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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学姓名准考证号本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4 页，选择题部分1至 3 页；非选择题部分3 至4 页.满 分 150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式:如果事件A,B互 斥,则柱体的体积公式P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh如果事件A,8 相互独立，则其中S 表示柱体的底面积，/?表示柱体的高P(AB)=P(A)P(B
2、)锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p,则次独立重复试验中事件A恰好发生人次的概率V=-Sh3其中S 表示锥体的底面积，表示锥体的高P.(k)=C：pk(1-p)-k(k=0,1,2,球的表面积公式台体的体积公式S=4万后v=Us+球的体积公式其中$2表示台体的上、下底面积,h表示台体的高V=4 万 代,3其中R 表示球的半径选择题部分（共 40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=1,2,8=2,4,6 ,则()A.2B.1,2C.2,4,6)D.1,2,4,6)3【答案】D【解析】【分析】
3、利用并集的定义可得正确的选项.【详解】A U 8=1,2,4,6,故选：D.2.已知a,b eR,a+3i=（Z?+i）i（i为虚数单位），则（）A.a=l,b=3 B,a=l,b=3 C,a=,b=3 D,a=,b=?【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求【详解】a+3 i=l+b i,而。力为实数，故。=一1 2=3,故选：B.x 2 0,3.若实数x,y满足约束条件 2x+y 7M 0,则z=3x+4y的最大值是（）x-y-2 0,A.20 B.18 C.13 D.6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.【详解】不等式组对
4、应的可行域如图所示：当动直线3尤+4 y z =0过A时z有最大值.由 L r c 可得 I C，故 A（2,3）,2x+y-1 =0 y =3故 Zmax=3 x 2 +4 x 3 =1 8,故选：B.4.设xwR,则“s i n x =l”是“c o s x =0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为s i n2 x+c o s?x =l可得：当s i n x =l时，c o s x =0,充分性成立；当c o s x =0时，s i n x =l
5、 ,必要性不成立；所以当XER ,s i n x =l是c o s x =0的充分不必要条件.故选：A.5.某几何体的三视图如图所示（单位：1T2正视图 侧视图俯视图A.2 2兀 B.8兀cm）,则该几何体的体积（单位：c n?）是（）2 2 1 6C.兀 D.7 1【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出.【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为1 cm,圆台的下底面半径为2 cm,所以该几何体的体积V=-X
6、7 t x l3+7 t x l2x 2 +-x 2 x(7 t x 22 4-7 r x l2+lnx2 x n x i2 2 3 3 )3c m3.6.为了得到函数y =2 s i n 3 x的图象，只要把函数y =2 s i n +图象上所有的点)7TA.向左平移二个单位长度T TC.向左平移,个单位长度1 5B.向右平移1个单位长度7TD.向右平移一 个 单 位长度1 5【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出.71 1 71，兀、【详解】因为y =2 s i n 3 x =2 s i n 3 l x-I +-,所以把函数y =2 s i n 3 x+j图象上的所有
7、点向右7T平移一个单位长度即可得到函数y =2 s i n 3 x的图象.故选：D.7.已知2 =5,l o g 8 3 =A,则4 a-3 6()2 5 5A.25 B.5 C.D.-9 3【答案】c【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，塞的运算性质以及对数的运算性质即可解出.1 4“（2 丫 52 2 5【详解】因为2 =5,=l o g83 =-l o g23,即2=3,所以笆故选：C.8.如图，已知正三棱柱A B C 45G，A C =4 4,E,尸分别是棱B C,4a上 的 点.记EE与A4所成的角为a ,E户与平面A B C所成的角为 夕，二面角厂一3C-A的平面角为 ,则（）
8、A.a p yB,/?/C./3yaD.a y =tan/?,PE所以a W/W y,故选：A.9.已知若对任意x e R,a|x-A|+1x-4 1 -12 x-5 0,则()A.a3B.al,bl,b3a,b【答案】D【解析】【分析】将 问 题 转 换 为-切 N|2 x-5|-|x-4 ,再结合画图求解.【详解】由题意有：对任意 x e R,有以 2 1 一5|一|1 一4|恒成立.设/(x)=a|x _ O|,g(x)=|2 x-5|-|x-4|=,51 尢,x W 一23 x-9,x 4即/(x)的图像恒在g(x)的上方(可重合),如下图所示:故选：D.l Z?4-3,a1 0.已知
9、数列 q,满足q =1,4+=。“一屋则()A.2 lOOq0G B.万 lOOloo 37C 3 1006f100 7-1 0 0 l0()T.累加可求出一 -(r t +2),得出100a1Go 3,再利用%an 3-4 3 an 31 1 1an+l an 3-1 +!n+11 17 7 +21 1 1，累加可求出-1 a2 3 1J_J _ a4%3*3累加可得-1 ,即-!(+2),(2 2),%3 a 3.3*C l 2),即 4oo江l0%oo 34 3,1 1 1-=-2)23a1 11+l 1i_2qJ_ J_1an an-3,5 2 3),1 +1n3%3累加可得丁1一,1
10、 1小3),2 3 n)1II111 1 -1 0c 1/1)1 1 c 八”-1 33+-+33+-x4+x94 39,00-3(22 33 9999；33(22 66)即:，即 1 0 0 q0c。；ui o o 4 U 2综上：7 l 1 0 0 1,.X则/-=V 1 2 若当x ea,勿时，l 4/(x)4 3,则Z?a的最大值是【答案】37.28.3+G#百+3【解析】【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出。的最小值功的最大值即可.Y 7 7 7 4 3 7【详解】由已知/()=_ 士 +2 =-，/(-)=-+1 =二，2 4 4 4 7 2 8当 x W l 时，由
11、l l 时，由 可得 l Kx +1 1 3,所以 I x 4 2 +6，Xl /(x)K3 等价于-1 4 x 4 2 +6,所以,勿=一 1,2 +百 ,所以人一。的最大值为3 +百.3 7故答案为：3 +G.2 81 5.现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为4,则 尸 =2)=,E(J)=.【答案】.,.#1-3 5 7 7【解析】【分析】利用古典概型概率公式求尸 =2),由条件求自分布列，再由期望公式求其期望.【详解】从写有数字1 2 2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C；种取法，其中所抽取的卡片上的数字
12、的最小值为2的取法有C；+C 种，所以P=2)=,；=翌,由已知可得J的取值有1,2,3,4,p q=i)=与，p(=2)=,C；3 5 3 52 4 1 1，P(J=3)=片=三，产 仁=4)=不=/,_.15 16 .3 .1 12所以 E(g)=l x-F2X F3X +4 x =，3 5 3 5 3 5 3 5 7,一、，16 123 572 2U16.已知双曲线*-1=1(。08。)的左焦点为尸，过F且斜率为“的直线交双曲线于点A(,y),交双曲线的渐近线于点3(9,%)且 玉0乙.若 E B|=3|E 4|,则 双 曲 线 的 离 心 率 是.【答案】巫4【解析】【分析】联 立 直
13、 线 和 渐 近 线4：y =2%方程，可求出点3,再 根 据|郎|=3|耳4|可求得点人，最后a根据点A在双曲线上，即可解出离心率.b b b【详解】过户且斜率为一的直线A 8:y =(x +c),渐近线4：丁二一，4。4。a联立y =(x +c)4。by=-x,由|FB|二3|E 4|,得A5c bca而点A在双曲线上，于 是 空 一 心 工 =1,解得：=,所以离心率e=2西.81a 2 81a 2b 2 a2 24 4故 答 案：巫417.设点尸在单位圆的内接正八边形444的边AA上，则 方;+%2 +忒的取值范围是【答案】12+20,16【解析】【分析】根据正八边形的结构特征，分别以
14、圆心为原点，4 4所在直线为x轴，A A所在直线为丫轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y),再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到阳:+丽;+阳;=8(/+/)+8,然后利用cos 22.50 10P由此可知，FN LB C ,FN L C D,从而可证得F7V_L平面A B C D,即得户W_LAD；（2）由（1）可知平面A 3C D,过点N做A 3平行线N K,所以可以以点N为原点，NK,N B、N/所 在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N-型，求出平面ADE的一个法向量，以及 两，即可利用线面角的向量公式解出.【小 问1详解】过点E、。分别做直线D C、A
15、 3的垂线E G、。”并分别交于点交于点G、H.:四边形 ABCD和 瓦C O都是直角梯形，AB/D C,CD/EF,AB=5,DC=3,EF=l,4 4 =NCDE=6 0 ,由平面几何知识易知，DG=AH=2,NEFC=NDCF=NDCB=ZABC=90，则四边形 EFCG和四边形 DCBH 是矩形，.在 R JEG D和 RQDM4，EG=DH=2 6,V DCA.CF,DC 1C B ,且C EcC B =C,O C，平面BCF,NBCF是二面角F DC B的平面角,则/B b =60，.8C户 是正三角形，由。C u平面ABC。，得平面A6CD_L平面5CR,；N是6 c的中点，F
16、N J_ B C,又。CJ_平面8 b,F7Vu平面8 C E,可得F N L C D,而BCcCZ）=C,FN_L平面 ABCQ，而A D u平面【小问2详解】因为F7V_L平面A B C Q,过点N做A 8平行线N K,所以以点N为原点，NK,N B、N F所在直线分别为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系N-Ayz,厂 厂 厂 (.设4 5,0,0),5(0,石,0),。(3,-6,0),：(1,0,3),则 M 3,-.(6 3、一.BM=3,-,-,AZ5=(2,2月,0),0丘=(2,6,3)2 2设平面AD E的法向量为n=（x,y,z）n-AD=0,f-2 x-2百y=0_ ,_
17、万 DE-0-2x+6 y +3z=0取万=(6,-1,G),设直线BM与平面ADE所成角为。，.s in*g s”,两 卜瑞:3+1 +3,9 +滂573 _55/7行2百 一 1420.已知等差数列&的首项q=-1,公差d l.记 凡 的前项和为S.(eN*).(1)若 54-2%+6=0，求 S“；(2)若对于每个eN*，存 在 实 数%,使4+。“,。+44,/+2+15。,成等比数列，求”的取值范围.【答案】(1)Sn=5 n(neW)(2)1 J l,所以d=3,所 以=3-4 ,所以 s =(%)=3 2一5,2 2【小问2详解】因 为%+c“，%+i+4 c“，。“+2 +1
18、5%成等比数列，所以(4+I +4 q,=(。“+%)(4+2 +1 5%)，(nd 1 +4 c“)-=(1 +nd d+c“)(-1 +nd+d +1 5 c”)，c；+(1 4 J-8nd+8)c“+1=0 ,由己知方程c；+(1 4 d -8 d +8)c.+d?=()的判别式大于等于0,所以 =(1 4 d 8加 +8)2 4。2 2 0,所以(1 6 d -+8)(1 2 d -+8)2 0对于任意的 e N*恒成立，所以(“一2)4-1 (2 -3 -2 ()对于任意的一.恒成立，当 =1 H寸，(n-2)/-l (2 n-3)J-2 =(J+l)(J+2)0 ,当 =2时，由(
19、2 d 2 d-l)(4 d-3 d 2)2 0,可得d 2当2 3时，(/?-2)J-l (2 n-3)6 f-2 (n-3)(2 n-5)0,又d l所以l/5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F -2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2A:+1)X1-1(2+1)X2-1 (2.+1)2 再%(2%+1)(斗+)+13 75 戊 6心+1 _ 6 非 1 6 A +1 1 6+1 6 7 5 4 A，x 4+1 x 1J _ ,2|3 Z +1|5 伙+1|一 5|3 左 +1|5当且仅当=微 时取等号，故|CD|的 最 小 值 为 华.【点睛】本
20、题主要考查最值的计算，第一间利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题.A2 2.设函数/(x)=-l d n x(x 0).(1)求x)的单调区间；(2)已知a,/?e R ,曲线y =/(幻上不同的三点(%,/(七),(，/(%)，(3，/(%3)处的切线都经过点(a,b).证明：(i )若 a e,则0 /?_/(a)5(q _ 2 e-a 1 1 2 e-a(i i)若0 a e,玉 1 2%3，则 +-e +-T(注：e =2.71 82 8是自然对数的底数)【答案】/(X)的
21、减区间为“!),增 区 间 为!,+/(2)(i )见解析：(i i)见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.(2)(i )由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，(i i )k 一，m=_ l,则题设不等式可转化为乙+q 2 /X e m(叫 一：+12),结合零点满足的方3 6m +r3)程进一步转化为In，+-Z M+1 2)72(/+1)0,利用导数可证该不等式成立.【小 问i详解】2 x-e当0 x|,/x)o.故“X)的减区间为(o,9 ,x)的增区间为、,+oo/【小问2详解】(i)因为过(。,人)有三条不同的切
22、线，设切点为(斗,/(七)=1,2,3,故/(%)8=/(七)(石一。),故方程“X)一8=/(力(刀一。)有3个不同的根,则苏+卜卜城)()-卜 士=T(x _ e)(x a),当0 x a时，g,x)0；当e x a时，g 0,故g(x)在(O,e),(a,+o。)上为减函数，在(e,a)上为增函数，因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)0,故/7 e整理得到：6 +lna=/(a),2e 2a此时/?一/|1|+1 +In -+=-In a,，2(e)2e 12a J 2e 2 2 2a、3 e、设”(Q)：2-na,则=J 2 2。V 7e-2。nr0,2a23 e故为(e,+oo)
23、上的减函数，故沆(口)5-lne=O,故21 e(ii)当0 a e时，同(i)中讨论可得:故g(x)在(O,a),(e,+2Q)上为减函数，在(a,e)上为增函数,不妨设 x x2 x3,则。%a&e 忍，因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)0,整理得到：+l b +na,2e 2e因 x2 x3,故 0 玉 a /e 1,m =,t3%,a e2 e-a 1 1 2 e-a e-a 2e e-要证：一+一+一-丁=，即证2+-t.+t,-e 6e X x2 a 6e 6e a 6e即证:13-m62+3-m1-m6（1 3-m V 2 1-m 八即正一丁R丁 o,即证:2（m-1 3）
24、（m2 一机+1 2）A +G-2-i,则=2in 1 0,k-l 一1）代1 2 2 2设“（4）=4-21 n&,则“，（A）=l +u-=0即d（Z）0,kk k k k故9（Z）在（l,+8）上为增函数，故0（&）O（/）,所以（Z +l）l n Z （7W-1 3）（/7 72-/H+1 2）（/n +l）l n/（m-1 3）（m2-/7 7+1 2）k-l-7 2-m-7 2-（,一 1）（,“一1 3）（，苏-m+2vico（m=nm+-；-；-7 7 2（/7 1 +1）,0 m 0,7 2m（/n +l）-7 2m（加+1所以o（帆）在（0,1）为增函数，故以（m）3（l）=0,4,.-m +1 2）（;n +l）l nm（w-1 3）（/n2-m +2故 I n /+-J-07 2（/n +l）m 1 7 2故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.