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1、25第5章相似三角形之A字型相似学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1如图，已知若的面积为，则的面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出，代入求出即可【详解】解：ADEABC，AD：AB1：3，ABC的面积为9，SADE1，故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键2如图，ABO的顶点A在函数y（x>0）的图象上，ABO90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q若ANQ的面积为1，则k的值为（）A9B12C15D18【答案】D【解析】【分析】易证ANQAMPA
2、OB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出ANQ的面积，进而可求出AOB的面积，则k的值也可求出【详解】解：NQMPOB，ANQAMPAOB，M、N是OA的三等分点，四边形MNQP的面积为3，SANQ=1，SAOB=9，k=2SAOB=18，故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出SANQ=1是解题的关键3直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】
3、分别过点A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，先根据全等三角形的判定定理得出BCEACF，故可得出CF及CE的长，在RtACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出CDGCAF，故可得出CD的长，在RtBCD中根据勾股定理即可求出BD的长【详解】如图，分别过点A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，ABC是等腰直角三角形，ACBC，EBC+BCE90°，BCE+ACF90°，ACF+CAF90°，EBCACF，BCECAF，在BCE与ACF中，CBEACF（ASA）CFBE，CEAF，l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，CFBE3，CE
4、AF3+14，在RtACF中，AF4，CF3，AC5，AFl3，DGl3，CDGCAF， ，在RtBCD中，BC5，所以故答案为：D【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键4如图，、分别交于点、，则下列结论中错误的是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再变形，结合相似三角形对应边成比例即可判断各个选项【详解】解：ABCDA选项正确，不符合题目要求；AEDF，CEGCDH，,ABCD，, ，B选项错误，符合题目要求；ABCD，AEDF，四边形AEDF是平行四边形，AF=DE，AEDF，；C选项正
5、确，不符合题目要求；AEDF，BFHBAG，D选项正确，不符合题目要求故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键5如图在ABC中，DEBC，B=ACD，则图中相似三角形有（）A2对B3对C4对D5对【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论【详解】B=ACD，A=A，ACDABC，DEBC，ADEABC，ACDADE，DEBC，EDC=DCB，B=DCE，CDEBCD，故共4对，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角
6、形与原三角形相似二、填空题6如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 【答案】1.5米【解析】如图，DEBC，ADEACB， 解得h=1.5（米）7在矩形ABCD中，点E 是AD上一动点，过点E作EFBD交AB于F，将AEF沿EF折叠，点A的对应点落在BCD的边上时，AE的长为_【答案】2或【解析】【分析】分落在BD上或BC上两种情况，分别画出示意图，根据矩形的性质以及折叠的性质求解即可【详解】解：当落在BD上时，如下图：在矩形ABCD中，根据折叠的性质可知，EFBD；当落在BC上时，如下图：故答案为：2或【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、平行
7、线的性质、折叠的性质、相似三角形的判定及性质，考查的范围较广，但难度不大，根据题意画出示意图是解此题的关键8如图，小杨将一个三角板放在上,使三角板的一直角边经过圆心,测得,则的半径长为_cm【答案】3.4【解析】【分析】作OHBC于H，如图，则CH=BH，先利用勾股定理计算出BC=，则CH=，再证明RtCOHRtCBA，然后利用相似比计算OC即可【详解】连接BC，作OHBC于H，则CH=BH，在RtACB中，BC=，CH=，OCH=BCA，RtCOHRtCBA，即，解得，OC=3.4故答案为：3.4【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
8、角的一半也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质9如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_【答案】4.5【解析】【分析】设之间的距离为x米，根据题意可得，即，代入数值解得x=2，进而求得AB，即可求得路灯的高度【详解】如图，设之间的距离为x米，根据题意可得，即，解得，经检验是所列方程的解，解得，经检验是所列方程的解，故路灯的高为4.5米故答案为：4.5【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，会利用相似三角形的性质列出方程是解答的关键10平行于BC
9、的直线DE把ABC的面积平分，且交边AB、AC分别于点D、E，则的值为_【答案】【解析】【分析】利用相似三角形的性质即可求解【详解】平行于BC的直线DE把ABC的面积平分，DEBC，ADEABC，即，解得：故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握“相似三角形面积的比等于相似比的平方”是解题的关键三、解答题11（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容（定理证明）请根据教材内容，结合图，写出证明过程（定理应用）如图，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE，点F在边CB上，CF= 2BFO为AC的中点，连结EF、OE、
10、OF（1）EF与AC的数量关系为_（2）与的面积比为_【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF与AC的数量关系为；（2）与的面积比为【解析】【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得，设，再根据三角形的面积公式分别求出与的面积，由此即可得出答案【详解】定理证明：点D、E分别是AB、AC的中点，在和中，且；定理应用：（1），在和中，即；（2）如图，过点O作于点M，作于点N，四边形ABCD是矩形，即，点O是AC的中点，、是
11、的两条中位线，设，则，即与的面积比【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，运用到三角形中位线定理是解题关键12如图，在中，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，圆是的外接圆（1）求证：为圆的切线；（2）若，求圆的半径【答案】（1）证明见详解；（2）圆的半径为3.【解析】【分析】（1）连接，根据半径所形成的等腰三角形和平分可以得到，从而证出，即可得证；（2）根据角度的转化，结合得到，可以证明，结合相似三角形的性质可以得到，同时，利用角度相等则三角函数值相等可以得到，从而分别求出，即可求出半径；【详解】（1）连接 圆是的外接圆
12、平分 即 为圆的切线（2） 由（1）证得： 在和中： ，且 ， 圆是的外接圆,且 是圆的直径 圆的半径为3【点睛】本题主要借助平行线进行圆切线的判定，同时考查了圆和三角形的相似，综合度比较高，准确的作出辅助线并找到相似三角形是求解本题的关键.13如图，BD为的直径，交BC于（1）求AB的长（2）延长DB到F，使得，求证：直线FA与相切【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先证明ABEADB，利用相似三角形的性质可求得AB的长；（2）连接OA，在RtABD中可求得BD，可证明AOB为等腰三角形，结合BF=BO可证明OAF=90°，证得结论【详解】解：，解得；证明：如图，连接
13、OA， 为直径，为直角三角形，在中，又，直线FA与相切【点睛】本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质的应用，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径14如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q（1）求证：PCQRDQ；（2）求BP：PQ：QR的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据，即可证明；（2）根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，再根据，即可求解【详解】解：（1），又（
14、2）四边形和四边形都是平行四边形，又点是中点，由（1）知，又，【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握平行四边形的性质、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键15有这样一道题：已知：如图（1），点在内部，连，点，分别在，上，且，（1）求证： ；（2）若将这题图（1）中的点移到外，如图（2），其他条件不变，试 问：与有何关系？请你完成图（2），写出你的结论（不需证明）【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质，得出对应边成比例，证明三角形相似【详解】（1）证明：（2）如图，,【点睛】本题图形复杂，主要考查了相似三角形的判定以及平行线成比例定理，正确掌握平行线分线段成比
15、例定理是解题关键.16如图，求证：【答案】见解析【解析】【分析】由推出，由推出，再由相似三角形的性质证得，并证出，然后容易证明【详解】解：【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定定理，灵活使用性质定理和判定定理是解题关键17（1）如图，在中，点、分别在、上，且，交于点，求证：（2）如图，中，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点如图，若，直接写出的长；如图，求证：【答案】(1)见解析;(2)；见解析.【解析】【分析】（1）可证明ADPABQ，ACQADP，从而得出;（2）根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据ADEABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；由，得
16、又为正方形，得出，同理，有，又因为，所以，所以【详解】（1）证明：如图1在中，由于，同理在ACQ和AEP中，（2）如图2, 作AQBC于点QBC边上的高DE=DG=GF=EF=BG=CFDE：BC=1：3又DEBC，AD：AB=1：3，DE边上的高为,故答案为证明：如图3，又为正方形，同理，在中有，又因为，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题18如图，在中，若动点从点出发，沿射线运动，运动速度为每秒2个单位长度过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为（1）求出关于的函数关系式；（2）当为何值时，的面积有最大值或最小
17、值，最大值或最小值为多少？【答案】(1) ;(2)x=2时，s有最大值，且最大值为6.【解析】【分析】(1)分两种情况讨论：当点在线段上时，然后利用相似三角形的对应边成比例求得，用x、y表示该比例式中的线段的长度整理后即可；当在延长线上时，用x、y表示该比例式中的线段的长度整理后即可；（2）当在线段上时，求得，化成顶点式，可求最值；当在延长线上时，化成顶点式，可求最值【详解】（1）如图，当点在线段上时， ，又，如图，当在延长线上时，（2）如图，当在线段上时，当时， 当时，有最小值，且最小值为不符合题意舍去如图，当在延长线上时，综上所述：当时，有最大值，且最大值为6【点睛】本题主要考查相似三角形
18、的判定、平行线截线段成比例定理、三角形的面积及二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键19矩形ABCD中，AB8，AD12将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE（1）如图，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；（2）如图，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长【答案】（1）；（2）BF3【解析】【分析】（1）如图中，取DE的中点M，连接PM证明POMDCP，利用相似三角形的性质求解即可（2）如图中，过点P作GHBC交AB于G，交CD于H设EG=x，则BG=4-x证明EGPPHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在RtPHD中，由PH2+DH2=PD2，可
19、得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明EGPEBF，利用相似三角形的性质求解即可【详解】解：（1）如图中，取DE的中点M，连接PM四边形ABCD是矩形，BADC90°，由翻折可知，AOOP，APDE，23，DAEDPE90°，在RtEPD中，EMMD，PMEMDM，3MPD，13+MPD23，ADP23，1ADP，ADBC，ADPDPC，1DPC，MOPC90°，POMDCP，（2）如图中，过点P作GHBC交AB于G，交CD于H则四边形AGHD是矩形，设EGx，则BG4xAEPD90°，EGPDHP90°，EPG+DPH90
20、6;，DPH+PDH90°，EPGPDH，EGPPHD，PG2EG3x，DHAG4+x，在RtPHD中，PH2+DH2PD2，（3x）2+（4+x）2122，解得：x（负值已经舍弃），BG4，在RtEGP中，GP，GHBC，EGPEBF，BF3【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题20如图，点O是ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且m，n（1）若点O是线段BC中点求证：m+n2；求mn的最大值；（2）若k（k0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）【
21、答案】（1）证明见解析；mn有最大值1；（2）nkkm+1【解析】【分析】设AMa，ANb由m，n可得ABam，ACbn，那么MBMAABaam（1m）a，CNACANbnb（n1）b（1）若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BHAC交MN于H，利用ASA证明OBHOCN，得出BHCN（n1）b由BHAN列出比例式，求解即可；由的结论m+n2得出m2n，那么mn（2n）nn2+2n（n1）2+1，根据二次函数的性质即可得出当n1时，mn有最大值1；（2）若k（k0），如图2，过点B作BGAC交MN于G，证明OBGOCN，根据相似三角形对应边成比例得出，那么BGb由BGAN列出比例式，整理即可
22、得出m，n之间的关系.【详解】解：设AMa，ANb.m，n，ABam，ACbn，MBMAABaam（1m）a，CNACANbnb（n1）b.（1）若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BHAC交MN于H，OBHOCN.在OBH与OCN中，OBHOCN（ASA），BHCN（n1）b.BHAN，即，1mn1，m+n2；由知，m+n2，m2n，mn（2n）nn2+2n（n1）2+1，当n1时，mn有最大值1；（2）若k（k0），如图2，过点B作BGAC交MN于G，OBGOCN.在OBG与OCN中，OBGOCN，即k，BGb.BGAN，即，1m，nkkm+1.【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，平行线分线段成比例是性质，相似三角形的判定及性质，二次函数最值问题，正确掌握各知识点并综合运用解题是关键.