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1、等差数列等差数列 基础梳理基础梳理1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列_，那么这个数列就叫做等差数列，这个_叫做等差数列的_，通常用_表示它的前一项所得的差都等于同一个常数 从第二项起，每一项减去常数 公差 d2. 等差数列的通项公式一般地，对于等差数列an的第n项an，有an .这就是等差数列an的通项公式，其中a1为_，d为_a1(n1)d 首项 公差 三个数a，A，b组成的数列是等差数列 3. 等差中项如果_， 那么A ,2ab叫做a和b的等差中项把A 2ab4. 等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn_或Sn_.1()2nn aa1(1)2n nnad5.
2、等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn 2dn2 1.2dan数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Snf(n)是n的 _，即Sn_.二次函数且常数项为0 an2bn 6. 等差数列的常用性质：对于等差数列an：(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN N*)，d nmaanm(2)若nmpq(n，m，p，qN N*)，则anamapaq；特别地，若nm2p(n，m，pN N*)，则anam2ap.(3)当数列的公差d0时，数列为递增数列；当d0时，数列为常数列；当d0,2 an1，4Sn(an1)2,4Sn1(an11)2，当n2时，4ana2n2ana2n-12an1，即(
3、anan1)(anan12)0，而an0，anan12(n2)，数列an是等差数列又2 a11，a11，an2n1.nS1S题型三等差数列性质的应用【例3】(1)(2011泉州一中模拟)若a、b、c、d成等差数列，且(a，d)是f(x)x22x的顶点，则bc_.(2)Sn是等差数列an的前n项和，已知S62，S95，则S15_.分析(1)等差数列中，若mnpq(m、n、p、qN N*)，则amanapaq.(2)由等差数列an的前n项和Sn的性质：Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等差数列可求出S15.解：(1)f(x)(x1)21，顶点为(1，1)，bcad1(1)0.(2)S9S6a7a
4、8a93a83，a81，知S1515 15a815.115()2aa变式变式3 31 1 已知Sn是公差为d的等差数列an的前n项和，且S6S7S5，则下列四个命题：d0；S110；S120；S130中，真命题的序号为_解析：由已知条件67667775567567655660,0,0,SSSSaaSSSaaSaaSSSaa即a60，a70，a6a70，因此d0，正确；S1111a60，正确；671121212()12()0,22aaaaS故错误 11313713()130,2aaSa故错误 故真命题的序号是.题型四数列中的最值问题【例4】(2011南京师大附中期中考试)已知数列bn中， bn2
5、 11nb(n2，nN N*)， 数列an满足an 1.1nb (1)证明：数列an是等差数列；(2)若a1 5,2求数列bn中的最大项和最小项的值 (1)证明：anan1 *11111111,2,111121nnnnnnNbbbb数列an是等差数列(2)a1 ，数列an的通项公式为ana1(n1)1n ，bn1 1 .函数f(x)1 在 和 上分别是单调减函数 ，b3b2b11，当n4时，1bnb4，数列bn中的最大项是b43，最小项是b31.527(, )2721na172n 172x 7( ,)2变式变式4 41 1 (2010青岛二中模拟)等差数列an的前n项和为Sn，若S535，点A
6、(3，a3)与B(5，a5)都在斜率为2的直线l上，则Sn的最大值为_S6最大，S66a1 d36.解析： 2d，S535，5a1 35，解得a111，ana1(n1)d112(n1)2n13，5353aa54( 2)2 由 得 n ，10,0,nnaa112132652易错警示易错警示【例】等差数列an中，a15，从第10项开始为正数， 则公差d的取值范围为_错解由a1059d0，得d 5.9正解:由题意知a1059d0且a958d0，所以 d .5958链接高考链接高考(2010浙江)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范围(2)因为S5S6150.所以(5a110d)(6a115d)150，即解析：(1)由题意知S6 5153.S a6S6S58.所以 115105,58,adad 解得a17，所以S63，a17.22221119291012()10.48ddadada 所以 10，即d28.28d故d的取值范围为d2 22或d2