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1、工程力学及其实验第4章 空间力系工程力学及其实验第四章第四章 空空 间间 力力 系系空间力系：空间力系：物体所受各力的作用物体所受各力的作用线线不在同一平面内的力系不在同一平面内的力系主要研究内容主要研究内容 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 力对轴之矩力对轴之矩 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 重心和形心重心和形心空间力系的三种形式：空间力系的三种形式：空间汇交力系：空间汇交力系：各力的作用各力的作用线汇线汇交于一交于一点的力系。点的力系。空间平行力系：各力的作用线彼此平行的力系。空间平行力系：各力的作用线彼此平行的力系。作用于节点作用于节点A上的力系上的力
2、系 三轮起重机所受的力系三轮起重机所受的力系 空间任意力系：各力的作用线在空间任意分布的力系。空间任意力系：各力的作用线在空间任意分布的力系。轮轴所受的力系轮轴所受的力系 FFr亦称空间一般力系亦称空间一般力系 4 41 1 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 直线投影法直线投影法有一空间力有一空间力F F，取空间直角，取空间直角坐标系如图坐标系如图力力F 在坐标轴上的投影在坐标轴上的投影 g gb ba a FcosFFcosFFcosFzyx=符号规定符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴正向一致的就取正号；反之，就取正向一致
3、的就取正号；反之，就取负负号。号。二次投影法二次投影法FFFFFFzyxcossinsincossin=力力F 在三个轴上的投影分别为在三个轴上的投影分别为 222FFFFzyx+=4 42 2 力对轴之矩力对轴之矩 力对轴之矩（力对轴之矩（N m）：）：度量力使物体绕轴的转动效应度量力使物体绕轴的转动效应结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，其大小转动效应的度量，其大小等于力等于力对对垂直垂直于某于某轴轴平面内力平面内力对对O点（即某点（即某轴轴在在该该面面的投影点）之矩。的投影点）之矩。力对轴之矩的符号规定：力对轴之矩的符号规定：空间力系若有合
4、力空间力系若有合力FR，则合力对某轴的矩，则合力对某轴的矩等于各分力对该轴的矩的代数和。等于各分力对该轴的矩的代数和。空间力系合力矩定理：空间力系合力矩定理：例例4-14-1手柄手柄ABCE在平面在平面Axy内的内的D处作用一个力处作用一个力F，如图，如图5 57 7所示，它在垂直于所示，它在垂直于y轴的平面内偏离铅垂轴的平面内偏离铅垂线线的角度的角度为为。如果。如果CDa，杆，杆BC平行于平行于x轴轴，杆，杆CE平行平行y轴轴，AB和和BC的的长长度都等于度都等于l。试试求力求力F 对对x、y和和z三三轴轴的矩。的矩。解解：将将F沿坐标轴分解为沿坐标轴分解为Fx和和Fy力力F对对轴轴的矩等于
5、分力的矩等于分力Fx和和FZ对对同同一一轴轴的矩的代数和的矩的代数和 力对平行自身的轴的矩为零力对平行自身的轴的矩为零 4 43 3 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 平衡基本方程平衡基本方程空间任意力系平衡的充分必要条件：空间任意力系平衡的充分必要条件：各力在各力在各坐各坐标轴标轴上的投影代数和分上的投影代数和分别别等于零等于零；各力对各坐标轴的矩的代数和各力对各坐标轴的矩的代数和分分别别等于零等于零即：即：例例4-34-3 起重绞车如图所示。已知起重绞车如图所示。已知=20,=20,r=10cm,=10cm,R=20cm,=20cm,G=10kN=10kN。试求重物匀速上升时支
6、座。试求重物匀速上升时支座A和和B的的反力及齿轮所受的力反力及齿轮所受的力Q(力力Q在垂直于轴的平面内与水在垂直于轴的平面内与水平方向的切线成平方向的切线成角，角，20)20)。解解 重物匀速上升重物匀速上升,鼓轮作匀速转动鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究对即处于平衡姿态。取鼓轮为研究对象。将力象。将力G和和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直平平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直平面面(图图a、b、c)的受力图。的受力图。a)b)c)由由(图图a、b、c)，列平衡方程。，列平衡方程。空间平衡力系的平面解法空间平衡力系的平面解法 平面解法：在机械工程中，常把空
7、间的平面解法：在机械工程中，常把空间的受力图投影到三个坐标平面上，画出三受力图投影到三个坐标平面上，画出三个视图（主视、俯视、侧视图），这样，个视图（主视、俯视、侧视图），这样，就得到三个平面力系，分别列出他们的就得到三个平面力系，分别列出他们的平衡方程，同样可以解出所求的未知量。平衡方程，同样可以解出所求的未知量。这种将空间力系的平衡问题转化为三个这种将空间力系的平衡问题转化为三个坐标平面内的平面力系的平衡问题的讨坐标平面内的平面力系的平衡问题的讨论方法，就称为空间平衡力系。论方法，就称为空间平衡力系。4 44 4 重心和形心重心和形心 重心和形心的概念重心和形心的概念重重心心 任任何何物物
8、体体都都可可视视为为由由许许多多微微小小部部分分所所组组成成，每每一一微微小小部部分分上上都都作作用用一一个个指指向向地地球球中中心心的的力力，这这些些引引力力原原本本应应是是一一空空间间汇汇交交力力系系，但但由由于于地地球球的的半半径径比比所所研研究究物物体体的的尺尺寸寸大大得得多多，故故可可认认为为这这些些力力为为一一空空间间平平行行力力系系(如如图图)。此此力力系系的的合合力力G为为物物体体的的重重力力，并并称称重重力力的的作作用用点点C为物体的为物体的重心重心。对刚体而言，物体的重心是一个不变的点对刚体而言，物体的重心是一个不变的点。形心形心 物体几何形状的中心点称为形心。物体几何形状
9、的中心点称为形心。均质规则的刚体均质规则的刚体,其重心和形心在同一点上其重心和形心在同一点上 重心和平面图形形心的确定重心和平面图形形心的确定 重心和形心可以利用相关计算公式确定。但多数情况下可以凭经验判定。重心和形心可以利用相关计算公式确定。但多数情况下可以凭经验判定。利用相关计算公式确定重心利用相关计算公式确定重心 如图所示如图所示,设物体重力作用点的坐标为设物体重力作用点的坐标为G(zc，yc，zc),),得物体的重心坐标公式为得物体的重心坐标公式为对于均质物体，若用对于均质物体，若用表示其密度，表示其密度，V表示微体积，表示微体积，则得物体的重心坐标公式为则得物体的重心坐标公式为平面图
10、形的形心平面图形的形心 均质物体的重心就是其形心。均质物体的重心就是其形心。均质薄平板均质薄平板,若若表示其厚度表示其厚度,A表示微表示微体面积，得其形心的坐标公式为体面积，得其形心的坐标公式为（平面平面图形的形心坐标的图形的形心坐标的计算式计算式）记记Sy=xiAi=xcA，则，则Sy称为图称为图形对形对y轴的静矩轴的静矩 Sx=yiAi=yiAi=ycA，Sx称为图形对称为图形对x轴的静矩轴的静矩 若某轴通过图形的形心若某轴通过图形的形心,则图形则图形对该轴的静矩必为零；反之，若对该轴的静矩必为零；反之，若图形对某轴的静矩为零，则该轴图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。必通过图形
11、的形心。结论结论：悬挂法悬挂法 外形较复杂的均质薄平板常用此法求重心（或形心）。外形较复杂的均质薄平板常用此法求重心（或形心）。先以板上一点先以板上一点A来悬挂此板，其重心必位于点来悬挂此板，其重心必位于点A的铅垂线的铅垂线AB上；再上；再将板悬于另一点将板悬于另一点D，则重心又必位于点，则重心又必位于点D D的铅垂线的铅垂线DE上。交点上。交点C即为即为此平板的重心（形心）。此平板的重心（形心）。对称法求重心对称法求重心 对于均质物体对于均质物体,若在几何体上具有对称面、对称轴或对称点若在几何体上具有对称面、对称轴或对称点,则物则物 体的重心或形心也必在此对称面、对称轴或对称点上。体的重心或
12、形心也必在此对称面、对称轴或对称点上。实验法实验法 对于外形较复杂的物体确定重心可用实验法。对于外形较复杂的物体确定重心可用实验法。称重法称重法 称出物体的重量称出物体的重量G 固定物体，一端支于固固定物体，一端支于固定点定点A，另一端支于秤上，另一端支于秤上 量出两支点间的水平距离量出两支点间的水平距离l 读出磅秤上的读数读出磅秤上的读数FB G组合图形的形心组合图形的形心 有些平面图形可以看成是由几个简单形状的平面图形组成的组合图有些平面图形可以看成是由几个简单形状的平面图形组成的组合图形，计算时可将组合组合图形分割成几个简单形状图形形，计算时可将组合组合图形分割成几个简单形状图形,并确定
13、每并确定每个简单形状的平面图形的形心，就可确定整个平面图形的形心。个简单形状的平面图形的形心，就可确定整个平面图形的形心。例例4-5 4-5 试试求求图图示平面示平面图图形的形心位置形的形心位置(单单位：位：mm)mm)。解：该题可用两种方法求解解：该题可用两种方法求解(1)(1)分割法分割法如图所示将该图形分解成两个矩形如图所示将该图形分解成两个矩形I I和和IIII，它们的形心位置分别为，它们的形心位置分别为C 1 1(xl l，yl l)、C2 2(x2 2，y2 2)。其面积分别为。其面积分别为A1 1和和A2 2。得。得x1=10mm，y1=10mm，A1=20 44=880mm2x2=20mm，y2=8mm，A2=16 40=640mm2则有：则有：(2)(2)负面积法负面积法 将将该该图图形形看看成成是是一一个个大大矩矩形形I I减减去去一一个个小小矩矩形形IIII。它它们们的的形形心心位位置置分分别别为为C 1 1(xl l，yl l)、C2 2 (x2 2，y2 2)。其其面面积积分分别别为为A1 1和和A2 2。根根据据图图形分析可知，形分析可知，x1=20mm，y1=30mm，A1=40 60=2400mm2x2=30mm，y2=38mm，A2=20 44=880mm2则有：则有：习题参考解答或提示习题参考解答或提示