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1、线性方程组解的表示第1页/共37页行列式的定义行列式时研究矩阵的一个重要工具，是矩阵的重要数字特征。定义：对于n阶方阵用记号表示一个与A相联系的数，称为矩阵A的行列式(Determinant).记做det(A)，或|A|.第2页/共37页行列式的计算余子式与代数余子式：在n阶行列式中，划去元 所在的行和列（第i行和第j列），剩余的元保持原来的次序所构成的n1阶行列式，称为元 的余子式，记为 ；称 为 的代数余子式，记为因此上述定义中，要求 ，即3阶及3阶以上的行列式中的元才有余子式和代数余子式.第3页/共37页行列式的计算：2阶行列式n阶行列式 等于任一行（列）的每个元与其代数余子式乘积的和.
2、即上式为n阶行列式按第一列的展开式.第4页/共37页例题1 计算行列式解：第5页/共37页例题2 计算行列式解：第6页/共37页行列式的性质1.行列式可以按任意一行（列）展开；2.行列式某一行（列）的元与另一行（列）对应元的代数余子式的乘积之和为零.3.行列式转置后，其值不变；4.行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提到行列式符号外；5.如果行列式的某一行（列）的元都是两项的和，则可以把这个行列式化为两个行列式的和；6.设A与B为n阶方阵，则|AB|=|A|B|；7.互换行列式的两行（列），行列式只改变符号；4.行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提到行列式符号外；8.如果行列式的
3、某一行（列）的元加上另一行（列）相应元的若干倍，则行列式不变；小结第7页/共37页行列式性质的推论1.行列式有一行（列）元素全为零，行列式为零；2.行列式有两行（列）的元对应相等，行列式为零；3.行列式有两行（列）的元对应成比例，行列式为零；4.设A为n阶方阵，则第8页/共37页例题3 计算三角行列式解同理，小结第9页/共37页例题4 计算行列式第10页/共37页练习计算行列式第11页/共37页行列式的计算与化简为解决行列式的计算问题，应当利用行列式的性质进行有效的化简。化简的一般方法是初等变换，目的是化为三角行列式。着手点不同，计算与化简的过程也不尽相同，应善于发现具体问题的特点，并根据特点
4、选择方法与技巧。第12页/共37页例题5 计算行列式第13页/共37页解1解2第14页/共37页例题6 计算行列式解1解2第15页/共37页例题7 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式小结第16页/共37页证明第17页/共37页例题9 计算n阶三对角行列式小结第18页/共37页解第19页/共37页而从而第20页/共37页克拉默（Cramer）法则定理 如果线性方程组的系数行列式则该方程组有唯一解这里小结第21页/共37页例题10 解线性方程组解 由于 从而推论 齐次线性方程组有惟一的零解的充分必要条件为系数行列式D不为零.第22页/共37页行列式、伴随矩阵与逆矩阵的关系伴随矩阵：对任意
5、n阶方阵A，由|A|中每个元的代数余子式所构成的方阵称为A的转置伴随矩阵（Adjugate Matrix）或伴随矩阵，记为定理1.8 设A是n阶方阵，为其转置伴随矩阵，则定理1.9 n阶方阵A为可逆矩阵的充分必要条件是 此时有小结第23页/共37页例题11 证明（1）对于n阶方阵A，若存在方阵B，使得ABI则A可逆，且 ；（2）对于n阶方阵A，若存在方阵B，使得BAI则A可逆，且 .例题12 判断下面矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵第24页/共37页求逆矩阵的方法小结1.定义法；2.行变换法；3.伴随矩阵法；第25页/共37页例题13 设 且 ，求矩阵解 由于 ，故A可逆，从而由 得 而 故第
6、26页/共37页分块对角阵若矩阵A的分块矩阵只有主对角线上有非零子块，其余子块均为零矩阵，且非零子块都是方阵，则称A为分块对角阵.分块对角阵的性质：第27页/共37页例题14：已知求解：其中由于所以第28页/共37页对角阵是特殊的对角方阵；对角阵可逆的充要条件是对角元均非零.例题15：求逆矩阵其中方法1：定义法；方法2：初等行变换法；方法3：伴随矩阵法；方法4：分块矩阵求逆.第29页/共37页作业课本P35 习题一1.12（1）（6）1.16（3）1.25第30页/共37页余子式与代数余子式对于3阶行列式第1行第2列元“3”的余子式就是划去第1行和第2列的元后剩余的元保持原次序构成的2阶行列式
7、代数余子式为第3行第3列元“3”的余子式就是划去第3行和第3列的元后剩余的元保持原次序构成的2阶行列式代数余子式为返回第31页/共37页行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提到行列式符号外对比行列式的数乘矩阵的数乘推论：如果行列式有两行（列）的元对应成比例，则行列式为零.返回第32页/共37页如果行列式的某一行（列）的元都是两项的和，则可以把这个行列式化为两个行列式的和对比：行列式的加法与矩阵的加法有什么不同的地方？不同：矩阵加法只要求矩阵为同型矩阵，结果所有行对应元相加；行列式加法不光要求为同型行列式，还需要其余n-1行（列）的元完全相同，并且结果只有对应一行（列）相加.返回第33页/共37页行列式可以按任意一行（列）展开返回第34页/共37页行列式某一行（列）的元与另一行（列）对应元的代数余子式的乘积之和为零第35页/共37页返回按行展开按列展开这里第36页/共37页感谢您的观看！第37页/共37页