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1、工程力学及其实验第工程力学及其实验第7章章 扭转扭转工程力学及其实验工程力学及其实验第八章第八章 圆轴扭转圆轴扭转 圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力与强度计算 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件主要内容：主要内容：扭转的概念扭转的概念 外力偶矩和扭矩的计算外力偶矩和扭矩的计算7 71 1 扭转概念扭转概念受力特点受力特点：杆件两端垂直于杆：杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用两个大小相轴线的平面内作用两个大小相等、转向相反的外力偶等、转向相反的外力偶 变形特点变形特点：杆件的任意两个：杆件的任意两个横截面都将发生绕杆件轴的横截面都将发生绕杆件轴的相对转动。相对转动。这种
2、形式的变形这种形式的变形即为扭转变形即为扭转变形 扭转角扭转角：任意两横：任意两横截面上相对转过的截面上相对转过的角度。用角度。用 表示表示 表示截面表示截面B对截面对截面A的的相对扭转角相对扭转角。外力偶矩的计算外力偶矩的计算 令令n表示轴每分钟的转数表示轴每分钟的转数(r/min)(r/min)，则作用在轴上的力偶矩为，则作用在轴上的力偶矩为M的的外力偶，每分外力偶，每分钟钟所作的功所作的功为为 令令N表示轴传递的功率，其单位为千瓦，表示轴传递的功率，其单位为千瓦，1 1千瓦（千瓦（kW）10001000牛顿牛顿米米/秒（秒（N Nm/sm/s）。）。则则每分每分钟钟所作的功所作的功为为
3、外力偶矩的计算公式为外力偶矩的计算公式为 当功率为当功率为N马力（马力（1马力马力765.5Nm/s）时，外力偶矩计算方式为）时，外力偶矩计算方式为7 72 2 外力偶矩和扭矩的计算外力偶矩和扭矩的计算 扭矩的计算扭矩的计算 取左段为研究对象取左段为研究对象 取右段为研究对象，求得扭矩大小相等，但转向相反。取右段为研究对象，求得扭矩大小相等，但转向相反。T是横截面上的内力偶矩，是横截面上的内力偶矩，称为称为扭矩扭矩 右手螺旋法则右手螺旋法则 若以右手的四指沿着扭矩的旋转方向卷曲，当大拇指若以右手的四指沿着扭矩的旋转方向卷曲，当大拇指的指向与该扭矩所作用的横截面的外法线方向一致时，的指向与该扭矩
4、所作用的横截面的外法线方向一致时，则扭矩为正，反之为负。则扭矩为正，反之为负。TT扭矩图扭矩图：为了清楚地表示扭矩随横截面位置的变化情况，为了清楚地表示扭矩随横截面位置的变化情况，通常以横坐标表示截面的位置，纵通常以横坐标表示截面的位置，纵坐坐标标表示扭矩的大小，表示扭矩的大小，从而作出扭矩随截面位置而从而作出扭矩随截面位置而变变化的化的图线图线。例例 7-1 7-1 传动轴如图所示。已知主动轮传动轴如图所示。已知主动轮A输入功率为输入功率为PA=36kW,从动轮从动轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW。轴的转速为。轴的转速为n=300rmin。试画出传
5、动轴的扭矩图。试画出传动轴的扭矩图。反映最大扭矩值及其所在的位置反映最大扭矩值及其所在的位置23解解：算出作用于各轮上外力偶的力偶矩大小：算出作用于各轮上外力偶的力偶矩大小 将传动轴分为三段。在将传动轴分为三段。在BC段内段内在在CA段内段内绘制扭矩图绘制扭矩图 在在AD段内段内 T3=MD=446Nm 7 73 3 圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力与强度计算 变形几何关系变形几何关系 圆轴扭转变形的圆轴扭转变形的平面假设平面假设:假设圆轴的各横截面在扭假设圆轴的各横截面在扭转变形后保持为平面，且转变形后保持为平面，且形状、形状、大小及大小及间间距都不距都不变变。圆轴扭转变形时横截面
6、上不存在正圆轴扭转变形时横截面上不存在正应力，只有切应力，其方向与所在应力，只有切应力，其方向与所在半径垂直，与扭矩的转向一致。半径垂直，与扭矩的转向一致。横截面上任意点的扭转切应力：横截面上任意点的扭转切应力：任意点到转动中心的距离：任意点到转动中心的距离横截面上任意点的切应力与该点到圆心横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成正比，在横截面外表面处切应的距离成正比，在横截面外表面处切应力最大，在圆心处切应力为零。力最大，在圆心处切应力为零。圆轴扭转时横截面圆轴扭转时横截面上剪应力的分布上剪应力的分布 TIp：该横截面对转动中心的极惯性矩：该横截面对转动中心的极惯性矩圆轴极惯性矩圆轴极惯性
7、矩（1 1）实心圆截面实心圆截面 若取微面积为一圆环，若取微面积为一圆环，则由积分得则由积分得（2）空心圆截面）空心圆截面 当横截面一定时，中心点处应力等于零，而最外边缘处有当横截面一定时，中心点处应力等于零，而最外边缘处有该横截面上的最大切应力该横截面上的最大切应力 当当 时，切应力最大时，切应力最大 令令圆轴扭转时横截面上最圆轴扭转时横截面上最大切应力的计算公式大切应力的计算公式 抗扭截面系数抗扭截面系数，单单位是位是 mm3或或cm3（1 1）实心圆截面实心圆截面（2）空心圆截面）空心圆截面 圆轴扭转时圆轴扭转时强度条件强度条件对于塑性材料，对于塑性材料，(0.50.6)对于脆性材料，对
8、于脆性材料，(0.81.0)理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力 与许用正应力与许用正应力 之间存在下述关系：之间存在下述关系：例例7-27-2 解放牌汽车主传动轴解放牌汽车主传动轴AB，传递的最大扭矩，传递的最大扭矩MT19301930Nm，传动轴用外径，传动轴用外径=89=89mm，壁厚，壁厚=2.5=2.5mm的的钢钢管管制成制成，材料材料为为2020号号钢钢，其，其许许用用切切应应力力t t=70MN/m2 。试试校核此校核此轴轴的的强强度。度。解：解：（1 1）计算扭矩截面系数）计算扭矩截面系数 （2）强度校核）强度校核 AB轴
9、满足强度条件轴满足强度条件（3 3）讨论：此例中，如果传动轴不用钢管而采用实心圆轴，使其与钢管）讨论：此例中，如果传动轴不用钢管而采用实心圆轴，使其与钢管有同样的强度（即两者的最大应力相同）。试确定其直径，并比较实有同样的强度（即两者的最大应力相同）。试确定其直径，并比较实心轴和空心轴的重量。心轴和空心轴的重量。实心轴横截面面积实心轴横截面面积空心轴截面面积空心轴截面面积 在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于截在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于截面面积之比，得面面积之比，得 圆轴扭转时横截面上的剪应力沿半圆轴扭转时横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布。当截面边缘处
10、径按线性规律分布。当截面边缘处的最大剪应力达到许用剪应力值时，的最大剪应力达到许用剪应力值时，圆心附近各点处的剪应力还很小，圆心附近各点处的剪应力还很小，这部分材料没有充分发挥作用。这部分材料没有充分发挥作用。如果将轴心附近的材料移向边缘如果将轴心附近的材料移向边缘处，即制成空心轴提高了轴的承处，即制成空心轴提高了轴的承载能力，充分利用材料载能力，充分利用材料 工程中应尽量采用空心圆轴。工程中应尽量采用空心圆轴。切应力分布切应力分布7 74 4 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 圆轴扭转时的变形计算圆轴扭转时的变形计算 相对扭转角相对扭转角：GIp抗扭刚度抗扭刚度，表示圆轴
11、抵抗扭转变形能力的强弱表示圆轴抵抗扭转变形能力的强弱。单位长度的扭转角：单位长度的扭转角：等直圆轴扭转等直圆轴扭转变形计算公式变形计算公式 正负号随扭矩正负号而定正负号随扭矩正负号而定 圆轴扭转时的刚度条件圆轴扭转时的刚度条件 q q的取值可根据有关设计标淮或规范确定。的取值可根据有关设计标淮或规范确定。为了保证轴的刚度，通常规定轴的最大单位长度扭转角不得为了保证轴的刚度，通常规定轴的最大单位长度扭转角不得超过规定的允许值超过规定的允许值 等直圆轴扭转时刚度条件等直圆轴扭转时刚度条件 精密机械的轴精密机械的轴 q q=0.25=0.250.50.5（/m/m）一般传动轴一般传动轴 q q 0.50.51.01.0（/m/m）精密较低传动轴精密较低传动轴 q q 2 24 4（/m/m）例例7-57-5 传动轴受到扭矩传动轴受到扭矩T=2300NT=2300Nm m的作用，若的作用，若t t=40MN/m2，q q =0.8/m=0.8/m，G=80=80GPa，试按强度条件和刚度条件设计轴的直径。，试按强度条件和刚度条件设计轴的直径。解解 根据强度条件式根据强度条件式 应在两个直径中选择较大者，即取轴的直径应在两个直径中选择较大者，即取轴的直径d=68=68mm。根据刚度条件式根据刚度条件式 及及习题参考解答或提示习题参考解答或提示