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1、2023/5/151 第七章 系统函数7.1系统函数与系统特性7.3 信号流图7.2 系统的稳定性2023/5/152 LTI:连续系统 离散系统 时域分析:冲激响应h(t)单位响应h(k)复频域分析:H(s)H(z).系统函数 频域分析:H(j)H()频率响应 =H(s)s=j =H(z)z=2023/5/153 1.系统函数-时域响应，频率响应.2.系统的因果性和稳定性，判据.3.信号流图.4.系统的模拟.2023/5/1547.1系统函数与系统特性一.系统函数的极点和零点.1.连续系统:H(s)=B(s)/A(s)=极点:A(s)=0的根，p1,p2,pn.H(pi)零点:B(s)=0的
2、根,z1,z2,zm.H(zi)=02023/5/155 H(s)=B(s)/A(s)=极点类型:一阶:实数,虚数,复数.多阶:实数,虚数,复数.2023/5/156 2.离散系统:H(z)=B(z)/A(z)=2023/5/157极点在左半开平面.0 在实轴上:一阶极点:p=-,H(s)=b/(s+),h(t)=be-t(t)二阶极点:p=-(二阶),H(s)=k/(s+)2,h(t)=kt e-t(t),limh(t)=0 t 多阶极点:p=-(高阶),H(s)=k/(s+)r h(t)=k t r-1e-t limh(t)=0 t二、极点零点与时域响应的关系:2023/5/158不在实轴
3、上:一阶共轭复数:p1,2=-j,h(t)=k e-t cos(t+)(t)limh(t)=0 t二阶共轭复数:p1,2=-j(二阶),h(t)=kt e-t cos(t+)(t)limh(t)=0 t 2023/5/159在虚轴上:一阶极点:p=0,H(s)=k/s,h(t)=k(t),limh(t)=有限值 t 一阶共轭:p=j,h(t)=kcos(t+)(t),limh(t)=有限值 t2023/5/1510 虚轴上二阶极点:p=0(二阶),H(s)=k/s2,h(t)=kt(t),limh(t)t p=j(二阶),h(t)=ktcos(t+),limh(t)t 2023/5/1511右
4、半开平面:实数:p=,h(t)=e t limh(t)t 复数:p=j,h(t)=e t cos(t+)limh(t)t 2023/5/1512几种典型情况几种典型情况2023/5/1513 Z平面:单位圆内:p=-1/3,h(k)=(-1/3)k(k)0 单位圆上:p=1,h(k)=(1)k(k),有限值.单位圆外:p=2,h(k)=(2)k(k)2.离散系统:-1/312RezImzZ平面2023/5/1514极点位置与h(k)形状的关系2023/5/1515s平面平面(单极点单极点)z平面平面(单极点单极点)极点位置极点位置h(t)特点特点极点位置极点位置h(k)特点特点虚轴上虚轴上等幅
5、等幅单位圆上单位圆上等幅等幅原点时原点时 左半平面左半平面衰减衰减单位圆内单位圆内减幅减幅右半平面右半平面增幅增幅单位圆外单位圆外增幅增幅利用zs平面的映射关系2023/5/1516三、极点零点与频域响应的关系:定义 所谓所谓“频响特性频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态是指系统在正弦信号激励下稳态响响应随频率的变化情况。应随频率的变化情况。2023/5/1517前提：稳定的因果系统。前提：稳定的因果系统。有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。时域：时域：频域：频域：H(s)的全部极点落在的全部极点落在s左半平面。左半平面。其收敛域包括虚轴：其收敛域
6、包括虚轴：拉氏变换拉氏变换 存在存在傅里叶变换傅里叶变换 存在存在 2023/5/15181.H(s)和频响特性的关系频响特性频响特性系统的稳态响应系统的稳态响应幅频特性幅频特性相相频特性（相移特性）频特性（相移特性）2023/5/15192几种常见的滤波器2023/5/15203.极点零点与频率响应:1.连续系统:2023/5/1521矢量分析法:Ai j pi pi i 0 令j-pi=Ai j-zj=BjBj|zj|i2023/5/1522幅频:相位:()=(1+m)-(1+n)分析:从02023/5/1523例:R u1(s)+-1/sc u2(s)H(s)=u2(s)/u1(s)=2
7、023/5/1524 极点:p=-1/Rc,左半开平面.定量:()=0-arctg2023/5/1525定性:从0变化.H(j)=()=0-j A j -1/Rc 0 2023/5/15261H(j)()-/22023/5/1527例:全通函数.H(j)=常数 设二阶系统H(s).左半开平面,有一对极点,p1,2=-j,右半开平面,有一对零点,z1,2=j2023/5/1528A1=B1,A2=B2,H(j)=B1 B2/A1 A2=1p1p2z1z2A1A2B1B22023/5/1529结论:n凡极点位于左半开平面,零点位于右半开平面,且所有的零点与极点对于j轴为一镜像对称的系统函数即为全通
8、函数全通函数.2023/5/1530例研究下图所示研究下图所示RCRC低通滤波低通滤波网络的频响特性网络的频响特性。写出网络转移函数表达式写出网络转移函数表达式解解:2023/5/1531频响特性2023/5/1532例其转移函数为其转移函数为相当于低通与高通级联构成的带通系统。相当于低通与高通级联构成的带通系统。解：解：低通滤波器低通滤波器高通滤波器高通滤波器2023/5/1533频响特性/2-/2最小相移函数零、极点均位于s平面左半开平面极点位于s平面左半开平面，零点位于s平面右半开平面幅频特性一致jj121b2b1b=-1，2b=-2a()=1+2-1-2 b()=1b+2b-1-2b(
9、)-a()=2-2(1+2)0对于相同的幅频特对于相同的幅频特性的系统函数，零性的系统函数，零点位于左半开平面点位于左半开平面的系统函数，其相的系统函数，其相频特性最小频特性最小结论n考虑到网络函数的零点可能在虚轴上n定义：n右半开平面上没有零点的系统函数为最小相移函数n相应的网络称为最小相移网络对于非最小相移函数可表示为最小相移函数可表示为最小相移函数与全通函数的乘积与全通函数的乘积最小相移函数全通函数2023/5/15382.离散系统:n因果离散系统，若极点均在单位圆内，则在单位圆上(|z|=1)也收敛幅频响应:相频响应:2023/5/1539 Z平面 Bj 1 Ai j I 0 1 20
10、23/5/1540正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的统的频率响应频率响应特性。特性。2023/5/1541由系统函数得到频响特性输出对输入序列的相移输出对输入序列的相移离散时间系统在单位圆上的离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特性统的频率响应特性:输出与输入序列的幅度之比输出与输入序列的幅度之比：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性2023/5/1542通过本征函数透视系统的频响特性 为输入序列的加权，为
11、输入序列的加权，体现了系统对信号的处理功能。体现了系统对信号的处理功能。是是 在单位圆上的动态，在单位圆上的动态，取决于系统的特性。取决于系统的特性。单位圆上单位圆上2023/5/1543离散系统（数字滤波器）的分类2023/5/1544二频响特性的几何确定法2023/5/1545几点说明2023/5/1546 7.2 系统的稳定性一.系统的因果性(物理可实现性)1.连续系统:定义:若f(t)=0,t0,则yzs(t)=0,t0 因果系统 时域条件:(充要)当h(t)=0,t0因果系统 因果系统,(t)=0,t0 yzs(t)=h(t)=0,t0 f(t)因果系统 yzs(t)t02023/5
12、/1547当h(t)=0,t0;f(t)=0,t0 yzs(t)=h(t)*f(t)=t0,yzs(t)存在=t0,yzs(t)=0 理想 H(j)-c 0 -c 2023/5/1548s域充要条件:H(s)的收敛域Res 0 因果性 j 0 其收敛域为收敛坐标0以右的半平面,即H(s)的极点都在收敛轴Res=0 的左边.2023/5/15492.离散系统:定义:若f(k)=0,k0,则yzs(k)=0,k0时域充要条件:h(k)=0,k0 因果系统z域充要条件:H(z)的收敛域z 0 z平面 因果系统 0 其收敛域为半径等于0的圆外区域,即H(z)的极点都在收敛圆z=0的内部.2023/5/
13、1550二.系统的稳定性(可用性)f(t)有界 系统 yzs(t)有界 1.连续系统:定义:若f(t)Mf,则 yzs(t)My 稳定系统时域充要条件:绝对可积 M稳定系统只能保证衰减函数可积2023/5/1551 h(t)t因果稳定系统:M稳定系统s域充要条件:H(s)的极点在左半开平面稳定系统 H(s)的极点在虚轴上(一阶)临界系统 H(s)的极点在虚轴上(二阶以上)H(s)的极点在右半开平面 不稳定系统2023/5/15522.离散系统:时域充要条件:绝对可和:M稳定系统z域充要条件:H(z)的极点在单位圆内稳定系统H(z)的极点在单位圆上(一阶)临界系统H(z)的极点在单位圆上(二阶)
14、H(z)的极点在单位圆外不稳定系统2023/5/1553三.连续系统的稳定性准则 罗斯霍尔维兹准则.H(s)=B(s)/A(s),A(s)=H(s)的极点就是A(s)=0的根，因此为判断系统是否稳定,即H(s)的极点是否都在左半开平面,只需判断A(s)=0的根,即特征根是否都在左半开平面,并不须知道各特征根的确切位置.所有的根均在左半开平面的得多项式称为罗斯霍尔维兹多项式.2023/5/1554罗斯准则:多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充 分和必要条件是罗斯阵列中的第一 列元素均大于零，即如果罗斯阵列 中的第一列元素均为不等于零的正 值,那么A(s)=0的根都在s平面的左 半开平面.如果第一列
15、元素的符号不 完全相同,那么变好的的次数就是在 右半开平面根的数目.2023/5/1555罗斯阵列:an an-2 an-4.第1,3,5项的系数 an-1 an-3 an-5.第2,4,6项的系数 cn-1 cn-3 cn-5.dn-1 dn-3 dn-5.2023/5/1556 cn-1=,cn-3=,dn-1=,dn-3=,充要条件:第一列元素大于零 稳定系统2023/5/1557例:H(s)=为使系统稳定,常数k满足什么条件？解：构建罗斯阵列1323 1+k an an-2 an-1 an-3 cn-1 cn-3 dn-12023/5/1558将H(s)的特征多项式A(s)的系数排成罗
16、斯阵列为:1 3 0 0 3 1+k 0 (8-k)/3 0 0 1+k 0 0根据罗斯判据,以上阵列中第一列元素应为正值,即:(8-k)/30 k8;1+k 0 k-1;-1 k 8时系统是稳定的.2023/5/1559例7.2-3:H(s)=为使系统稳定,常数k满足什么条件？解：构建罗斯阵列12-k23 an an-2 an-1 cn-102023/5/1560将H(s)的特征多项式A(s)的系数排成罗斯阵列为:1 2-k 3 0 2-k根据罗斯判据,以上阵列中第一列元素应为正值,即:2-k0 k2 k2时系统是稳定的.2023/5/1561四.离散系统的稳定性准则 朱里准则.H(z)=B
17、(z)/A(z),A(z)=要判别离散系统的稳定性,需要判别H(z)的特征方程A(z)=0所有根的绝对值是否都小于1.朱里提出一种列表的检验方法,称之为朱里准则朱里准则.将A(z)的系数排列如下表:2023/5/1562 an an-1 an-2 .a2 a1 a0 a0 a1 a2 .an-2 an-1 an cn-1 cn-2 cn-3 .c1 c0 c0 c1 c2 .cn-2 cn-1 dn-2 dn-3 dn-4 .d0 d0 d1 d2 .dn-2 .r2 r1 r0 .第2n-3行2023/5/1563cn-1=cn-2=cn-3=dn-2=dn-3=依此类推,一直排到(2n-3
18、)行.2023/5/1564A(z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是:A(1)0 A(-1)0 第一行:an a0 第三行:cn-1 c0 稳定 第五行:dn-2d0 .r2 r02023/5/1565A(z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是:A(1)0 A(-1)0 第一行:an a0 第三行:cn-1 c0 第五行:dn-2d0 .r2 r0A(z)=z2+z+k (7.2-2)A(1)=1+1+k 0,k-2A(-1)=1-1+k 0,k 01 k,-1k1 0 k1时系统是稳定的时系统是稳定的.2023/5/1566例:系统的特征多项式A(z)=4z4-4z3+2z-1 该系统
19、是否稳定?解:A(1)=4-4+2-1=1 0 (-1)4A(-1)=4+4-2-1=50列表:4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 4 0 -14 15第五行 209 -210 56 2n-3=5第三行15-14042023/5/1567由上表可见:4-1 15 4 20956 满足离散系统的稳定性准则,所以该系统 是稳定的.2023/5/1568系统框图系统框图 信号流图信号流图7.3 信号流图 利利用用方方框框图图可可以以描描述述系系统统（连连续续的的或或离离散散的的），比用微分方程或差分方程更为直观。比用微分方程或差分方程更为直观。线性系统的仿真（模拟）线性系统的仿真（模拟）
20、连续系统连续系统相加、倍乘、积分相加、倍乘、积分 离散系统离散系统相加、倍乘、延时相加、倍乘、延时由由美美国国麻麻省省理理工工学学院院的的梅梅森森（Mason）于于20世世纪纪50年年代首先提出。代首先提出。应用于：应用于：反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统模拟及数字滤波器设计等方面。模拟及数字滤波器设计等方面。2023/5/1569一、信号流图方法的主要优点系统模型的表示简明清楚；系统模型的表示简明清楚；简化系统函数的计算方程。简化系统函数的计算方程。2023/5/1570二系统的信号流图表示法 实际上是用一些点和支路来描述系统：实际上是用一些点和支
21、路来描述系统：方框图方框图流图流图称为称为结点结点线段表示信号传输的路径，称为线段表示信号传输的路径，称为支路。支路。信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，相当于乘法器。相当于乘法器。2023/5/1571三术语定义三术语定义结点：结点：表示系统中变量或信号的点。表示系统中变量或信号的点。转移函数：转移函数：两个结点之间的增益称为转移函数。两个结点之间的增益称为转移函数。支路：支路：连接两个结点之间的定向线段，支路的增连接两个结点之间的定向线段，支路的增益即为转移函数。益即为转移函数。输入结点或源点：输入结点或源点：只有输出支路的结点，
22、它对应只有输出支路的结点，它对应的是自变量（即输入信号）。的是自变量（即输入信号）。输出信号或阱点：输出信号或阱点：只有输入支路的结点，它对应只有输入支路的结点，它对应的是因变量（即输出信号）。的是因变量（即输出信号）。混合结点：混合结点：既有输入支路又有输出支路的结点。既有输入支路又有输出支路的结点。通路：通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有相反方向支路存在）。有相反方向支路存在）。2023/5/1572开通路：开通路：通路与任一结点相交不多于一次。通路与任一结点相交不多于一次。环路增益：环路增益：环路中各支路转移函数的乘积。环路中各支
23、路转移函数的乘积。闭通路：闭通路：如果通路的终点就是起点，并且与任何如果通路的终点就是起点，并且与任何其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。不接触环路：不接触环路：两环路之间没有任何公共结点。两环路之间没有任何公共结点。前向通路：前向通路：从输入结点（源点）到输出结点（阱点）从输入结点（源点）到输出结点（阱点）方向的通路上，通过任何结点不多于一次的方向的通路上，通过任何结点不多于一次的全部路径。全部路径。前向通路增益：前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。前向通路中，各支路转移函数的乘积。2023/5/1573四信号流图的性质四信号流图的性质
24、支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，信号只能沿着支路上的箭头方向通过。信号只能沿着支路上的箭头方向通过。（1）（2）结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。号传送到所有输出支路。2023/5/1574（3）具具有有输输入入和和输输出出支支路路的的混混合合结结点点，通通过过增增加加一一个个具具有单传输的支路，可以把它变成输出结点来处理。有单传输的支路，可以把它变成输出结点来处理。2023/5/1575（4）流流图图转转置置以以后后，其其转转移移函函数数保保持持不不变变。所所谓谓转转置
25、置就就是是把把流流图图中中各各支支路路的的信信号号传传输输方方向向调调转转，同同时时把把输输入输出结点对换。入输出结点对换。给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于同给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不同的流图。同的流图。（5）2023/5/1576五信号流图的代数运算五信号流图的代数运算（1）（2）有有一一个个输输入入支支路路的的结结点点值值等等于于输输入入信信号号乘乘以以支支路增益。路增益。串联支路的合并串联支路的合并总增益等于各支路增益的乘积。总增益等于各支路增益的乘积。2023/5
26、/1577（3）并联支路的合并：并联相加并联支路的合并：并联相加（4）混合结点的消除混合结点的消除2023/5/1578（5）环路的消除环路的消除总结：总结：可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系 统函数。统函数。串联支路合并，减少结点；串联支路合并，减少结点；并联支路合并，减少支路；并联支路合并，减少支路；消除环路。消除环路。2023/5/1579（6）信号流图的梅森增益公式信号流图的梅森增益公式式中：式中：称为流图的特征行列式。称为流图的特征行列式。2023/5/1580 表示由源点到阱点之间第表示由源点到阱点之间第k条前向通条前向通路的标号。路的标号。表示由源点到阱点之间的第表示由源点到阱点之间的第 条前条前向通路的增益。向通路的增益。称称为为对对于于第第 条条前前向向通通路路特特征征行行列列式式的的余余因因子子。它它是是除除去去与与k条条前前向向通通路路相接触的环路外，余下的特征行列式。相接触的环路外，余下的特征行列式。