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1、 一、二一、二重积分在重积分在直角坐标直角坐标系下的计系下的计算和表示算和表示二、三重二、三重积分在直积分在直角坐标系角坐标系下的表示下的表示和计算和计算2 重积分在直角坐标系下的表示和计算重积分在直角坐标系下的表示和计算1 1。二重积分的几何意义二重积分的几何意义2 2。直角坐标系下的积分微元直角坐标系下的积分微元3 3。积分区域的不等式表示积分区域的不等式表示4 4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分1 1。投影法投影法2 2。截面法截面法1。二重积分的几何意义二重积分的几何意义1 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积曲顶柱体曲顶柱体:用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表
2、示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，求法如下：求法如下：先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，再取典型小区域，再取典型小区域，得到曲顶柱体的体积：得到曲顶柱体的体积：1。二重积分的几何意义二重积分的几何意义2。直角坐标系下的积分微元直角坐标系下的积分微元 我们利用直角我们利用直角坐标网分割坐标网分割D D 让分割充分细，让分割充分细，取取D D的被坐标网割出的被坐标网割出的一个典型子区域的一个典型子区域，设它是如图，设它是如图的矩形，其面积为的矩形，其面积为因此，二重积分的面积微元因此，二重积分的面积微元dd自然地可记成自然地可记成此时有此时有2。直角坐标系下的积分微元直角坐标系下的
3、积分微元3 3。积分区域的不等式表示积分区域的不等式表示 x型域型域:(图见下页图见下页)若积分区域若积分区域D D由两条连续曲线由两条连续曲线y1=y=y1 1(x)(x)和和y2=y=y2 2(x)(x)（axbaxb）及两条直线）及两条直线x=ax=a和和x=bx=b所界定。所界定。a a，b b为区域为区域D D到到oxox轴的投影，轴的投影，任一条直线任一条直线x=xx=x0 0（ax0bax0b）与曲线）与曲线y1=y=y1 1(x)(x)和和y2=y=y2 2(x)(x)都只交于一点，都只交于一点，则则D D可以用不等式表示为可以用不等式表示为x 型域型域3 3。积分区域的不等式
4、表示积分区域的不等式表示y型域型域:(图见下页图见下页)若积分区域若积分区域D D由两条连续曲线由两条连续曲线X=x1(y)和和X=x2(y)（cyd）及两条直线及两条直线y=c和和y=d所所界定。界定。c，d为区域为区域D D到到oy轴的投影，轴的投影，任一条直线任一条直线y=y0（cy0d）与曲线与曲线x=x1(y)和和x=x2(y)都只交于一点，都只交于一点，则则D D可以用不等式表示为：可以用不等式表示为：3 3。积分区域的不等式表示积分区域的不等式表示y型域型域3 3。积分区域的不等式表示积分区域的不等式表示 例例1.积分区域积分区域D为直线为直线y=2x和抛物线和抛物线y=x2所围
5、，写出区域所围，写出区域D的不等式表示。的不等式表示。3 3。积分区域的不等式表示积分区域的不等式表示解解3 3。积分区域的不等式表示积分区域的不等式表示 对于不是对于不是x型域型域和和y型域的闭区域型域的闭区域D，一般可以利用与，一般可以利用与坐标轴平行的直线坐标轴平行的直线将其分割成若干个将其分割成若干个x型域或型域或y型域。型域。3 3。积分区域的不等式表示积分区域的不等式表示4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分假定假定 是是 型域型域它的不等式表示为它的不等式表示为在区间在区间 任取一点任取一点x，过，过 作平行作平行于于 面的平面，所截为一曲边梯形，面的平面，所截为一曲边梯形
6、，截面面积截面面积故曲顶柱体体积故曲顶柱体体积则则4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分若区域若区域 为为 型域型域则则4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分 例例 2.计算积分计算积分 ,其中其中 是由是由直线直线 和抛物线和抛物线 所围区域所围区域.解解(2)将区域将区域D表示成不等式形式表示成不等式形式:4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分又解又解 区域区域 也可表示为也可表示为4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分例例 3.计算计算 ,其中其中 是由直线是由直线 和抛物线和抛物线 所围成的闭区域。所围成的闭区域。解法
7、解法1（先对（先对x在对在对y积分）积分）交点为交点为如图，先把如图，先把 分割成两部分分割成两部分 和和 4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分两曲线两曲线4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分4。化二重积分为二次积分。化二重积分为二次积分 解法解法2：（先对（先对x在对在对y积分）积分）故故交点为交点为两曲线两曲线如图，如图，4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分解解积分区域如图积分区域如图 例例 5.交换二次积分交换二次积分 的积的积分次序分次序,并计算此积分。并计算此积分。解解 积分区域为：积分区域为：所以所以如图，如图，D也可表示为：也可表示为：xyo4。化二重积分
8、为二次积分化二重积分为二次积分4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分求证：求证：（1）若）若 关于关于 是奇函数，则是奇函数，则（2）若）若 关于关于 是偶函数，则是偶函数，则4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分 例例 8.设设 是关于是关于 轴轴对称的区域对称的区域，是是 在右半平面的部分，在右半平面的部分，4。化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分二二 三重积分在直角坐标系下的表示和计算三重积分在直角坐标系下的表示和计算利用平行与各坐标面的平面组成坐标网：利用平行与各坐标面的平面组成坐标网：设在设在ox轴轴oy轴，轴，oz轴的长度轴的长度，微元分别为，微元分别为dx,dy,
9、dz,因此类似二重积分的讨论因此类似二重积分的讨论可知三重积分的体积微元可记成可知三重积分的体积微元可记成这时三重积分写成这时三重积分写成 设积分区域设积分区域 在在xoy平面的投影平面的投影为平面区域为平面区域二二 三重积分在直角坐标系下的表示和计算三重积分在直角坐标系下的表示和计算对于对于xoy平面的投影柱面，它把平面的投影柱面，它把的边界的边界便是便是以以 的边界为准线，母线平行于的边界为准线，母线平行于oz轴的柱面轴的柱面分成上侧边界曲面分成上侧边界曲面 和下侧边界曲面和下侧边界曲面 ；设；设它们的方程分别为：它们的方程分别为：且二二 三重积分在直角坐标系下的表示和计算三重积分在直角坐
10、标系下的表示和计算设设 和和 都是都是 在在 的单值的单值函数。过函数。过 内任一点内任一点 作平行于作平行于z轴的直线轴的直线 区域区域 表示为：表示为：二二 三重积分在直角坐标系下的表示和计算三重积分在直角坐标系下的表示和计算故三重积分可写成：故三重积分可写成：二二 三重积分在直角坐标系下的表示和计算三重积分在直角坐标系下的表示和计算表示柱体位于表示柱体位于 内以内以dxdy为底小柱体的质量。为底小柱体的质量。微元微元，则：，则：体积体积 由质量分布模型来理解上式，设由质量分布模型来理解上式，设 被被直角坐标网分割，取直角坐标网分割，取二二 三重积分在直角坐标系下的表示和计算三重积分在直角
11、坐标系下的表示和计算因因 在在xoy平面的投影区域为平面的投影区域为 。故。故表示分布在立体表示分布在立体 的质量。的质量。故如下三重积分的等式成立故如下三重积分的等式成立二二 三重积分在直角坐标系下的表示和计算三重积分在直角坐标系下的表示和计算如果如果 在在xoy平面的投影区域平面的投影区域 是是x型区域型区域则表示为：则表示为：则则 表示为：表示为：1。投影法投影法则由上述知：则由上述知：1。投影法投影法若若 是是 y型域型域，则表示为：，则表示为：则：则：1。投影法投影法1.投影法投影法1。投影法投影法坐标面及平面坐标面及平面 所围成的有界闭区域。所围成的有界闭区域。例例13 计算计算
12、其中其中 是由三个是由三个 W W 在在xoy平面的投影平面的投影 如图如图 ，表示为：，表示为：与与xoy 平面的交线为：平面的交线为：1。投影法投影法1.投影法投影法例例14 求两底圆半径相等的直交圆求两底圆半径相等的直交圆 与与 所围成的立体的体积。所围成的立体的体积。由对称性知，所求体积是由对称性知，所求体积是 体积的体积的8倍倍其中其中 为第一卦限部分的立体的体积。为第一卦限部分的立体的体积。1.投影法投影法故故 表示为：表示为：1.投影法投影法因此，因此，1.投影法投影法2截面法：截面法：设将设将 向向oz轴作投影得到区间轴作投影得到区间，即，即 点的点的z坐标范围：坐标范围：对任
13、意对任意过点过点垂直于垂直于oz轴的平面截轴的平面截 得到截面记为得到截面记为 ，这时，这时 这时这时 可表示为：可表示为：相应的有：相应的有：二二 三重积分在直角坐标系下的表示和计算三重积分在直角坐标系下的表示和计算较容易算出较容易算出(常见为圆或椭圆常见为圆或椭圆)，则用截面法。，则用截面法。如果截面如果截面 的表示比较简单且的表示比较简单且 相应截面法的计算公式。相应截面法的计算公式。此外，用此外，用 的特征，投影到的特征，投影到oy轴或轴或ox轴，建立轴，建立例例15 计算计算 。其中。其中 为椭球体，为椭球体，到到oz轴的投影区间为轴的投影区间为 。对固定对固定 得到截面：得到截面：则则其中其中 是椭圆的面积，这个椭圆可改写为：是椭圆的面积，这个椭圆可改写为：它的两个半轴长它的两个半轴长 和和它的面积：它的面积：故故