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1、2023年高考数学第一次模拟考试卷（新高考I 卷）数学-全解全析123456789101112DCACDCDDBCDABDACBCD一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【答案】D【详解】由 Iog2（x+1）4 2 得：0 x+1 4 4,解得：I x 4 3,即 3=x|-l x 4 3 ,A uB =x|-l x43.故选：D.2【答案】C*j 5,T n.n 57r.57t 11 +J5【评 用 车】e3+e6=cos +1sm +cos +ism =-+-3 3 6 6 2 23.【答案】A【详解】若x=y=a,则
2、a 4 x a +l,a 4 y /2 ,故 B 正 确；对 于 C,通=卜 2 +夜,a),丽=卜 2-血,-血)，京+丽=(T,0)所 以|相+丽 卜 J(-4)2+()2 =4,故 C正 确；对 于 D ,而=(-2 +&,&),丽=卜 2 +夜，一夜)，而+曲=(-4 +2 直,0)|丽+丽 卜 J(-4 +2&y+。2 =4-2 及，故 D 不 正 确.故选：D.6.【答案】C-pp p c)【详解】因 为 丽=4 鬲+扇J,所以尸是N4尸身的角平分线，又因为点”在直线X =4 上，且在双曲线中，点尸是双曲线C右支上异于顶点的点，则 耳乃的内切圆圆心在直线x =a 上，即点H是户大6
3、的内心，如图，作出 4；鸟，并分别延长破、码、能 至 点 P、斤、以,使 得 =5HP,PiHF；=3HF、,H F44H F可知”为 /=；理的重心，设$；=机，SAHRF：=P,由重心性质可得 1 5?=2 0 =1 2 p,即，”:：p=4:3:5 ,又H为尸瓦巴的内心,所以为闾:|P图 闾=5:4:3,因为昭|=2。，所 以 附|=杂 用=,|叫 闺闾=,则为=|阁-阀|=1,_ c _ 2 c _ 2 c _所以双曲线C的 离 心 率 八 片 五=五.故 选：C.7.【答案】D【详解】解：因为函数丫=4/2工+弓,所以其最小正周期为7=寻=打，而区间 5 +3 的区间长度是该I 3；
4、2 1 4函数的最小正周期的9，4因为函数丫=$沿（2+今）在 区 间f,f+：上的最大值为g），最小值为g 2（r）,所以当区间关于它的图象对称轴对称时，g i（r）-g 2（。取得最小值，对称轴为什什，二“万，此时函数、=$亩有最值 1,不妨设），取得最大值&=1，则有s i n 2=1,所以s i n 2 f+云74 T C 7 1 2 t+-=-+2k7r,keZ,t =k7r-,k&Z,所以 g 2（，）=s i n所以修 -g 2“）的最小值为2乎，故选：D.8.【答案】D【详解】设底边长为小原四棱锥的高为，如图1,0，。分别是上下底面的中心，连结。，O.A,OA,由A 4,=G，
5、且四边形AOQA为直角梯形，0 A qA B产与a,OA=-A B =-a,可得当且仅当/=4 8-2/,即a=4 时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径4=A Q=3，下底面半径r=AO=2应，设球的半径为R,显然球心M在。|所在的直线上.显然球心M在。所在的直线上.当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段。|上，如图2,设O/0=x,则q M=l-x,0 x l,显然AM=MA=R 贝 IJ,有 护 7 7 =次+(1)2 ,即/2 扃+/=两+(1)2解得x 0,舍去.当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M在线段。的延长线上，如图3,设O M=x,则。M=I+x,显然M C =M
6、A,=R 即 JU+x?=J.+0 +x)2 ,即,(2 )2+e=，(0)2+(1+解得x=g,.(2何+廓=母,此时，外接球的表面积为4TR2=4 x(孚)乃=57%.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】BCD【详解】对于A：.-0.1x2=0.20.5,所以骑车时间的中位数在 20,22)这一组，为20+售券x2=21.5分钟，故A错误；20+22对于B：骑车时间的众数的估计值是三 三=21分钟，故B正确；于C：(0.025+0.050+0.075)x2=0
7、.3 0.4,所以坐公交车时间的40%分位数的估计值在 18,20)这一组，为 18+产2=19分钟，故C正确；对于D：坐公交车时间的平均数的估计值为：2 x(0.025 X13+0.050 x 15+0.075 xl7+0.l00 x 19+0.100 x21+0.075 x 23+0.050 x25+0.025 x 27)=20,骑车时间的平均数的估计值为：2x(0.10 x19+0.20 x21+0.15x23+0.05x25)=21.6,则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，故D正确.故选：BCD.10.【答案】ABD【详解】设 P(x,y),因为41,0),次一
8、2,0),且点尸满 足 黑=:，可得+q整理得(X-2)2+),2=4,即曲线c 的方程为(X-2)2+)，2 =4.对于A中，曲线C 为半径为2 的圆，所以周长为2%x2=4万，所以A正确;对于B中，因为A(l,0),B(-2,0),所 以 曾=；，所 以 犒=品，延长所 到。，使|AP|=|P Q|,连结A。，如图所示,因 为 =园,所以翁群圈,所以。P/A Q,所以N0P8=N。，NOPA=NQAP,因为|A =|P 9,所以NO%=N Q,所以NOPB=N Q 2 4,即OP平分N A P 8,所以B正确.I3对于C中，由 的 面 积 为 5=力 则 力|=/调，要使得A/WP的面积最
9、大，只需回I最大,由由点P 的轨迹为C:(x-2)2+y2=4,可得ly/a=2,所 以 面 积 的 最 大 值 为 3,所以C错误;对于D中，当他时，P(l,石)或(1,-6)，不妨取尸(1,百)，则直线 8P:y=一(x+2),即 y =3(x+2),1 (2)3因为圆心C(2,0)到直线 期 的距离为4 =所 以 =r,即直线3尸与圆相切，所以D正确.故选：A B D.II.【答案】A C【详解】对于 A：不妨令 x =y=O,则/(O+O)W/(O)+f(O)=/(O)V O,因为V x e 0,+8),x)20,所以/(0)20,故/(0)=(),故A 正确;对于 B：不妨令 x =
10、l,y=五，则/=1,，(夜)=0,/(l +V 2)=0,即/(1+忘)4/(1)+/(0),这与V x N O,y 0,/(x+y)N x)+/(y)矛盾，故B 错误；对于C：由题意可知，V x e o,+c c ),/(x)=x 0,不妨令x =w+2 0,其中，为整数部分，”为小数部分，则/(x)=x =机；再令y=a+6zo,其中。为整数部分，8 为小数部分，则/(y)=y=a；若 O W +b o,/(x+y)2 x)+/(y)成立,故C 正确；对于D：由题意可知，常函数f(x)=O 为“函数”，但/(x)不是增函数，故D 错误.故选：A C.12.【答案】B C D【详解】对于A
11、、B,由抛物线的焦点尸(1,0),则 p =2,即/=4x,其准线方程为4 一 1 ,设点P到准线的距离为(，PM+PF=PM+dp,设点M（3,2）到 准 线 的 距 离 为 易 知|加|+4,2 4=4,如下图;x=-l yk故A错误，B正确；对于C,由题意可知，过点M（3,2）的直线/可设为=加&-2）+3,代入抛物线C：=4 x ,可 得-4,y+8机-12=0 ,设 A（,x）,8（,%），则%+必=4 m,%必=8%T2 ,O A O B =xix2+yiy2=1（乂-2）+3加（%-2）+3 +当=（+1）%+加（3-2加）（+%）+（3-2M将）1 +%=4 ,%必=8机T 2
12、代入上式，可得=(?2+1)(8”-12)+加(3-2加)-4，+(3-2 7)-=4/n2-4 m-3-4(/n-j -4 -4 ,故C正确;对于D,由C可得直线/的方程为x-?y+2加-3=0,可设直线PF的方程为x-?y-l =0,易知点P到直线/的距离等于两平行线/与P F的距离d=令 尸2x +x22(1+*2)-2X.2X 2(1-X)(1+X)当x -o o,-I）5L+O O）时,y 0,则y=急在和上单调递减，在（-1,1）上单调递增，由当x -l时，y 1时，y o,则为汨=-1，Jm ax =1 可得04d4 2血，故D正确.故选：B C D.三、填空题：本题共4小题，每
13、小题5分，共2（）分.13.【答案】c o sx j （答案不唯一）【详解】./（）为口上的偶函数，；./（一幻=/（力,又/(l +x)=f(3-x),.用3+尤替换x,得/(x +4)=/(-x),.f（x+4）=x）,的周期为4,则/（X）的一个解析式可以为 x）=cos（5 x）故答案为：cos：q （答案不唯一）.14.【答案】84【详解】依题意，冬至日号长为13.5尺，记为q=1 3.5,芒种日号长为2.5尺，记 为%=2.5,因相邻两个节气的日唇长变化量相同，则从冬至日皆长到芒种日科长的各数据依次排成一列得等差数列数列他“）的公差d=誓?=_,因夏至与芒种相邻，且夏至日号长最短，
14、则夏至的日号长为4+d=L5,又大雪与冬至相邻，且冬至日号长最长，则大雪的日长为&+d =12.5,显然夏至到大雪的日暑长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为12.5尺，共12项，所以一年中夏至到大雪的日号长的和为 产xl2=84（尺）.故答案为：843715.【答案】840【详解】解：8个程序题目全排列共有A；种方法；全尺寸太阳能排在前两位，可分类讨论：全尺寸太阳能排在首位：太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有A；种方法，两者均不与空间运输相邻，可先将其余4 个全排列，有A：种方法，再插空有A；种排法，故此时共有A；A：A；=2x24x20=960种方法；全尺寸太阳能排在
15、第二位，再分两种情况首位排空间运输，太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有A；种方法，和余下4个元素一起全排列，有A；种方法，共A；A；=240种方法；首位不排空间运输，余下四个一般元素挑一个排在首位，有 A；种方法，太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有A；种方法，余下3个一般元素全排列，有 A；种方法，最后在4个空位中对空间运输和捆绑元素插空有A：种，共 A：A；A；A：=576；由所有符合条件的排法有960+240+576=1776；1776 1776 37 37故所求概率为：K=8x7x6x5x4x3x2x广研 故 答 案 为：皿16.【答案】1 ,0)5 +8)e【详解】解：
16、因为a+f(0-2e601nz?=Z?-2e601n.,所以 a+f(Z?2e 0 矛盾，当rwO时，上式为(2-2 6)也2 =一 1，a a t令 x=2,则/(x)=(x_2e)lor,x0,fx)=lnx+(x-2 e)-=Inr+l-,a x x2e 1 2e令 g(x)=lnx+l-,x 0,g(x)=-+70,x x x2e所以g(x)在(0,+8)上单调递增，又g(e)=Ine+l-=0,e所以在(0,e)上，g(x)0,A x)0,r(x)0,”x)单调递增，所以/（x）m in =/（e）=（e-2 e）lne=-e,x 趋向于0或+8 时，/（x）均趋向于+8 ,所以-L
17、.-e,即L,e,所以,0 或r.，故 的取值范围为（一叫0）7 d,+8）.t t e e故答案为：（-a,故条件不成立，即条件正确，在 AABC 中，由余弦定理可得:4 +c 2accos,B P a2+c2 b1+ac=0,对 于 条 件 :+/+3 0 =0,与上式结合可得a=3,对于条件：acsin B=ac=二，故ac=15,所以c=5,2 4 4将 a=3,c=5 代 入 一 2+c=o 可得：b=7、（6分）（i）在AABC中，由正弦定理可得:sin 43 7b B n =-o-.3 石 .13sin A 2 K,sin A=-,cosA=,smB s m-14 14（8分）(
18、ii)QBD是/ABC的角平分线,.Z/)=NCBD,C .n 1 AB-BD-sin ZABD（.1 =丝=2=丝=3SDBCD CD 1 BC BD-sin ZCBD 8 C 3235 AC=7,，AO=于，在 AB。中，由余弦定理可得8（35 Y 35 13 15BD1=AB2+AD2-2AB-A-cos A=25+-2x5x x=B D =.I 8 J 8 14 64 8综上:条件正确，sinA=K,B Z）=M.（10分）14 818.【答案】4,=2 -1 证明见解析20【解析】（1）当 =1时，4%=4百=（4+1）2,解得：q=l；当“2 2 且 e N时，也=4S-45n,=
19、（a+1）2-（a,+1）2,整理可得:-a_,-2）=0,X a 0,:.a-an_x=2,（2分），数列 4 是以1为首项，2 为公差的等差数列，.4=1 +2（-1）=2-1.（4分）,22-1 、2）由（1）得：b“=Q2-|+乂22*|+1）=3 22T+1-22旬+J （6分）DIf 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ）3U+1 23+1 23+1 25+1 25+1 27+1 22+1 22-+1 22,-,+1 22,+I+1J1 （1 1 11 1 A 1 1 1 八、3 Ul+l_22,+J-3V3-22,+I+1J200 得：也电2 0 0,又 e N*,二勺而二？
20、。；（10 分）2当为奇数时，,=看”_。,+|=（”+1）；”+4）_（+2）2 _ _ 2+；”+4200的最小正整数”的值为20.（12分）19.【答案】（1）,（2）分布列见解析，数学期望：g（3）至少要进行11轮测试【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27,15,43,41,32,26,56,36,49,2 0,参与“单板滑雪”的人数依次为46,52,26,37,58,18,25,48,33,30,其中参与“单板滑雪，的人数超过3 0 人的学校有6 个，参与“单板滑雪”的人数超过3 0 人，且“自由式滑雪”的人数超过3 0 人的学校有4 个，记“这1 0
21、所学校中随机选取2 所学校参与“单板滑雪”的人数超过3 0 人”为事件A，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过3 0人”为事件8,则 网 力=翁=；,P（A8）=导=怖，（2分）j o j o/I 尸（4 8）2所以，外用4）=丸f=不（4分）（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，X的所有可能取值为0 J2,3,所以尸=）=等喂P（X=】）=萼喂尸=2）=管嗡$，P（X=3）=若唱（6 分）所以X的分布列如下表:X0123P6231013 0所以 E（X）=1+2XN+3X-L=9（8 分）2 10 3 0 5（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀”为事
22、件C,则 P =C；（|Jx（l-|）+C；（|=称,由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布勺,而人（10分）由题意列式”2 8,得苧，因为“w N ,所以 的最小值为11,故至少要进行11轮 测 试（12分）27 5320.【答案】（1）证 明 见 解 析（2）存在，2=-4【详解】（1）依题意A 8 C D 矩形，AB=4,B C =2,E是8 中点，所以AE=BE=2无，又 48 =4,所以，A E?+3 炉=A 3?，A E 上 B E,（2 分）因 为 平 面 平 面 ABC D,平面B E f l 平面A B C）=3E,所以A E _ L平面庞尸,又3 尸u平面
23、瓦尸，所以A E _ L8 尸.（4分）以c为原点，C D所在直线为X轴，C B所在直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系.则 C（0,0,0）,（4,0,0）,5（0,2,0）,（2,0,0）,（6分）设N是8 E的中点，因为FE=F B,所以F N L B E,又平面B E F，平面A B C D,平面B E F 1平面A B C D =B E,所以尸NL平面A8C O,尸卜,1,0）,（8分）假设存在满足题意的/I,则 由 而=4丽（0 2/2）.设平面D E F的一个法向量为。=（x,y,z）,f i -D E =-2x=0n-D F=3 x+y+&z =0则令 丫=&,可 得x =0
24、,z=,即万（10分）设P F与平面D E F所成的角为。,所以s in”卜o s（而 同=篇 会|7 2（22-1）+V2|=7 65 -J（3 -4/1）*2 *4+（2A -1）2+（-V2）2 33解得（2=1舍去），4综上，存在2 使 得 尸 尸 与 平 面 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 逅.（12分）4 32 221.【答案】三+工=1 （2）存在2=24 3【详解】（1）解：抛物线V=4 x的焦点为尸（1,0）,由题意可得c=l,-=:.a=2f 故b=M丁 =5a 2因此，桶圆。的方程为+亡=1.（3分）4 3（2）解：设（x，y j、N（x2,y2）,设直线MN的方程为
25、x=，*+l,其中机#0,二+广=1联立（4 3-,得（3环+4）/+6 冲-9 =0,=3 6 1+3 6（3疗+4）0,x=my+6m 9由韦达定理可得乂+%=-丁;X%=_ 2 J（6分）3m+4 3m+43所 以 啊%=5（%+%），易知点A（2,0）、3（2,0）,匕=嬴 七，所以，直线AM 的方程为y=G（x+2）,（8分）my+3将x=4代入直线A M 的方程可得）=一，即点f 4,一叫,“明+3 1 myt+3）6%阳 i+3 2y,lc3=-=-,(10分)h =-=-2 my9-13 my,+3 2所以，匕+%3=y%my+3 my2-1+3%(碎 +3)m%T)斫以 2=
26、&+右=2.y M f+3 y 2 .吵+3=2冲防一耳+3%=2乂+6%(mX+3)(m%T)2y 2myty2-2y,必+3y?=2.(12分)22.【答案】（1）见解析（2）见解析【详解】(1)证明：要 证/。)=1 +皿-“+”0,即证x+ln x-are+-0,x x xe即证ln(x e)-o reX+Y 0 ,令/=xex,即证In f-af+：0 n ln(x e)0 =xe，1 时，即r l时,由/?)=()，可得一。/+/。=0，因为 a*；，.-.A=l-4 2 0,.（。4 0 在（1,内）上恒成立,所以 在）上单调递减，则当，1时，=0,所以/（x）0；（5分）（2）证明：由（1）知 1,当 fLa=；时，令 r=：+l（eN*）,即 ln(n4-l)-lnM-I +|,2n n+)所 以 ln(,7+2)-n(77+1)|-F -ln(+3)-ln(+2)#).2n+2 n+3 Jln(2z?)-In(2w-1),(10分)2 v 2n-1 2n)?2 2 1以上各式相加，得ln(2)-ln ln 2,jTij In2 In,n+1 n+2 2n-1 2n 4n 2即一+一+.+一+3 n 2 ln .(12分)M+1 n+2 2n 1 4n 2