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1、会计学1线性代数线性代数a概要概要第一节 二阶和三阶行列式第1页/共37页3线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式一、行列式概念的引进 二元线性方程组 其中为常数，为未知量。用中学学过的加减消元法可得结论：当时，方程组有唯一组解：第2页/共37页4定义1四个数排成二行二列的方形数表，加上记号“|”，表示一个二阶行列式 ，其值为 ，即其中 称为行列式的元素。元素 的脚标 表第 行，表第 列，即 表行列式中位于第 行第 列的元素。线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式第3页/共37页5由二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的解写为：线性代数 第一章 n阶行列式
2、第1节 二阶和三阶行列式称 为线性方程组（1）的系数行列式。上述结论还可简记为：当二元方程组（1）的系数行列式 时，方程组有唯一解 。其中 为系数行列式 的第 列换为常数列 ，其余列不动而得到的行列式。第4页/共37页6定义2 九个数排成三行三列的方形数表，加上记号“|”，表示一个三阶行列式：线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式三阶行列式值的计算可按图示“对角线法则”来记忆。第5页/共37页7三元线性方程组：线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式当系数行列式 时，方程组（2）有唯一解上述结论仍可简记为 ，其中 为系数行列式，为 的第 列换为常数列 ，其余列不动
3、而得到的行列式。第6页/共37页8三阶行列式性质：性质1将行列式的行列互换，行列式值不变。即线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式称这两个行列式互为转置行列式。行列式行列互换（将行列式行依次改为列）称为行列式转置。性质2行列式任意两行（列）互换，行列式值反号。推论若行列式两行（列）相同，则行列式值为零。二、行列式的性质第7页/共37页9性质3行列式某一行有公因子 ，则 可提到行列式号外。即线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式推论1行列式有一行（列）元素均为0，则行列式值为0。推论2行列式有二行（列）元素成比例，则行列式值为0。第8页/共37页10性质4行列式某
4、一行（列）的元素可以表示成两项之和，则该行列式可写成两个行列式之和。线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式性质5将行列式一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式值不变。第9页/共37页11三、行列式按行（列）展开定理定义3 三阶行列式中划去元素 所在的第 行与第 列的元素，其余的元素按原来的次序构成一个二阶行列式，称为元素 的余子式，记作 ，令 ，称 为元素 的代数余子式。定理1三阶行列式值等于其任一行（或列）的元素与其代数余子式乘积之和。即：线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二阶和三阶行列式第10页/共37页12例1求上三角行列式线性代数 第一章 n阶行列式 第1节 二
5、阶和三阶行列式例2求例3求第11页/共37页第二节n阶行列式定义及性质第12页/共37页14定义1由自然数 组成的一个有序数组称为一个 阶排列。一般地说一个 阶排列可用 表示。所有的 阶排列的总数为 个。定义2在 阶排列 中，如果 就称 为该排列的一个逆序，排列中逆序的总个数称为该排列的逆序数，记作排列 具有自然顺序，即逆序数为0，称之为自然排列。定义3逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质一、阶排列第13页/共37页15例1计算下列排列的逆序数并指出排列的的奇偶性。1）五阶排列（4 2 1 5 3）2）阶自然排列
6、 偶排列3）阶倒序排列 时，偶排列 时，奇排列例2求线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质第14页/共37页16线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质定理1任一排列经一次对换，必改变其奇偶性。推论1在所有 阶排列中 ，奇排列、偶排列各占一半，均为 。推论2任一 阶排列均可以通过若干次对换变为自然排列，并且所做的对换次数的奇偶数与这个排列的奇偶性一致。在一个排列中，把其中两个数的位置互换，其余数位置不动，这样的变换称为对换。如第15页/共37页17二、阶行列式的定义三阶行列式定义：线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质所有为取自不同行、
7、不同列三个元素的乘积 的代数和，各项的符号由 决定，因此上展开式可写成二阶行列式定义也可写成：推广二、三阶行列式定义，可以给出 阶行列式定义。第16页/共37页18定义4由 个数排成 行，列的数表，加符号“|”，称为 阶行列式，它的值为所有取自不同行、不同列的 个元素乘积 的代数和，每项的符号由 决定，即：规定一阶行列式 。阶行列式的完全展开式中含有 项。所带符号一半为正，一半为负。线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质第17页/共37页19例1 在五阶行列式中，决定 这项前面所带的符号。例2计算上三角行列式 之值。进一步考虑线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式
8、定义与性质当 时，符号为正，时，符号为负。第18页/共37页20线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质 阶行列式展开也可表为：阶行列式定义中，每一项中 个元素的排列次序是使它们的行标成自然排列的，即 。数的乘法有交换率，故可以适当调换 个元素的次序，使这 个元素的列标成自然排列，即 。故 。与 同为奇排列或偶排列。第19页/共37页21三、阶行列式的性质：性质1行列式行列互换，行列式值不变。性质2行列式任意两行互换，行列式值变号。推论行列式若两行相等，行列式值为0。性质3行列式某一行有公因子 ，则 可提到行列式号外。推论1行列式有一行元素均为0，则行列式值为0。推论2行列式
9、有二行元素成比例，则行列式值为0。性质4如果行列式第 行 个元素可表为两项之和，那么行列式可写为两个行列式之和。性质5行列式一行的倍数加到另一行上，行列式值不变。注意以上各条性质及推论的叙述与二、三阶行列式完全相同，但证明方法不同，应用 阶行列式定义及推理方法。线性代数 第一章 n阶行列式 第2节 n阶行列式定义与性质第20页/共37页22例3证明奇数阶反对称行列式值为0。（书P13/例4）一个 阶行列式 若 ，称 为对称行列式，若 ，称 为反对称行列式。可见反对称行列式主对角线上元素 反对称行列式可写为：线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算第21页/共37页第三节 n阶行列
10、式的计算第22页/共37页24一、利用行列式性质计算行列式例1计算行列式 （书P15/例4）例2计算行列式 （书P16/例6）例3计算行列式 其中 （书 P27/9(3)）线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算第23页/共37页25二、阶行列式的展开定义1在 阶行列式中划去元素 所在的第 行与第 列的元素，其余的元素按原来的次序构成一个 阶行列式，称为元素 的余子式，记作 ，令 ，称 为元素 的代数余子式。定理1 阶行列式值等于其任一行的元素与其代数余子式乘积之和。即定理1 阶行列式值等于其任一列的元素与其代数余子式乘积之和。即线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的
11、计算第24页/共37页26例4 计算行列式（书P17/例7）线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算第25页/共37页27引进Kronecker符号定理1、定理1及推论可合写为：其中 表 阶行列式 的值线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算推论在 阶行列式中，任意一行（列）元素与另一行（列）对应元素代数余子式的乘积之和为0。即第26页/共37页28线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算在 阶行列式 中任选 行、列，不妨设选的 行、列为：将这 行、列交叉位置的元素按原来顺序构成的 阶行列式称为 阶行列式 的 阶子式。将 阶行列式 中这 行、列的元素划
12、去，余下的元素按原来的次序构成的 阶行列式与 的乘积称为 阶子式 的代数余子式。第27页/共37页29定理2在 阶行列式 中任选 行（列），则行列式等于由这 行（列）元素组成的所有 阶子式与其代数余子式乘积之和。定理2又称为Laplace 展开定理，当 时即为定理1。线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算第28页/共37页30例6计算行列式值线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算例5 计算行列式值（书P27/9(6)）第29页/共37页31三、数学归纳法在行列式计算中的应用线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算例7求 阶行列式值（书P20/例12
13、）第30页/共37页32例8证明范德蒙行列式线性代数 第一章 n阶行列式 第3节 n阶行列式的计算等式右边为连乘积，表示满足 的所有 构成 连乘。即：（书P21/例13）第31页/共37页第四节 克莱姆（Cramer）法则第32页/共37页34 个方程 个未知数的 元线性方程组线性代数 第一章 n阶行列式 第4节 克莱姆法则所谓方程组（1）的解 ，就是将这 个数 ，分别代入方程组（1）中 的相应位置，使每个方程均为恒等式。通常用向量 表示这个解，并称为一个解向量（也可称为一个解）。方程组所有的解构成的集合称为方程组的解集合。第33页/共37页35定理1（克莱姆法则）元线性方程组（1）当它的系数
14、行列式 时，方程组（1）有解，且解是唯一的，其解为（其中 为 中第 列换成常数列 其余列不变所得的行列式）线性代数 第一章 n阶行列式 第4节 克莱姆法则第34页/共37页36 称为齐次线性方程组齐次线性方程组一定有解，且为全零解，即 一定是它的解。齐次线性方程组的解有两种情况：（1）有唯一组解，这时称只有全零解。（2）解不唯一，即有非零解：其中至少有一个 。此时一定有无穷多组解，因为 （为任意常数）也必为此方程组的解。线性代数 第一章 n阶行列式 第4节 克莱姆法则第35页/共37页37推论1若齐次线性方程组系数行列式不为0，则方程组（2）只有全零解，即推论2若齐次线性方程组（2）有非零解，则它的系数行列式一定为零。线性代数 第一章 n阶行列式 第4节 克莱姆法则第36页/共37页