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1、会计学1线性代数黄六线性代数黄六一、几何空间中向量的内积一、几何空间中向量的内积一、几何空间中向量的内积一、几何空间中向量的内积1.空间向量及两向量的夹角空间向量及两向量的夹角(回顾回顾)实际问题中,既有大小又有方向的物理量称为向量向量.几何上用有向线段表示一个向量,线段的长度表示向量的大小.空间向量为自由向量自由向量.在直角坐标系下,将向量的起点移至原点,称之为向径向径.向量 M(x,y,z)OM=(x,y,z)向量 =(x,y,z)的长度长度 向量的方向角方向角将空间两向量 ,的起点移至一点o,两有向线段的夹角(0)，称为向量 与 的夹角夹角,当时，称 与 垂直垂直(正交正交)，记作 .当
2、 =0 或 时，称 与 平行平行(共线共线)，记作 /.o记为(a,b)第1页/共23页例如,常力 f 作用于物体,使之产生位移 s,sf2.空间向量的内积空间向量的内积.这个力所作的功为定义定义:设设,R3,记记 与与 的夹角为的夹角为,称数称数为向量为向量 与与 的的内积内积内积内积(数量积数量积数量积数量积),),记为记为 ,即即(1)第2页/共23页(勾勾股股定定理理)设设 1,2,k 是是 n 维维欧欧氏氏空空间间 Rn 中中的的向向量量,且且 i j 时时,(i,j)=0,则则 证证证证第3页/共23页 与 的夹角 的长度因为 =x12+y12+z12,(,0).,所以4.用内积表
3、示向量的长度及向量的夹角用内积表示向量的长度及向量的夹角第4页/共23页定义定义:二、二、二、二、n n 维向量的内积维向量的内积维向量的内积维向量的内积1.Rn 中向量内积定义中向量内积定义设设,Rn,=(x1,x2,xn),=(y1,y2,yn),称称数数 x1 y1+x2 y2+xn yn 为为 与与 的的内积内积内积内积.记为记为(,),即即(,)=x1 y1+x2 y2+xn yn (3)2、内积的性质、内积的性质设,则Rn,kR,则上面定义的内积满足以下性质：当且仅当 =0 时,等号成立.性质(1)到(4)的证明可由内积定义直接推得.(1)(2)(3)(4)第5页/共23页第6页/
4、共23页第7页/共23页第8页/共23页定义定义:定义定义:三、欧氏空间三、欧氏空间三、欧氏空间三、欧氏空间R Rn n称称定定义义了了内内积积的的 n 维维实实向向量量空空间间 Rn 为为 n 维维欧欧几几里里得得(Euclid)空空间间,简简称欧氏空间称欧氏空间,仍记作仍记作Rn.三维欧氏空间 R3 具有直观性,习惯上称之为几几何何空空间间.R3 中向量长度及两向量的夹角等概念通过内积可平行推广到 Rn,使 n 维欧氏空间具有可度量性具有可度量性.设设 =(x1,x2,xn)Rn,的的长度长度长度长度|定义为定义为,即即(4)特别地,时,称 为单位向量单位向量.当故称为 的单位化向量单位化
5、向量.=1,第9页/共23页第10页/共23页第11页/共23页第12页/共23页定义：定义：四、标准正交基的概念及意义四、标准正交基的概念及意义四、标准正交基的概念及意义四、标准正交基的概念及意义1.正交向量组正交向量组:如如果果欧欧氏氏空空间间中中的的向向量量组组 1,2,m 中中任任意意两两个个向向量量都都是是相相互互正交的正交的,即即(i,j)=0,i j,i,j=1,2,m,则称则称 1,2,m 为为正交向量组正交向量组正交向量组正交向量组(简称正交组简称正交组简称正交组简称正交组.).)定理：定理：欧氏空间中不含零向量的正交向量组是线性无关的欧氏空间中不含零向量的正交向量组是线性无
6、关的.第13页/共23页证证证证设 1,2,m是一个正交的向量组,又设 k1 1+k2 2 +km m =0则由于故 ki=0,故 1,2,m 线性无关.第14页/共23页第15页/共23页定义定义2 22.标准正交基标准正交基设设 1,2,n Rn,如果如果则称则称 1,2,n 是是 Rn 的一组的一组标准正交基标准正交基标准正交基标准正交基.显然是 Rn 的标准正交基.在 R3 中,分别为三个坐标轴正向的单位矢量.第16页/共23页五、五、五、五、施密特施密特施密特施密特(Schmit)(Schmit)正交化方法求标准正交基正交化方法求标准正交基正交化方法求标准正交基正交化方法求标准正交基
7、 下面讨论由 Rn 的一组基构造 Rn 的标准正交基的方法,为直观起见,先从 R3 开始讨论.o,R3 在 上的投影为：在 上的投影向量为：为了便于讨论,首先介绍一个向量在另一向量上的投影及投影向量.第17页/共23页 设 1,2,3 是 R3 的一组基,令 1=1,将 2 在 1 上的投影向量记为 2,则 2=k12 1,其中22o再取则 2 1.1=122o将 在 1,2 上的投影向量分别记为 3 在 1,2 所在平面上的投影向量为 3.则其中3取则因此是两两正交的非零向量组.再将单位化,即取则就是R3 的一组标准正交基.3第18页/共23页一般地,设是 Rn 中的一个线性无关组,取容易验
8、证两两正交,上述由得到的过程称之为向量组的正交向量组的正交化化 将这 个正交化的向量组再单位化,即取就得到正交的单位向量组 称之为标准正交组标准正交组.上述从线性无关组求得标准正交组的方法称为施密特施密特 (Schmit)(Schmit)正交化方法正交化方法.第19页/共23页例 1解解解解设 R3 的一组基为 1=(1,2,1),2=(1,3,1),3=(4,1,0),试用施密特正交化方法构造 R3 的一组标准正交基.取 1=1,取便为所求的一组标准正交基.第20页/共23页R3中内积两向量夹角向量长度三角不等式余弦定理勾股定理几何空间R3中向量积与混合积直线、平面及其方程曲线、曲面及其方程Rn中内积欧氏空间Rn标准正交基内积公理化定义欧氏空间V欧氏空间的正交分解上一页第21页/共23页第22页/共23页