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1、27第5章相似三角形之母子型一、单选题1.如图，在心AABC中，C O 是斜边A B 上的高，则图中的相似三角形共有（）A.1对 B.2 对 C.3 对 D.4 对【答案】C【解析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形.【解答】:N A C B=90。CD1AB.ABCAACD,ACDACBD,ABCACBD所以有三对相似三角形，故选：C.【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似.2.如图，ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 边上一点，F 是 AD、BE 的交
2、点，CE=2AE,BF=EF,ENBC交 AD于 N,若 B D=2,则 CD 长度为（）EBDCA.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】根据平行线的性质得到相等的角，再结合BF=EF先证明4NEF也Z D B F,即可得至lj NE=BD=2,再证明 A N E A A D C,根据相似三角形的对应边成比例求解.【解答】解：NEBC,，/N EF=/D B F,ZENF=ZBDF,又：BF=EF,.NEF 丝 ZXDBF,，NE=BD=2.VNE/7BC,.,.ANEAADC,.NE AE.-=-,CD ACVCE=2AE,.NE AE C D-A C-3/.CD=6.故答案选：A.【点睛
3、】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，主要注意数形结合思想的应用.3.如图，正方形ABCD中，E、F 分别在边CD,A D ,BELCF于点G,若 BC=4,A F=1,则 C E的长为（)A FDA.31 2B.51 6D.5【答案】A【解析】过D做。于点H,由正方形A B C D 的性质，通过证明 E D C s 尸 和F D H sM B G 计算得到G C,再通过证明丛ECGs丛CDF从而求得C E 的长.【解答】如下图，过D做于点H 4DHF=90.正方形A B C D:NFDC=90 且 A D =C D =3 C =4：A F =1F D
4、=A D A 尸=4 1 =3FC=Flf+C D2=7 32+42=5又 丁 NDHF=NFDC=90/AFDC/FHD3-5-F-F-FF9-5又,正方形ABCD二 AD/BC，NDFH=NBCG,/BELCF 于点 G NBGC=/CGE=90，AFD H s 4CBG.GC BC 4FHFD39FH=乙5.“1 2.GC=5ZFCD=ZECG 且 NFDC=NCGE=90，AECGs4CDF12：.EC GC _ y 37 c-C D-T-53 3，EC-FC=-x5=35 5故选：A.方法二:ZBEC+ZFCD=90,ZDFC+ZFCD=90,.ZBEC=ZDFC,又,:ZCDF=Z
5、BCE,BC=CD,.,.BCEACDF,，CE=DF=4-1=3;【点睛】本题考察了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知识；求解的关键是熟练掌握正方形、相似三角形的性质，从而完成求解.4.如图，点 P 是 AABC的 边 上 的 一 点，若添加一个条件，使A4BC与ACBP相似，则下列所添加的条件错误的是（）A.ZB P C =ZA C B B.ZA =ZBC P C.A B:B C =B C:P B D.A C:C P =A B:B C【答案】D【解析】在AABC与C B P中，已知有一对公共角N B,只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误.【解答】A.己
6、知/B=/B,若 NBPC=N A C B,则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意;B.已知/B=N B,若N A =N B C P,则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意;C.已知NB=NB,若=则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；D.若AC：CP=A 5：B C,但夹的角不是公共等角N B,则不能证明两三角形相似，错误，符合题意,故选：D.【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键.二、填空题5.如图，在边长为4正方形ABCD中，以 为 腰 向 正 方 形 内 部 作 等 腰A 3E，点G在。上，且C G =3 D C.连 接 并 延 长，与AE交
7、于点尸，与 延 长 线 交 于 点H.连接O E交5”于点K.若AE?=B F B H，贝.【答案】y【解析】作E M 1.A 5于M，交C O于N,根据勾股定理可得BG,再由相似三角形的性质可得BH,继而判定并求得BF的长，由全等三角形的性质可得M E,利用线段的和差求得EN,进而由三角形面积公式即可求解.【解答】作E M L A 5于M,E M交C D于N ,如图，则EN_LCD,CG=3DG,/.DG=1.CG=3,在HBCG中，BG=732+42=5*:DG/AB,：.AHDGS&HAB.普笔即嚼H解 得 期 可AE2=BF BH 而 AB=AE，AB2=BFBH-即 AB:BE=8
8、：AB,而 Z4班 =二 ABAFS/BHA.二 NBFA=NBAH=90,ABFIAE.n.AB2 42 12 BH 20 5，3VZBME=EFB,NMBE=NFEB,BE=EB,.,.BMEAEFB(AAS),，M E =B F =,5，E N =4-=-,5 5.*Sv&CDE=_ 12 X 4.X58_16故答案为：.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线求得关键线段的长解决问题.6.如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆0 经过点C,D.A C与 BD相交于点E,CD2=CECA,分别延长AB,DC相交于
9、点P,PB=BO,C D=2 0 .则 BO 的长是.【答案】4【解析】连结0 C,设。的半径为r,由 DC2=CECA和NACD=NDCE,可判断 C A D s C D E,得到ZC A D=ZC D E,再根据圆周角定理得NCAD=NCBD,所以NCDB=NCBD,利用等腰三角形的判定得PC pnBC=DC,证明OCA D,利用平行线分线段成比例定理得到三=f=2,则 PC=2C=4后，然后证明C Zri P C B s A P A D,利用相似比得到=一，再利用比例的性质可计算出r 的值即可.3r 6V2【解答】解：连结0 C,如图，设。的半径为小DC?=C E(A,.DC CA ，C
10、E DC而 NACD=NOCE,ACW ACDE，：.NCAD=NCDE,NCAD=NCBD,：.ZCDB=ZCBD,:.BC=DC,CD=C B，：.ZBOC=ABAD,：.0 C/A D,PC PO 2r c-=-=2,CD OA r:.PC=2CD=4y/2-.ZPCB=ZPAD,ZCPB=ZAPD,丛PCBs/PAD,.PC PB 472 r-=,即-=1=,PA PD 3r 6A/2/.r=4,即 0B=4.故答案为：4.D【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分
11、发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可.也考查了圆周角定理.7.如图，在AABC中，ZABC=45,A B =2/2 AD=AE，/D A E=90，CE=&，则 CD 的长为.【答案】5【解析】在CD上取点F,使ZDEF=NADB，证明&A D B s&D E F，求解。尸=4,再证明CEFSK D E,利用相似三角形的性质求解C F即可得到答案.【解答】解：在CD上取点F,使 4EF=NAD
12、B,.AD=AE，A E =90,由 J g+a炉DE=V2AD=V2AE，./ABC=45。，/A D E=45。，且 NADC=/ADE+NEDC=NAB。+ABAD,.4 A D =4 D C,.4 D A =E E F，/.ADB s zJDEF，DF DE r-=V2,NEFD=NABO=45。，AB ADAB=2V2，.DF=4,又ZAED=45=NCDE+,NEFD=NCEF+ZC=45,./C E F =/C D E,z c=z c,/.CEF s ACDE,CE DC CF-CE）又.DF=4,CE=B.5/5 _CF+4C F V5.CF=1 或CF=5（舍去）,经检验：5
13、=1符合题意，.CD=CF+4=5.故答案为：5.本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.8.如图D、E 分别是AB、AC上的点，DEBC,ABC的内角平分线AQ交 DE于点P,过点P 作直线交 AB、AC 于 R、S,若 券=%=*,5。=9,则 DE=_Z U r i j j【答案】6AH AS 2【解析】由=一，且N R A S=/C A B,可证得A A R S sa A C B,所以/A R S=N A C B,再由AC AB 3代入可求得DE.APAR_2DEAP2ZBAP=CAQ 可证得 A
14、 R PA A C Q,=-Z再由DEB C,可知二二二-z把 BC的值AQAC3BCA。3AR A s 2【解答】解：一=一，且NRAS=NCAB,AC AB 3/.ARSAACB,.ZARS=ZACB,又；AQ为角平分线，.ZBAP=CAQ,/.ARPAACQ,AP AR 2而一前一：DEBC,.DE AP _2 BC-AQ-3VBC=9,.DE 2 ，9 3，DE=6.【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，解题的关键是能利用条件两次证得三角形相似，从而得到DE和BC的比值.9.如图是一张矩形纸片，点E在 边 上，把ABCE沿直线CE对折，使点8落在对角线AC上的点F处，连接。尸.若
15、点E,F,。在同一条直线上，AE=2,p lij DF=,BE=.【答案】2 V5-1【解析】先根据矩形的性质得到4)=3。，NAQC=NB=ND4E=9 0,再根据折叠的性质得到CF=BC,NCFE=NB=90,EF=B E,然后根据全等三角形的性质得到。E=AE=2；最后根据相似三角形的性质即可得BE的值.【解答】.四边形ABCD是矩形A AD=BC,ZADC=ZB=ZDAE9Q:把ABCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处:.CF=BC,ZCFE=ZB=90,EF=BE：.C FAD,NCFD=90，ZADE+ZCDF=ZFCD+ZCDF=90:ZADE=NFCDZADE=Z
16、FCD在 AADE和 方C D中，A。=ZDAE=NCFD=90:.ADEFCD（ASA）DF=AE=2,/ZAFE=NCFD=90。ZAFE=ZDAE=90:ZAEF=ADEA:.AEF DEA.-A-E-=-E-F-，即nri-A-E-=-E-F-DE AE DF+EF AE.2 EF 2+EF1解得EF=逐一 1或=石一 1 AZ=-仅时=2，又：ABNC=AZC=9 0 .，这ABNC,.AZ BN =，AC BC2 _ BN 广-,解得 BN=2 V 3，根据勾股定理得4 V =yjAB2-BN2=J 42(2次 =2,:.N C =6,根据题意可得N B )E =9 0 ,即可得到
17、ZNBD=ZMDE,线段B D绕点D顺时针旋转9 0 至E D:.BD=ED:.丛MED 三 4NDB,：.M E=D N=C N-C D=6-X,2 4CDE=X CD X ME=2-x（6 -z）x x=-x2+3 x ,2 v 7 2bx=-二面积最大时，2a9此时x 9+3 x 3=-.最 大2 2【点睛】本题主要考查了相似三角形、等腰三角形的性质以及勾股定理的灵活应用，做出辅助线是解题的关键.三、解答题1 1.如图，在 ZiABC 中，。为 BC 边上的一点，且 A C=2,CD=4,B D=2,求证：&A C M XBCk.【答案】证明见解析.【解析】根据4c=2#,CD=4,B
18、D=2,可 得 生=乌，根据/C=/C,即可证明结论.B C A C【解答】解：A C=2，CD=4,80=2.AC _ 276 _ V6 C D 4娓 B C 4+2 一 丁 A C 276-3.A C C D5C-AC:NC=NC二 AACDABCA.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键.1 2.已知，如图，ZSABC 中，AB=2,B C=4,。为 BC边上一点，BD=,AD+AC=S.BDC（1）找出图中的一对相似三角形并证明；（2）求 AC长.【答案】（1）B A D /B C A,理由见详解；（2）y【解析】（1）由 题 意 易 得 些=丝=,然 后 由
19、Z B 是公共角，问题可证；A B B C 2AD 1（2）由（1）可 得 把=上，再由AO+AC=8可求解.AC 2【解答】解：（1）B A D A B C A,理由如下：A B=2,B C=4,B D=,B D _ 1 A B _ 2,B D _ A B I又 ZB=ZB,A BAD0ABCA；A n i（2）由（1）得：=-,即 A C=2 4）,Zl X-z 乙 AO+AC=8,QA A D+2 A D =8,解得：A D =-f3AC=.3【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.1 3.如图，在边长为4 的正方形A8C。中，点 E 为对
20、角线AC上一动点（点 E 与点A,C 不重合），连接D E,作 EFLD E交射线BA于点儿 过点E 作 MN8 c 分别交C。，A 8于点M、N,作射线D F交射线C4于点G.（1）求证：E F=D E；（2）当4/=2 时，求 G E的长.【解析】（1）根据正方形的性质以及E F L D E,证明 DME丝4 E N F 即可；（2）根据勾股定理计算出D F,根据平行线的性质得到空=坐，计算出DG,FG 的值，利用特殊角的AF FG锐角三角函数计算出D E的值，最后证明 D G E s/A G F,利用相似比列出方程即可求出G E的值.【解答】（1）证明：.四边形ABCD是正方形，且 MN
21、BC,四边形ANMD是矩形，ZBAC=45,AZANM=ZDMN=90,EN=AN=DM,ZDEM+ZEDM=90,:EFIDE,ZDEM+ZFEN=90,AZEDM=ZFEN,在ADM E与aE N F 中ZDME=ZENF=90,DM=EN,ZEDM=ZFEN,AADM EAENF(ASA),EF=DE(2),四边形ABCD是正方形,ABDC,ZDAB=90,J DFt y/AD2+A F2=275:爷 嘿，即 白 刃言 解 得:D G=，.FG=D F-DG=,3又：DE=EF,E F l DE,.DEF是等腰直角三角形，二 ZEDF=45,DE=EF=DFsin 45=275 x =V
22、 10，2二 ZGAF=ZGDE=45,又.NDGE=NAGF,.,.DGEAAGF,nx，.噂=H口，即屈=_ 而GE，解得：G EWc r-，A r Lrr-33.”5夜 (JE=-.3【点睛】本题考查了正方形的性质以及相似三角形的性质及判定，第（1）问的解题关键是证明 D M E A E N F,第（2）问的解题关键是通过相似三角形的性质列出方程.1 4.如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根标杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过标杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m,标杆顶端离地面2.4m,小明到标杆的距离DF=2m,标杆到塔底的距离DB=30m,求这座古塔的高度.
23、【答案】14.3m【解析】先根据小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EHLAB可知，BH=DG=EF=1.5m,再小明眼睛离地面1.5m,竹杆顶端离地面2.4m求出C G 的长，由于CD AB可得出 E G C sE H A,再根据相似三角形的对应边成比例可求出AH 的长，进而得出A B的长.【解答】解：；小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH1AB,，BH=DG=EF=1.5m,EG=DF,GH=DB,小明眼睛离地面1.5 m,竹杆顶端离地面2.4m,，CG=CD-EF=2.3-1.5=0.8m,；CDAB,.EGCAEHA：DF=2m DB=30m,.EG CG7 A Q即 布 T而,解得：A H*
24、.8m,.,.AB=AH+BH=12.8+1.5=14.3m,答：古塔的高度是14.3m.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例得出结论是解题的关键.1 5.如图，已知双曲线y=(x 0)经 过 斜 边 的 中 点。，与直角边A 8 相交于点C，若 A O 8C 的面积为3,求大的值.【答案】k=2【解析】过点。做轴，可得S A O E 0 =S A A=g A，再根据八。钻6八0即 可 得5 4。”=2%，最后根据 SbOBc=S&OAB-SWCA=2 k -k=3 即可求得 k 的值【解答】解：过点。做O E _ L x轴，垂足为,中，
25、N Q 4 B =9 0 ,，DE/AB,/D为R t A O A B斜边08的中点,；OE为用AMS的中位线*A O A B0 0 A O E D 且.0 B 2 双曲线的解析式是ykx SOED=S&O C人=5%，S，O A B =2kSOBC=SOABSOCA=2 k-g k=3解得Z=2k【点睛】主要考查了反比例函数 丁=一 中k的几何意义，相似三角形的性质和判定.过双曲线上任意一点引XX轴、y轴垂线，所得三角形面积为g|%|是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义.1 6.如图，AB=16cm,AC=12cm,动点P、Q分别以每秒2cm和
26、1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止，（点P到达点C后，点Q继续运动）（1）请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出定义域.（2）当t等于何值时，ZkAPQ与aABC相似？【答案】x=2f（0W Y 6）,%=1 6 7（0（区16）；（2）在 0 K Y 6 中，当 f=首 时，AAQP AA3C,在6W/W16 中，当t=7时，AACC-AACB.【解析】（1）本题可结合三角形的周长，根据路程=速度x时间求出AP的长3和AQ的长必关于时间t的时间函数。（2）分叱区6,6sts16两种情况，根据相似三角形的性
27、质求出所用的时间。【解答】解：由 题 意 得：y=2 f（OWY6）,必=1 6 f（0W/W16）；(2)当0K/W6时,若0/7/8C，则有AAQPA4BC,.丝=丝A B A C：A8=16cm,AC=12cm,A P =Item,AQ=(16-f)cm,16 Z 2t.48-=一，解得：t=16 12 11；Z4=ZA，若 ZAQP=N C,则有 ZV1QPAACB.A Q A P .16-t _2t AC-AB 12-16）解得：t=6 A（不符合题意，舍去）;当6W/W16时，点P与C重合，NA=NA，只有当NAQC=NACB时，有A4QC A4C8,.A Q A C.16-/12
28、 =-,-，解得：t=7,A C A B 12 1648在0W/W6中，当=五 时，AAQP A48C,在中，当r=7时，AA0C M C B.【点睛】本题考查了动点函数的问题的题型，关键点是把握住题目条件给出的等量关系，还考查了相似三角形的性质.（2）中能分类讨论是解题关键.1,517.如图，抛物线乙：=一 炉 一一X-3与X轴正半轴交于点A,与），轴交于点B.2 4（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如 图1,点尸为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PCLx轴，垂足为C,P C 交 A B于点。，求PD+5D的最大值，并求出此时点P的坐标；1 ,5（3）如图2,将
29、抛 物 线=-f一一%3向右平移得到抛物线/,直线A3与抛物线Z/交于例，N两 2 4点，若点A是线段MN的中点，求抛物线的解析式.【答案】直 线 钻 的 解 析 式 为 =+-3 抛物线顶点坐标为5 1 2 1“一 五；(2)当 x=U 时，P D+B D41 6 9的最大值为B；P3 21 3 _ 5 7T，-3 2；(3)-I.-2 4 2【解析】（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线AB的 解 析 式 为 利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；（2）过点。作DE工y轴于E,则DE/OA.求得A B=5，设 点 尸 的 坐 标 为-|x
30、-3 x 4,则点。的坐标为-E D=x,证明,由相似三角形的性质求出8。=,用含x的式子表示P D,配方求得最大值，即可求得点P的坐标；1 1 2 1（3）设平移后抛物线的解析式丁=5。-加）2-五，将L，的解析式和直线A B联立，得到关于x的方（3、?5程，设“（玉/）,7 7（工2，%），则 占 是 方 程f 2,+1 x+/一 记=0的两根，得到3%1 +x2=2|m+4，点 A为 MN的中点，玉+/=8,可求得m的值，即可求得U的函数解析式.【解答】在 y =32-%-3中I 5 3令 y =0,则5工 2_1工_ 3 =0,解得玉=_,X 2=4,，4 4,0）.令 x=0,则 y
31、 =-3,二 3（0,_ 3）.设直线AB的解析式为卜=履+。，贝 叫4 Z+b =0z,，解得:。=一3,3k=4,b=-33直线”的 解 析 式 为 广 片 一 3.-32 4 25x 4271 2 1五.抛物线顶点坐标为5 1 2 14，-3 2(2)如图，过点。作轴于E,则。上 。4.0 4 =4,0 8 =3,AB=y/o+OB2=7 42+32=5，设点P的坐标为fx,JC2%3 *-5 4BD=-x.4而 PD=%3|x,4 1 22-X-341:.P D+B D =x2,2+2 +x=-x2+1 6 9+-，3 224+2 x,224:一一 0,-x 4,由二次函数的性质可知:
32、2 4当x=U时，PD+BD的最大值为 他.4 3 2为鼻-3 =，4 4 41 3|-5X13_3=_571 4 4 3 21 3 _ 5 7T，-3 2i i o!(3)设平移后抛物线/的解析式y =5(x /)2五.当 一3,2 04 2 3 2整理，得：%2-2 L?2 +1x+m2-=O,1 6设（百，%）,N（w，%），则无|，毛是方程2 52 =的两根，162/3、X-2 /H|x+机I 4)/.X +Z =2加+44 J而人为朋?/的中点，芯+工2=8,2 1 m+a1 3=8,解得：m =.4.抛物线/的解析式y =g1 3?x-4 J1 2 1 1 2 1 3 3=X-X
33、+一.3 2 2 4 2【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质.1 8.如图，在 ABC中，/ACB=90。，将 ABC沿直线AB翻折得到 A B D,连接CD 交 A B于点M.E是线段CM 上的点，连接BE.F 是A BDE的外接圆与AD 的另一个交点，连接EF,BF,(1)求证：ABEF是直角三角形；(2)求证：BEFABCA；(3)当 AB=6,BC=m时，在线段CM 正存在点E,使得EF和 A B互相平分，求 m 的值.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2百【解析】想办法证明NBEF=
34、90。即可解决问题(也可以利用圆内接四边形的性质直接证明).(2)根据两角对应相等两三角形相似证明.1 1m2(3)证明四边形AFBE是平行四边形，推出F J=-B D=-m,E F=m,由 A B C s/C B M,可 得 BM=-2 2 6由A B E F s B C A,推 出 生 =生，由此构建方程求解即可.EF BE【解答】(1)证明：由折叠可知，ZADB=ZACB=90ZEFB=ZEDB,ZEBF=ZEDF,二 ZEFB+ZEBF=ZEDB+ZEDF=ZADB=90,ZBEF=90,.BEF是直角三角形.(2)证明：VBC=BD,AZBDC=ZBCD,TNEFB=NEDB,A Z
35、EFB=ZBCD,VAC=AD,BC=BD,A AB CD,/.ZAMC=90,/ZBCD+Z ACD=Z ACD+ZCAB=90,AZBCD=ZCAB,.*.ZBFE=ZCAB,VZACB=ZFEB=90,AABEFABCA.(3)设 EF交 AB于 J.连接A E,如下图所示:EF与 A B互相平分，四边形AFBE是平行四边形,.ZEFA=ZFEB=90,即 EF_LAD,VBDAD,J EFBD,VAJ=JB,AAF=DF,.FJ=；BD 喘EF=m ABCACBM BC:MB=AB:BC2 BN4-,6 BEJABME,BE:BM=BJ:BEm：BEFABCA,.AC BCEFBE43
36、6一 /篦 2 m-=-即 m m双解得m=2A/3（负根舍去）.故答案为：2省.【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.1 9.如图，在AABC中，N C =9 0,A B =5,A C =4 .点2从点C出发，沿Cf A fC以每秒1个单位的速度运动.点。从点A出发，沿A f 3 C以每秒1个单位的速度运动，点。到达点C时，P、。两点同时停止运动.点P不与点A、。重合时，以为4 P、AQ邻边作YAPRQ.设点P的运动时间为，秒.（1）用含，的代数式表示AP的长；（2）当点R落
37、在 边 上 时，求，的值；（3）当点。在A3边上时，设YAPRQ与 重 叠 部 分 图 形 面 积 为5,求S与，之间的函数关系式.（4）连结AA,当射线AR平分AAHC面积时，直接写出f的值.【答案】（1）当0 /4时，A P =4-7；当4 /8时，4尸=一4；（2）/=一 ；（3）当0 /4时,90 3 2 12”“4 0 3 2 1 2 、4 0,一S=一一厂+一r；当4 /一 时，S =一一厂，；当一，5时，S5 5 9 5 5 91 2 3 2 4 2 cz.、2 0-r +，-2 4；（4=2 0 0 59-6 4或 F【解析】（1）点尸从点C出发，沿Cf A fC运动，所以A尸
38、的长有两种情况，分别表示即可；4（2）根据已知得到所以Q R =4 再利用Q A =A尸得到关于t的方程求解即可;（3）根据题意画出图形，求解即可;(4)若射线A A平分AABC面积，则线段4 R的延长线经过A B的中点，或者线段A R经过A B的中点，画出图形即可求解.【解答】(1)当0，4时，A P =4一八当4，8时，AP=t-4.(2)此时状态如图：.四边形A P R。是平行四边形，QR/AP,且 Q R =A P,/.LQBRs/ABC,.空=空,即工AC AB 4 54：.QR=4-tf4AP=4 t,54当0 f v 4时，4-1 =4一4，无解；4 4 0当4，8时，r-4 =
39、4-r,解得，=.(3)当f v；4 0时，Y A P A Q与A A b C重叠部分图形为Y A P R Q,过点。作QM，A C于点M,如图：.矍嚼，即Q M=|f3 3 12；当0 r 4时，S=A P Q M=1 r(4-r)=-j r2+y z,40 3当4 /刀 时，S=AP QM 4)3 2 125 540当时，YAPRQ与AABC重叠部分图形如图,93540，当,，5 时,912 1 3 t-x 5 2 4z-4-(5-r)123 2 42 c”-厂 +，一 24；200 5(4)若射线AR平分 ABC面积，则线段AR的延长线经过AB的中点，或者线段AR经过AB的中点,当线段A
40、R的延长线经过A8的中点时,A当线段AR经过AB的中点时,t-4 4 64可得-,t 6.5-r 1.5 11g、20 T 64综上，t 或 =.9 11【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质等内容，解题的关键是根据题意画出每个状态的图形.20.(1)问题感知如图1,在 ABC中，Z C=9 0,且 A C=B C,点 P 是边A C 的中点，连 接 BP,将线段PB绕点P顺时针旋转90。到线段P D.连接A D.过点P作 PEA B 交 BC于点E,则图中与 BEP全 等 的 三 角 形 是,NBAD=；4(2)问题拓展 如图2,在 ABC中，A C=B C=A B,点 P 是 C A延长线
41、上一点，连接B P,将线段PB绕点P 顺时针旋转到线段P D,使得/B P D=/C,连接A D,则线段C P与 AD之间存在的数量关系为CP4=A D,请给予证明；3（3）问题解决 如图3,在 ABC中，A C=B C=A B=2,点 P 在直线AC上，且NAPB=30。，将线段PB绕点P 顺时针旋转60。到线段P D,连接A D,请直接写出 ADP的周长.【答案】（1）APAD,90；（2）证明见解析；（3）6+2百.【解析】（1）由“SAS”可证 PAD丝 A B E P,可得NPAD=/BEP=135。，依据/ABC=45。，可得NBAD=90。；（2）过点P 作 PHA B,交 C
42、B 的延长线于点H,由“SAS”可证 APD丝ZXHBP,可得PH=AD,通过证明Ar rp C A B-A C P H,可 得 一 二,即可得结论；AB PH（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和相似三角形的性质可求解.【解答】证明：（1）点P 是边A C的中点，PE/7AB,点E 是 BC的中点，CE=BE,Y AC=BC,BE=AP,;将线段PB绕点P 顺时针旋转90。到线段PD.PB=PD,VZAPD+ZBPC=90,ZEBP+ZBPC=90,NEBP=NAPD,又,PB=PD,.PAD经ZXBEP(SAS),NPAD=NBEP,V ZC=90,AC=BC,NBAC=NABC=45
43、。，VPE/7AB,.ZA B C=ZPEC=45,A ZBEP=135,AZBAD=ZPAD-ZBAC=135-45=90,故答案为：ZiPAD,90；(2)如图，过点P 作 PHA B,交 C B 的延长线于点H,A ZCBA=ZCHP,ZCAB=ZCPH,VCB=CA,ZCBA=ZCAB,:.ZCHP=ZCPH,，CH=CP,BH=AP,:将线段PB 绕点P 顺时针旋转90。到线段PD.，PB=PD,：NBPD=NC,/.ZBPD+ZBPC=ZC+ZBPC,，/PB H =/A PD,/.APDAHBP(SAS),A PH=AD,：PHAB,AACABACPH,.AC ABPCPH.CP
44、4；AC=BC=AB,3 CP _ 4 PH 34 4；.CP=-PH=AD；3 3(3)当点P 在 C A 的延长线上时,VAC=BC=AB=2,.二 ABC是等边三角形,.ZACB=60,.将线段PB绕点P 顺时针旋转60。到线段PD,BP=PD,ZBPD=60=ZACB,过点P 作 PEA B,交 C B 的延长线于点E,图3ZACB=ZAPB+ZABP,AZABP=ZAPB=30,AB=AP=2,CP=4,.,ABPE,.AB _ CAPECP CP=PE=4,由（2）得，PE=AD=4,Z APD=Z APB+BPD=90,DP=L-DP?=J16-4=2 g，.ADP 的周长=AD+AP+DP=2G+6,当点P 在 AC延长线上时，如图,B同理可求4 ADP的周长=6+2 6，综上所述：ADP的周长为6+26.【点睛】本题几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30。角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算.