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1、26第5章相似三角形之X型相似一、单选题1如图，ABC中，ACB90°，AB12，点D，E分别是边AB，BC的中点，CD与AE交于点O，则OD的长是( ) A1.5B1.8C2D2.4【答案】C【解析】根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，求得CD的长，根据中位线的性质，得到DEAC，求得AOCEOD，根据三角形相似的性质求出OD和OC的关系，进而得出OD和CD的关系，然后即可求解【解答】解： ABC为直角三角形，D点为AB的中点，CD=AB=6D和E点分别为AB，BC的中点，DEAC，AOCEOD，故选C【点睛】本题考查了中位线性质，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练
2、掌握中位线的性质，能够利用平行线判定两三角形相似2如图，在ABC中，AB15cm，AC12cm，AD是BAC的外角平分线，DEAB交AC的延长线于点E，那么CE等于（ ）cmA32B24C48D64【答案】C【解析】根据平行线的性质及相似三角形的判定与性质即可求解【解答】解：标出字母，如图：在ABC中，AD是BAC的外角平分线，EAD=MAD，DEAB交AC的延长线于点E，EDA=MAD，BAC=CED，EAD=EDA，ED=EA，在三角形ABC与三角形CED中，BAC=CED，BCA=ECD，ABCCED，AB=15cm，AC=12cm，设ED=15k，CE=12k，ED=15k=EA=EC
3、+CA=12k+12，3k=12，k=4，CE=12k=48（cm），故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质及相似三角形的判定与性质，本题的解题关键是由三角形相似边的比例关系即可得出答案3如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF2FD，则的值为（）ABCD【答案】C【解析】由AF2DF，可以假设DFk，则AF2k，AD3k，证明ABAF2k，DFDGk，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题【解答】解：由AF2DF，可以假设DFk，则AF2k，AD3k，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ABCD，AFBFBCDFG，A
4、BFG，BE平分ABC，ABFCBG，ABFAFBDFGG，ABCD2k，DFDGk，CGCD+DG3k，ABDG，ABECGE，故选：C【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键4如图，已知的内接中，于，直径交边于点，有下列四个结论：；当时，的面积取得最大值；三角形外接圆直径等于它的任两边的积与第三边上的高的比其中正确结论有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】本题需根据三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质去解答.【解答】由相交弦定
5、理得是正确的；由条件并不能得出与相似，故是错误的；由条件可证与相似，从而可得，进而可得的半径，设，的半径为，则有，故当时，的最大面积为，故是正确的；由这一结论一般化，得是正确的，故选C【点睛】本题主要考查三角形外接圆、相交弦定理、相似三角形的性质、圆周角定理、二次函数的性质，解题的关键是理解运用这些性质定理.5如图，在正方形中，分别为的中点，连接交于点，将沿对折，得到，延长交延长于点若则的值为（ ）A1B2C3D【答案】D【解析】先根据折叠的性质得到BCFBPF，RtABMRtBMP，在RtDMF中，MF2FD2DM2,列式求出AM，再根据相似三角形求出AQ，得到BQ的长，再根据勾股定理求出A
6、E的长，代入即可求解【解答】如图，连接BM，在正方形中，分别为的中点，折叠，BCFBPFBCBP，CBFPBF,CF=PF=DF=ABBP=且BMBMRtABMRtBMP在RtDMF中，MF2FD2DM2（AM）2（）2+（AM）2AM，DM-=，DFAQDFMAQM即解得AQ=BQ=AQ+AB=+=1E点是AE的中点，BE=,则AE=1+=故选D【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质，勾股定理及相似三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键二、填空题6已知中，分别是直线和上的点，若且，则_【答案】4或8【解析】通过比例式，可以确定AE的长度，点E是直线AB上的点，没有限定E的位置，
7、只限定AE的长度，以点A为圆心，AE长为半径的圆与直线AB的交点是点E位置，有两个，要分类求即可【解答】如图AB=6，AC=9，AD=3，AE=2，当E在AB上,BE=AB-AE=6-2=4,当E在AB延长线上，BE=AB+AE=6+2=8,则BE的长为4或8故答案为：4或8【点睛】本题考查比例式下的线段问题，用比例求出的线段只限定长度，要考虑线段的位置，要会分类计算是解题关键7如图，在中，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长【答案】【解析】将补成矩形，延长交于点，可得，结合已知可求、，再由即可求出CE【解答】解：如解图，补成矩形，延长交于点，设，则，又在矩形中，即，解得【点睛】本题
8、是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，证明是本题的关键8如图，在中，是边上的中线，是上的一点，且，连结并延长交于点，则等于（_）【答案】【解析】先过点D作GDEC交AB于G，由平行线分线段成比例可得BG=GE，再根据GDEC，得出，最后根据，即可得出答案【解答】解：过点D作GDEC交AB于G，AD是BC边上中线，即BG=GE，又GDEC，【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出AE、EB、EG之间的关系9如图ABC中，AB=AC=5，BC=8，G是ABC的重心，GHAB于H，则GH的长为_ 【答
9、案】【解析】首先证明，求得，再证明即可得到结论【解答】连接并延长交于E，连接并延长交AC于F，连接EF，如图，点是重心，是的中线，F分别是，边的中点，是的中位线，E为BC的中点又在中，故答案为：【点睛】本题考查了三角形重心，三角形重心的性质为重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 也考查了相似三角形的判定与性质10如图RtABC中，BAC90°，AB3，AC4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为_【答案】【解析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点
10、P的位置，再证明CABCPO利用对应线段的比得到OP的长度，继而得到PQ的长度【解答】BAC90°，AB3，AC4，BC5，四边形APCQ是平行四边形，POQO，COAO，PQ最短也就是PO最短，过O作BC的垂线OP，ACBPCO，CPOCAB90°，CABCPO，OP，则PQ的最小值为2OP，故答案为：【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题三、解答题11如图，是一个照相机成像的示意图（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物
11、有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？【答案】（1）7 m（2）70mm【解析】试题分析：（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解（2）和（1）一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可解：根据物体成像原理知：LMNLBA，（1）像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，解得：LD=7拍摄点距离景物7 m（2）拍摄高度AB是2m的景物，拍摄点离景物LC=4m，像高MN不变，是35mm，解得：LC=70相机的焦距应调整为70mm12如图，在平面直角坐标系中，点在轴
12、正半轴上，轴，点的横坐标都是，且，点在上，若反比例函数的图象经过点，且（1）求点坐标；（2）将沿着折叠，设顶点的对称点为，试判断点是否恰好落在直线上，为什么【答案】（1）；（2）不在直线上，理由见解析【解析】（1）先根据AO：BC=3：2，BC=2得出OA的长，再根据点B、C的横坐标都是3可知BCAO，故可得出B点坐标，再根据点B在反比例函数y=（x0）的图象上可求出k的值，由ACx轴可设点D(t，3)代入反比例函数的解析式即可得出t的值，进而得出D点坐标；（2）过点A作EFOA交AC于E，交x轴于F，连接OA，根据ACx轴可知AED=AFO=90°，由相似三角形的判定定理得出DEA
13、AFO，设A(m，n)，可得出，再根据勾股定理可得出m2+n2=9，两式联立可得出m、n的值，故可得出A的坐标，用待定系数法求出经过点D(1，3)，点B（3，1）的直线函数关系式为y=-x+4，再把x=代入即可得出结论【解答】（1）解：（1）AO：BC=3：2，BC=2，OA=3，点B、C的横坐标都是3，BCAO，B(3，1)，点B在反比例函数y=（x0）的图象上，1=，解得k=3，ACx轴，设点D(t，3)，3t=3，解得t=1，D(1，3)；（2）结论：点A不在此反比例函数的图象上理由：过点A作EFOA交AC于E，交x轴于F，连接OA（如图所示），ACx轴，AED=AFO=90°
14、，OAD=90°，ADE=OAF，DEAAFO，设A(m，n)，又在RtAFO中，m2+n2=9，m=，n=，即A(，)，设直线BD的解析式为y=kx+b，点D(1，3)，点B(3，1)在y=kx+b，y=-x+4，当x=时，y= ，点A不在直线BD上【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中13已知，如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC与BD相交于点O.若，SBOCm.试求AOD的面积.【答案】【解析】由题意可知三角形AOD和三角形DOC中AO和CO边上的高相等，所以面积比等于对应边AO，CO的
15、比值，进而求出AO：CO的值，又因为AODBOC，利用两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求出SAOD：SBOC的值；从而求出AOD的面积.【解答】过点D作DEAC于E，则，又AO+OCAC，ADBC，()2，即，SAOD.14如图，是的内接三角形，为的切线，为切点，为线段上一点，过点作的平行线，交直线于点，交直线于，求证：【答案】见解析【解析】欲证PAPB=PEPF即证,观察图形可得：证明线段所在的两个三角形PAF与PEB相似即可再根据弦切角和平行线的性质证出对应角相等，利用相似三角形的判定证出PAFPEB，从而使命题得证【解答】证明：如图BT为切线，BA为弦，ABE=C，又EFBC，C
16、=AFP，ABE=AFPAPF=EPB，APFEPB，PAPB=PEPF【点睛】本题给出圆内接三角形和圆的切线，求证线段的积相等着重考查了弦切角定理、平行线的性质和相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题15如图，、是的两条高，连（1）求证：；（2）若，点为的中点，求的值【答案】(1)见解析;(2)1.【解析】（1）由BE、CD是ABC的高得AEB=ADC=90°，加上EAB=DAC，根据相似三角形的判定方法得到AEBADC，则AB：AC=AE：AD，利用比例性质即可得到结论；（2）连结ME，由BAC=120得到BAE=60°，则EBA=30°，由点M为BC的中点
17、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MB=ME=MD=MC，于是可判断点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，根据圆周角定理得DME=2EBD=60°，则可判断MED为等边三角形，所以DE=DM所以的值为1【解答】（1）证明：BE、CD是ABC的高， AEB=ADC=90°，而EAB=DAC，AEBADC，AB：AC=AE：AD，AEAC=ABAD；（2）连结ME，如图，BAC=120，BAE=60°，EBA=30°，点M为BC的中点，MB=ME=MD=MC，点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，DME=2EBD=2
18、15;30°=60°，MED为等边三角形，DE=DM【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及圆周角定理16如图，在四边形中，与相交于点，线段，试问：与之间有怎样的数量关系？【答案】【解析】根据，得到，进一步证明，因为，于是可得，因此可证得并推出为等腰三角形，因此【解答】解：如图，线段，又，而，又，为等腰三角形，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理和判定定理是解题的关键17如图，矩形的对角线、相交于点，过点
19、作交于，连交于，若，的面积为5，求的值【答案】【解析】先由矩形的性质和勾股定理求得OA=2，OE= ，然后证四点共圆得，再证得最后由相似的性质求出的值【解答】如题图，为矩形对角线的交点，为的中点又，在中根据勾股定理可知在中在中又，四点共圆 ，【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质此题难度适中，注意四点共圆在本题中的应用18如图，在等腰中，分别过点、作两腰的平行线，经过点的直线与两平行线分别交于点、，连结、，与边相交于点，与边相交于点，求证：（提示：关键是找出题中的“A”型与“X”型写出比例线段进行等比线段的代换）【答案】见解析【解析】首先延长DB、EC交于点P，由BD
20、AC，ABEC，可得四边形ABPC为平行四边形，又由AB=AC，即可证得：ABPC是菱形，可得AB=BP=PC=CA，又可证得：EACEDP与AMCPCD，根据相似三角形的对应边成比例，则可证得：CN=AM【解答】证明：延长DB、EC交于点P，BDAC，ABEC，四边形ABPC为平行四边形， AB=AC，ABPC是菱形，AB=BP=PC=CA，BDAC，EACEDP，同理：四边形ABPC是平行四边形，BAC=P，ACDP，ACD=CDP，AMCPCD，AC=CP，AC=BP，AM=CN【点睛】此题考查了平行四边形，菱形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质此题综合性很强，注意掌握辅助线的作法，
21、注意数形结合思想的应用19已知，抛物线yx2x+与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点F（1）A点坐标为 ；B点坐标为 ；F点坐标为 ；（2）如图1，C为第一象限抛物线上一点，连接AC，BF交于点M，若BMFM，在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使SACP4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，D、E是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线AD、AE分别交y轴于M、N两点，若OMON，求证：直线DE必经过一定点【答案】（1）（1，0），（3，0），（0，）；（2）在直线AC下方的抛物线上不存在点P，使SACP4，见解析；（3）见解析【解析】（1）
22、根据坐标轴上点的特点建立方程求解，即可得出结论；（2）在直线AC下方轴x上一点，使SACH4，求出点H坐标，再求出直线AC的解析式，进而得出点H坐标，最后用过点H平行于直线AC的直线与抛物线解析式联立求解，即可得出结论；（3）联立直线DE的解析式与抛物线解析式联立，得出，进而得出，再由得出，进而求出，同理可得，再根据，即可得出结论【解答】（1）针对于抛物线，令x0，则，令y0，则，解得，x1或x3，综上所述：,；（2）由（1）知，BMFM，直线AC的解析式为：，联立抛物线解析式得：，解得：或，如图1，设H是直线AC下方轴x上一点，AHa且SACH4，解得：，过H作lAC，直线l的解析式为，联立
23、抛物线解析式，解得，即：在直线AC下方的抛物线上不存在点P，使；（3）如图2，过D，E分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H，设，直线DE的解析式为，联立直线DE的解析式与抛物线解析式联立，得，DGx轴，DGOM，即，同理可得，即，直线DE的解析式为，直线DE必经过一定点【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数与一次函数的综合应用，交点的求法，待定系数法求函数解析式等方法式解决本题的关键.20如图1，A（4，0）正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角得到正方形OEFG（1）如图2，若60°，OEOA，求直线EF的函数表
24、达式（2）若为锐角，tan，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由【答案】(1)yx+；(2);(3) OEP的其中两边的比能为：1，点P的坐标是：P（0，4），P（4，12），P（12，24），P（4，0），P（12，4）【解析】（1）过点E作EHOA于点H，EF与y轴的交点为M，由已知条件证明AEO为正三角形，求出点E的坐标及OM的长度，再利用E、M的坐标即可求出解析式；（2）无论正方形边长为多少，绕点O旋转角后得到正方形OEFG的顶点E在射线
25、OQ上，当AEOQ时，线段AE的长最小利用为锐角，tan及勾股定理求出边长OE2，即可求出正方形的面积；（3）分点F在y轴的正半轴上或负半轴上，且点P与点F或点A重合或不重合时，利用OEP的两边之比为：1分别求出点P的坐标.【解答】（1）如图1，过点E作EHOA于点H，EF与y轴的交点为MOEOA，60°，AEO为正三角形，则OH2，EH2，故点E（2，2），EOM30°，OM， 设EF的函数表达式为：ykx+，将点E的坐标代入上式并解得：k，故直线EF的表达式为：yx+；（2）射线OQ与OA的夹角为（为锐角，tan）无论正方形边长为多少，绕点O旋转角后得到正方形OEFG的
26、顶点E在射线OQ上，当AEOQ时，线段AE的长最小在RtAOE中，设AEa，则OE3a，则a2+（3a）242，解得：a2，OE3a，正方形OEFG的面积（3a）2； （3）设正方形边长为m当点F落在y轴正半轴时如图3，当P与F重合时，PEO是等腰直角三角形，有或 在RtAOP中，APO45°，OPOA4，点P1的坐标为（0，4）在图3的基础上，当减小正方形边长时，点P在边FG 上，OEP的其中两边之比不可能为：1； 当增加正方形边长时，存在（图4）和（图5）两种情况如图4， EFP是等腰直角三角形，有,即 ,此时有APOF在RtAOE中，AOE45°，OEOA4，PEOE
27、8，PAPE+AE12，点P的坐标为（4，12）如图5，过P作PRx轴于点R，延长PG交x轴于点H设PFn在RtPOG中，PO2PG2+OG2m2+（m+n）22m2+2mn+n2，在RtPEF中，PE2PF2+EF2m2+n2，当时， PO22PE22m2+2mn+n22（m2+n2），得n2mEOPH，AOEAHP， ,AH4OA16，m6 在等腰RtPRH中，PRHRPH24， ORRHOH12，点P的坐标为（12，24）当点F落在y轴负半轴时，如图6，P与A重合时，在RtPOG中，OPOG，又正方形OGFE中，OGOE，OPOE点P的坐标为（4，0）在图6的基础上，当正方形边长减小时，
28、OEP的其中两边之比不可能为：1；当正方形边长增加时，存在（图7）这一种情况如图7，过P作PRx轴于点R， 设PGn在RtOPG中，PO2PG2+OG2n2+m2，在RtPEF中，PE2PF2+FE2（m+n ）2+m22m2+2mn+n2当时， PE22PO22m2+2mn+n22n2+2m2，n2m，由于NGOGm，则PNNGm，OEPN，AOEANP，, 即ANOA4在等腰RtONG中，ONm，8m，m4，在等腰RtPRN中，RNPR4，点P的坐标为（12，4）所以，OEP的其中两边的比能为：1，点P的坐标是：P（0，4），P（4，12），P（12，24），P（4，0），P（12，4）【点睛】此题是一道综合题，考查正方形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，三角函数，待定系数法，坐标系中的动点问题，（3）是难点，分情况进行讨论求解.