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1、 求二面角专题 4 5 如何用空间向量求解二面角 求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等假设干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题 对于空间向量a、b，有 cosa，b=|baba利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题 例 1 在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD求面
2、 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小 证明：建立如图空间直角坐标系，并设正方形边 长为 1，依题意 得AB=(0，1，0)，是面 VAD 的法向量，设n=(1，y，z)是面 VDB 的法向量，那么 0,0.n VBn VB 1,33yz n=(1，1，33)。A B C V D x y z cosAB，n|AB nABn =217，又由题意知，面 VAD 与面 VDB 所成的二面角为锐角，所以其大小为21arccos7 例2如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB=2，侧棱 AA1=1，侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D，B1C1的中点为 M 求证 CD平
3、面 BDM；求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小 解：略 如图，以 C 为原点建立坐标系.设 BD 中点为 G，连结 B1G，那么依 G(3 24，14，14)，BD=(22，12，12)，1BG=(24，34，14)，BD 1BG=0，BDB1G 又 CDBD，CD 与1BG 的夹角等于所求二面角的平面角 cos=11|CD B GCDB G =33 所以所求二面角的大小等于arccos33 例 3 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PDB B1 C1 A1 C A D M y x z G B B1 C1 A1 C A D M 底面 ABCD，PD=D
4、C，E 是 PC 的中点，作 EFPB 交 PB 于点 F求二面角 CPBD 的大小 解：如下图建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设aDC 设点 F 的坐标为000()xyz，PA=PB，那么000()()xyzaaaa，从而000(1)xayaza，所以PE=00011(,)(,(),()2222aaxyzaaa 由条件EFPB 知，PE PB=0，即0)21()21(222aaa，解得31 点 F 的坐标为2()333aaa，且()366aaaPE ，2()333aaaFD ，PB FD 22220333aaa，即FDPB，故EFD是二面角 CPBD 的平面角 PE FD=22229189
5、6aaaa，且2226|936366aaaPEa，22246|9993aaaFDa，z P F E D A B C y x G 216cos266|63aPE FDEFDPEFDaa ，3EFD 所以，二面角 CPBD 的大小为3 例 4 三棱柱OAB1OA1B1中，平面11OOBB平面OAB，AOB=90，OBO1=60，且OB=1OO=2，OA=3，求二面角1OABO的大小 解：以O为原点，分别以OA，OB所在的直线为 x，y 轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 如图，那么O(0，0，0)，1O(0，1，3)，A(3，0，0)，1A(3，1，3)，B(0，2，0)1AO=(3，1，3)，AB=(3，2，0)显然OZ为平面AOB的法向量，取1n=(0，0，1)，设平面ABO1的法向量为2n=(x，y，z)，那么 2n1AO=0，2nAB=0 即023033yxzyx，令 y=3，x=2，z=1，那么2n=(2，3，1)cos1n，2n=|2121nnnn=221=42，即1n，2n=arccos42 故二面角1OABO的大小为 arccos42 x y z A B B1 A1 O1 O