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1、2022年中考数学复习新题速递之图形的相似(2022年5月）一选择题（共10小题）I.(2022新田县一模）如图，在!:.ABC中，点D是边AB上的一点，乙ADC 乙ACB,AD=2,AC=4,则边BD的长为（)二A.2 B.4 C.6 D.8 2.(2022春襄城县期中）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足A;区今巨二L，长期以来很多人认为J5-1BC AB 2 2 是个很特别的数，若J5-1介于两个连续（相邻）的整数a与b(allF A.(D B.)c.CD D.二填空题（共10小题）11.(2022春常德期中）已知线段MN=6,点
2、0是线段MN的黄金分割点，且MONO,那么MO的长为.12.(2022春松江区校级期中）两个相似三角形的面积之比为3:4,则这两个三角形的周长之比为.13.(2022 新都区模拟）小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线AC上BD,并且两条对角线长分别为10cm和12cm.现在小颖照着模型按照I:3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是cm2.A二/c14.(2022 钱塘区一模）已知线段a寸51,b寸5-l,则a,b的比例中项线段等千15.(202
3、2长宁区二模）如图，在Rt6ABC中，乙ACB=90,CD上AB,垂足为点D,如果Cb.ADC _ 3=,AD=8,那么CD的长是.Cb.CDB 2 A D B 16.(2022河北区一模）如图，点E为正方形ABCD的边CD的中点，连接AE,BE,BE 交对角线AC千点F,连接FD交AE千点G,如果DF=4,那么AB的长为.17.(2022高新区模拟）如图，在jj,ABC中，AC=BC=2,乙ACB=90,点D在线段BC上，以AD为斜边作等腰直角三角形ADE,线段DE与线段AC交千点F,连接CE,若6CEF与6ABD相似，则BD的长为.A B E D c 18.(2022长宁区二模）如图，在丛
4、ABC中，AE是BC边上的中线，点G是6ABC的觅心，过点G作GFIIAB交BC千点F,那么旦=EC A B F E 19.(2022岳阳模拟）如图，C 已知00是LABC的外接圆，且圆心0在线段AB上，点D是00上一点，DA的延长线与过点C的切线交于点E,且DE上CE,连接CD交AB于 点F,CD若乙ADC=30,00的半径r=2,则AC=:若tan乙ADC=上，则旦：3沁B E 20.(2022东至县模拟）如图，在Rt6ABC中，乙BAC=90,AC=2AB,将丛ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得6ADE，且点D恰好谘在边BC上，DE与AC交于点F.(1)求旦=AD(2)当AB=IO时，C
5、F=E B D C 三解答题（共10小题）21.(2022 钱塘区一模）如图，在L-.ABC中，AB=AC,以AB为直径的00分别交BC,AC 于点D,E,连结BE,OD,BE与OD交于点F.(l)求证：ODIiAC.(2)当乙ABE=48时，求乙CBE的度数(3)连结DE，若DE=1/2,AB=4,求AE的长D 22.(2022寸宾江区一模）如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别是边BC,CA上的点，且BD=CE,连接AD,BE交于点P.(1)求证：丛ABE兰丛CAD;(2)若A:C=5:3,求BP:PE的值；(3)若点P恰好落在以AC为直径的圆上，求AE:EC的值B D A E.c 23
6、.(2022长宁区二模）已知：如图，AO是00的半径，AC为00的弦，点F为AC的中点，OF交AC千点E,AC=lO,EF=3.(I)求AO的长；(2)过点C作CD上AO,交AO延长线千点D,求OD的长F 24.(2022遵义模拟）问题背景：已知乙GDH的顶点在边BC所在直线上（不与B,C重合），DG交AB所在直线于点E,DH交AC所在直线于点F,记丛BDE的面积为S1，心CDF的面积为S2.(l)初步尝试：如图l，当6ABC是等边三角形，AB=9,乙GDH乙A,且DGIIAC,BD=3时，S尸(2)类比探究：在(1)的条件下，沿BC方向平移乙GDH,使得BD=6,如图2所示位置，则S尸S2=
7、(3)延伸拓展：当6ABC是等腰三角形时，设乙B乙C 乙GDH=B.(I)如胆3,当点D在线段BC上运动时，设BD=m,CD=n,O求证：6BDEC/)6CFD证明：？乙2=)80-乙GDH乙l,乙3=:.乙2=乙3:.乙B=乙C，乙GDH乙B.6BDE=6 CFD 直接写出BECF=_,S尸（结果用含m,n,的三角函数表示）(II)如图4,当点D在BC的延长线上运动时，设BD=m,CD=n,求S1心的表达式（结果用含m,n,B的三角函数表示）A G B D 图1G c B D 图2D 图3图425.(2022沈河区校级模拟）如图1，已知在等腰LABC中，AB=AC,延长AB到G,使BG=AB
8、.AH.lBC,垂足为D,且AH=GH,点F在线段AG上（不与点A,G重合），点K在射线AC上（不与点A,C重合），满足GF=AK,连接FK,与BC交于点E,连接EH.(I)如图l，猜想线段EF与EH的位翌关系，并进行证明；(2)如果乙BAC=120,AB=3BF,求世钮勺值，诸直接写出结果EF A c G G IH 图126.(2022雁塔区校级四模）问题探究(I)如图(D,点B,C分别在AM,AN上，AM=l8米，AN=30米，AB=4.5米，BC备用图=4.2米，AC=2.7米，求MN的长问题解决(2)如图，四边形ABCD规划为园林绿化区，对角线AB将整个四边形分成面积相等的两部分，已知
9、AB=60米，四边形ABCD的面积为2400平方米，为了更好地美化环境，政府计划在AC,BC边上分别确定点E,F,在AB边上确定点P,Q,使四边形EFPQ为矩形，在矩形EFPQ内种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在FQ之间修一条小路，并使得FQ最短，根据设计要求，求出FQ的最小值，并求出当FQ最小时花卉种植区域的面积c M N A图B A D图27.(2022新泰市一模）（I)问题背朵：如图，乙ACB乙ADE=90,AC=BC,AD=DE,求证：6ABE=6ACD;(2)尝试应用：如图2,E为正方形ABCD外一点，乙BED=45,过点D作DF.LBE,垂足为F,
10、连接CF,若CF=-J7.,求BE的值；(3)拓展创新：如图3,四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG,连接DE,BG.当DF=l,S四边形AEDF=5时，求DE的长E B A.4 E c D 图1c 图2图328.(2022春鼓楼区校级期中）如图，在矩形ABCD中，已知AD=6,CD=6V3,点H是矩形ABCD的边AB延长线上一点，连接CH,过顶点A作AG上CH,垂足为G,AG 交边CB千点E.(l)求证：6CGE(/)6ABE;(2)连接BG,求乙AGB的度数；(3)作点B关千直线CH的对称点F,连接BF,FG.猜想线段AG,CG,BF之间的数量关系，
11、并说明理由D c AB H 29.(2022朝阳区校级一模）教材呈现如图是华师版九年级上册数学教材66页的部分内容F 例3已知：如图，在6ABC中，DEi/BC,EFIIAB.求证：丛ADcn6EFC.间题解决这是“23.3.2相似三角形的判定”的部分内容，请结合图也给出例3的证明过程拓展探究(I)如图，在丛ABC中，D是边AB的四等分点且靠近点B,过D分别作DEi/AC,DFI/BC与边BC、AC分别相交千点E、F,若AC=6,BC=9.则四边形DECF的周长是(2)如图，在6ABC中，P是边BC上的一点，且BP:PC=3:2,连结AP,取AP的中点M,连结BM并延长交AC于点N,若6AMN
12、的面积为3,则6AMB的面积为A B F BCD 图CA F c A B C B 图）c P图30.(2022温江区模拟）在6ABC中，AB=AC,点D为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AD,若乙BAC=a,将线段AD绕点A逆时针旋转a,得到线段AE,连接CE和DE,AC与DE交于点F.(l)求证：6ABD(/)6DCF:(2)若a=l20,点D在BC边上运动的过程中，求且凶勺最小值；FC(3)试探究AC、CD、CE之间满足的数世关系（用含a的式子表示），并证明E A F B D C 图lB D C 图22022年中考数学复习新题速递之图形的相似(2022年5月）参考答案与试题解析一选
13、择题（共10小题）l.(2022新田县一模）如图，在丛ABC中，点D是边AB上的一点，乙ADC乙ACB,AD=2,AC=4,则边BD的长为（、丿二A.2 8.4 C.6 D.8【考点】相似三角形的判定与性质【专题】图形的相似；运算能力【分析】由乙A乙A,性质可求出边BD的长乙ADC乙ACB,可证出!:.ADC=丛ACB,再利用相似三角形的【解答】解：乙A乙A,乙ADC乙ACB,:.6ADCc:.n公ACB,:呈坠，即尘世L=土，AC AD 4 2:.BD=6.故选：c.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的对应边成比例是解题的关键2.(2022春襄城县期中）在小提琴的设计中
14、，经常会引入黄金分割的概念如图，一架小AC BC森1托1提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足-=-：，长期以来很多人认为BC AB 2 2 是个很特别的数，若J5-1介千两个连续（相邻）的整数a与b(ab)之间，则寸百了飞2 的值为（、A B A.1 B.4 c痄D.2【考点】黄金分割【专题】图形的相似；推理能力【分析】先依据石1介千两个连续（相邻）的整数a与b(ab)之间，可得a,b的2 值，再代入J百可i进行计算即可解答【解答】解：:丈i立介千两个连续（相邻）的整数a与b(aCA D E B.0 c.D.CD【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质【专题
15、】图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力【分析】O由AAS证明6.ABG竺6.DEG，得出AG=DG,证出OG是6.ABD的中位线，得出OG=上AB,CD正确；2 先证明四边形ABDE是平行四边形，证出6.ABD、丛BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD,得出四边形ABDE是菱形，正确；证OG是6.ACD的中位线，得OGI/CD/I AB,OG=上CD,则St,.ACD=4St,.AOG，再由2 S1:,Aoc=St:.BOG，则St,.ACD=4S心BOG,正确；连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到6.ABD三边的距离相等，则St,.8DF=St,.ABF=2St,
16、.BOF=2S丛DOF=S四边形ODGF,则S四边形ODGF=S凶ABF,正确；即可得出结论【解答】解：？四边形ABCD是菱形，:.AB=BC=CD=DA,ABIICD,OA=OC,OB=OD,AC.lBD,:乙BAG乙EDG,:co=DE,:.AB=DE,在L:.ABG和L:.DEG中，立了：AB=DE:.L:.ABG竺L:.DEG(MS),:.AG=DG,:.OG是6ABD的中位线，:.oG妇，故正确；2.AB/ICE,AB=DE,:四边形ABDE是平行四边形，.:乙BCD 乙BAD=60,:.6ABD、6BCD是等边三角形，占AB=BD=AD,乙ODC=60,:平行四边形ABDE是菱形，
17、故正确；:OA=OC,AG=DG,占OG是6ACD的中位线，1:.OGII CD/I AB,OG=.!:.CD,2:.S6Aco=4S6AOG,:S6Aoc=S6BOG,:.S6ACD=4S丛BOG,故正确；连接FD，如图：c D E:6ABD是等边三角形，AO平分乙BAD,BG平分乙ABD,:.F到6ABD三边的距离相等，.,St:.BDF=S心ABF=2S1:,BOF=2S心DOF=S四边形ODGF,:.s四边形ODGF=S心ABF，故正确；正确的是，故选：D.【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识；本题综合
18、性强，难度较大7.(2022桓台县一模）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，将正方形AEFG绕点A旋转，连接BE,CF.则旦钮勺值为（)FC A.B c A.孕B丑C.五2【考点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质【专题】推理填空题；矩形菱形正方形；推理能力【分析】利用正方形的性质判定6ABE=6ACF,根据相似三角形的性质即可得解D.孚【解答】解：如图，连接AF,AC,卢D？四边形ABCD和匹边形AEFG都是正方形，：乙BAC 乙EAF=45,乙ABC 乙AEF=90,:.cos乙BAC坐cos乙EAF坐丑，AC沁2:，坐竺,J?.,AB AE:.6.ABEV)6.ACF,乙BA
19、E乙CAF,.BE_ AB石.=.FC A C 2 故选：c.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，利用正方形的性质并作出合理的辅助线证明f:c:.ABEV,f:c:.ACF是解题的关键8.(2022深圳模拟）如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC,过F作FH.LBE,交AB千G,过H作HM.LAB千M,若AB=9,AE=3,则下列结论中：CD乙BGF 乙CFB;拉DH=EH+FH;里且，其中结论正确的是（)AE 5 D E A c G M A.只有B.只有CDC.只有D.CD【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质【专题】数形结合
20、；矩形菱形正方形；推理能力【分析】CD根据A、G、H、E四点共圆得出乙AEB乙BGF,证LAEB竺LCFB,推出乙AEB乙CFB,即可判断；延长BE到Q,使EQ=FH,连接DQ,证LDFH竺LDEQ,推出DQ=DH,乙QDE 乙FDH，求出乙QDH 乙QDE乙EDH 乙ADC=90,得出LDQH是等腰直角三角形，由勾股定理得出QH=V2DH,即可判断；连接EF，证明EP寸2DE趴厅，BE=BF=3-./罚，根据FH2=EF2-EH2=BF2-BH2,求出BH幻，根据sin凶ABE里逞，求出HM=.2_,即可得到答案5 BH BE 5【解答】解：？四边形ABCD是正方形，二AB=BC=CD=AD
21、=9,DC/I AB,？四边形ABCD是正方形，:.乙A乙C=90,AB=BC,:FH上BE,:.乙EHG=90,:.乙A乙HG=l80,:.A、E、H、G四点共圆，:乙BGF乙AEB,在LEAB和LFCB中，曰尸:.LEAB竺LFCB(SAS),:乙CFB乙AEB,.:乙BGF乙AEB,:.乙BGF乙CFB,:.(D正确延长BE到Q,使EQ=FH,连接DQ,如图：.DC/I AB,：，乙FGB乙DFH,.，乙FGB乙AEB,乙AEB乙DEQ,：，乙DFH乙DEQ,？四边形ABCD是正方形，:.乙ADC=90,AD=DC,.CF=AE,.DF=DE,在6DFH和6DEQ中，乙霄之DEQ,FH=
22、EQ:，丛DFH兰6DEQ(SAS),.DQ=DH,乙QDE乙FDH,.:乙ADC=90,:，乙QDH乙QDE乙EDH乙FDH乙EDH乙ADC=90,即丛DQH是等腰直角三角形，由勾股定理得：QH=V2DH,即EH+FH=V2DH,:,正确连接EF,c E A GM.AD=CD=9,AE=CF=3,:.DE=DF=6,:.EF=V2DE=6石顶F=卢3石，:.BE=3颈设BH=x，则EH=BE-BH=3百X,:FH2=E户EH2=B户BH气:.(6石）2-(3伺x)2=(3西）2_ x2?HM上AB,:.sin乙ABE埋呈BH BE 顷3 于阎9:.HM=.:!.5 9:埋立主AE 3 5 故
23、旦仁乌AE 5:.正确正确的结论为CD故选D.D F.:_,o一、一飞c A G4【点评】本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正B 方形的边角性质，三角形全等的定方理和性质定理，勾股定理，锐角三角函数定义9.(2022春九龙坡区校级期中）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD为1.9米，小明到凉亭的距离BD为2米，凉亭离城楼底部的距离DF为38米，小亮身高为l.7米那么城楼的高度为（)2迷E/C-玉三三-=-=
24、-：己一尸飞：-丿38苤A.7.6米B.5.9米c.6米D.4.3米【考点】相似三角形的应用【专题】图形的相似；应用意识【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可【解答】解：过点A作AM上EF千点 M，交CD千点N,2苤l-i-i-ili-iiL/-_ _-_ c 38苤由题意得：AN=2米，:CN/1 EM,:.6ACNu;公AEM,.CN_AN.=劝战.0.3_ 2.=,EM 40 占EM=6,:AB=MF=1.7米，CN=1.9-1.6=0.3（米），MN=38米，:城楼的高度为：6+1.6-1.7=5.9（米）故选：B.【点评】本题考查了相似三角形的应用，构
25、造直角三角形，利用相似三角形的判定证出6ACNU?6A.EM是解题的关键10.(2022盐田区一模）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，CF=2DF,连接AE,AF与对角线BD交千点M,N,连接MF,EN.给出结论：乙EAF=45;AN.LEN;tan乙凶N=3;DN:MN:BMV2:石：花其中正确的是（)勹A.CD B.)c.D.【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；正方形的性质【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力分析】O将6ADF绕点A顺时针旋转90得6ABG,连接EF,证明EG=EF,再证AAEG竺
26、6AEF得乙EAG乙EAF,便可求得乙EAF,从而判断O的正误；证明A、B、E、N四点共圆，得乙ANE与乙ABE的数扯关系，便可判断的正误；连接AC与BD交于点0,证明丛MBE=丛MDA用BD表示OA、BM,进而表示OM,便可求得tan乙AMN,从而判断的正误；由相似三角形求得BM、DN与BD的数量关系，进而求得MN与BD的数量关系，便可求得DN:MN:BM的值，进而判断的正误【解答】解：O将心ADF绕点A顺时针旋转90得丛ABG,连接EF,如图，A D 则G、B、E、C在同一直线上，AG=AF,乙ABG乙ADF=90,设正方形ABCD的边长为a,则EC=BE+BG=BE+DF=1 1 5-a
27、+-a=-a:EF汇了万（令a)2+（奇a)2奇a.EG=EF,.AE=AE,2 3 6:.6AEG竺6AEF(SSS),：乙EAG乙EAF,:乙GAF=90,:.乙EAF=45,故正确；乙EAF乙DBC=45,:.A、B、E、N四点共圆，:.乙ANE乙ABE=180,:乙ABE=90,:.乙ANE=90,故正确；连接AC与BD交千点O,则OA=OB=OD=上BD,AC.lBD,2 巨F:BC/I AD,:.6MBE心MDA,.BM BE 1-=,D M AD 2 1:.BM=-:-BD 3 1 1 1:.OM=OB-BM=-:-BD一BD=-BD,2 3 6 1 O A 2-BD:.tan乙
28、AMN=3,O M 1 BD 故正确；:CD/I AB,.6DNF(/)丛BNA,.DN DF 1.=,BN AB 3 6.DN=l.BD,4.BM=1-BD,3.MN=BD-BM-DN=5 BD,12.DN:MN:BM=3:5:4,故错误；故选：A.【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合应用这些知识解题是关键二填空题（共10小题）11.(2022春常德期中）已知线段MN=6,点0是线段MN的黄金分割点，且MONO,那么MO的长为9对写【考点】黄金分割【专题】图形的相似；推理能力石1【分析】根据黄金分割的定义，
29、可得NO=MN,进而得出MO=(l-)石12 2 MN,代入MN的长即可得出MO的长【解答】解：？点0是线段MN的黄金分割点，且MONO,.NO乔1MN,2.MO=(1森1)MN,2 又？MN=6,.MO=CJ-)X6=9-3石，2 故答案为：9-3J5.【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点12.(2022春松江区校级期中）两个相似三角形的面积之比为3:4,则这两个三角形的周长之比为寸5:2.【考点】相似三角形的性质【专题】图形的相似；推理能力【分析】相似三
30、角形的周长的比等千相似比；相似三角形的面积的比等千相似比的平方直接根据相似三角形的性质即可得出结论【解答】解：？两个相似三角形的面积之比为3:4,：相似比是-/3:2,？相似三角形的周长比等千相似比，：这两个三角形的周长之比为：-/3:2,故答案为：-/3:2.【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等千相似比的平方是解答此题的关键13.(2022 新都区模拟）小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线AC.lBD,并且两条对角线长分别为10cm和12cm.现在小颖照着模型按照l:3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝盂要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整
31、个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是540 cm2.A二/c【考点】位似变换；矩形的性质；相似多边形的性质【专题】图形的相似；推理能力【分析】先利用三角形面积公式计算出四边形ABCD的面积60cm2,再利用相似的性质得到放大的风筝的面积540cn产，然后根据矩形的性质得到从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积【解答】解：？AC上BD,：四边形ABCD的面积上XlOX 12=60(cm匀，2？模型按照I:3的比例放大制作一个大风筝，:放大的风筝的面积60X9=540(cm.2),:从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是540cm气故答案为
32、：540.【点评】本题考查了位似变换：位似变换的两个图形是相似图形，相似三角形图形面积的比等千相似比的平方也考查了矩形的性质l4.(2022钱塘区一模）已知线段寸5+Lb=j5-I，则a,b的比例中项线段等千2.【考点】比例线段；分母有理化【专题】二次根式；图形的相似；运算能力【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决【解答】解：设a、b的比例中项为X,:a=/5+1,b乔1,霍ab=（乔1）（石-1)=（石）2-12=5-1=4:.x五2（舍去负值），即a、b的比例中项线段等于2,故答案为：2.【点评】该题主要考查了比例中项等基本概念间题和根式的乘法；熟练掌握比例中项的概念和根式的
33、化简方法是解决问题的关键15.(2022长宁区二模）如臣，在Rti:.ABC中，乙ACB=90,CD上AB,垂足为点D,如果C AADC且，AD=8，那么CD的长是16 C b.CDB 2 3 A D B【考点】相似三角形的判定与性质【专题】图形的相似；推理能力【分析】证明6ADC6CDB,根据相似三角形的性质可求出CD的长【解答】解：7乙ACB=90,乙ACD乙BCD=90,?CD.lAB,：乙A乙ACD=90,：，乙A乙BCD，又乙ADC乙CDB,:，八ADC。.6.CDB,.AD CD-=会,CD BD 兰立CD 2 ell.ADC _ AD=,Cfl.CDB CD 即巠立，CD 2 解
34、得，CD兰3 故答案为：上i.3【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键16.(2022河北区一模）如图，点E为正方形ABCD的边CD的中点，连接AE,BE,BE 交对角线AC千点F，连接FD交AE于点G，如果DF=4，那么AB的长为.12 寸百5【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力【分析】先证明6ABF(/)6CEF,得到EF与BF的数量关系，进而求得BE,设正方形的边长为a,再根据勾股定理列出a的方程求得结果便可【解答】解：了四边形ABCD是正方形，:.A
35、BIICD,AB=BC=CD,:.6 ABF(/)6 CEF,.BF AB.:,EF CE？点E是CD的中点，占AB=CD=2CE,.BF-=,2 EF？正方形ABCD关于AC对称，:.BF=DF=4,:.EF=2,:.BE=6,设AB=a，则BC=a,CE上，2:乙BCD=90,:.sc2+CE2=BE气即a2+（上a)2=62,2 解得a=气斥5【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是应用相似三角形求得EF的长度17.(2022高新区模拟）如图，在6ABC中，AC=BC=2，乙ACB=90,点D在线段BC上，以AD为斜边作等腰直角三角形ADE,线段DE与
36、线段AC交千点F,连接CE,若凶CEF与6ABD相似，则BD的长为4-2J 5_.A E B D C【考点】相似三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似【分析】根据等腰直角三角形的性质，易证6ABDU,6ACE,再根据丛CEF与6ABD相似，可得6ECFV6ACE,根据相似三角形的性质可知乙CEF乙CAE,易证乙CEF乙CDF,可得CD=CE,设BD=x,则CD=CE=2-x,根据相似三角形的性质可得BD:CE=AB:AC=2:1,列方程即可求出BD的值【解答】解：？AC=BC=2,乙ACB=90,:.6ABC是等腰直角三角形，:.LBAC
37、=45,且AB:AC=2:L 心ADE是等腰直角三角形，:.LDAE=45,且AD:AE=-f2:I,:乙BAD乙CAE,:.b.ABD=b.ACE,.：ACEF与b.ABD相似，:.b.ECFC/)b.ACE,:.乙CEF乙CAE,在b.AEF和b.DCF中，:乙AEF 乙DCF=90,：乙EAF乙AFE乙DFC乙CDF=90,:乙AFE乙DFC,:.乙EAF 乙CDF,：乙CEF 乙CDF,:.CE=CD,设BD=x，则CD=CE=2-x,:BD:CE=AB:AC=,/2:l,即X:(2-x)石，解得x=4-2石，:.BD=4-2,/2,故答案为：4-2-./2.【点评】本题考查了等腰直角
38、三角形与相似三角形的综合，根据相似三角形的性质证明CD=CE是解题的关键18.(2022长宁区二模）如图，在丛ABC中，AE是BC边上的中线，点G是丛ABC的重心，过点G作GFIIAB交BC于点F,那么卫t=_4EC-3 A B F E C【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的重心【专题】图形的相似；推理能力【分析】根据三角形的重心的概念得到巠i上，根据平行线分线段成比例定理得到旦=EA 3 EB 坠上，根据三角形的中线的概念计算即可EA 3【解答】解：？点G是6ABC的重心，.EG_ l.=-,EA 3:cFII AB,:旦坠上，EB EA 3:AE是BC边上的
39、中线，:.EB=EC,:旦上，EC 3 故答案为：上3【点评】本题考查的是三角形的重心的概念、平行线分线段成比例定理，掌握鱼心到顶点的距离是單心到对边中点的距烧的2倍是解题的关键19.(2022岳阳模拟）如图，已知OO是6ABC的外接圆，且圆心0在线段AB上，点D是00上一点，DA的延长线与过点C的切线交于点E,且DE上CE,连接CD交AB千点F,若乙ADC=30,00的半径r=2,则飞呈亢;若tan乙ADC上，3 3 则竺一旦沁8B E【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三
40、角形及其应用；运算能力；推理能力【分析】CD根据在同圆或等圆中同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍求得乙AOC,进而根据弧长公式求得结果；设AE=x,由三角函数的定义用x表示CE、AC、DE、AD、BC、AB、OC,再证明AOCFcnh,ADF,便可求得结果【解答】解：(D:乙ADC=30,:.乙AOC=2乙ADC=60,.60TT X 2 2 1=-TT,AC 180 3 故答案为：呈兀3:cE是00的切线，:.乙OCE=90,.AB为直径，:.乙ACB=90乙OCE,:.乙OCB乙ACE,:OB=OC,:.乙ABC乙OCB,：乙ABC 乙ACE,:乙ABC=乙ADC,：乙ACE乙ABC
41、 乙ADC,1.tan乙ADC=，3 1.tan乙ADC=tan乙ABC=tan乙ACE=-=-,3:DE1-CE,.AE CE AC 1.-:,-:,-=,CE DE BC 3 设AE=x，则CE=3x,DE=3CE=9x,.AD=DE-AE=Sx,AC石言妇x:.BC=3AC=3伺X,.AB五言石豆lOx,:.oc=上48=5x,2:乙OCE=90,DE上CE,.OCIIDE,:.60CF=6ADF,OF OC 5x 5:从AD 8x 8 故答案为：一5 8【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，弧长公式，解直角三角形，第（2)题的突破口是应用解
42、直角三角形，用x表示出圆的半径和弦AD.20.(2022东至县模拟）如图，在Rt6ABC中，乙BAC=90,AC=2AB,将6ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得6ADE,且点D恰好落在边BC上，DE与AC交于点F.(l)求BD萃 AD-5(2)当AB=lO时，CF=早产E B D C【考点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质【专题】转化思想；三角形；应用意识【分析】1)过点A作AG上BC千点G,由旋转的性质知Rt6ABC兰Rt6ADE,设AB=a,则AC=2a,AD=AB=a,AE=AC=2a,BC=DE=.f5a,由Rt心ABCVR心GBA,可得GB上鱼，BD=2GB尘五五4可求结论；森55
43、(2)过A点作AMI/BC交DE千点M，由坠匕且归I解CD CF【解答】解：（I)如图，过点A作AG上BC千点G,_.B l)(:设AB=a,则AC=2a.由旋转的性质知Rt6ABC竺Rt6ADE,.AD=AB=a,AE=AC=2a.在Rt6ABC中，BC=DE=.fi:B了；产炉（2a)2屯a.:乙BAC=90,AG.lBC,.Rt纽BC(/)Rt丛GBA,鸟革，即上豆，得GBJ_豆GB-BA.GB-a森5.AB=AD,AG.l8D,;BD=2GB=气a，萃a.BD 5萃.:.AD a 5 或故答案为：一一一5(2)如图，E B n c 过A点作AMI/BC交DE千点M,由(I)知AB=AD
44、=lO,AC=AE=20,BC=DE=l拆，BD=45,乙ABD乙ADE,.,DC=BC-BD=l或4-fE扫症:Rt八ABC竺Rtl:.ADE,:.乙ABD=乙ADM,:AMII BC,.LMAD=LADB,l:.AMF凶CDF,了MAD 乙ADM,占AM=DM.：乙MAD+LEAM=90,LADM+L E=90,：乙EAM=LE,1 1 战钮DMDEX 1 2 2 战沁.-:,-CD CF 即坠巨呈生过，硒CF解得CF,J些11 故答案为：上也11 洒5召【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质三解答题（共10小题）21.(2022钱
45、塘区一模）如图，在6ABC中，AB=AC,以AB为直径的00分别交BC,AC 于点D,E,连结BE,OD,BE与OD交于点F.(l)求证：ODIiAC.(2)当乙ABE=48时，求乙CBE的度数(3)连结DE,若DE=l/2,AB=4，求AE的长【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力【分析】(1)由等腰三角形的性质得出乙ABC 乙C,乙ABC=ODB,进而得出乙ODB=乙C，即可证明ODIiAC;(2)由圆周角定理得出乙AEB=90,结合乙ABE=48,得出乙BAC=42,再根据等
46、腰三角形的性质即可求出乙CBE的度数；(3)连接DE,由ODIiAC,0是AB的中点，得出D是BC的中点，由圆周角定理乙BEC=90,直角三角形的性质结合DE=,?,得出BC=2,?,继而证明丛DECV丛ABC,由相似三角形的性质得出EC=l,进而求出AE的长度【解答】（1)证明：?AB=AC,:.乙ABC=乙C,.OB=OD,:.乙ABC=ODB,:.乙ODB乙C,:.OD/AC;(2)解：？AB为直径，:.乙AEB=90,:乙ABE=48,:.乙BAC=42,.AB=AC,乙ABC乙C=180-42 2=69 :.乙CBE 乙ABC-乙ABE=69-48=21 (3)解：如图，连接DE,D
47、:ODIi AC.0是AB的中点，:.D是BC的中点，?AB是直径，:.乙AEB=90,:.乙BEC=90,1:.DE=DC=-=-BC,2:.乙DEC乙C,?DE石，:.BC=21J2,.AB=AC=4,:.乙B=乙C,：乙DEC乙ABC,.:乙C=乙C,:.L DEC=LABC,：坠呈，即主皂斗豆，BC-AB对2-4.EC=1,占AE=AC-EC=4-1=3.【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的判定方法，圆周角定理，相似三角形的判定方法是解决问题的关键22.(2022滨江区一模）如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别是边B
48、C,CA上的点，且BD=CE,连接AD,BE交于点P.(l)求证：LABE竺LCAD;(2)若AE:EC=S:3,求BP:PE的值；(3)若点P恰好落在以AC为直径的圆上，求AE:EC的值B A E.c【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理；平行线分线段成比例【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力【分析】(1)根据等边三角形的性质求出乙BAC乙C=60,AB=AC=BC,求出AE=CD,根据SAS推出全等即可；(2)过点E作EF/1AD交CD于F,根据平行线分线段成比例定理得A;4呈4i，则沁D F 5
49、 DF旦CD鸟，即可得出BP BD 3a 24.:.8 8 PE DF 25 25 a 8(3)由（I)知：LABE竺LCAD,则乙CAD乙ABE,根据三角形外角的性质可得乙APE=60,乙DPE=120,则乙DPE乙DCE=l80C、D、P、E四点共圆，由点P恰好落在以AC为直径的圆上，可得乙DPC乙APC=90,则点P也落在以CD为直径的圆上，连接DE,则乙CED=90,乙CDE乙CPE=30,根据含30角的直角三角形的性质可得旦=2,即可得且=2.CE EC【解答】(l)证明：:LABC是等边三角形，.AB=AC=BC,乙BAC乙BCA=60,.BD=CE,.CD=AE,在LABE与LC
50、AD中，卢;乙ACD,AE=CD:.LABE竺LCAD(SAS);(2)解：过点E作EFIIAD交CD千F,B A E c.CE CF.=,从!DF:AE:EC=5:3,设AE=CD=5a,CE=BD=3a,.CE CF-3.=-_,沁DF 5 AC C D 8:从!DF 5.DF旦CD旦5a竺8 8 8:PD/I EF,.BP BD 3a 24.:PE-DF-25-25 a 8.BP:PE的值且生25(3)连接CP,B A E c由（1)知：.6.ABE竺.6.CAD,:.乙CAD=乙ABE,：，乙APE乙BAP乙ABP乙BAP+PAE=60,:.乙DPE=l20,:.乙DPE乙DCE=12