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1、2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）设 z=_3-i”贝 悯=（）l+2 iA.2 B.7 3 C.A/2 D.12.（5 分）已知集合 U=,2,3,4,5,6,7 ,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7）,则 8 CCuA=（）A.1,6 B.1,7 C.6,7 D.1,6,7 3.（5 分）已知 a=k g 2 0.2,Z=20 2,c=0.2-3,则（）A.B.a c b C.c a b D.b c a4.（5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐
2、的长度与肚脐至足底的长度之比是卮1（遍 T =0.6 18,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.止匕外，2 2 _最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是晅工.若某人满足上述两2个黄金分割比例，且 腿 长 为 105，头顶至脖子下端的长度为2 6 c m,则其身高可能是（）A.16 5c m B.17 5c m C.185c m D.190cm5.（5 分）函数f （x）=W.乱巴在 _ 0,b 0）的一条渐近线的倾斜角为130 ,则 C2,2a b的离心率为（）A.2 s i n 40 B.2 c o s 40 C.D.sin500 cos50011.（5 分）A
3、A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a s i n A-b s i n B=4c s i n C,c o s A=-L则且=（）4 cA.6 B.5 C.4 D.312.（5 分）已知椭圆C的焦点为Fi （-1,0）,F2（b 0）,过尸2 的直线与C交于A,8 两点.若抬尸2|=2 F2 阴,|A B|=|B Fi|,则 C的方程为（）2 2 2A.L _+y2=1 B.三 _+工 _=12 3 22 2 2 2C.2=1 D_ J L _+2_=14 3 5 4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3.（5 分）曲线y=3 （7+x）/在 点（0,
4、0）处 的 切 线 方 程 为.1 4.（5 分）记 S 1 为等比数列 ”的前项和.若a i =l,S3=,则$4=.41 5.（5 分）函数/（x）=s i n +兀）-3 c o s x 的 最 小 值 为.21 6.（5 分）己知乙4 c 8=9 0 ,尸为平面ABC外一点，P C=2,点尸到/ACB两边A C,BC的距离均为y%，那么P到平面A B C的距离为.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、2 3 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。1 7.(1 2分)某商场为提高服务质量，
5、随机调查了 5 0 名男顾客和5 0 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4 01 0女顾客3 020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有9 5%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？2附：疔=n (a d-b c )(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)p(.e 2)0.0 500.0 1 00.0 0 1k3.8 4 16.6 3 51 0.8 281 8.(1 2分)记 S,为等差数列 如 的 前 项 和.已 知 S 9=-“5.(1)若 卬=4,求 斯 的通项公式;(2)若 m 0,求使得S2”的的取
6、值范围.1 9.(1 2分)如 图，直四棱柱A B C。-AIBICIDI的底面是菱形，A 4=4,AB=2,N B A D=6 0 ,E,M,N 分别是 B C,B B,4。的中点.(1)证明：M N 平面C i OE；(2)求点C到平面C i OE的距离.20.(1 2 分)己知函数/(x)=2s i r i r -x c o s x -x,f(x)为/(x)的导数.(1)证明：/(x)在 区 间(0,IT)存在唯一零点；(2)若 x 0,T T 时，/(x)求 a的取值范围.21.(1 2分)已知点4,8关于坐标原点0对称，A B=4,过点A,8且与直线x+2=0相切.(1)若 A在直线
7、x+y=0 上，求0M 的半径；(2)是否存在定点P,使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)1+1 422.(10分)在直角坐标系x O y 中，曲线C的参数方程为(f 为参数).以坐4t1+t2标 原 点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直 线/的极坐标方程为2p c o s 0+/3p s i n 0+l 1 =0.(1)求。和/的直角坐标方程；(2)求 C上的点到/距离的最小值.选修4 5：不等式选讲(10分)2 3.已知a
8、,b,c 为正数，且满足M c=L证明：(1)工+工+工式/+.+3a b c(2)(a+b)(b+c)、(c+。)24.2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5 分)设 2=正 ，则|z|=()1121A.2 B.V3 C.V2 D.1【考点】A8：复数的模.【分析】直接利用复数商的模等于模的商求解.【解答】解：由z=L,得|才=|正_|=J 3 T I 邛坨.l+2i l+2i|l+2i|V5故选：c.【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法
9、，是基础题.2.（5 分）已知集合（/=1,2,3,4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7）,贝 U B n c u 4=（）A.1,6 B.1,7 C.6,7 D.1,6,7【考点】1H：交、并、补集的混合运算.【分析】先求出C uA,然后再求BCCuA即可求解【解答】解：U=1,2,3,4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7,，CuA=l,6,7）,则 8CCuA=6,7故选：C.【点评】本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题.3.（5 分）已知。=log20.2,b=202,c=0.2-3,则（）A.abc B.a c b C.cab D bca
10、【考点】4M：对数值大小的比较.【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2 1,00.23 1,从而得 出 小 6,c 的大小关系.解答解：6J=log20.22=1,.,0 0.2-3 K,cosx+XX)=-sinx-x2：_ _sinx+x_=-/()，cos(-x)+x cosx+X：.f(x)为-71,n上的奇函数，因此排除A；又/(兀)=_区.兀+兀 二_Z L _ o,因此排除B,c；cos兀+兀-1+兀故选：D.【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题.6.（5分）某学校为了解1 0 0 0 名新生的身体素质，将这些学生编号1,2,1
11、0 0 0,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取1 0 0 名学生进行体质测验.若4 6 号学生被抽到，则下面 4名学生中被抽到的是（）A.8号学生 B.2 0 0 号学生 C.6 1 6 号学生 D.8 1 5 号学生【考点】B4：系统抽样方法.【分析】根据系统抽样的特征，从 1 0 0 0 名学生从中抽取一个容量为1 0 0 的样本，抽样的分段间隔为1 0,结合从第4组抽取的号码为4 6,可得第一组用简单随机抽样抽取的号码.【解答】解:：从 1 0 0 0 名学生从中抽取一个容量为1 0 0 的样本，.系统抽样的分段间隔为 竺=1 0，1 0 0：4 6 号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可
12、知，第一组随机抽取一个号码为6,以后每个号码都比前一个号码增加1 0,所有号码数是以6为首项，以 1 0 为公差的等差数列，设其数列为 ,则 的=6+1 0 -1）=1 0-4,当=6 2 时，“6 2=6 1 6,即在第6 2 组抽到6 1 6.故选：C.【点评】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔.7.（5 分）t a n 2 5 5 0 =（）A.-2-7 3 B.-2+V 3 C.2-5/3 D.2+A/3【考点】GO：运用诱导公式化简求值.【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解.【解答】解：t a n 2 5 5 =t a n （1 8 0 +7 5 ）=t
13、a n 7 5 =t a n （4 5 +3 0 ）t a n 4 5。+t a n 3 0 _ 二3+五 二（3+）2 2+6 l-t a n 4 5 t a n 3 0 乂 返一6 -6-2+V3-故选：D.【点评】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题.8.（5分）已知非零向量W，镉 足 百=2|芯，且（W-4）b.则W 与己的夹角为（）A.B.C.2 兀 D.5 兀3636【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角.【分析】由（a-b）_ L b，可 得（a-b）？=0,进一步得到|a|b|c o s-芯2=0,然后求出夹角即可.【解答】解：；（a-b）-L b ,(
14、a-b)*b=a*b-b=|a|b|c o s-b2=0,，c o s a，l a i I b|2 1 n 2 27 0,n-o故选：B.【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题.9.（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（A.A=-1-2+AB.A=2+LAC.A=1 1+2AD.A=+-L.2A【考点】E F：程序框图.【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解.【解答】解：模拟程序的运行，可得：A=,左=1；2满足条件ZW 2,执行循环体，A：；-,=2；满足条件上W 2,执行循环体，A=-；，&=3；2+H此时，不满足条件ZW 2
15、,退出循环，输出A的值为-L，2居观察A的取值规律可知图中空白框中应填入4=工.2+A故 选:A.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.2 210.（5分）双曲线C：0,60）的一条渐近线的倾斜角为130,则C2,2a b的离心率为（）A.2sin40 B.2cos40 C.-D.-sin50O cos500【考点】KB：双曲线的标准方程.【分析】由已知求得“tan50。，化为弦函数，然后两边平方即可求得C的离心率.a2 2,【解答】解：双曲线C：（a0,b 0）的渐近线方程为=a2 b2 a由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130,得
16、&ta n l3 0 =-tan 5 0，a则 2=tan50。a sin5QQcos500k2 2 2 2.2二 a。1 _2_c _a _c _ _ sin 5U=*2=2-2c no-2 二 c。a a a cos 5u cos 50-bCOS2500_1cos500故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题.11.(5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.己知 asinA-bsinB=4csinC,cosA=-1,则且=()4 cA.6 B.5 C.4 D.3【考点】HP：正弦定理.【分析】利用正弦定理和余弦定理列出方程
17、组，能求出结果.【解答】解：ABC的内角4,B,C的对边分别为m b,c,asinA-sinB=4csinC,cosA=-4a2-b2=4c2cosA-b2+c2-a2 1-2 b c二方解得 3c2=_bc，.也=6.c故选：A.【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12.(5分)已知椭圆C的焦点为尸1 (-1,0),放(1,0),过放的直线与C交于4 8两点.若 以 网=2|尸2B|,|AB|=|8尸I|,则C的方程为()2 2 2A.A_+v2=1 B.工 _+工_=12 3 22 2 2 2C.+X _=1 D.A _+y_=14 3
18、 5 4【考点】K4：椭圆的性质.【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得。=依，b=近,可得椭圆的方程.【解答】解：|AF2|=2|B尸2|,.|AB|=3|2|,又|AB|=|BFI|,：.B Fi=3 B F2,又出Fi|+|BF2|=2a,：.BF2=-,2：.AF2=a,BFi=a,2在 RtZAF2。中，COSZ A F 2 O=Xa4+(y)2-(-|-a)2在ABF1F2中，由余弦定理可得cosZBFzFi=-,2X2X-12_根据 COS/A B O+COS/B/FLO,可得L+.4-2.=0,解得 J=3,a 2ab2=a2-C2=3-1 =2.2 2所以椭圆C 的方
19、程为：工 _+二=1.3 2故选：B.【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.(5 分)曲 线 y=3(?+x)/在 点(0,0)处 的 切线方程为y=3x.【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】对 y=3(f+x)/求导，可将x=0 代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程.【解答】解：,.,y=3(7+x).yie1(x2+3x+l),.当 x=0 时，y=3,；.y=3(?+x)/在 点(0,0)处的切线斜率4=3,切线方程为：y=3x.故答案为：y=3x.【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处
20、的导数值为斜率是解题关键，属基础题.14.(5 分)记 S7为等比数列 ”的 前 项 和.若 ai=l,53=,则 S4=_ _4【考点】89：等比数列的前n 项和.【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解【解答】解：等比数列。的前项和，m =i,S3=3,4：.#3-=虫1-q 4整理可得，q2+q号二0，解可得，q=-,2则 S4=1二或=9=且-吗8故答案为：18【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题1 5.（5分）函数/（X）=s i n （2 x+兀一）-3 c o s x的最小值为-4 .2
21、【考点】G F：三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】线利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的单调性即可去求解最小值【解答】解：；/（x）s i n +：-）-3 c o s x.=-c o s 2 x-3 c o s x=-2 c o s x-3 c o s x+l,令 f=c o s x,则-1 WW LV/（r）=-2 尸-3 什1 的开口向下，对称轴/=力，在-1,1 上先增后减，4故当f=1 即 c o s x=I时，函数有最小值-4.故答案为：-4【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角好按时化简求值中的应用及利用余弦函数，二次函数的性质求解最
22、值的应用，属于基础试题1 6.（5分）已知NA CB=9 0 ,P为平面A 8 C 外一点，P C=2,点 P到N AC 8两边A C,B C的距离均为百，那么P到平面A B C的距离为，二.【考点】M K：点、线、面间的距离计算.【分析】过点尸作PO L4C,交 AC 于。，作 P E_ L B C,交 8c于 E,过 P作 P。，平面A B C,交平面 A B C 于。，连结 OQ,O C,则 PO=PE=,仄而 C D=C E=O D=O E=V 22-（V 3）2=1,由此能求出P到平面ABC的距离.【解答】解：ZACB=90 ,P为平面A B C外一点，P C=2,点P到/A C 8
23、两边AC,BC的距离均为百，过点尸作PD _LAC,交A C于 ,作尸E _ L 5 C,交2 c于E,过户作PO_L平面A B C,交平面A B C于0,连结 OQ,0 C,则尸。=P E=,C D=C E=OD=OE=22-（V 3）2=LP0=VPD2-O D2=V 3-l=V2-到平面A B C的距离为加.故答案为：2-【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、2 3题为选考题，考生根据要求
24、作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50名男顾客和5 0名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意男顾客4010女顾客 3 0 2 0(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有9 5%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？2附：*2=n(a d-bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(心人)0.0 5 00.0 1 00.0 0 1k3.8 4 16.6 3 51 0.8 2 8【考点】B L：独立性检验.【分析】(1)由题中数据，结合等可能事件的概率求解；2(2)代入计算
25、公式：K2-一3g与)、：一然后把所求数据与3.8 4 1 进行比(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)较即可判断.【解答】解：(1)由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率尸=也=且，50 5女顾客对该商场服务满意的概率2=或=旦；50 5(2)由题意可知，=100(40、20-30X 10)：=8 4.7 6 2 3.8 4 1,70X 30X 50X 50 21故有9 5%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础试题.1 8.(1 2 分)记 瓯为等差数列。“的前项和.已知S 9=-Q 5.(1)
26、若 4 3=4,求“的通项公式；(2)若 山 0,求 使 得 的 的 取 值 范 围.【考点】8 K：数列与不等式的综合.【分析】(1)根据题意，等差数列 所 中，设其公差为d,由 S 9=-4 5,即 可 得 S 9 =J 史=9。5=-。5,变形可得a 5 =0,结合“3 =4,计算可得”的值，结合等差2数列的通项公式计算可得答案；(2)若Snan,则 M+n 1)(n -1)cl,分n 1 与 两 种 情 况 讨 论，求2出的取值范围，综合即可得答案.【解答】解：(1)根据题意，等差数列 加 中，设其公差为d,(Si+an)X9若 S 9=-4 5，则 S 9 =-=-=9。5=-0 5
27、，变形可得 5 =0，即 4 1+4 4=0,2若 0 3=4,贝 I 4=5&3=_ 2,2则 an=as+(-3)d=-2 n+1 0,(2)若 S”2 a”,则“m+n(n D deai+(/;-1)d,2当=1 时，不等式成立，当2时，有 旭 d-m,变形可得(-2)2(Si+AQ)X 9又由 S 9=-5,即 S 9 =-=9 5=-5,则有 4 5 =0,即 l+4 d=0,贝!)有(2-2)-2 a,4又由m0,则有 W 1 0,则有 2 W W 1 0,综合可得：的取值范围是 川1 W W 1 O,n e N).【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列
28、与不等式的综合应用，属于基础题.1 9.(1 2 分)如 图，直四棱柱A B C。-4 B C 1 D 1 的底面是菱形，AAi=4,A B=2,Z B A D=6 0 ,E,M,N分别是 8 C,B B,A i)的中点.(1)证明：MN平面C i O E；(2)求 点 C到平面C i D E 的距离.【考点】MK：点、线、面间的距离计算.【分析】法一：(1)连结B i C,ME,推导出四边形MNDE是平行四边形，从而M N E D,由此能证明B iC R AiD,：.M E a N D,M N平面 CiD E.（2）过C作。E的垂线，垂足为H,推导出。E _ L 8 C,D C i C,从而
29、。E _ L平 面C i C E,D E C H,进 而C 4 _ L平 面C D E,故C H的长即为C到时平面C D E的距离，由此能求出点C到平面C i O E的距离.法二：（1）以。为原点，D 4为x轴，O E为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明M N平面CD E.（2）求出前=（-1,、氏0）,平 面C i DE的法向量苇=（4,0,1）,利用向量法能求出点C到平面C 1 DE的距离.【解答】解法一：证明：（1）连结B i C,M E,：M,E分别是8 8 1,8 c的中点，：.M E/B C,又 N为 A i 的中点，：.N D=AiD,2由题设知A i 8 i a
30、 DC,：.：.四边形MNDE是平行四边形，M N/E D,又 M M t 平面 CD E,平面 Cl D E.解：（2）过C作C 1 E的垂线，垂足为“，由已知可得 E _ L B C,D E LCiC,平面 C 1 C E,故 OE JL C H,；.C b_ L平面C i D E,故CH的长即为C到时平面C i OE的距离，由已知可得C E=1,CCi=4,：.C i E=4 1 7 故 C H=点C到平面C i D E的距离为生叵.1 7解法二：证明：（1）.直四棱柱A B C。-48 1 c l 1的底面是菱形，A 4i=4,AB=2,ZB AD=6 0 ,E,M,N分别是 8 C,
31、B B i,4力的中点.，。1 _ 1平面4 8 0）,D E LAD,以。为原点，D 4为x轴，C E为y轴，。为z轴，建立空间直角坐标系，M（1,2）,N（1,0,2）,D（0,0,0）,E（0,遥，0）,C（-1,弧,4）,诵=(o,-遮，0),5=(-1,4),瓦=(0,炳,0),设平面C i DE的法向量惹=(x,y,z),n DC=-x+V5y+4z=0则 0),平面C i QE的法向量=(4,0,1),.点C到平面C i E的距离：“底:I=4=4VT7 n F 7 TV l 7【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础
32、知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.2 0.（1 2 分）已知函数/（X）=2 s i n x -x c o s x-无，f（x）为/（x）的导数.（1）证明：/（X）在 区 间（0,豆）存在唯一零点；（2）若x 0,n 时，/（X）求a的取值范围.【考点】6 B：利用导数研究函数的单调性.【分析】（1）令g（X）=/（X）,对g（X）再求导，研究其在（0,T T）上的单调性，结合极值点和端点值不难证明：（2）利 用（1）的结论，可 设/（X）的零点为X 0,并结合/（X）的正负分析得到了（X）的情况，作出图示，得出结论.【解答】解：（1）证明：V/（x）=2 s i n x -xcos
33、x-x,:（x）=2 c o s x -c o s x+x s i n x -1=c o s x+x s i r i x -1,令 g （x）=c o s x+jc s i i i r -1,则/（x）=-s i n x+s i r t i+x c o s x=xcosx,当 花（0,-）时Z x c o s x 0,2T T当 X ,兀）时，X C OSX o,又 g(0)=0,g(n)=-2,(x)在(0,n)上有唯一零点，即/(x)在(0,I T)上有唯一零点；(2)由(1)知，f(X)在(0,T T)上有唯一零点X 0,使得 f(x o)0,且(%)在(0,x o)为正，在(x o,n
34、)为负，：.f(x)在 0,x o 递增，在 x o,7 T 递减，结合/(0)=0,f(T C)=0,可知/(x)在 0,n 上非负，令 h(x)ax,作出图示，(j c)(x),.,.a W O,【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法,难度较大.2 1.(1 2分)己知点A,B关于坐标原点。对称，|A 8|=4,O M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=O上，求0M的半径；(2)是否存在定点P,使得当A运动时，为定值？并说明理由.【考点】J9：直线与圆的位置关系.【分析】(1)由条件知点M在线段A 8的中垂线x-y=O上，设圆的方
35、程为O M的方程为(%-a)2+(j-a)2=#(R 0),然后根据圆与直线x+2=0相切和圆心到直线x+y=0的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；(2)设M的坐标为(x,y),然后根据条件的到圆心M的轨迹方程为f=4 x,然后根据抛物线的定义即可得到定点.【解答】解：。“过点4,8且A在直线x+y=0上，.点M在线段A 8的中垂线x-y=0上，设OM 的方程为：(x-a)2+(y-a)2=R2(R 0),则圆心M (a,a)到直线x+y=0的距离又|A B|=4,.在 Rt Z X O MB 中，d2+阴)2=网，2即 端 产+热 区 也又OM 与 x=-2 相切，.|+2|=R)由解
36、得(a=或(a=4,lR=2 lR=6的半径为2或6；(2).,线段A 8为O例的一条弦。是弦4 8的中点，圆心M在线段A B的中垂线上，设点 M 的坐标为(x,y),则QM|2+|OA|2=M4|2,与直线 x+2=0 相切，：.M Ax+2,|x+2=|O MF+|O A|2=，+)，2+4,.yl=4x,.M的轨迹是以F(1,0)为焦点x=-1为准线的抛物线，：.M A-M Px+2 -M P=|x+l|-M P+M F-M P+,当|M4|-|MP|为定值时，则点P与点尸重合，即P的坐标为(1,0),.存在定点P(1,0)使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值.【点评】本题考查了直线
37、与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方程的求法，属难题.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)1+t22.(1 0 分)在直角坐标系/O y 中，曲线。的参数方程为 C为参数).以坐标 原 点 O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直 线/的极坐标方程为2pcos0+A/3psin9+l 1 =0.(1)求 C 和/的直角坐标方程；(2)求 C 上的点到/距离的最小值.【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)把曲线C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把 =
38、8$0,y=psin。代入2pcos0+J&sinO+l 1 =0,可得直线/的直角坐标方程；(2)法一、设出椭圆上动点的坐标(参数形式)，再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值；法二、写出与直线/平行的直线方程为2xW 5y+iTF0,与曲线C 联立，化为关于X的一元二次方程，利用判别式大于0 求得m,转化为两平行线间的距离求C 上的点到/距离的最小值.【解答】解:(1)由 C为参数)，得y _ 2t2 1+t2两式平方相加，得*2+(-=1 (xW-1),2的直角坐标方程为*2+(-=1 (x#-1),由 2pcose+A/psine+ll=0,得 2乂+/5什 11=0即直线
39、I的直角坐标方程为得2x+V 3y+ii=o;(2)法一、设 C 上的点 P(cose,2sin0)(e#ir),则P到直线得2乂+石什11=0的距离为:，=.|2c o s 8+2V s i n 8+l l|=|s i n(8 +。)+1 1 1 7 7 -7?.当s i n(e+2+C2;a b c(2)(a+h)3+(h+c)3+(c+a)3 24.【考点】R6：不等式的证明.【分析】(1)利用基本不等式和1 的运用可证，(2)分析法和综合法的证明方法可证.【解答】证明：(1)分析法：已知a,b,c 为正数，且满足a 儿=1.要 证(1)A.+-l.+.L c+kr+c1；因为 ahc=
40、1.a b c就要证：abc+abc+abca2+z,2+c2.a b c即证：bc+ac+ah 2+/?2+c2；B|J：2 bc+2 ac+2 ab 2足+24 22；2 ca+2 庐+2,-2 bc-2 ac-2 a b W(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 0；,:a,b,c 为正数,且满足而c=l.(a-b)2 0；(6 7-c)2 0；(b-c)2 2 0 恒成立；当且仅当：=b=C=l时取等号.即(a b)2+(a-c)2+(b-c)2 2 0 得证.故工+工+工 4 2+廿+0 2 得证.a b c(2)证(+b)3+(b+c)3+(c+)3224 成立；即：已知4,b,
41、。为正数，且满足4反=1.(q+b)为正数；。+，)为正数；(c+)为正数；(a+b)3+(b+c)3+(c+a)(4+b)(b+c)(c+)；当且仅当(。+)=(H e)=(c+)时取等号；即：=b=c=l时取等号；,：a,b,c 为正数,且满足M c=L(a+b)2 2 4 ab；(匕+c)be；(c+)2 2 y&c；当且仅当4=b,b=c c=a 时取等号；即：q=6=c=l时取等号；:.(+b)3+(Z?+c)3+(c+)323(+/?)(人+c)(c+a)3X 8/ab,Vbc*Vac=24/?c=24；当且仅当。=b=c=l时取等号；故(+。)3+(b+c)3+(c+)3,2 4.得证.故得证.【点评】本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法.