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1、-WUHAN COLLEGE OF INDUSTRIAL TECHNOLOGY课 程 教 案201L 2012学年第一学期课 程 编 号课 程 名 称主 讲 教 师职 称系（部）名称工程数学胡丽姣助教公共课部2011年 09月 28日2课程编号课程名称工程数学课程类型公共课（J ）职业基础课（）职业技术课（）职业技能课（）专业选修课（）授课班级及人数焊接 1101 1102 模具 1101 1102总学时岸期学时48总学分殍期学分3学时分配理论讲授学时：48 实 训（实验）学时：0考核方式考 试（J ）考 查（）考核形式闭 卷（J ）开 卷（）口试（）上 机（）其 它（）教材名称工程数学教学参
2、考书1、高等数学主编：朱永银、肖业胜；武汉大学出版社；2004年6月 第1版。a 工程数学主编：夏建军；华中科技大学出版社；2007年8月 第1版。3题目：数 列 极 限 的 定 义 函 数 的 极 限课时：2教学目的、要求：理 解 数 列 极 限 的 概 念，会 用 数 列 极 限 的 性 质 求 些 数 列 的 极 限，理解函数极限的概念；会 用 函 数 极 限 的 定 义 和 性 质 求 一 些 函 数 在 某 点 处 的 极 限；重点：数列极限的定义，用数列极限的性质求一些数列的极限，函 数 极 限 的 定 义，求函数 在 某 点 处 的 极 限；难点：计算数列极限，函 数 在 无 穷
3、 远 处 的 极 限 的 概 念 的 理 解。内容：1 .数列的定义无穷多个数，按某些规律一个一个地进行排列，互 为数列的第n项，又是通项。f l .1 1 1 1 1H：1,不彳,lim =0例：（1）n J 2 3 4 n,趋近于 01 1 ,1 ,1 .1 .f,.s 1 H-：2,1 H-,1 d-,1 d-，,1 H-，lilYl 1 d-=1（2 1#2 3 4 ；趋近于 i n）（3）2n：2,4,6,8,2,（4）1 +（-1产：2,0,2,0,2,0.C:C,C,C,（。是常数）叩 =c分析以上五个数列的特性，得出数列的极限概念。2、极限的定义：设有数列长/,A为常数，当n无
4、限增大时，X,无限趋近于A,则数列极限存在或收敛，极限是A或kJ收敛于A。记为lim xH=A或x A（n 8）n8若 x J极限不存在，则 x J发散。数列的几何解释：将A及玉，*2，X 3,，X ,在数轴上一 一表示出来，当n无限增大时，数列长“对应的点血 聚集在A点附近且无限趋近于A点。单调数列：匹 X W，则 x.单调增加;4X 1 x2 X3 Xn 则 xj单调减少；3 X3-X*2“3 -Xn，则 xj严格单调减少。3、数列极限的性质：（1）若收敛，则极限唯一。（2）若数列收敛，则有界。1+(-1)叫。注：有界数列不一定有极限，如（3）单调有界数列必存在极限。l i m xn=A,
5、l i m y =B,4、收敛数列运算法则：（1 ）若 -8 则l一im8(xz r+y )=l i m xn+l i m =A +8n 0 zi l i m例：nn+1,、，i m x“=A,l i m y“=8 l i m(x“y“)=(l i m x“)(l i m y“)=A5(2)若 8 一 8 则 n O O ”T 8l i m 4-例：l i m=;（c为 常 数，k为正整数）推广：“T 8”（3）若lim=A,l i myn=B 0,一 8xl i m(T =则,l i m x“8l i m y,B 8l i mAT82n2+3n-2n2+1.aQnl i m-hQnm-hnl
6、k 1+ci2iik+,+aki+b2nm-2+-+bm,(k,t n N+,k A(x x0).X T XQ两个常用结论：(I)l i m C=C(C为常数)；rx0(2)l i m x =x0.XX。x -4 1例：(1)l i m-(2)l i m s i nx (3)l i m s i n x4 x-1 6 .t-a .r 0 x2.单侧极限左极限 如果函数/(x)当x从x 0的左侧(即x x)趋于x 0时以A为极限，则A称为/(%)在X。的右极限.记作l i m./(x)=A 或 f(x0+0)=A.I f左极限与右极限皆称为单侧极限,它与函数极限(双侧极限)有如下关系：l i m
7、/(x)=A 的充要条件是-0)=f(x0+0)=A.X T*。3.x 7 8时函数/(x)的极限例。讨论函数f(x)=L 当(1)x e(0,-H )；(2)X G(-,0);(3)xe(-oo,-H )X的变化情况。函数在正无穷远处的极限：l i m /(x)=A或者/(x)7 A(X 7 +)。X+oo函数在负无穷远处的极限：l i m f(x)A或者f(x)-A(x -8)。X T-8函数在负无穷远处的极限：l i m/(x)=A或者(x 8)。K 86题目：无穷大与无穷小，函数极限的运算法则，符合函数的极限，两个重要极限。课时：2重点：掌握极限的性质及四则运算法则。了解极限存在的两个
8、准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。难点：无穷小的比较方法，两个重要极限的灵活运用。内容：1.无穷小的定义：如果在自变量X的某种趋向下，函数/(x)以0为极限，则称在x的这种趋向下，函数/(X)是无穷小量。(书中例子)注意：无穷小时 个以0为极限的函数，不能把它与很小的常数等同，在 常数中(除0外)没有无穷小无穷小的性质：(1)有限个无穷小的代数和是无穷小。(2)有界函数与无穷小的乘积还是无穷小。2.无穷大的定义：如果在自变量x的某种趋向下，函数/(x)的绝对值以8 为极限，则称在X的这种趋向下，函数
9、/(X)是无穷大量。(书中例子)注：这时函数的极限不存在但仍记做l i m/(x)=8,表示函数在X的变化过程中的变化趋X T X o势。无穷大的性质：(1)两个无穷大的乘积仍然是无穷大。(2)有界函数与无穷大的和是无穷大；(3)无穷小和无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，如果/(x)为无穷大，则 一 为无穷小；反之，如果“X)“X)为无穷小，且/(X)丰0 则 一为无穷大/(x)即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当时：有7lim=0=lim =gX -8 X 8 X3.无穷小的比较：设/(x)和g(x)都是同一变化过程下的无穷小，且g(x)H 0。(1)若lim/=0,则称f(x)是
10、关于g(x)的高阶无穷小，记为f(x)=o(g(x),g(x)也称g(x)是关于/(X)的低阶无穷小；(2)若lim幺则称/(x)和g(x)是同阶无穷小，特别当lim幺2=1,则g(x)g(x)称/(X)和g(x)是等价无穷小，记为/(X)g(x)。分析书中例题。4.函数极限的运算法则定理 1.9 若 lim/(x)=A,lim g(jc)=B,则有:XT.X A0lim(/(x)g(x)=lim/(x)limg(x)=AB；X X0 Xf%lim(/(x)-g(x)=lim/(%)-lim g(x)=AB；XT%x-.r0 x x0(lim/(x)4lim-=-(lim g(x)=8 H 0
11、)。xTx(g(九lim g(x)BXT%推 论1.3黑板演示书中例题1.10,1.11,1.12.5.复合函数的极限运算法则回忆初等函数，复合函数的概念设函数y=/g(x)是由函数y=/Q)与 =g(x)复合而成，/g(x)在点/的 某0去心邻域内有定义，若limg(x)=M(),lim/()=A,且存在H)0,当xe时，有g(x)*u0,则im fg(x)=lim f(u)=AX-CQ“TUQ86.两个重要极限通过书中的表格分析推出该结论。.s i n x ,(1)l i m-=1x.t a n x例：!1-c o s xl i m-IO X.a r cs i n xl i m-XT X(
12、2)l i m(l +%T8 X例：lim(l-)A,lim(l+x)vx 8 x.v-O分析书中例题。9题目：函数的连续性课时：2重点：理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上.连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。难点：判别函数间断点的类型，应用函数的性质解题。内容：1.左连续，右连续左连续的定义：若 函 数/在 点/有/(x 0-0)=/(x 0),则称函数/在点x 0左连续；右连续的定义：若函数/在点X。有/(x 0+0)=/(/)，则称函数/在点Xo右连续；连续的定义：函
13、数/在 点X。连续，当且仅当该点的函数值/(x)、左极限/(X。-0)与右极限/(公+0)三者相等：/(x 0-0)=/(x)=/(x 0+0)或者：当且仅当函数/在点X。有极限且此极限等于该点的函数值。l i m/(x)=/(x0)X T/函数在区间(a,b)连续指：区间中每一点都连续。函数在区间 a,b 连续指在区间(a,b)连续，且在左端点处右连续，在右端点处左连续。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)连续函数的图像是条连续且不间断的曲线连续函数的四则运算：1).l i m/(%)=/(%o)且 l i m g(x)=g(x0),x xon l i ma /(%)+/?-g(x)=a
14、f(x0)+/3 g(x0)2).l i m/(x)=1/(/)且 l i m g(x)=g(x 0),=l i mx)*g(x)=Xo)*g(Xo)Ho3).l i m/(x)=)且 l i m g(x)=g(x0)H 0,X T%K f%10V i mrn=f Mf。g(x)g&o)2.反函数连续定理：如果函数/:y =/(x)XG Df是严格单调增加(减少)并且连续的,则 存 在 它 的 反 函 数x=f-y)y w O,并且/t也是严格单调增加(减少)并且连续的。注：1)反函数的定义域就是原来的值域。2)通常惯用X表示自变量，丫表示因变量。反函数也可表成3 .复合函数的连续性定理：设函
15、数7和g满足复合条件爪,u。/,若函数g在 点X。连续；g(x 0)=o,又若函数f在点人 连续，则复合函数fog在点X。连续。注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：l i m/(g(x)=/(l i mg(x)x xo X 工0从这些基本初等函数出，通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。4.间断点若：/(%-0)=/(/)=/(/+0)中有某一个等式不成立，就间断，分为：1、第一类间断点：/(公 +。)。f(xo 0)即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。例：见教材。2、第二类间断点与：左极限-0)与右极
16、限/(%+0)两者之中至少有一个不存在例：见教材。113.若 /(Xo-O)=/(xo+0),但/(x0-0)/(x0),且 f(x0+0)，/(项)，则称 X。是函数/(x)的可去间断点。例：见教材。5.闭区间上连续函数的性质1)、(有界性定理)：如果函数/在闭区间 a,“上连续，则 它 在 上 有 界。2).(最大、最小值定理)设函数：y =/(x),xe。在上有界，现在问在值域=y|y =/(x),x e D中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点与 D的函数值%=/(x0),则 记 方=ma x/(x)叫做函数在D上的最大值。xeD类 似 地，如 果0f中 有 一 个 最 小
17、 实 数，譬 如 说 它 是 某 个 点/e Of的函数值%=/(%2)，则记为=mj n/(x)称为函数在上的最小值。xe D f零点定义：若Xo使/(x 0)=0,则称X。为函数的零点3).(零点定理)：如果函数/在闭区间 a,“上连续，且/在 区 间 的 两 个 端 点 异 号：/(a)*/(b)0 且a W 1)15题目：导数的四则运算，复合函数、反函数求导法则课时：2教学目的、要求：熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，了解导数的四则运算法则和一阶了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数，会求反函数的导数。教学重难点：重点：用导数的四则运算法则计算函数的导数难点：复
18、合函数的导数，反函数的导数内容：1.导数的四则运算法则：和的求导法则：设函数(x),v(x)在点x处都可导，则函数y =(x)+v(x)在点x处可导，且导数为 yr-(x)+v(x)或(M(X)+v(x)z=(x)+v(x)z。积的求导法则：设函数(x),v(x)在点x处都可导，则函数y =“(x)n(x)在点x处可导，且导数为 y =(x)n(x)+v(x)(x)o商的求导法则：设函数“(x),v(x)在点x处都可导，且v(x)H0则函数？=吗 在心)/点X处可导，且导数为了=(3=(x)，(x)“(x)y(x)。lv(x)J V2(x)2.反函数的求导法则：设函数y =/(x)在点x的某个
19、邻域内连续且严格单调增加(减少),/(彳)存在，且/”(I)。0,则函数y =/(x)的反函数x=Q(y)在点y处可导，且d(y)=一，即反函数的导数是其原函数导数的倒数。/(x)3.导数基本公 式 表(见教材)。4.复合函数的导数：u =(p(x)在X有导数 出，y =f(u)在对应点u有导数 苴，dxdu则复合函数y =f(p(x)在X处也有导数，即 曳=曳.生=f/何)./(x)。d x d u d x注：熟练掌握复合函数求导运算方法后，中间变量可以不写出，只要分清函数的复合关系并暗记心中，就能直接计算出复合函数的导数。对数求导法：有些函数用对数求导法求导非常简便，其原理和方法由接下来的
20、例题说明。165,高阶导数：二阶导数:/(X)=*ax x=xQ=l i mAr-0/ylim fix)-%)X XQ X XQ同理函数/（X）在点X处的导数为函数），=/（X）的三阶导数记为了“（X）。以此类推，函数y =/（x）在点x处的n-1阶导数的导数为函数y =/（x）在点x处的n阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。例：自由落体运动瞬时速度和加速度的问题。17题 目：微分课 时：2教 学 目的，要求理解导数和微分的概念与微分的关系，了解微分的四则运算法则和阶微分形式的不变性，会求函数的微分。重 点：微 分 的 概 念，微 分 的 运 算 法 则。难 点：微 分 与 导 数 的
21、 关 系，-阶微分形式不变性内容：1.微 分：讨论当Ac T O时，/(x+Ax)的近似求法.先看一个例子：设y=/(x)=x 2,在点与 的领域内给一增量A x,计算/(x)的增量Ay。Ay=/(x0+Ax)/(x0)=(x0+Ar)3 x；=Ax+3x0 (Ar)2+(Ax)3 Ax(当 Ar 0).这是因为 lim 3 x()(一)+(加9 =Hm3x()Ar+(Ax)2=0 即3x()(Acf+(Ar)3 是Av-0 A,Ar-0关于A r的高阶无穷小(当Ar 7 0)。亦即Ay 3x；Ax=3x0(Ar)2+(Ac)、是无穷小(当Av 7 O),用3x；At代替)，计算方便且误差很小
22、。定 义2.2若y=/(x)在点X。的领域内给一增量Ar,相应的函数y=/(x)的 增 量 可 表示为：Av=/(x0+A x)-/(x0)=Ax+0(Ax)(Ax 0).其中,A是与Ar无关的常数，lim 处。=0,o(Ar)是关于Ac的高阶无穷小(Ax 7 0)。70%则称函数/(X)在点X。处可微，A Ax称为函数/(x)在点/处的微分，记为dy或力1(x),B|idy=A*Ax o注意 A AA是关于Ax的次函数，当Ax 0n寸，Ay=A Ax也称为 y=4 Ax+(?(Ax)的线性主要部分。可微与可导的关系设y=/(x)在点X。出可微，则有 y=A Ax+o(Ax),rc r lAy
23、 4 0(Ax)所以 A +-,Ar Ax18lim =lim(A+)=lim A+lim 加)=A。A x-0 Ar A x-0 Ar AA 0 AX TO Ar由导数的定义，则有f (x0)=A从而有dy=A Ax=/(x0)A r。反过来，若1而 包=/(x0),则 有 包=f x0)+a.当(A r7 0时，a 7 0：这是收A S0 Ar Ax敛极限的一个定理，仅在此说明)所以Ay=/(Xo)Ar+aAx。(当Ar 0时，a-0)ry Ar因为lim 2上=lim e=0,由微分定义，有 Ax AV TOdy=综合以上情况，归纳出以下定理。定理2.3函数y=/(x)在点x0可微的充要
24、条件是y=/(x)在点X。可导，且d y f x0)x.解析例2.23一般地，函数y=/(x)在任意点x的微分dy=/(Xo)Ar.称为函数的微分。解析例 y=5x7微分的几何意义。(见教材)2.微分的运算法则和公式见教材。3.一阶微分形式的不变性：设复合函数y=/(),=9(x),于是按复合函数的求导公式，有dy dy du.A，/、.r.丁 =十 丁 =/5)夕(x)=f 奴幻9(x),a x du a x所以dy-f (pk xS(p(x)dx-f (u)u dx-f u)du.可以看出，不论是自变量U,还是函数=9(x),都 有 力=/(M)疝，这一特征称为一阶微分形式的不变性。这在不
25、定积分的凑微分法中常需用到。注：可导Q 可微解析例2.241 9题目：中值定理与洛必达法则课时：2教学目的与要求：掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。教学重点：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理的运用。难点：中值定理的灵活运用。一、中值定理，泰勒公式(放入泰勒级数中讲)1 .(罗尔定理):如f(x)满 足:在 a,b 连续.(2)在(a,b)可 导.f(a)=f(b)则至少存在 点(a,b),使f/(&)=0例设g(x)=x(x +l)(2 x +l)(3 x-l)，则在 区 间(T,0)内，方程g (x)=0有2个实根；在(-1
26、,1)内g(x)=0有2个根2 .(拉格朗日中值定理)：如f(x)满足：在 a,以连续；在(a,b)连续，则 存 在(a,b),使f(b)-f(a)=f/(b-a)。推论：如果在区间I上f 1 x)三0,则f(x)=c。注：在拉格朗日中值定理中，如果/0)三/，则拉格朗日中值定理就转化成了罗尔中值定理，所以罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。3 .(柯西中值定理)如果函数/(x),g(x)满足：(1)在闭区间以 上连续；(2)在开区间(应6)内 可 导 且g(x)H0，则 在 开 区 间 内 至 少 存 在 一 点J e(a,b),使得g(a)-g(b)g4)显然，当g(x)=x时，柯西中值
27、定理即为拉格朗日中值定理，所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例。4.洛必达法则：如下的函数极限都是未定形。0 .x -s in x ,1、一型：如：lim-型：0 s o t an x -x2、一 型：如：lim-a 0ooxa3、0*8 型：如：lim xa nx a 0XT+oo204、o o -o o 型：如：lim(-)s in x x5、0 型：limxar clanxx-+016、8 型：如:lim(ct gx)inxXT+07,r 型：如：lim(处3310 x它们的计算不能用函数极限的四则运算法则,且它们只表示类型，没有具体意义。0 03l)s -(一)型的洛必达法则XT
28、a(同理X7 8)0 8定理：对函数/(X),g(x),如果：(1)lim/(x)=0,lim g(x)=0 xT a x-(x-8)(x o o)(2)在某个邻域N(a,3)内(xX后)有 导 数 和g,且g(x)内0；(3)lim/3 存在(或无穷)，则成立：(X)g(X)Um出J m小(X)8(x)说工)g(x)2)、其它类型1)。一2，2)OO101 1 0-08 OO-a x a(x 8)(x-)(2)在某个邻域N(a,3)内(x X后)有 导 数7和g,且g(x)HO；(3)lim.(),存在(或无穷)，则成立：j g(x)lim也Ji m加储L)g(x)沈 篙 g(x)0 O O
29、注：(1)洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验是否属于Y型或一型,0 8若不是，就不能使用洛必达法则。(2)如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤;r(3)当h m$/V)不存在时，并 不 能 断r定 兴 也 不 存 在，此时应使用其他方法求。g(%)g(x)22题目：函数的单调性和极值课时：2教学目的和要求:理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。重点：函数最大最小值的求法，判断函数的单调性难点：求函数极值的方法，函数最值的简单应用内容：1.函数的单调性：定理2.6 设函数y=
30、/(x)在 a,b上连续，在(a,b)内可导，则有下述结论成立。(1)如 果 在(a,b)内/(x)0,那么，函数y=/(x)在 a,b上严格单调增加；(2)如 果 在(a,b)内(幻 0,那么函数在这区间内严格单调增加；若/(x)f(x0),则称f(x()为函数f(x)的一个极大(小)值。可能极值点，f/(x)不存在的点与f/(x)=O的点。(驻点)驻点一极值点3.判别方法函数极值的必要条件：设函数f(x)在点X。处可导，并且在点X。处有极值(极大值23或者极小值)，贝i j必有f(x)=O函数极值的第一充分条件：设函数f(x)在点x 0处连续，在点X。的某一空心邻域内可导：则有下列结论成立
31、.(1)如果f/(x)在X。的左侧恒为正，在右侧恒为负，那么，函数/(X)在点X。处取得极大值/(X。)；(2)如果f/(x)在X。的左侧恒为负，在右侧恒为正，那么，函数/(X)在点X。处取得极大值/(与)；函数极值的第二充分条件：设函数f(x)在点X。处具有一阶，二阶导数，且/(%)=0,/(/)。0,那 么 有 以 下 结 论 成 立：(1)如 果/(%)0,则f(x)在点X。有极小值与)；(2)如 果/(/)o(0 x=l,x=-2,f(x Q x=lX(-8,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+)y+0-间+0+y”-断一0+y单调增上凸极大值/(-2)=_274单减上凸单增上
32、凸拐点(1,0)单增下凸渐近线：若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离远点时，点P与某-固定直线L的距离趋近于零，则称直线L为曲线C的渐近线。如 上f(x)=a 则称y =a为水平渐近线(X -o o)如 XJ-ij P f(x)=8 则称X =X oV为垂直渐近线仪-一或乂-6)渐近线可能没有，或多条。25题目：不定枳分的概念和性质课时：2教学目的和要求：理解原函数概念、不定积分的概念，掌握不定积分的性质。重点：原函数和不定积分的概念难点：不定积分的性质内容：原函数、不定积分在区间I上,如F(x)=f(x),称f(x)为F(x)的导函数，称F(x)为f(x)的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系
33、。如F(x)为f(x)的一个原函数，则F(x)+C为f(x)的全体原函数。记为 J f(x)d x ,即 J f(x)d x=F(x)+C不定积积分性质(|f(x)d x)=f(x)或 d J f(x)d x=f(x)d x(2)|F (x)d x=F(x)+C(3)|k f(x)d x=k j f(x)d x(4)J(f(x)g(x)d x=j f(x)d x j g(x)d x:原函数与导函数有互逆关系，.由导数表可得积分表。例、已知F(x)是见上的一个原函数，X求：dF(sinx)解：F(x)=X皿.、dF(sinx).Insinx 1dF(sin x)=-dsinx=-cosxdxds
34、inx sinx例、f(x)的导函数是s i n x，则f(x)的原函数-si n x+c.x+c (J、为任意常数)26题目：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法课时：4教学目的和要求：掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法。重点：换元法与分部积分法的运用难点：区分两种换元法的作用内容：计算方法先 考 察 不 定 积 分J c o s2 xJ x。显 然，不 能 直 接 利 用 基 本 积 分 公 式 c o sxJ x=si n x+C o 令 2冗=%,B P x=,dx=du 0于 是 被 积 函 数 化 为J 2 2c o s 2x=c o s u,
35、从而 j c o s 2xdx=-j c o s udu。1广 1此时，右 端 的 不 定 积 分 一 卜=si n+C ,再将换回为2 x,从而得到2 2 c o s 2xdx=-si n 2 x+C oJ 2第一类换元法(凑微分法)：若J f()d =E5+C,又 =8(x)有连续导数，则J f p(x)8(x)d x=F(px)+C o常用凑微分形式dkx=kdxd(x+c)=dxexdx=de-d x =dlnxXcosx=dsinx-4 d x =d-X-X尸 dx dVx2Vxsec2 xdx=d tan x dx=darcsinx1-x2,X dx=dVl+x2ViZT7sin2
36、x dx=dsin2 x-sin 2x dx=-d cos2 x27例:1、-dx=-f-d(3-2x)=-ln|3-2 x|+c3-2 x 2J3-2 x 2 1 12、X dx=J Vlnxd In x=(Inx)2+c3、cos x sin 3xdx=jsin 3 x d sin x=sin x +c4、/x d x=-fdVl-x2V b V 2JV1-x2+c5、Jx2exdxJe d(-x-e 33+C6、1 3.dx J a+x aJ1 +（力1Xarc tan+ca7、9+4x2 23?+(2x)21 2xd2x=arctan-Fc6a-d x=f-d(x+l)c+2x+5 J
37、(x+1)2+41x+1=arctan-F c2 29、r d x=arcsin +cJV a2-x2 adx _ p dx+1 2 x-9 x之 一,5-(2-3xY1arc sin32-3 xV5+c11、f sec x=(-d(tanx+1)=2 4 tanx+1+cJ J ta n x+1 J J ta n x +112、jtan4 xdx=jtan2 x(sec2 x-l)dx28=jtan2 xdtanx-j(sec2 x-l)dx=-tan3x-ta n x +x+Cjarcsin4 xd arcsin x=-arcsin5x+C514、jex sin(ex+l)dx=jsin(
38、ex+l)d(ex+1)=-cos(ex+1)+C15、jC02ds=2 jcosVxdVx=2sinVx+Carctan V二x d,x:,2 farctan Vx(l+x)Vx J 1 +x=2 J arctan Vxd arctan Vx=arctan2 Vx+C-1-drx =f-l-+-ez-s-e-dx1 +e*l+ex=1-dxJ l+ex=x.悭蝮J 1 +e*=x-ln(l+ex)+Ce*1 /f de r de,-dx=-e2x+4 Je2x+4 Jex(e2x+4)1 e=arctan-2 49 e2x+4 j=arctan-+ln(e2x+4)+C2 2 4 82919
39、、rx-+c o sx i 1 r3 x_+3 c o sx,：-d x=-r-d xx+3 si n x 3 x+3 si n x4咚募也“网+c解：jxx(l+lnx)dx=jexlnxd(xlnx)=ex,nx+C=xx+C20、解：flnsi,Xdx=insinxdtanxJ CO S X J.r C O S X .=t a n xln si n x-I t a n x-d xJ si n x=tanxlnsinx-x+C21、S i n X t a n x iv f.Te d x=ic o s xt a n xe-t a n xd t a n x=-jtanxde-tanx=-tan
40、xe-tanx+e-tanxdtanx=-tanxe-tanx-e-ta n x+C22 设 J xf(x)dx=arcsinx+C,则哈=-+c计算下面来研究解决这类积分的方法。的，为了解决这个难题需要采取不同于上面的换元方法，就是令x=/(t o),这样就有G =t ,并 且dx=2t dt,把 它 们 代 入 所 求 积 分 中，就 得 到=2t,即可得到原来的积分+C。=2f-ln(l+r)+C 再用正替换上式中的显然，上述问题的解决也是通过换元的途径来实现的，但是，这里的换元法与前面的换元方法是完全不同的，解决本题的换元X=中，新变量t 是作为自变量来引进的，上述第一类30换元积分法
41、中的新变量M是作为函数以你就能的，把这种换元求积分的方法称为第二类换元积分法，其原理叙述如下：第二换元法 若 贝 的 加(，=尸(。+C ,又x=8 )具有连续导数，且d(f)H 0,t =9 T(只是工=e(r)的反函数，则有=尸3 T(x)+C。第二类换元法的作用在于当不定积分J/G M x不易求得时，可以作代换x=9(f)(要求x=沌)在 某 区 间 内 严 格 单 调 连 续，则t =夕一心)一 定 存 在)将f xdx化为J f 沌 加 3 力后者若易于积分，且,如 加3力=网。+。，再通过x =(。的反函数t =9 T (x)将 t 还原为(p-x),就可求得 f xdx=尸 3
42、T (x)+Co除了凑微分法外其它常用变量代换(1)被积函数中含有二次根式V a2 x2,令 x =a sin fV a2+x2,令x =a ta n tVx2-a2,令x =a se ct如是Ja x 2 +bx +C配方 Ju 2 +a；,u2-a；,J a；-u 2例 1、d x 令 x =sin t,d x =cos td tJ x2解：原 式=j c：；.cos td t)/-Jcot2 td t=j(csc21 -l)d t Nl-x2=-cott-t+C7 1-x2-a rcsin x +Cx31例2、f-1 BY 二种解法J x Jx，-4x-2 seer%=4 cosx(2)
43、被积函数中含一般根式例3、d x1 +V x +2解：令-X +2 =t x =t3-2 d x =3 t2 d t原式=-1 +)d tI +ta _ _=-3(x +2 y -3 V x +2 +3 1 n 1 +V x +2 +C例 4、J-1 j d x 令 x =t6 d x =6 t?d t原式=6 J上 出=6 j(t-l+出=6(y-t+l n|l +t|j +C=3 V x -6 V x +6 1 n l+V x|+C例 5、J7 ex+ld x解：令 Je*+1 =t ex=t2-1x;ln(t2-1)d x =,t 出t2-l原 式=Jt P T 7d t=2J(1 +?
44、T T)d t=2 t+ln+Ct +132=2 je，+l+ln(7ex+l-1)-ln(Vex+l+1)+C分部积分法 定理 如u(x)、v(x)均具有连续的导函数，则J u dv=uv-jvdu注：分部积分法的作用在于如果不定积分J vd”较 积 分 源 易 于 求 得 时，应用分部积分法可以化难为易。例 1、jxcos x dx=jxdsin x=x sin x-jsin x dx=x sin x+cos x+c例 2、J xe-Xdx=-jxde-x=-xe-x+|e-xdx=xe-、-e-x+C例3、J(arcsinx)2 dxj=x(arc sinx)2-Jx 2arc sin
45、x ,【dx=x(arc sinx)2+2 jarc sinxdVl-x2=x(arcsinx)2+2 V1-x2arcsinx-|V1-x2 dx一V1-x2=x(arc sinx)2+2V1-x2arc sinx-2x+C例4、呼 I n x d g)33例 5、jln jn x _ jin In x d In=In x-In In x-fin x-一-dxJ In x x=In x In In x-In x+c例 6、jx ta n2xdx=jx(se c2 x-l)dx2=jx d tan x-x2=xtanx-J tan xdx-=x tan x+In|性 质(1)一(9)(1 7省
46、略)其中(8)为估计定理：在 口，可，mf(x)WM,则m(b-a)j：f(x)d x M(b-a)中值定理：如f(x)在 a,b连续，3 a,b使f(x)d x =f(C)(b-a)J 1 7 1-x2d x =例1.利用定积分几何意义，求定积分值4上式表示介于x =o,x =i,y =,y=Ji_x?之间面枳2 r 1 d x 1一 J 0 /例2、(估计 积 分 值)证 明3 7 2 +X-X2 J236证：.,9 /1丫 9，+X -x.=_ X_ I r i4（2）在0,1 J上最大值为了，最小值为22 .3 V 2 +x -x2 叵2 rl 1-3J o V 2 +X-X2 0 x
47、 X TO x 2=lim-sinx4 J 2 x co sx1 _8例 5、y=J：(t-1卜 一dt有极大值的点为A.X =1 B.X =-1 C.X =+1 D.X =0例 6、如F(X)=J：d t+J 7xW 0W F（x）=Bc 兀A.0 B.一2c.-D.2e3例4、设f(x)在(一 848)上连续，且F(x)=J；(x-2 t)f(t)dt,证明：若 f(x)为偶函数，则 F(x)也是偶函数。证：F(-x)=J：(-x-2t)f(t)d t fox(-x +2 u(-t)d(-1)=J0X(-x-2 t)f(t)dt=F(x)2 定积分计算牛顿莱伯尼兹公式 定理液 F(x)在
48、a,b 连续。F(X)为F(X)在 a,b 上的任意一个原函数，则有39J：f(x)dx=F(x)|：=F(b)F(a)定积分换元法与分部积分法3 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1)f(x)在-a,a连续，a 0当f(x)为 偶 数,则J：f(x)dx =2。f(x)dx当f(x)为奇函数，则J：f(x)dx =0(2)x)dx=J：f(x)dx ,f(x)以 T 为周期说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。例 9、f x(l+x2 0 0 l)(ex-e x)dx=-Je原 式=2 p x(d-ex)dxJ 0=2 J；x d(e-ex)4 e+我_4e例10、co x
49、 +2 sirf xd x=g 端dx1+sirrxdsin x=2 arctan sk|i20JI2例11、jo xVcoSx-coxdx=x|cosjjsindX40兀=xcosxsinxd-J n2xcosxsinxd2xdsin2xJ T21 +x2例 12、设 f(x)=J Xx0则 J :f(x-2)dx=iA、e 3 B、1e+-3c、D、2e3J：f(x-2)dxj f(t)dt=|(1+x2)dx+j exdx例 13、12=dx=f2 7 2 7 J ox2dx法 一 设 x -1 =s in tJ I2法二 设 x=2 sin2t 原式 3H JI 3=8 f5 sin
50、4 td t=8*.=nJ 0 4!2 2例 14、设f(x)为连续函数，且f(x)=sinx+J；f(x)dx 求f(x)解：设 J：f(x)dx=A 则 *)=$由*+A41两边积分f H f i tJ。f(x)dx=Jo (sim A)dxA=-cos 0,求 f(x)+f /解：f(x)+f L)=J：霍dt+J；黑dt421 +x x(x +l)Xf(x)+=j-dx =ln2x +c令x =l c=0(.f(l)=0)f(x)+f ln2x2例 17、设 f(x)=fx.sint 出 求 fn f(x)dxJ o n _ t J o解：r n r nJo f(x)dx=Jo f(x