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1、等差数列2021/8/11 星期三1一、概念与公式一、概念与公式1.定义定义 若数列若数列 an 满足满足:an+1-an=d(常数常数),则称则称 an 为等差数列为等差数列.2.通项公式通项公式3.前前n项和公式项和公式二、等差数列的性质二、等差数列的性质 1.首尾项性质首尾项性质:有穷等差数列中有穷等差数列中,与首末两项距离相等的与首末两项距离相等的两项和相等两项和相等,即即:特别地特别地,若项数为奇数若项数为奇数,还等于中间项的两倍还等于中间项的两倍,即即:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=2a中中.a1+an=a2+an-1=a3+an-2=.an=a1+(n-1)d=am
2、+(n-m)d.Sn=na1+=.n(a1+an)2n(n-1)d 22021/8/11 星期三2特别地特别地,若若 m+n=2p,则则 am+an=2ap.2.若若 p+q=r+s(p、q、r、s N*),则则 ap+aq=ar+as.3.等差中项等差中项 如如果果在在两两个个数数 a、b 中中间间插插入入一一个个数数 A,使使 a、A、b 成成等等差差差数列差数列,则则 A 叫做叫做 a 与与 b 的等差中项的等差中项.4.顺次顺次 n 项和性质项和性质5.已知已知 an 是公差为是公差为 d 的等差数列的等差数列a+b A=.2(1)若若 n 为奇数为奇数,则则 Sn=na中中 且且 S
3、奇奇-S偶偶=a中中,=.S奇奇 S偶偶n+1 n-1(2)若若 n 为偶数为偶数,则则 S偶偶-S奇奇=.nd2 若若 an 是公差为是公差为 d 的等差数列的等差数列,则则 ak,ak,ak 也成也成等差数列等差数列,且公差为且公差为 n2d.k=2n+1 3n k=1 nk=n+1 2n 2021/8/11 星期三3 6.若若 an,bn 均为等差数列均为等差数列,则则 man,man kbn 也为等也为等差数列差数列,其中其中 m,k 均为常数均为常数.三、判断、证明方法三、判断、证明方法1.定义法定义法;2.通项公式法通项公式法;3.等差中项法等差中项法.四、四、Sn的最值问题的最值
4、问题二二次次函函数数注注:三个数成等差数列三个数成等差数列,可设为可设为 a-d,a,a+d(或或 a,a+d,a+2d)四个数成等差数列四个数成等差数列,可设为可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.7.若等差数列若等差数列 an 的前的前 2n-1 项和为项和为 S2n-1,等差数列等差数列 bn 的的前前 2n-1 项和为项和为 T2n-1,则则 =.S2n-1T2n-1anbn1.若若 a10,d0 时时,满足满足an0,an+10.2.若若 a10 时时,满足满足an0,an+10.2021/8/11 星期三4典型例题典型例题解解:不妨设不妨设 QP,则则 SQ-SP=aP+1+a
5、Q =-.P+Q PQ aP+1+aQ2则则 SP+Q=(P+Q)(a1+aP+Q)2(P+Q)(aP+1+aQ)2(P+Q)2 PQ=-.1.已知已知 ,成等差数列成等差数列,求证求证:,成等差数成等差数列列.b1a1c1c a+b b c+a a b+c 2.等差数列的前等差数列的前 n 项和为项和为 Sn,若若 SP=,SQ=(P Q),求求 SP+Q(用用 P,Q 表示表示).QPPQ3.等差数列的前等差数列的前 n 项和为项和为 Sn,若若 Sm=Sk(mk),求求 Sm+k.4.等差数列等差数列 an 的首项的首项 a10,前前 n 项和为项和为 Sn,若若 Sm=Sk,mk,问问
6、 n 为何值时为何值时 Sn 最大最大.0 n=(m+k为偶数时为偶数时);或或 (m+k 为奇数时为奇数时).m+k2m+k+1 2m+k-1 22021/8/11 星期三5 5.在等差数列在等差数列 an 中中,已知已知 a1=20,前前 n 项和为项和为 Sn,且且 S10=S15.(1)求前求前 n 项和项和 Sn;(2)当当 n 为何值时为何值时,Sn 有最大值有最大值,并求它并求它的最大值的最大值.(1)Sn=-(n2-25n);56(2)当且当且仅当仅当 n=12 或或 13 时时,Sn 有最大值有最大值,最大值为最大值为130.6.已知等差数列已知等差数列 an 的前的前 n
7、项和为项和为 Sn,且且 a2=1,S11=33.(1)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式;(2)设设 bn=(),且数列且数列 bn的前的前 n 项项和为和为 Tn,求证求证:数列数列 bn 是等比数列是等比数列,并求并求 Tn.an12(1)an=n;12(2)Tn=(2+1)(1-2-).n22021/8/11 星期三6 7.已知函数已知函数 f(t)对任意实数对任意实数 x,y 都有都有:f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x +y+2)+3,f(1)=1.(1)若若 t 为正整数为正整数,试求试求 f(t)的表达式的表达式;(2)满满 足足 f(t)=t 的所有整数的所有
8、整数 t 能否构成等差数列能否构成等差数列?若能构成等差数若能构成等差数列列,求出此数列求出此数列;若不能构成等差数列若不能构成等差数列,请说明理由请说明理由;(3)若若 t 为自然数为自然数,且且 t 4,f(t)mt2+(4m+1)t+3m 恒成立恒成立,求求 m 的最的最大值大值.(1)f(t)=t3+3t2-3(t N*);(3)f(t)mt2+(4m+1)t+3mf(t)-tm(t2+4t+3)mt-1.所求数列为所求数列为:-3,-1,1 或或 1,-1,-3;(2)f(t)=t3+3t2-3(t Z),f(t)=t t=-3,-1,1,故故 m 的最大值是的最大值是 3.2021
9、/8/11 星期三7 8.已知函数已知函数 f(x)=px2+qx,其中其中,p0,p+q1.对于数列对于数列 an,设它的前项和为设它的前项和为 Sn,且且 Sn=f(n)(n N*).(1)求数列求数列 an 的通的通项项 公式公式;(2)证明证明:an+1an1;(3)证明证明:点点 M1(1,),M2(2,),M3(3,),Mn(n,)都在同一直线上都在同一直线上.1S12S23S3nSn(1)an=(2n-1)p+q(n N*);(2)an+1-an=2p0,an+1ana1=p+q=1;(3)只要证其中任意一点只要证其中任意一点 Mr(r,)(r1,r N*)与点与点M1(1,)1
10、S1rSr连线的斜率为定值连线的斜率为定值(p)即可即可.2021/8/11 星期三8 1.已知已知 an 是等差数列是等差数列.(1)前前 4 项和为项和为 21,末末 4 项和为项和为 67,且各项和为且各项和为 286.求项数求项数;(2)Sn=20,S2n=38,求求 S3n;(3)项数为项数为奇数奇数,奇数项和为奇数项和为 44,偶数项和为偶数项和为 33,求数列的中间项和项数求数列的中间项和项数.解解:(1)设数列的项数为设数列的项数为 n,依题意得依题意得:4(a1+an)=21+67=88.a1+an=22.由由 n(a1+an)=2Sn=2 286 得得:(2)Sn,S2n-
11、Sn,S3n-S2n 成等差数列成等差数列,S3n-S2n+Sn=2(S2n-Sn).a1+a2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an=67,且有且有:Sn=286,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3.n=26.故所求数列的项数为故所求数列的项数为 26.S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54.(3)依题意依题意S奇奇+S偶偶=Sn,S奇奇-S偶偶=a中中,Sn=na中中.Sn=77,a中中=11,Sn=na中中.解得解得:a中中=11,n=7.课后练习题课后练习题2021/8/11 星期三9 2.等差数列等差数列 an,bn 中中,前前 n
12、 项和分别为项和分别为 Sn,Sn,且且 =,求求 .SnSn 7n+2n+4a5b5解解:an,bn 是等差数列是等差数列,它们的前它们的前 n 项和是关于项和是关于 n 的二次函数的二次函数,且常数项为且常数项为 0,a5=S5-S4=65k,b5=S5-S4 =13k.a5b5 =5.65k13kS9 S9 7 9+29+4a5b5或或 =5.a1+a92b1+b92a1+a92b1+b92 9 9 1365可设可设 Sn=kn(7n+2),Sn =kn(n+4),2021/8/11 星期三10 3.设设 an 是一个公差为是一个公差为 d(d 0)的等差数列的等差数列,它的前它的前 1
13、0 项项和和 S10=110,且且 a1,a2,a4 成等比数列成等比数列.(1)证明证明:a1=d;(2)求公求公差差 d 的值和数列的值和数列 an 的通项公式的通项公式.(1)证证:a1,a2,a4 成等比数列成等比数列,a22=a1a4.而而 an 是等差数列是等差数列,有有 a2=a1+d,a4=a1+3d.(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得整理得 d2=a1d.d 0,a1=d.(2)解解:S10=110,而而 S10=10a1+45d,10a1+45d=110,又由又由(1)知知 a1=d,代入上式得代入上式得:11a1=22.即即 2a1+9d=22.a1=2.an=2
14、+(n-1)2=2n.d=a1=2.公差公差 d 的值为的值为 2,数列数列 an 的通项公式为的通项公式为 an=2n.2021/8/11 星期三11 4.已知数列已知数列 an 满足满足 a1=4,an=4-(n2),令令 bn=.(1)求证求证:数列数列 bn 是等差数列是等差数列;(2)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式.an-1 4 an-2 1(1)证证:由已知由已知 an+1-2=2-=.4an 2(an-2)an an+1-21 =+.2(an-2)anan-2112 -=.an+1-21an-2112即即 bn+1-bn=.12故数列故数列 bn 是等差数列是等差数列.
15、(2)解解:是等差数列是等差数列,an-2 1 =+(n-1)=.a1-21an-21n212数列数列 an 的通项公式为的通项公式为 an=2+.2nan=2+.2n2021/8/11 星期三12 5.数列数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn=npan(n N*),且且 a1 a2,(1)求常数求常数 p 的值的值;(2)证明数列证明数列 an 是等差数列是等差数列.(1)解解:当当 n=1 时时,a1=pa1,若若 p=1,则则当当 n=2 时有时有 a1+a2=2pa2=2a2.a1=a2 与与 a1 a2 矛盾矛盾.p 1.a1=0.由由 a1+a2=2pa2 知知:(2p-1
16、)a2=a1=0.a2 a1,a2 0,p=.12(2)证证:由已知由已知 Sn=nan,a1=0.12当当 n2 时时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,1212 =.an-1 an n-1 n-2 则则 =,=.an-2 an-1 n-2 n-3 a2 a3 21 =n-1.a2 an an=(n-1)a2.an-an-1=a2.故故数列数列 an 是以是以 a1 为首项为首项,a2 为公差的等差数列为公差的等差数列.2021/8/11 星期三13 6.已知已知数列数列 an,an N*,Sn=(an+2)2,(1)求证求证:an 是是等差数列等差数列;(2)若若 bn=a
17、n-30,求数列求数列 bn 的前的前 n 项和的最小项和的最小值值.1218(1)证证:由由 an+1=Sn+1-Sn 得得:8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2.(2)解解:由已知由已知 8a1=8S1=(a1+2)2 a1=2,故故由由(1)知知 an=4n-2.(an+1-2)2-(an+2)2=0.(an+1+an)(an+1-an-4)=0.an N*,an+1+an 0.an+1-an-4=0 即即 an+1-an=4.an 是等差数列是等差数列.bn=2n-1-30=2n-31.解解 2n-310 且且 2(n+1)-310 得得:n0,da2ak0ak+1.由由 a
18、k=2-(k-1)0 得得 k19.19由由 k=2n19(n N*)得得 n4.即在数列即在数列 a2n 中中,a21a22a23a24 0a25.当当 n=4 时时,An 的值最大的值最大,其最大值为其最大值为:Anmax=(19 4+2-24+1)=.199462021/8/11 星期三15解解:求求 An 的最大值有以下解法的最大值有以下解法:法法2:若存在若存在 n N*使得使得 AnAn+1 且且 AnAn-1,则则 An 的值最大的值最大.=(19n+2-2n+1),19 AnAnAn+1AnAn-1 19n+2-2n+119(n+1)+2-2n+2 19n+2-2n+119(n
19、-1)+2-2n 解得解得:9.52n19(n N*)n=4.故故取取 n=4 时时,An 的值最大的值最大,其最大值为其最大值为:Anmax=(19 4+2-24+1)=.19946 7.已知等差数列已知等差数列 an 的首项是的首项是 2,前前 10 项之和是项之和是 15,记记An=a2+a4+a8+a2n(n N*),求求 An 及及 An 的最大值的最大值.2021/8/11 星期三16 8.设设 an 为等差数列为等差数列,Sn 为数列为数列 an 的前的前 n 项和项和.已知已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列为数列 的前的前 n 项和项和.求求 Tn.Snn解解:设等差数
20、列设等差数列 an 的公差为的公差为 d,则则 Sn=na1+.n(n-1)d 2S7=7,S15=75,解得解得:a1=-2,d=1.Tn=n2-n.94147a1+21d=7,15a1+105d=75,a1+3d=1,a1+7d=5,即即 =a1+(n-1)d=-2+(n-1).Snn1212 -=,Sn+1 n+1 Snn1212Snn数列数列 是等差数列是等差数列,其首项为其首项为-2,公差为公差为 .2021/8/11 星期三17 9.两个数列两个数列 an 和和 bn 满足满足 bn=,求证求证:(1)若若 bn 为等差数列为等差数列,则数列则数列 an 也是等差数列也是等差数列;
21、(2)(1)的逆的逆命题也成立命题也成立.1+2+n a1+2a2+nan 证证:(1)由已知得由已知得 a1+2a2+nan=n(n+1)bn.12a1+2a2+nan+(n+1)an+1=(n+1)(n+2)bn+1.12将将 式减式减 式化简得式化简得:an+1=(n+2)bn+1-nbn.1212an=(n+1)bn-(n-1)bn-1=(n+1)bn-(n-1)(2bn-bn+1).12121212bn 为等差数列为等差数列,bn-1=2bn-bn+1,bn+1-bn 为常数为常数.an+1-an=(n+2)bn+1-nbn-(n+1)bn+(n-1)(2bn-bn+1)121212
22、12=(bn+1-bn)为常数为常数.32故数列故数列 an 也是等差数列也是等差数列.2021/8/11 星期三18证证:(2)(1)的逆命题为的逆命题为:两个数列两个数列 an 和和 bn 满足满足:1+2+n a1+2a2+nan bn=,若若 an 为等差数列为等差数列,则数列则数列 bn 也是等差数列也是等差数列.证明如证明如下下:an 是等差数列是等差数列,可设可设 an=an+b(a,b 为常数为常数).nan=an2+bn.a1+2a2+nan=a(12+22+n2)+b(1+2+n).1+2+n a1+2a2+nan bn=an(n+1)(2n+1)+bn(n+1)n(n+1
23、)12121613=a(2n+1)+b.bn+1-bn=a,为常数为常数.23故数列故数列 bn 也是等差数列也是等差数列.2021/8/11 星期三19 10.已知数列已知数列 an 是等差数列是等差数列,其前其前 n 项和为项和为 Sn,a3=7,S4=24.(1)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式;(2)设设 p,q 是正整数是正整数,且且 p q,证明证明:a1+2d=7 且且 4a1+6d=24.解得解得:a1=3,d=2.an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1.Sp+q (S2p+S2q).12故数列故数列 an 的通项公式为的通项公式为 an=2n+1.(2)证证:由由(1)知知 an=2n+1,Sn=n2+2n.(1)解解:设设等差数列等差数列 an 的公差为的公差为 d,依题意得依题意得:2Sp+q-(S2p+S2q)=2(p+q)2+2(p+q)-(4p2+4p)-(4q2+4q)=-2(p-q)2.又又 p q,2Sp+q-(S2p+S2q)0.Sp+q (S2p+S2q).12故故2021/8/11 星期三20