令(幻 0,解得：xw(a,”)，所以Ax)在(a,y)上单调递减;综上所述：当a V O时，/(x)在(0,+8)上单调递减.当a0时，/(x)在(0,a)上单调递增，在(4”)上单调递减；设g(x)=/(x)+e i =4 1 n x-x+e*T,(x l),则有g(l)=O,g,(j c)=-l +e (x l).当时,g (x)0,g(x)在(1,+8)上单调递增
22、，所以g(x)g(l)=0,满足题意：当。0时，g (x)=-l +e*T,且g =0,x.&e(l,+8)使xe(l,x。)时，g，(x)忸 用，当/与X轴重合时，闻=3,怛闻=1,从而面积是面积的3倍，此时不适合题意；当/与x轴不重合时，设直线/的方程为x=)+l,4(4,X)，以毛,必)，联立“J；/：?得(3/+4犷+6)-9 =0,由题意，得A =3 6产+4 6(3产+4)=4/+4 0,r 6，9且/+必=-药，由AMAg的 面 积 是 面 积 的2倍，得 砥=2蕈,所以乂=-2%，所以f二 一 号 一2),一品,解 得 所 以 直 线/的 方 程 为 y=*-l）.（-）选考题
23、：共 10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）x=2+2,%=3+二在直角坐标系X。），中，曲线G 的 参 数 方 程 为,.I （，为参数），直线C?的参数方程为 _y=2-2-2N/5v=-m-5（机为参数）.以。为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线G 的极坐标方程和直线Cz的直角坐标方程；若曲线G 与直线G 交于A B 两点，点户的坐标为（3,0）,求1Mlp川的值.【解析】（1）由线a 平方相减，消去参数/点，#X2-/=4（X2）.pcose=x,psin8=y,02cos2-s in*=
24、4 n p2cos2。=4,6 e直线G 消去机，得 y=2（x-3）,即2 x-y-6 =0.x=3+m,把 厂 5 代入 f J=4（x 2 2）,得 3,储-6 0?-25=0（%2-逐）2A/525A 0,设A B 对应的参数值为叫,.*.码 g =-1.P（3,o）在直线G 上，；.眼 归 回=帆 怩 I =帆 询=.23.选修4 5 不等式选讲（10分）已知函数/（x）=|x+2|一同一2|.当 4=1时，求不等式/（力 2 的解集；当 x 0,2）时，/（x）x,求实数。的取值范围.-4,x 2,【解析】当 a=l 时，/（x）=|x+2|-|x-2|,即 x）=.2x,-2x 2.当xW-2时，/（x）=T 2 不成立;当一2 v x v 2时，/（x）=2 x 2,故lv x v 2；当xN2时，/（x）=42恒成立，故无之2.综上所述，不等式/（力 2的解集为卜人1.当 x（0,2）时，卜+2|-2|x等价于|ir2|0时，6一2 2的解集为0 V x 一,所以一2 2,故0。42.a a综上所述，实数。的取值范围为（0,2.