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1、高考数学二轮复习考点解析8：不等式的综合考查考点透析【考点聚焦】(解、用、证)(两小半大)考 点 1：不等式的性质与重要不等运用考点2：不等式的解法考点3：不等式的应用问题考点4：不等式的综合问题【考题形式】1 小题与集合，函数定义域、值域结合；(1小是肯定的)2.不等式组与线性规划。3。大题形式多样与其他知识结合，不会出现单独的不等式题。【问题1】不等式的解法1 .已知 R 为全集，A=x|l og,(3-x)，-2,B=x|3 2 1,CRA C B=(B )2(A)-2 x-l (B)-2 x T 或 x=3(C)-2 Wx T(D)-2 WxWl2 .设 a 0,则关于x 的不等式4
2、2 x2+ax-a2 x3C.x H 2 22 x x+2B.-；-厂 一X +1不等式D.l og.02(x2-3x+2)(x-4)0的解为A.T x W l 或 x2 2B.x-3 或 1&W 2C.x=4 或一3 xW 1 或D.x=4 或3 或2ex-,x2,(A)(1,2)u(3,+8)(B)(V1 0 ,+8)(C)(1,2)U (V1 0 ,+8)(D)(1,2)解：令 2 e*T 2 (x 2),解得 l x 2 (x 2)解得 xw(V1 0 ,+8)选c【精例 1 已知=4?+2犬 一 8 +0,8 =卜|，9 一3%5/2 4 +1 9，C =x|x2-4ax+3 a2
3、o,若 4C 8 =C,求实数Q 的取值范围.解：由题意可得，A=1 卜二一4 或 x2 2 B=x|-2 x 3)贝 lj A c B=3 2 4 x W 3 a 2而 C=(x(xa)(x3 a)0,月，得 aE 1,2.3 a 3【精例 2 解不等式l og i(x+l)+l og 2 lg i 1 2.(1 2 分)-o-x -2 2解：.,原不等式=-1 0 g 2(X +l)-嗓 2(6 -X)-1 0 g 2 1 2l og2(x+l)(6-x)0 (x 3 映 0 且&x 0 t-l x 6 t-l r 6-l x 2 或 3 x 6原 不 等 式 的 解 集 为:或 3 c
4、x 0解：(1)t=-1 时,#x)Wg ，即为 l g(x+1)ox+l 0 xd 0,l 时，#幻W g 恒成立，.xe e i时，,2 x+f 0 恒成立，x+0.xG 0,l 时，S t -2 x 恒成立，即 X G O,1 时，t -2 x +4 x +t 2 2.x+J x +1恒成立，于是转化为求2X+&T T(xe 0,l)的最大值问题.令“=J x +1 ,贝 Ijx=u 2 1,由 xC 0,l,知 口引1,五.-2 x+J x +1 =2 (u2 1)+U=-2(H-)2+当 u=l 0 寸，即 x=0 时，-2 x +V 7 +1 有最大值为1.，t的取值范围是te l
5、.点评：对于含参数问题，常常用分类讨论的方法；而恒成立问题，除了运用分类讨论的方法外，还可采用分离参数的方法.精例6 解关于x 的不等式：|l og(。/)|0,且。w 1)点拨与提示：用换元法将原不等式化简，注意对a 的讨论.解：设l og“x=，原不等式化为 I l+2 t I -I t I 2(1)当时，一1 一2 t+t-3,22(2)当-4 f 0 时,1 +2 t+t.*t ，-W f 02 3 2(3)当 t)0 时，l+2 t-t 2,A KI,综上可知：-3 /l,即一3 l og“x l当时，J L x a,当 0 。1 时，a x-La a3所 以 当 时，原不等式的解集
6、为 x 二当 0 0,(1)用定义证明f(x)在 1,1 上是增函数；(2)解不等式：f(x+2 )m +n(3)若 f(x)&-2 虱+1 对所有X G -1,1 .a e 1,1 恒成立，求实数t的取值范围：【思路分析】：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔，(1)证明：任取两孙 且 内，%2e -1，1 ，则/1)/(彳 2)书即)饮-芍)=1+：X?).(X 1-X2)X -x2 1WX 0,又 X一尤20,X -x2，/1)一/(必)0，即/)在-1,1 上为增函数.-1%+-!231 解得：x|-Wx
7、1,x1 S-S 1 9A-1 乙解：段)在 1,门 上为增函数，1 1x+0,记 g(a尸尸2 af,对“G 1,1 ,有 g(a)0,只需g(a)在 -1,1上的最小值大于等于0,g(-l)0,g(l)20,解得，*一2或片0或 后2.“的取值范围是：|fW-2或片0或r22.点评：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能 力.它主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问 题(2)、(3)要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.【问题4】线性规划【精 例 101不等式|2x+y+m|3表示的平面区域包含点(
8、0,0)和点(-1,1),则m的取值范围 是(A)A.-2 m 3 B.0 m 6C.3 m 6 D.0 m 3【精例11】已知点（3,1）和 点（一4,tn=0的两侧，则（B）A.m 24 B.-7m 0 精 例 12在约束条件y 0 下，当3WxV5时,y+工 W sy+2x4目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是A.6,15 B.7,15 C.6,8 D.7,8【精 例13已 知a e（0,2）,当a为 何 值 时，直线/,:ax-2y=2。-4与乙:2 x+a2y=2 a2+4 及 坐 标轴围成的平面区域的面枳最小？（12分）解：L:y 2=（x 2）.0恒ii 4（2,2）,4交
9、 轴 分 别 为B（2一一,0）,。（0,2-。）a/,1-2 =-马(犬一2)./2恒过/(2,2),交x,y轴分别为D(a2+2,0),C(0,2+-),6ra.-0 a 2.-.2-0,由题意知人与乙及坐标轴围成的平面区域为ACOD,1 4 1 4 1 15.5 0=5 4 0 0-5 =-(2+2)(2+-)-(-+).2=-+4.(-)2+7,，当 Q=5 时人S ACOD）min=.【问题4不等式的实际应用问题对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求
10、出题中的问题.【精 例13（天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买X吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4 x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则=吨.解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则 需 要 购 买 我 次，运费为4万X元/次，一年的总存储费用为4 x万元，年的总运费与总存储费用之和为您4+4 x万元，X 4+4 x 1 6 0,当 空 叫=4 x即x=2 0吨时，一年的总X X运费与总存储费用之和最小。【精 例13】某人在一山坡夕处观看对面山项上的一座铁塔.如图 所 示，塔 及 所 在 的 山 崖 可 视 为 图 中 的 竖 线0 C,塔高B
11、C 80（米），山 高0 B 220（米），0 A 200（米），图中所示的山坡可视为直线1且点在直线1上，/与水平地面的夹角为a,tana=L.试问，此人距山崖的水平地面多高时,2观 看 塔 的 视 角 最 大（不计此人的身高）？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则4（200,0）,5(0,220),C(0,300).直线/的方程为 y=（x 200）tan a,即 y/土.；。设点 P 的坐标为（x,y），则（X 200）由经过两点的直线的斜率公式k PC2 0 0-300 8 n n2 _ x-800 x2 xk PB 一 一2 2。-6 4 0 x2 x由直线P C到直线P B的角的公
12、式得tan B P C =工1 +kPBkPC1602x64%一 x-800 x-640 尤2 -288x+160 x6401 H-2 x2 x64160 x640 co。x+-288x(x200)要使tan B P C达到最大，只须x+哗金-288达到最小.X由均值不等式X +16x640 _ 288 2,160 x640-288.当且仅当x=.加 时上式x x320 _ O AA取等号.故当x=320时tanBPC最大.这时，点P的纵坐标了为了=-=60.JT由此实际问题知，0 log,矶其中为大于2的整数，口og2 n表示不超过2 3 n 2log2 n的最大整数.na _1设数列%的各
13、项为正，且满足的=b(h 01an J,=2,3,4,一-n +an-(I)证明4 0,都有明11-5解：(I)证法 1：*.当。2 2 时,0 “a2 i 2 4 2 3 a an_x n1 11 1 1所有不等式两边相加可得-T +-+-+-a.2 3 n由已知不等式知，当n23时有，-lo g0/?.%2.1 1 1 rl i 2+/?log9 n 2bcii /?,/.l log?”=-二.C l-an b 2 2 2b 2+/?log2n(ID-，令-log2n109 n 210=1024,故取N=1 0 2 4,可使当n N 时,都有明1-.5【课后训练】一、选择题：1、不等式x-
14、/x解 集 是（(0,2)B (2,+8)C(2,4D (_ 8,o)u(2,+8)2.函数f(x)=log2(-x2+4x-3)的定义域为A1)()A.(1,2)U(2,3)B.(-oo,l)u(3,+)C.(1,3)D.1,33、（06上海）若关于x的不等式（1+攵2）xWk4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有()A.2 W M,OWM；B.2 任 M,OgM；C.2 W M,OeM；D.2 e M,O E M.4.若函数/(x)是定义在R上的偶函数，在(,0 上是减函数，且/(2)=0,则使得/(x)2a-b,1 1(B)a2+-a +-cr a(D)Ju +3 Ja +1 4 y
15、j c i +2 -f a|x-2|l(A)(0,V3)；(B)(V3,2)；(C)(V3,4)；(D)(2,4)。7、若不等式|x-l|a成立的充分条件是0 x l B、a 3 C、a l D、a 3x 18 .集合A=x 0=,B=尤|尤-b|a ,若“”=1 ”是“A C BW。”的充分条件,x +1则b的取值范围是()A.-2 Wb 0 B.0 bW2C.-3 b -l D.-l Wb-1)2 =1,当x+y +c O时，c的取值范围是().A.V2 1,+)B.(-8,-1 C.V2 +1,+)D.(-8,+1 2 21 0.若 动 点(x,y)在 曲 线 二+=1(8 0)上变化，
16、则x?+2 y的最大值为()4 b2(12-+4 (0 b 4),2+4 (0 fe 2),rb2A.4)2 b(b2)二、填空题：1 1.(上海卷)三个同学对问题“关于X的不等式/+2 5 +|/5炉 以 在 1,1 2 上恒成立，求实数。的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”.丙说：“把不等式两边看成关于龙的函数，作出函数图像”.参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即。的取值范围是 .解：i l l x2+2 5 +|%3 5 x2|x,l x a 2jx =
17、1 0,等号当且仅当x=5 e l,1 2 时成立；Ja|x2-5 x|0,等号当且仅当x=5 e l,1 2 时成立；所以，a x+g+|x 2 5*|而口曰。，等号当且仅当x =5 w l 2 时成立；故。(-8,1 0;1 2.若 a,8,c 0 且 a(a+Hc)+8 c=4-2 ,则 2 出出!?的最小值为1 3、已知点(x o，y()在直线a x+by=O,(a,b 为常数)上，则J(x()-疗+(九 一6 尸 的最小值为.1 4、设 a,b e R+,且 a+b=l,则,2 a +1 +ab+1的 最 大 值 是.三、解答题：1 5、已知函数/(x)=fc t +b 的图象与x,
18、y 轴分别相交于点A、B,A B =2 i+2 j 分别是与x,y 轴正半轴同方向的单位向量)，函数g(x)=2 -x-6.(1)求左力的值；(2)当x满足/(x)g(x)时，求函数g(.+l的最小值./(x)1 6、已知正项数列佰仆满足a 1=P(O P l),且。+=(I)求数列的通项an；1 +0“(II)求证：+-+-1,234 n+11 7 .设./W是定义在-1,1 匕的奇函数，g 的图象与_/W的图象关于直线x=l 时称，而当x e 2,3 时，g(x)=-x2+4x-4.(1)求 於)的 解 析 式；(2)对 于 任 意 的和 0班 尸 ，求 证：|/U2)-/UI)|2|X,
19、-X1|;(3 )对 于 任 意 的天,尤 2 e 0且 X 工 工 2,求证：|/(X 2)-/(X )|V1.(1 4 分)1 8 .已知/(x)=l o g(x+1),点 P是函数y=Rx)图象上任意一点，点 P关于原点的对称点Q 的轨迹是函数产g(x)的图象.(1)当 0 l,x W 0,l)时，总有加r j+g 1 加恒成立，求，的范围.点拨与提示:利用对称性求出g(x)的 解 析 式,恒 成 立,即m W 1 2 f(x)+g(x)mn.利用重要不等式求出/=2/W+g 的最小值即可.1 9 .解关于x的不等式：xx-a0)分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本
20、题的关键不是对参数。进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解:当时，不等式可转化为x a即19X(X-(2)a9x2-9ax-2 a2 0:.aXab,一 一，,t x a x a当 时 不 等 式 可 化 为 ,即，ax(a-x)0或 答，故不等式的解集为(-0 0,g u2 a 3+V 1 7,-a3 6参考答案：x 01.C 提示：原不等式转化为，4 x-x2 0 ,解此不等式组可得x的范围.4x-x2 0 1 x 33、A.方 法1：代入判断法，将x =2,x =0分别代入不等式中，判断关于左的不等式解集是否
21、为R;方 法 2：求出不等式的解集：(1 +1 W -+4nx 留 m)+岛窗+1升 岛-2薪=2后-24.D 提示：函数/(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,0 上是减函数，且/(2)=0,，熊-2)=0,在(一8,0 上/()0的x的取值范围是(一2,0 ,又由对称性 0,+8),.在R上f(x)+a 0 0 0所 以(B)恒成立；(C)中，当ab时，恒成立，ab时，不成立；2 2(D)中，分子有理化得下=一 尸 恒 成 立，故 选(C).JQ+3+JQ+I 1 a+2 +a6.C7.B提示：t=|x-l|在 xG0,4的最大值为3,故 a3.8.D 提示：由题意得:A：-lxV l,B
22、:b-ax a+b由A=l”是 A C B W C”的充分条件.则 A：-1 X 1 与 B:b-l x l+b 交集不为空.所以一2Vb 2,检验知:-1 4 人 2 能使9.8 C 解：（三角换元）设=()5 V 2-l,故选C.10.A 提示：设 x=2cos Q ,y=bsin a，贝 U x2+2y=4cos2 a+2bsin a=-4sin2 a+2bsin a+4,2b 2 b2=-2(sin a bsin a _ 2)=-2(sin a )+4+,/+2），的最大值为b24+0 b 4二、填空题:11.解：由 1+25+|d 5/|eax,l x a 0 且 a(a+Z;+c)
23、+/?c=4-2V J,所 以 a1+ab+ac+bc=4-2y/3,4-2 G =a2+ab+a c be=(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)(4tz2+4ab4-4ac+2bc+b2 4-c2)4 4/.(2 6 一2)2 W(2a+/?+c)2,贝 ij(2a+b+c)2 2 百 一 2,13.ya2+b2 提示：最小值为均 土!包=J42+户 a2+b214.2 V 2 提示：叵 亘 上 叵 亘 g(x),得 X+2X2-X-6,即(x+2)(x-4)0,g(x)+l x2-x-5 1.f(x)x+2 x+2得-2x0,则四壬3,其中等号当且仅当x+2=l,即x=-l时 成 立
24、过I的最小值是/(x)/(x)16、解：由 已 知 得 an+ian=anan+i-=1,由q =P，得 一=F(n 1)=an-：-。+1%P +L 1P(2)证明：,/0 p 0=-p1 +-1-11 PCL a.a-,an I I I-1.-H-+.d-1-1-F234 n+1 2x1 3x2 4x31H-(+1)7?j 2 2 3 3 411,1,H-=1-1n?+1 n+117.解析:由题意知 f(x+l)=g(l-x)n/(x)=g(2-x)当-1 4 x 4 0时，2 4 2-x 4 3,f(x)=-(2 -x/+4(2-x)-4=-2当 0 x 4 1时，-1 4-x 0 r.
25、f(-x)=-x2,由于 f(x)是奇函数./(%)=产“、-x2(-l 0)/.f(x)x2(0 x l)(2)当苞,X 2 工 了 2时0 玉+工2 2,(x2)-/(X|)|=卜2?-X/卜|(x2-X)(X2+X|)|2k2 -X(3)当工”42比工工2时。4X；l,0X22 1.,.-1X22-X2 1 g|x22-Xj2|lo g (l-x),x+l 0 x -1V 0 a 0 =x-1 x 0(x+1)2 l-x -3 A:l,且 x (-1,0 时恒成立.记1-xF(x)=l o g 0 -+1)2-(x e 0,1),则问题等价于机 l,，F(x)的最小值为0,故m的取值范围为m W0