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1、高三第一轮复习6.2 等差数列及其性质郭道俊 考 纲 要 求 1.了解等差数列与一次函数的关系2.理解等差数列的概念3.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.要点梳理1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差_，那么这个数列就叫做等差数列,这 个常数叫做等差数列的,通常用字母 表示.2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.都等于同一个常数公差dan=a1+（n-1）d基础知识 自主梳理3.等差中项 如果，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质（1
2、）通项公式的推广：an=am+，（n，mN+）.（2）若 an为 等 差 数 列，且 k+l=m+n，（k，l，m，nN+），则.（3）若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为.（4）若an，bn是等差数列，则pan+qbn是.2dak+al=am+an(n-m)d等差数列（5）若an是等差数列，则ak，ak+m，ak+2m，（k，mN+）是公差为 的等差数列.5.等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn=或Sn=.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=.数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f（n）是n的，即Sn=.mdAn2+Bn，
3、（A2+B20）二次函数且不含常数项7.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 值；若a10,d0,则Sn存在最 值.8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质（1）若an是等差数列，则 也成 数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的.（2）Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成 数列.小等差等差大（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为2n，则S偶-S奇=，=.若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇=an，S奇-S偶=，(4)两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间的关系为：=.ndnan展示目标：（1
4、）规范认真；（2）不但要展示解题过程，更重要的是展示规律方法、注意的问题、拓展；（3）非展示同学在同学展示的时候继续讨论或记忆总结。并学会倾听，学会整理自己的答案，准备点评补充和质疑。（4）小组长要检查落实，力争全部达标。展示问题 位置 展示 点评例1后黑板 4B2 例2后黑板 3A2 例3后黑板 5B2 例4前黑板 1A2 高效展示与精彩点评：展示目标：（1）规范认真；（2）不但要展示解题过程，更重要的是展示规律方法、注意的问题、拓展；（3）非展示同学在同学展示的时候继续讨论或记忆总结。并学会倾听，学会整理自己的答案，准备点评补充和质疑。（4）小组长要检查落实，力争全部达标。展示问题 位置
5、展示 点评例1后黑板 4B2 8A1例2后黑板 3A2 7B2例3后黑板 5B2 2A1例4前黑板 1A2 6B1高效展示与精彩点评：点评：(1)等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 前 n 项 和 公 式，共 涉 及五 个 量 a1，an，d，n，Sn，知 其 中 三 个 就 能 求 另外两个，体现了用方程的思想解决问题。(2)数 列 的 通 项 公 式 和 前 n 项 和 公 式 在 解 题 中 起 到变 量 代 换 作 用，而 a1和 d是 等 差 数 列 的 两 个 基 本 量，用它们表示已知和未知是常用方法。点评：证 明 或 判 断 一 个 数 列 为 等 差 数 列，通 常 有
6、四 种方法：(1)定义法：an 1and；(2)等差中项法：2an 1anan 2；(3)通 项 法：若 数 列 an 的 通 项 公 式 为 n 的 一 次 函 数，即anAn B，则 an 是等差数列。(4)前 n 项 和 法：若 数 列 an 的 前 n 项 和 Sn是 Sn An2Bn 的形式(A，B 是常数)，则 an 为等差数列。例3 已知数列 an 是等差数列。(1)若Sn20，S2 n38，求S3 n；(2)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数。点评：等差数列的简单性质已知数列 an 是等差数列，Sn是其前n项和(1)若m npq，则amanap
7、aq.特别：若m n2p，则aman2ap.(2)am，am k，am 2 k，am 3 k，仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2 mSm，S3 mS2 m，也是等差数列 例4 在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.解：方法一 a1=20，S10=S15，1020+d=1520+d，an=20+（n-1）d=a13=0.即当n12时，an0,n14时，an0.当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13=1220+=130.方法二 同方法一求得d=Sn=20n+=nN+,当n=12或13时
8、，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.方法三 同方法一得d=又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.5a13=0,即a13=0.当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.课堂小结1.本节内容在高考中主要考查等差数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差中项、等差数列的性质高考中各种题型都有，一般选择题、填空题主要考查等差数列的定义、通项公式、性质及前n项和公式，难度不大，解答题则综合考查等差数列的相关知识，有时会与其他知识综合命题，难度中等。从能力考查来看，主要考查学生的运算能力、数据处理能力及转化与化归的思想意识。2.准确理解概念，掌握等差数列的有关公式和性质；注意不同性质的适用条件和注意事项。