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1、二面角练习题一.选 择 题（共 1 3 小题）1.（2 01 5 哈尔滨校级三模）如图所示，点 P在正方形A BCD所在平面外，P A _ L 平面A B C D,P A=A B,则 P B 与 AC所成的角是（）A.90 B.60 C.4 5 D.3 0 2.（2 01 5 贵州二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是B C、CD的中点，沿 A E、A F、E F 把正方形折成一个四面体，使 B、C、D三点重合，重合后的点记为P,P点在4 A E F内的射影为O.则下列说法正确的是（）A DA.O是a AEF的垂心B.O是AEF的内心C.O是a AEF的外心D.O是a AEF的重心,A3
2、.（2 01 5 太原二模）已知长方体A B C D-A i B i C Q i 中，AA产A B=2,若棱AB上存在点P,使得D i P J _ P C,则 AD的取值范围是（）A.1,2）B.（1.回 C.（0,1 D.（0,2）4.（2 01 5 合肥一模）如图，已知四边形A BCD为正方形，P D _ L 平面A B C D 且 P D=A D,则下列命题中错误的是（）A.过 BD且与P C 平行的平面交P A 于 M 点，则 M 为 PA的中点B.过 AC且与P B 垂直的平面交P B 于 N点，则 N为 PB的中点C.过 AD且与P C 垂直的平面交P C 于 H点，则 H为 PC
3、的2P中点D.过 P、B、C的平面与平面P A D 的交线为直线1,则 1 A D 影 H必 在（）1BC/、l由A.直线AB上 B.直线B C上 C.直线C A上 D.A B C内部6.（2 01 5赫章县校级模拟）已知正方形A B C D的边长是4,对角线A C与B D交于O,将正方形A B C D沿对角线B D折成60。的二面角，并给出下面结论：A C J _ B D；A D C O；A O C为正三角形；cos/A D C=，则其中的真命题是（）A.B.C.D.7.（2 01 4秋德化县校级月考）在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）A.z（-n-2n,n）B.z（-n-
4、1 n,n、）八C./（A0,）D.z（-n-2n,-n-1n、）n n 2 n n8.（2 01 4秦州区校级一模）己知等腰直角三角形A B C中，N B=90。，A C,B C的中点分别是D,E,将4 C D E沿D E折起，使得C-D E-A为直二面角，此时斜边A C被折成折线A D C,则/A D C 等 于（）A.1 5 0 B.1 3 5 C.1 2 0 D.909.（2 01 4秋常德校级期末）己知E,F分别是正方体A B C D-A i B i Q D i的棱B C,CQ的中点，则截面A E F D i与底面A B C D所成二面角的正弦值是（）Di_ _ _ _ _ _ _
5、_ _ _ _ QB.返C,亚D.Z返331 0.（2 01 3秋青山区校级期末）A B C D是正方形,P是平面A B C D 外一点，P D A D,P D=A D=2,二面角P -A D -C为60。，则P到AB的距离是（）A.2&B.73 C.2 D.V 7I I.（2 01 4秋雅安期末）A、B是直二面角a-1-B的棱1上的两点，分别在a,。内作垂直于棱1的线段A C,B D,已知A B=A C=B D=1,那么CD的 长 为（）A.1 B.2 C.a D.愿212.（2014秋平顶山期末）如图，在 60。二面角的棱上有两点A、B,线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直
6、于棱A B,若 AB=4,AC=6,B D=8,则线段C D 的长为（）A.V 2 9B-10 C.2741 D.2V1713.（2012碑林区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，2|AB+|BD-4=0,NABD=90。,沿 BD折成直二面角A-B D-C,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是（）A.16n B.8n C.4n D.2n二.填 空 题（共 1 小题）-D14.（2014春南关区校级期末）如图，P 是二面角a-A B-0 棱AB上的一点，分别在a,0 上引射线PM,P N,如果NBPM=/BPN=45。，/MPN=60。，那么二面角 a-AB-B 的大小是_ _ _ _ _
7、 _ _ _ _ _ _ _.B三.解 答 题（共 6 小题）15.（2011 浙江）如图，在三棱锥P-A B C 中，AB=AC,D 为 BC的中点，PO_L平面ABC,垂足O 落在线段AD上.（I）证明：AP1BC；（II）已知 BC=8,PO=4,AO=3,O D=2.求二面角B-A P-C 的大小.16.（2010四川）在正方体ABCD-A B9TT中,点 M是棱AA，的中点，点。是对角线BD，的中点.（I）求证：OM 为异面直线AA，和 BD，的公垂线；（II）求二面角M-BC-B，的大小.317.（2009陕西）如图所示，在直三棱柱ABC-A B C i中，AB=1,AC=AA产
8、代,ZABC=60.（1）证明：AB1A1C；（2）求二面角A-A,C-B 的余弦值.18.（2009北京）如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA_L底面 ABC,PA=AB,NABC=60。,ZBCA=90,点 D、E 分别在棱 PB、PC 上，且 DEBC.（1）求证：BC_1平面 PAC；（2）当 D 为 PB的中点时，求 A D 与平面PAC所成的角的正弦值：（3）是否存在点E 使得二面角A-D E-P 为直二面角？并说明理由.4DBC19.(2008天津)如 图，在四棱锥P-A B C D 中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2&,ZPAB=60.(I)证明
9、AD1平面PAB；(II)求异面直线PC与 AD所成的角的大小；(III)求二面角P-B D-A 的大小.20.(2008北京)如图，在三棱锥 P-ABC 中，AC=BC=2,ZACB=90,AP=BP=AB,PCAC.(I)求证：PCAB；(II)求二面角B-AP-C 的大小；(III)求点C 到平面APB的距离.5p62015年10月1 5日nxyxy的高中数学组卷参考答案与试题解析一.选 择 题（共13小题）1.（2015哈尔滨校级三模）如图所示，点 P 在正方形ABCD所在平面外，PA_L平面ABCD,PA=AB,则 PB与 AC所成的角是（A.90 B.60 C.45 D.30考点：
10、直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角.专题：计算题：空间位置关系与距离.分析：将其还原成正方体ABCD-PQ R S,连接SC,A S,可得NASC（或其补角）即为所求角.解答：解；将其还原成正方体ABCD-PQ R S,连接SC,A S,则PBSC,7Ri_DAZACS（或其补角）是P B与A C所成的角,/ACS 为正三角形，/.ZACS=60点评:/.PB 与 AC所成的角是60故选B.本题考查线线角的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.2.（2015贵州二模）如图，在正方形A BC D中，E、F分别是BC、C D的中点，沿AE、A F、E F把正方形折成一个四面体，使B
11、、C、D三点重合，重合后的点记为P,P点在aA E F内的射影为O.则下列说法正确的是（）A.O是 A E F的垂心B.O是 A E F的内心C.O是a A E F的外心D.O是a A E F的重心考点：直线与平面垂直的性质；8专题:分析:解答:棱锥的结构特征.空间位置关系与距离.先证明PA1EF,P O E F,可证 EF_L平面PA O,从而可得 EFAO,同理可知：A E1F0,A F E O,从而判定O 为AEF的垂心.解：由题意可知 PA、PE、PF两两垂直，由 PA_1_平面P E F,从而PA1EF,而 PO_L平面A E F,则POEF,所以EF_L平面 PAO,/.EF1AO
12、,同理可知：AE1FO,AFEO,.*.0 JAAEF的垂心.故选：A.点评：本题主要考9查了垂心的判定，考查了直线和平面垂直的判定和性质以及直线和直线垂直的判定.在证明线线垂直时，其常用方法线证明线面垂直，再证明线线垂直，属于中档题.3.（2015太原二模）已知长方体ABCD-AiBiGDi中，AAi=AB=2,若棱AB上存在点P,使得D iPPC,则AD的取值范围是（）A.1,2)考点：B.(1.C.(0,1 D.(0,2)直线与平面垂直的性质.专题：空间位置关系与距离.分析：建立空间直角坐标系，设AD=a,求出用、CP）利用求出a的范围.解答：解：如图建立坐标系，设 AD=a(a0),A
13、P=x(0 x2),则 P(a,x,2),C(0,2,2),D i P=1a，x,2),CP=10(a,x-2,0),VDiPPC,，百 甘 CP=0,即 a2+x(x-2)=0,7-X2+2X=C (x-1)当 0 x C A ABCi=面 A BC!面 ABCi，过 C i在面ABC内作垂直于平面ABC,垂线在面ABC,内，也在面ABC内，.点H 在两面的交线上，即 HGAB.故选A点评：本题通过射C.直线CA 上 D.ABC内部14影问题来考查线面垂直和面面垂直问题.6.（2015赫章县校级模拟）已知正方形ABCD的边长是4,对角线A C与 BD交于O,将正方形ABCD沿对角线BD折成6
14、0。的二面角，并给出下面结论：ACJ_BD；AD_LCO；A.B.C.D.考点：与二面角有关的立体几何综合题.专题:分析:综合题.由题意，作出如图的图象，由正方形的性质知，COBD,A O 1 B D,可得 8 口 _ 1_面A O C,且AC=AO=CO=2加，AD=CD=4,可由线面垂直判断AC1BD,AD_LCO 可反证确定它不成立，可由正三角形的性质判断，可由余弦定理直接求出3COSN A D C,由此可选出正确答案解答:解：由题意,可作出如图的图象，在下图中，由正方15形的性质知，C01BD,A O B D,故可得8口_ 1 _ 面AOC由此可得出BDAC,ZAOC=60,故正确，又
15、由题设条件 0 是正方形对角线的交点，可得出A O=CO,于是有 AOC为正三角形，可得正确；由上证知，CO与面ABD不垂直且C O 1 B D,故AD与 C O 不垂直，由此知不正确：由上证知，AOC是等边三角形，故AC=AO=CO=2加 AD=CD=4,所以cos/ADC=16+16-8=2 X 4 X 4-心故正确4由上判断知 故选A16B点评:本题考查与二面角有关的综合问题，考查了线面垂直，面面角的平面的确定等问题，这是一个翻折问题，此类问题理解翻折过程中的变与不变是解题的关键7.(2014秋德化县校级月考)在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是()A.(z-n-_-2n,
16、n)、口B.z(-n-_-1 n,n)、C.Z(A0,冗、)nD./(-n-2n,-n-_-1n)、n n 2 n n考点：与二面角有关的立体几何综合题.专题：计算题.分析：当正n 棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心17时，则底面正多边形便为极限状态；当棱锥高无限大时，则正n棱柱便又是另一极限状态.解答：解：当正n棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻两侧面所成二面角a 玲 冗，且小于n；当棱锥高无限大时，正 n棱柱便又是另一极限状态，此时4n-2a-n,n且大于n-2-n,n故选A.点评：本题主要考查了二面角的度量方法、极限思想及运算推理能力.8.
17、(2 0 1 4 秦州区校级一模)已知等腰直角三角形ABC中，N B=9 0。，A C,BC的中点分别是 D,E,将aCDE沿 DE折起，使得C-DE-A为直二面角，此时斜边AC被折成折线ADC,则 N A D C 等 于()A.1 5 0 B.1 35 C.1 2 0 D.9 0 考点：与二面角有关的立体几18何综合题.专题：计算题；空间角.分析：设等腰ABC 中，AB=BC=2,由 NB=90,AC,BC的中点分别是D,E,知AD=DC=&,DE=CE=1,/DEC=90。，AE=A/5-由 C-DE-A 为直二面角，知ZAEC=90,AC=泥，由此利用余弦定理能求出ZA DC的大小.解答
18、：解：如图，设等腰4ABC中，AB=BC=2,/ZB=90,AC,BC的中点分别是D,E,；.AD=DC=近，DE=CE=1,ZDEC=90,AE=A/，,将 ACDE沿 DE折起，使得C-DE-A 为直二面角，ZAEC=90oAC=J 5+1=娓,19.cos ADCA D 2+D C 2-A2 A D-D C2+2-62 X V 2 V 2攵，/.ZADC=120,故选c.点评:本题以等腰直角三角形的翻折问题为载体，考查空间角的求法，解题时要认真审题，注意翻折前后常量与变量的相互关系的合理运用.9.（2014秋常德校级期末）已知E,F 分别是正方体A B C D-A|B|C|D|的棱BC,
19、C J 的中点，则截面AEFDi与底面ABCD所成二面角的正弦值是（）20考点：与二面角有关的立体几何综合题.专题：计算题；转化思想.分析：因为D|DJ_面 ABCD,故可由三垂线定理法作出二面角的平面角，再求解.解答：解：因为DiDJ-面A B C D,过 D做 D H_ LA E与 H,连接D iH,则ZD iH D 即为截面AEFD,与底面ABCD所成二面角的平面角，设正方体ABCD-ABiCD|的棱长为1,在DiHD 中，D jD=l,因为AD A H-A B E,所以DH=DAy.R 17XAB=-r虫+所以DiH=分考，所以sinZDHD=21点评:M 1故选c本题考查二面角的做法
20、和求解、解三角形知识，考查空间想象能力和运算能力.10.（2013秋青山区校级期末）ABCD是正方形，P 是平面ABCD外一点，PDAD,PD=AD=2,二面角P-A D-C 为 6 0 ,则 P 到 A B的距离是（）A.2M B.V3 C.2 D.V7考点：与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算.专题:分析:计算题.要想求P 到A B的距离要先证明AB1平面P E F,即P F 1 A B,根据题中已知条件求出PE的长度，再根据勾股定理便可求出PF的长度.解答:解：过 P 作PE-LCD,过 E作 EFBC,连接PF,VAD1CD,PD1AD,22.AD，平面PDC,又在平面
21、 PDC上，/.AD1PE,又VPE1CD,.PEJ平面ABCD,APE1ABVEF/BC,AAB1EF,.A B,平面PEF,/.PF1AB,.,.PF即为P到 A B的距离，NPDC=60,PD=2,.PES，：EF=AD=2,由勾股定理可得PF=3+4=V r.故选D.点评:本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、点线面距离的技计算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力，耍求同23学们熟练掌握.11.（2014秋雅安期末）A、B 是直二面角a-1-B 的棱 上的两点，分别在a,0 内作垂直于棱1的线段AC,B D,已知AB=AC=BD=1,那么C D 的 长
22、为（）A.1 B.2 C.&D.考点：与二面角有关的立体几何综合题.专题：空间位置关系与距离.分析：由于本题中的二面角是直角，且两线段都与棱垂直，可根据题意作出相应的正方体，CD恰好是此正方体的体对角线，由正方体的性质求出其长度即可.解答：解：如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC,BD分别在a,B 内垂直于棱1,AB=AC=BD=1,作出以线段AB,BD,AC为棱的正方体，C D 即为正方体的对角线，由正方体的性质知，CD=V i2+i2+i224故选D.点评:本题考查与二面角有关的线段长度计算问题，根据本题的条件选择作出正方体，利用正方体的性质求线段的长度，大大简化了计算，具体解题中要注
23、意此类问题的合理转化.12.（2014秋平顶山期末）如图，在 60。二面角的棱上有两点A、B,线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱A B,若 AB=4,AC=6,B D=8,则线段C D 的长为（）A.V 2 9B-I。C.2A/41 D.2V17考点：与二面角有关的立体几何综合题.专题：空间位置关系与距离.分析：CD=CA+AB+125解答:,利用数量积运算性质可得*2 2 C D =C A +A E+2CA_ 2 区砺2 A B-B D.根据 以 1 版，B D 1 A B）可得以语0，B D-A B=0,由 6 0。二面角可得；H-B D=|C A I i B D l
24、 c o,代入计算即可得出.解：C D=C A+A B+1n nC D =ck+A E+2CA2 欣砺2 A B-B D.V C A 1 A B.B D 1 A B.C A A B=0，B D -A B=0,H B D=26ICA I|BD|co点评:X 6 X 8=-24.CD 2=6 2+4 2+82-2x24=68,*.I CD|=2故选：D.本题考查了利用向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13.（2012碑林区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，2|AB+|BD|2-4=0,ZABD=90,沿 BD折
25、成直二面角A-B D-C,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是（）考J 占，、专题:分析:D.2n与二面角有关的立体几何综合题.综合题.先确定三棱锥 A-BCD的外接球的直径为AC,27解答:点评:再根据2|AB|2+|BD|2-4=0,求得外接球的半径 为 1,从而可求表面积.解：平行四边形 ABCD中，,/ZABD=90O/.AB1BD,CDBD.沿BD折成直二面角A-BD-C,；.AB_L平面BCD,CD平面ABD.AB1BC,CDDA.三棱锥A-BCD的外接球的直径为 A C,且|AC|2=|AB|2+|BD+|CD/=2|AB|2+|BD|2=4.外接球的半径为1,表面积是4n.故选
26、C.本题考查几何体的外接球，考查球的表面积，解题的关键是确定外接球的直径.二.填 空 题（共 1小题）14.（2014春南关区校级期末）如图，P 是二面角a-A B-B 棱 AB上的一点，分别在a,B 上引射线 PM,P N,如果NBPM=/BPN=45,NMPN=60。，那么二面角 a-AB-。的大小是 90。.28aAfB考点:专题:分析:解答:与二面角有关的立体几何综合题.计算题；压轴题.本题考查的知识点是二面角及其度量，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点Q,然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角
27、形即可得到答案.解：过 A B 上一点Q 分别在 a,。内做A B 的垂线，交 PM,PN于M 点和N 点则ZM QN即为二面角a-AB-0 的平面角，如下图所示：设 PQ=a,则29/ZBPM=ZBPN=45，QM=QN=aPM=PN=V5I又由ZMPN=60,易得PMN为等边三角形 _贝ij MN=72a解三角形QMN易得ZMQN=90故答案为：90点评:求二面角的大小，一般先作出二面角的 平 面 角.此题是利用二面角的平面角的定义作出ZM QN为二 面 角a-AB-p的平面 角，通过解ZM QN所在的三角形求得Z M Q N.其解题过程为：作NMQN好证/M Q N是二面角的平面角玲计算
28、Z M Q N,简记为“作、证、算”.30三.解 答 题(共 6 小题)15.(2011 浙江)如图，在三棱锥P-A B C 中，AB=AC,D 为 BC的中点，PO L平面ABC,垂足O 落在线段A D .(I)证明：AP1BC；(II)已知 BC=8,PO=4,AO=3,O D=2.求二面角 B-AP-C 的大小.考点：与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法.专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何.分析：(I)由题意.因为PO_L平面A B C,垂足O落在线段AD上所以B C P O.有AB=AC,D 为BC的中点，得到BC_LAD,进而得到
29、线面垂直，即可得到所证；(I I)有 利用面面垂31直的判定得到 PA_L平面BMC,再利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后求出即可.解答：解：(I)由题意画出图如下：由 AB=AC,D为 BC的中点，得ADBC,又 P 0,平面A B C,垂足0落在线段AD上，得到P01BC,VPOnAD=O;.BC_L平面P A D,故BCPA.(I I)如图，在平面PAB中作BM1PA 于M,连接CM,VBC1PA,.PA，平面BMC,，AP_LCM,故/B M C 为二面角B-AP-C 的平面角，在直角三角形 ADB中，AB2=AD2+BE在直角三角形 POD中，32PD2=PO2+OD2,在直角
30、三角形PDB中，PB2=PD2+BD2.,.PB2=PO2+OD2+BD2=36,得 PB=6,在直角三角形 POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5,又cos/BPA 二PA2+PB2-h2PA-PB,从而sin/B P A=一故BM=PBsinZBPA=fVBM2+MC2=BC2,.二面角 B-AP-C的大小为90.点评:(I)此问考查了线面垂直的判定定理，还考查了33线面垂直的性质定理；(I I)此间考查了面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义，还考查了在三角形中求解.16.(2010四川)在正方体ABCD-中，点 M 是棱AA，的中点，点。是对角线BD，的中点.(I)求证：
31、O M 为异面直线AA，和 BD，的公垂线；(II)求二面角M-BC-B，的大小.考点:分析:与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系.解法一：(1)由题意及图形，利用正方体的特点及异面直线间的公垂线的定义可以求证；(2)由题意及图形，利用三垂线定理，求出所求的二面角的平面角，然后再34解答:在三角形中求出角的大小.解法二：(1)由题意及正方体的特点可以建立如图示的空间直角坐标系，利用向量的知识证明两条直线垂直：(2)由题意及空间向量的知识，抓好两平面的法向量与二面角之间的关系进而可以求出二面角的大小解：法 一(1 )连接A C,取A C中点K,则K 为 BD的中点，连接0
32、K因为M 是棱AA，的中点，点 0 是 BD-的中点所以AMX-DD XC所以MCJ=AK由AA AK,得 MOAAZ因为AKBD,AK_LBB一 所以A K,平面BDDB35所以AK_LBD所以M OJ _ B D 又因为O M是异面直线A A，和 B D，都相交故 O M为异面直线A A 和B D 的公垂线.(2)取 B B 中点N,连接M N,则 M N _ L 平面B C C B 过点N作N H-L B C 于H,连接M H则由三垂线定理得B C M H从而，ZMHN 为二面角M -B C-B，的平面角M N=1,N H=B n s i n 4 5 _ 1 V 2 V 2-,二2 2
33、4在 R t A M N H中，t a n Z M H N=圆号=2后N H 送V故二面角M-B C-B 的大小为arctan2-y2-36D法二:以点D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因为点M 是棱AA，的中点，点 O是 BD 的中点所以M(l,0,1),0(1,X2 2 21)2*10 M=6，-AA=(0,0,1),BD，=(-1,-1,1)OM-AA7=0=-+0=037所以OM lAA/.OM BDZ又因为OM与异面直线AA，和 BD，都相交故 O
34、M 为异面直线AA，和BD，的公垂线；（2）设平面BM C的一个法向量为 =（X，y，z）BM=（O,-1,（-1,0,1）、BM=O三=0即 一 呜 z=0-x+z=0取 z=2,则x=2,y=l,从而 n 二（2，1，2）取平面BCZBZ的一个法向量为，二（1,0）由图可知，二38面角M-BC-B，的平面角为锐角故二面角M-BC-B，的大小为arccos-1.3点评:本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力.17.(2009陕西)如图所示，在直三棱柱 ABC-A iB 中，AB=1,AC=AAi=
35、我,ZABC=60.(1)证明：ABA|C；(2)求二面角A-A,C-B 的余弦值.考点:与二面角有39专题:分析:解答:关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定.计算题：证明题.（1）欲证A B A iC,而AiCu平面ACJA1，可先证AB_L平面 ACCiAi，根据三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，可知A B A A|,由正弦定理得A B 1 A C,满足线面垂直的判定定理所需条件；（2）作ADJ_AC 交AiC于 D 点，连 接 B D,由三垂线定理知 BD_LAC则ZADB为二面角A-AiC-B 的平面角，在RtABAD 中，求出二面角A-AC-B的余弦值即可.解：（1）证明：,
36、三棱柱ABC-A iB iG 为直三棱柱，A A B lA A i，在aA B C 中，40AB=1,AC=EZABC=60,由正弦定理得NACB=30。，NBAC=90。，即AB1AC,；.AB_L平面ACC|A,又 A|Cu平面ACC|A),.*.ABA|C.(2)如图，作 A D lA iC交 A|C 于 D点，连接BD,由三垂线定理知BDA|C,ZADB 为二面角A-A,C-B 的平面角.在 RtAAAiC中，AD=A A j -A C _A j C-时X 限返2在 RtABAD中，tan/ADB=AB_V6L”，A D 3,cosNADB,V1 5-,5即二面角A41-AiC-B 的
37、余弦值为V15点评:本题考查直线与平面垂直的性质，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题.18.（2009北京）如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA，底面 ABC,PA=AB,ZABC=60,ZBCA=90,点 D、E 分别在棱 PB、PC 上，且 DEBC.（1）求证：BC_L平面PAC；（2）当 D 为 PB的中点时，求 A D 与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E 使得二面角A-D E-P 为直二面角？并说明理由.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角.专题：计算题；证明题.分析：（1）欲证BC_L平面PAC,根据直42线与平面垂直
38、的判定定理可知只需证 BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知 PA1BC,而 AC_LBC,满足定理所需条件；（2）根据DE_I_平面PA C,垂足为点 E,则ZDAE 是 AD与平面PAC所成的角.在RtAADE 中，求出AD与平面 PAC所成角即可；（3）根据DE1AE,DE_1_PE,由二面角的平面角的定义可知/A EP为二面角A-DE-P 的平面角，而PA_LAC,则在棱PC上存在一点E,使得 AE1PC,从而存在点E使得二面角A-DE-P 是直二面角.解答：解：（1）底面ABC,.PABC.43又Z B C A=9 0,/.A C B C,;.BC_L平面P A C
39、.(2)为PB的中点，D E B C,.DE=1BC.2又 由(1)知，BC_L平面P A C,；.D E _ L 平面P A C,垂足为点 E,/.Z D A E 是AD与平面P A C 所成的角.P A _ L 底面A B C,/.P A A B.又 P A=A B,.,.ABP 为等腰直角三角形，.,.A D=A B在 Rt A A B C中，N A B C=6 0。，BC=B,2,在R t A A D E 中，s i n Z D A E=D 卫 BC=&A D 2 A D即AD与平面P A C 所成角的正弦值为44运4-(3)：DEBC,又 由(1)知,BC_L平面PAC,；.DE_L
40、平面PAC.又AEu平面 PAC,PEc平面PBC,/.DEAE,DE1PE,ZAEP 为二面角A-DE-P 的平面角.PA_L 底面ABC,/.PAAC,ZPAC=90，工在棱PC上存在一点E,使得AE-LPC.这时，ZAEP=90,故存在点E使得二面角A-DE-P 是直二面角.点评:考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉45及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强.1 9.(2 0 0 8天津)如图，在四棱锥P-A B C D中，底面A B C D是矩形.已知A B=3,A D=2,P A=2,P D=2&,N P A B=6 0。.(I )证明A D _ L平面P A B；
41、(I I )求异面直线P C与AD所成的角的大小；(I I I)求二面角P -B D -A的大小.考点:专题:分析:与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定.计算题.(I)由题意在APAD中，利用所给的线段长度计算出A D J-P A,在利用矩形A B C D及线面垂直的判定定理及、此问得证；(I I)利用条件借助图形，利用异面直线所称角的定义找到共面得两相交线，并在三角46解答:形中解出即可；（III）由题中的条件及三垂线定理找到二面角的平面角，然后再在三角形中解出角的大小即可.解：（1）证明：在aPAD中，由题设PA=2,PD=2A/2可得PA2+AD2=P
42、D2于是ADPA.在矩形ABCD 中，A D 1 A B.又PAnAB=A,所以AD，平面 PAB.（H）解：由题设，BC/7AD,所以NPCB（或其补角）是异面直线PC 与 AD所成的角.在aP A B 中，由余弦定理得PB=7PA2+AB2-由（I）知AD_L平面PAB,PBu平面 PAB,47所以A D 1 P B,因而 BC_LPB,于是PBC是直角三角形，故tanPCB=PB V r-*BC-2所以异面直线 PC 与 AD所成的角的大小为arctan-L.2(III)解：过点 P 做PH1AB 于H,过点H 做HE1BD 于E,连接PE因为AD_L平面 PAB,PHc平面PAB,所以
43、A D P H.又ADnAB=A,因而PH_L平面 ABCD,故H E为 PE在平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，B D 1 P E,从而ZPEH 是二面角P-BD-A 的平面角.由题设可得，PH=PAsin60AH=PA*cos6480=l,BH=AB-AH=2,BD=VAB2+AD2=HE=爵BH诺于是在RTAPHE 中，tanPEH=Y4所以二面角P-BD-A 的大小为arctan v4泾点评：本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，还考查了利用反三角函数的知识求出角的大小.20.(2008北京)如图，在三棱锥 P
44、-ABC 中，AC=BC=2,ZACB=90,AP=BP=AB,PC1AC.(I)求证：PCAB；(II)求二面角B-AP-C 的大小；49(I l l)求点C 到平面APB的距离.考点：与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算.专题:分析:计算题；证明题.(I)欲证PCJ_AB,取A B 中点D,连接PD,CD,可先证AB_L平面PCD,欲证 AB J_平面PCD,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 AB与平面PCD内两相交直线垂直，而 PD_LAB,C D 1 A B,又PDnCD=D,满足定理条件；(II)取 AP中点E.连接BE,C E,根据二面角平面角的定义可知NBE
45、C是二面角B-AP-C 的平面角，在50解答:BCE中求出此角即可；(III)过 C 作C H 1 P D,垂足为H.易知C H 的长即为点 C 到平面APB的距离，在 RtAPCD中利用勾股定理等知识求出C H 即可.解：(I)取A B 中点D,连接PD,CD.VAP=BP,/.PDAB.VAC=BC,ACD1AB.VPDnCD=D,.*.A B面 PCD.：PCu平面PCD,APCAB.(II)VAC-BC,AP=BP,.APC 也B P C.又 P C I AC,.-PCBC.又NACB=90。，即 AC1BC,且ACnPC=C,，BC_L平面PAC.取 A P中点E.连接BE,CE.*
46、/AB=BP,51/.BEAP.*/EC 是 BE在平面PAC内的射影,/.CEAP./.ZBEC 是二面角B-AP-C 的平面角.在B C E 中，BC=2,BE 岑 A B M，CE=V2cos/BEC二亚.二面3角 B-AP-C的大小arccos-i-.3（山）由（I）知 ABJ_平面P C D,平面APB-L平面PCD.过 C 作C H P D,垂足为H.平面 APBn平面PCD=PD,.C H,平面APB.ACH的长即为点C 到平面 APB的距离.由（I）知P C 1 A B,又P C A C,且ABnAC=A PC，平面ABC.52：CDu平面ABC,/.PCCD.在 RtAPCD中，C D-|A B=V2PD考P B XPC=7PD2-cCH=POCD 2PD=.点C到平面APB的距离 为 结.3点评:本题主要考53查了空间两直线的位置关系，以及二面角的度量和点到面的距离的求解，培养学生空间想象能力，属于基础题.54