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1、工程力学及其实验第11章 应力状态理论和强度理论工程力学及其实验 第十一章第十一章 应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论主要内容：主要内容：问题问题的提出的提出 应应力状力状态态理理论论 强度理论强度理论11111 1 问题的提出问题的提出 一点的应力状态一点的应力状态 通过受力构件上一点的所有各个不同截面上应力的集合通过受力构件上一点的所有各个不同截面上应力的集合,称为称为该点的应力状态。该点的应力状态。危险点的危险点的应力状态应力状态 危危险险点点处处于于纯纯剪切剪切应应力状力状态态 11112 2 应力状态应力状态理理论论平面应力状态的一般分析平面应力状态的一般分析在在图图a)所
2、所示示单单元元体体上上取取任任意意斜斜截截面面a,其其外外法法线线n与与x轴轴正正向向的的夹夹角角为为。规规定定：角角自自x轴轴正正向向逆逆时时针针转转到到n为为正正。设设xy。截截面面ef把把单单元元体体分分成成两两部部分分,现现研研究究aef部部分分的的平平衡衡(图图b)。斜斜截截面面ef上上的的应应力力以以正正应应力力和和切切应应力力表表示示。若若ef的的面面积积为为dA，则则 af面面和和ae面面的面积分别是的面积分别是dAsin 和和dAcos 。由静力平衡方程由静力平衡方程 式中式中xy=yx，代入上式，化简后得，代入上式，化简后得 平面应力状态任意斜截平面应力状态任意斜截面上的应
3、力计算公式面上的应力计算公式 将式将式 对对求导数，并令求导数，并令d/d=0，得，得 极值正应力、主平面和主应力极值正应力、主平面和主应力 设该主平面的外法线设该主平面的外法线n与与x轴正向的夹角为轴正向的夹角为0，可得，可得最大正应力最大正应力 在在上上面面各各式式中中假假定定了了xy,在在此此假假定定下下,确确定定的的两两个个角角度度0中中,绝对值最小的一个确定绝对值最小的一个确定max所在的平面。所在的平面。极值切应力极值切应力 令令dx/d=0，由式，由式这这说说明明极极值值切切应应力力所所在在平平面面与与主主平平面面成成45角角。此此处处所所指指的的极极值值切切应应力力是是指指平平
4、面面应应力力状状态态下下与与零零应应力力面面垂垂直直的的各各斜斜截截面面中中的的切切应力的极值应力的极值,并不是指三向应力状态下单元体的最大切应力。并不是指三向应力状态下单元体的最大切应力。得得 主平面和主应力主平面和主应力 单元体上切应力为零的平面称为主平面单元体上切应力为零的平面称为主平面主平面上的正应力称为主应力主平面上的正应力称为主应力由主平面组成的单元体称为主应力单元体。由主平面组成的单元体称为主应力单元体。一点的应力状态常用主应力单元体表示一点的应力状态常用主应力单元体表示 单向应力状态单向应力状态二向应力状态二向应力状态三向应力状态三向应力状态单向应力状态和单向应力状态和二向应力
5、状态统二向应力状态统称为平面应力状称为平面应力状态。二向应力状态。二向应力状态和三向应力状态和三向应力状态统称为复杂应态统称为复杂应力状态力状态。123 例例11-111-1 已知构件内一点的应力状态如图所示，求：已知构件内一点的应力状态如图所示，求：1)1)主主应力及主平面方向；应力及主平面方向；2)2)最大、最小切应力。最大、最小切应力。解：解：1）主应力与主方向）主应力与主方向解得：解得：故两个主平面外法向与故两个主平面外法向与x轴的夹角为轴的夹角为58.28和和148.28。在在d0=58.28 的主平面上，有：的主平面上，有：解得：解得：2）最大、最小切应力）最大、最小切应力 广义胡
6、克定律广义胡克定律 对对应应于于主主应应力力1、2、3方方向向的的线线应应变变分分别别为为1、2、3，称称为为主主应变。在应变。在1的单独作用下，沿的单独作用下，沿1方向的主应变为方向的主应变为在在2和和3的单独作用下，在的单独作用下，在1方向引起的主应变分别为方向引起的主应变分别为根根据据叠叠加加原原理理，在在1、2、3三三个个主主应应力力的的共共同同作作用用下下，沿沿1、2、3方向的主应变为方向的主应变为同理，可求出沿同理，可求出沿2和和3方向的主应变方向的主应变2和和3，结果有，结果有广义胡克定律广义胡克定律 10103 3 强度理论强度理论 强度理论的概念强度理论的概念由由于于材材料料
7、破破坏坏主主要要有有两两种种形形式式,相相应应地地存存在在两两类类强强度理论。度理论。一一类类是是断断裂裂破破坏坏理理论论,主主要要有有最最大大拉拉应应力力理理论论和和最最大拉应变理论等；大拉应变理论等；另另一一类类是是屈屈服服破破坏坏理理论论,主主要要是是最最大大切切应应力力理理论论和和形状改变比能理论。形状改变比能理论。根根据据不不同同的的强强度度理理论论可可以以建建立立相相应应的的强强度度条条件件,从从而而为为解解决决复复杂杂应应力力状状态态下下构构件件的的强强度度计计算算提提供供了了依据。依据。常用的四种强度理论常用的四种强度理论 I.I.最大拉应力理论最大拉应力理论(第一强度理论第一
8、强度理论)引引起起材材料料断断裂裂破破坏坏的的主主要要因因素素是是最最大大拉拉应应力力。因因此此，材材料料发发生破坏的条件为生破坏的条件为相应的强度条件是相应的强度条件是 1构件危险点处的最大拉应力；构件危险点处的最大拉应力；单向拉伸时材料的许用应力。单向拉伸时材料的许用应力。试试验验表表明明，这这个个理理论论对对于于脆脆性性材材料料，在在单单向向、二二向向或或三三向向拉拉断断裂裂时时，最最大大拉拉应应力力理理论论与与试试验验结结果果基基本本一一致致。在在存存在在有有压压应应力力的的情情况况下下，则则只只有有当当最最大大压压应应力力值值不不超超过过最最大大拉拉应应力力值值时时，拉拉应应力力理理
9、论才正确。论才正确。这这个个理理论论没没有有考考虑虑其其他他两两个个主主应应力力对对断断裂裂破破坏坏的的影影响响。同同时时对对于于压缩应力状态，由于根本不存在拉应力，这个理论无法应用。压缩应力状态，由于根本不存在拉应力，这个理论无法应用。II.II.最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论(第二强度理论第二强度理论)不不论论材材料料处处于于何何种种应应力力状状态态，只只要要最最大大伸伸长长应应变变1达达到到材材料料单单向向拉拉伸伸断断裂裂时时的的最最大大伸伸长长应应变变值值01，材材料料即即发发生生断断裂裂破破坏坏。因因此此，材材料料发发生断裂破坏的条件为生断裂破坏的条件为对对于于铸铸铁铁等等脆脆
10、性性材材料料，从从受受力力到到断断裂裂，其其应应力力、应应变变关关系系基基本本符符合合胡胡克定律，强度条件为克定律，强度条件为试试验验表表明明，脆脆性性材材料料在在二二向向拉拉伸伸压压缩缩应应力力状状态态下下，且且压压应应力力绝绝对对值值较较大大时时，试试验验与与理理论论结结果果比比较较接接近近；二二向向压压缩缩与与单单向向压压缩缩强强度度有有所所不不同同，但但混混凝凝土土、花花岗岗石石和和砂砂岩岩在在两两种种情情况况下下的的强强度度并并无无明明显显差差别别；铸铁在二向拉伸时应比单向拉伸时更安全，而试验并不能证明这一点。铸铁在二向拉伸时应比单向拉伸时更安全，而试验并不能证明这一点。III.II
11、I.最大切应力理论最大切应力理论(第三强度理论第三强度理论)不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力max 达到材料单向拉伸达到材料单向拉伸屈服时的最大切应力屈服时的最大切应力0max，材料即发生屈服破坏，屈服条件为，材料即发生屈服破坏，屈服条件为相应的强度条件为相应的强度条件为 试验表明试验表明,对塑性材料，如常用的对塑性材料，如常用的Q235A、45钢、铜、铝等，此理论钢、铜、铝等，此理论与试验结果比较接近。与试验结果比较接近。IV.IV.形状改变比能理论形状改变比能理论(第四强度理论第四强度理论)积积蓄蓄在在单单位位体体积积内内的的变变形形能能，包
12、包括括因因体体积积改改变变和和因因形形状状改改变变而而产产生的比能两个部分。相应的强度条件为生的比能两个部分。相应的强度条件为 四种强度理论的适用范围四种强度理论的适用范围 大大量量的的工工程程实实践践和和实实验验结结果果表表明明,上上述述四四种种强强度度理理论论的的有有效效性性取决于材料的类别以及应力状态的类型。取决于材料的类别以及应力状态的类型。1)在三向拉伸应力状态下在三向拉伸应力状态下,不论是脆性材料还是塑性材料，都会不论是脆性材料还是塑性材料，都会 发生断裂破坏，应采用最大拉应力理论。发生断裂破坏，应采用最大拉应力理论。2)在三向压缩应力状态下在三向压缩应力状态下,不论是塑性材料还是
13、脆性材料，都会不论是塑性材料还是脆性材料，都会 发生屈服破坏，适于采用形状改变比能理论或最大切应力理发生屈服破坏，适于采用形状改变比能理论或最大切应力理 论。论。3)一般而言一般而言,对脆性材料宜用第一或第二强度理论对脆性材料宜用第一或第二强度理论,对塑性材料宜对塑性材料宜 采用第三和第四强度理论。采用第三和第四强度理论。例例11-2 11-2 转轴边缘上某点的应力状态如图所示。试用第转轴边缘上某点的应力状态如图所示。试用第三和第四强度理论建立其强度条件三和第四强度理论建立其强度条件。解：解：对于图示单元体，有对于图示单元体，有 可得可得所以强度条件分别为所以强度条件分别为习题参考解答或提示习题参考解答或提示