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1、电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院第一章第一章 概率论基础概率论基础n n1.1 1.1 概率公理与随机变量概率公理与随机变量概率公理与随机变量概率公理与随机变量n n1.21.2多维随机变量与条件随机变量多维随机变量与条件随机变量多维随机变量与条件随机变量多维随机变量与条件随机变量n n1.3 1.3 随机变量的函数随机变量的函数随机变量的函数随机变量的函数n n1.4 1.4 数字特征与条件数学期望数字特征与条件数学期望数字特征与条件数学期望数字特征与条件数学期望n n1.5 1.5 特征函数特征函数特征函数特征函数n n1.6 1.6 典型分布典型分布典型分布典型分布n n1.7
2、1.7 随机变量的仿真与实验随机变量的仿真与实验随机变量的仿真与实验随机变量的仿真与实验1电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院1.5 特征函数特征函数(Characteristic Function)特特特特征征征征函函函函数数数数、矩矩矩矩发发发发生生生生函函函函数数数数和和和和概概概概率率率率发发发发生生生生函函函函数数数数在在在在分分分分析析析析随随随随机机机机变变变变量量量量和和和和向向向向量量量量的的的的各各各各种种种种问问问问题题题题中中中中有有有有着着着着非非非非常常常常重重重重要要要要的的的的意意意意义义义义，特特特特别别别别是是是是在在在在分分分分析析析析独独独独立立立立
3、随随随随机机机机变变变变量量量量、向向向向量量量量和和和和的的的的概概概概率率率率与与与与矩矩矩矩特特特特性性性性时时时时，应应应应用用用用它它它它们们们们是是是是十十十十分分分分方方方方便便便便的的的的。在在在在分分分分析析析析特特特特征征征征函函函函数数数数、矩矩矩矩发发发发生生生生函函函函数数数数和和和和概概概概率率率率发发发发生生生生函函函函数数数数时时时时，我我我我们们们们特特特特别别别别强强强强调调调调了了了了变变变变换换换换分分分分析析析析技技技技术术术术。由由由由此此此此建建建建立立立立了了了了傅傅傅傅立立立立叶叶叶叶变变变变换换换换、Z Z变变变变换换换换等等等等分分分分析析
4、析析随随随随机机机机信信信信号号号号与与与与系系系系统统统统的的的的概概概概率率率率、矩矩矩矩特特特特性性性性的的的的关关关关系系系系式式式式，从从从从而而而而形形形形成成成成随随随随机机机机信信信信号号号号概概概概率率率率与与与与矩矩矩矩特特特特性性性性的的的的变变变变换换换换分析理论与技术。分析理论与技术。分析理论与技术。分析理论与技术。2电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院一、特征函数及概率密度函数的傅立叶变换一、特征函数及概率密度函数的傅立叶变换 定义定义1.21.2 随机变量随机变量 ，其特征函数，其特征函数 定义为定义为 式中，式中，v v为确定的实变量。为确定的实变量。1.5
5、 特征函数特征函数3电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院1.5 特征函数特征函数若随机变量若随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为 ，则，则其特征函数为其特征函数为:c.r.v.d.r.v.4电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院 定理定理1.41.4 随随机机变变量量X X的的概概率率密密度度函函数数与与其其特特征征函函数之间是一对傅立叶变换，数之间是一对傅立叶变换，或或 式中，式中，表示傅立叶变换对。表示傅立叶变换对。5电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院随机变量概率密度函数与特征函随机变量概率密度函数与特征函数关系数关系傅立叶傅立叶变变 换换将将 换换为为-v将将x 换换为
6、为-x 傅立叶傅立叶反变换反变换6电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院举例举例例例:随机变量随机变量 的特征函数为的特征函数为 ,求求其概率密度函数其概率密度函数 。解法解法1：7电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院举例举例-续续n n解法解法解法解法2 2：q p0 18电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院例例1.20求二项分布求二项分布Binomial 的特征函数。的特征函数。解：解：首先令 ，其中 是独立同分布的，服从01分布，且 所以：其中q=1-p。故9电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院例例1.21例例:随机变量随机变量X为参数是为参数是的指数分布的指数分布Expo
7、nential，求其特征函数。求其特征函数。解：解：10电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院举例举例n n例例:若若r.v.X1,X2互相独立互相独立,并且有并且有X1 N(0,1),X2 N(0,1),求随机变量求随机变量Y=X1+X2的概率的概率密度函数密度函数 f(x)。n n解：解：n n方法一：用二维变换法求解方法一：用二维变换法求解方法一：用二维变换法求解方法一：用二维变换法求解n n方法二：特征函数法方法二：特征函数法方法二：特征函数法方法二：特征函数法11电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院举例举例4.3续续12电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院特征函数的基本性质
8、特征函数的基本性质性质性质性质性质1:1:独立随机变量和的特征函数独立随机变量和的特征函数独立随机变量和的特征函数独立随机变量和的特征函数若若若若 是彼此独立的随机变量，是彼此独立的随机变量，是彼此独立的随机变量，是彼此独立的随机变量，其概率密度函数记为其概率密度函数记为其概率密度函数记为其概率密度函数记为 ，特征函数记为，特征函数记为，特征函数记为，特征函数记为 ，随机变量之和，随机变量之和，随机变量之和，随机变量之和 的概率密度函数记的概率密度函数记的概率密度函数记的概率密度函数记为为为为 ，特征函数记为，特征函数记为，特征函数记为，特征函数记为 ，则有关系式，则有关系式，则有关系式，则有
9、关系式n n而且而且而且而且 13电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院特征函数的基本性质特征函数的基本性质n n图图4-214电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院特征函数的基本性质特征函数的基本性质性质性质2:随机信号经过线性变换随机信号经过线性变换随机变量随机变量X 经常需要线性变换得到随机经常需要线性变换得到随机变量变量Y，即，即15电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院特征函数的基本性质特征函数的基本性质假定变换前随机变量假定变换前随机变量X 的特征函数为的特征函数为 ,概率密度函数为概率密度函数为 ；变换后；变换后Y 的特征函的特征函数数 ，概率密度函数，概率密度函数 。则有
10、：则有：16电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院举例举例n n例例 随机信号随机信号X是均匀分布的，其概率密是均匀分布的，其概率密度函数度函数 ，若要将此，若要将此概率密度函数中心移至概率密度函数中心移至x=10，图形展开，图形展开为原来的为原来的2倍，试求线性变换函数的特性倍，试求线性变换函数的特性及变换后的概率密度函数。及变换后的概率密度函数。17电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院举例举例n n解：解：显然，根据性质显然，根据性质2，有图形移动有图形移动b10，a=2（伸缩因子），（伸缩因子），因此因此 变换后的概率密度函数为变换后的概率密度函数为18电子科技大学通信学院电子科技
11、大学通信学院特征函数的基本性质特征函数的基本性质性质性质3 若随机变量若随机变量X满足满足 ，则，则 证明证明：19电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院举例举例n n随机变量随机变量X是拉普拉斯是拉普拉斯Laplacian的，其的，其概率密度函数概率密度函数 求随机变量求随机变量X的的 和方差和方差。20电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院举例举例解解:21电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院举例举例22电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院1.5 特征函数特征函数23电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院1.5 特征函数特征函数随机变量的特征函数和矩函数之间唯一随机变量的特征
12、函数和矩函数之间唯一确定。所以特征函数也称为确定。所以特征函数也称为矩生成函数矩生成函数。24电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院1.5 特征函数特征函数25电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院1.5 特征函数特征函数26电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院1.5 特征函数特征函数27电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院1.5 特征函数特征函数28电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院n解：解：29电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院第一章第一章 概率论基础概率论基础n n1.1 1.1 概率公理与随机变量概率公理与随机变量概率公理与随机变量概率公理与随机变量n n1.2
13、1.2多维随机变量与条件随机变量多维随机变量与条件随机变量多维随机变量与条件随机变量多维随机变量与条件随机变量n n1.3 1.3 随机变量的函数随机变量的函数随机变量的函数随机变量的函数n n1.4 1.4 数字特征与条件数学期望数字特征与条件数学期望数字特征与条件数学期望数字特征与条件数学期望n n1.5 1.5 特征函数特征函数特征函数特征函数n n1.6 1.6 典型分布典型分布典型分布典型分布（自学）（自学）（自学）（自学）n n1.7 1.7 随机变量的仿真与实验（自学）随机变量的仿真与实验（自学）随机变量的仿真与实验（自学）随机变量的仿真与实验（自学）30电子科技大学通信学院电子科技大学通信学院第第1章章 作业作业4n n1.28、1.29、1.30、1.3331The end of Chapter 1Thank you!