《数学（新高考Ⅰ卷B卷）-学易金卷：2023年高考第—次模拟考试卷附答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（新高考Ⅰ卷B卷）-学易金卷：2023年高考第—次模拟考试卷附答案.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年高考数学第一次模拟考试卷（新高考I 卷）高三数学（考试时间：120分 钟 试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第n 卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设P和。是两个集合
2、，定义集合P-Q =x|x e P 且了走。,如果尸=x|kg2Xl,Q=XX2-4X+30,那么P-Q=（）A.x|0 xl B.x|0 xl C.x 1 x2 D.x2x32.已知且3cos2a+sina=l,则（）.A.sin（7 t-a）=-|B.cos（7 i-a）=-|C.sin+a =一 一 D.8 s（+a）=一半3.为贯彻落实 中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工
3、作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A.2640 B.1440 C.2160 D.15607T 7T4.已 知 血 中，=AC=2,则4 4=?的充要条件是（）6 6A.”R C 是等腰三角形 B.AB=2为 C.BC=4 D.SABC=y/3,BCbc B.b c a C.acb D.cab7.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:4-与=1（0）的左、右焦点分别为耳，鸟，从外发出的光线经过a bio图2中的4 8 两点反射后，分别经过点C 和。，且tanNC4B=-M，|丽 =彷
4、 丽，则双曲线E 的离心率为图1图2A6 口屈 2 而 n V 1 4 D.-U.5 5 5 38.已知函数/(x)=；e 2*-g l n2x-l nx-依-g x+1 ,对于任意的玉、x2 e(0,+o o),当为工刍时，总有Ji%)2 成立，则)的取值范围是()苫一(Il (1 (1 1 (1 -I e I 2e J(e-J 1 3e J二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9 .已知凡耐 R,复数Z1=(l-i)z2=(l +i)则()A.|z,|V 2,|Z2|A/2 B.若a
5、 =2,)=3 时，上囚=4正C.若a 0,b0,a+b=2,则D-若|z j =2|z j,则a-/?=l1 0 .在直四棱柱ABC。-A B C。中，所有棱长均2,ZBAD =6 0,P为C G的中点，点。在四边形D C GQ 内(包括边界)运动，下列结论中正确的是()A.当点。在线段C R 上运动时，四面体A B P。的体积为定值B.若A Q 平面A B P,贝必。的最小值为石C.若 A B Q 的外心为M,则A 从.为定值2 D.若AQ=不,则点。的轨迹长度为,1 1 .设N2,e N*.若qe 0,l (i =l,2,)，则称序列(q g，,G)是长度为 的0 1 序列.若4,=。+
6、。2+%，勿=4 0+生 4+-+4，贝 I J ()A.长度为 的0-1 序列共有2 个 B.若数列 4 是等差数列，则以=2C.若数列也,是等差数列，则4=()D.数列 4 可能是等比数列1 2.已知点P 是坐标平面x Oy 内一点，若在圆O:/+y 2=l 上存在A,B 两点，使得？A=AAB(其中女为常数，且%0),则称点P为圆。的“k倍分点”.则()A.点。(2,0)不是圆。的“3倍分点”B.在直线上，圆。的 倍 分 点”的轨迹长度为2扭C.在圆。:(X-6)2+V=I上，恰有1个点是圆。的“2倍分点”D.若加：点P是圆。的“1倍分点”，：点P是圆。的“2倍分点”，则机是w的充分不必
7、要条件三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.己知向量与5的夹角为30,且|二|=6，由=1,设正=+B,n=a-h,则向量而在方向上的投影向量的模为.1 4.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了 勾股定理”及一些应用，其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点F是抛物线/=2*的 焦 点，直线/是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为8,射线击交准线/于点C,若Rt A A BC的“勾”A B=3,“股”C B=36,则抛物线方程为.1 5 .将函数/(x)=s i n(2 x +e)o 0,蚓苔)的图像向左平移。个单位
8、长度得到函数g(x)的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为5,则*=_.21 6 .已知函数/(x)=2(a+2)e”-(。+1)疣+/有三个不同的零点玉,法鼻，且为 0%三，则好 会 出 苫 卜 各 的 值 为-四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .(1 0分)已知数列%满足：4=2,nall+l+(+1)=(/?+2),+(/2 +1)证明：数歹不 是等差数列；设。=粤出，求数列也 的前项和+2 an24218.（12 分）AA5C 的内角 A,B,C 的对边分别为。，b,c,且8=彳，b=R .（1）若 cos4cosc=,求M 5 c的面
9、积;（2）试问4+!=l能否成立？若能成立，求此时“U5C的周长;若不能成立，请说明理由.a c19.（12分）2020年1月15日教育部制定出台了 关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（也称“强基计划”），意见宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为该考生报考乙大学，每门 科 目 通
10、过 的 概 率 依1 次7 为，其中0%6 0)的右顶点为4 夜,()，过左焦点F的直线x=-l w O)交椭圆于a bM,洞 点，交丫轴于P点，P M=X MF，PN =p N F ,记AOMN,。“马，/ON F2 g 为C的右焦点)的面积分别为邑，邑.证明：义+为定值；(2)若S小 略+/，-4 2&0(9).2023年高考数学第一次模拟考试卷（新高考I 卷）数学-全解全析123456789101112BADDBBBABCABDACBCD一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【答案】B 详解V P=A|log2xl=x
11、|0 x2,e =x|x2-4x+30=x|lx3,二 P-Q =x|0 E .故 选:B.2.【答案】A【详解】3cos+sin or=1,23（1 2sin_a）+sina=1,BP6sin2a sina 2=0,sina=-sin a=-（舍去）,石=cos a=,3cosa=,sin（兀-2）=sina=j,cos（7 r-a）=-cosa=,sin f-+a13 3 3 12yzCOS兀+a22=-s in a=一.故选：A.3.【答案】D【详解】6人分组有2种 情 况：2211,3111,所以不同安排方案的总数为C值A；+C A：=1560.故选：D.4.【答案】D【详解】由于 J
12、,故 当 是 等 腰 三 角 形 时，乙4=丁或N4=工 或 乙 4=多；6 6 12 3当NA=2 时，W C 是等腰三角形，所 以“3 C 是等腰三角形是乙4=?的必要不充分条件，所以选项A6 6不 正 确；4 D AC 2 6 _ 2.9-T T T T当时，华=嘤，即标=nC =5,所以/c =+或 NC=,贝!|乙 4=弓或sine sinB sin 3 3 26NA=q；当ZA=J 时，NC=,根据正弦定理可得AB=2 6，所以48=2 6 是 4 =3 的必要不充分条o o 3 o件，所以选项B不正确；AC 4 二 2当8 C =4时，片，BPs i n A .7：,解得s i
13、n 4=l,乙4=3,所以8。=4不是NA=$的充分条s i n A s i n B s i n-2 6o件，所以选项C不正确；当ZA =弓时，S.ABC=G；当 =6时，即:8C8A-s i n 8=6,，BC-84=4 G,根据余弦定理BC2+BA2-2BC BA-COSB=4,B C2+BA2=6,v BC BA,:.BC=2,BA=2y/3,贝 Z4=2 所以6S,=8 C B 4是4弋的充要条件，故选：D.5.【答案】B【详解】根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误.根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到 通知中的标准，高中生平均睡眠时
14、间最接近标准，B选项正确.学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比睡眠时间长于学习时间的占比3,c选项不正确.10从高三到大学一年级，学习时间减少9.6 5-5.71 =3.9 4,睡眠时间增加8.52 -7.9 =0.6 2,所以D选项错误.故选：B6 .【答案】B【详解】设函数/(x)=e +J,则/(x)为偶函数，且当x N O时，/(x)=e -JO,所以/(x)在(f,。)上单调递减，在(0,田)上单调递增，因为 s i n l t an 2 -l c o s 3 1 -co s 3 且 s i n 1 0,又 a=/(s i n l),2 2 2Z?=./(t
15、an 2)=/(-t an 2),c=/(co s 3)=/(-co s 3),所以b c a.故选：B.7.【答案】B【详解】如图，由|丽 =丽 丽，有 丽 之 +砺.丽=0，可得应襄(8方+方)=0,可得加1区4=0,有 B D J.A B.1 2在Rt ZXABD 中，由 t a n/a A B u M，不妨设忸周=1 2 加(),则|他|=5?，由勾股定理得|曲|=1 3机,又由双曲线的定义可得|月闾=1 3?-，怛闾=1 2 z-2 a,根据|跖|+忸段=|AB|可得(-2 a)+(1 2 m-2 a)=5?,解得a=5 m,所以忸国=2%在 Rt斯 叫 中，2c=FtF2 =5/1
16、 44m2+4/n2=2 ,可得 c=后扭,故双曲线E 的离心率为e=亘 丝=巨.故选：B.a 5 m 58.【答案】A【详解】不妨设玉，由,a)乜)2 可得出外不)一/仁)2%一,%一%2即/(3)-2 与 玉)一2，令 g(x)=/(x)2 x =-e-l n-x -In x fcv )x +1,其中x 0,则 g(5)g(W),所以，函数g(x)在(O,+8)上为增函数,贝!Jg (x)=e 2-l d-(2+j20,则依+令(力=小_”-(2 +目，其中 0,纪要 监p(x)=2x2e2x+In X,其中x0,所以，p(x)=4x(x+l)e2 t+0,所以，函数P(x)在(0,+8)
17、上单调递增，因为p(+2/-1|-1 0,所以，存在使得夕(x()=2 君e2 +l n Xo=O,贝(j 2 3，1 =-l n x0=In(令 f(x)=x e,其中x0,贝*(x)=(x+l)e 0,故函数f(x)在(0,也)上为增函数,因为与 由么必与二,仙,可得/0 与人人!，,所以，2x=-ln x。，可得e 2&=L,*0*0 0/“0且当O X )时，/(x)玉)时，(力 0,此时函数力单调递增，所以，/?(x)mi n =()=/-上1=_0_2)eJ /=，所以，k .故 选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
18、全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】B C【详解】z,a b=(-2i)i.同理z产尸,对于A,闵=)(-2)=(0)”0,同理同=(30,故A 错 误；对于B,以囚=上值|=(夜)(&)=(&)=(&)=4&,故B 正确;对于C,2=(血),由a+6=2,则a =2-b,即 日=(夜 广 2=2、因，则2g g,故C 正 确；对于D,由 团=2|勾，则3=(夜/=2,即=1,a-b=2,故D 错误.故选：B C10.【答案】A B D【详解】对于A,因为A B/g c,又因为A8 u面ABP,Q C cz面A B P,所以。面A B P,所以直线C A 到平面A
19、B P 的距离相等，又AABP的面积为定值，故A正确；对于B,取。R,C的中点分别为M,N,连 接 AM,MN,AN,则 易 证 明：AM/PC,面 ABP,PC0 面 A B P,所以AW 面ABP,又因为 A8/A/N,M N Z 面 BP,ABU 面 A 8 P,所以 MV 面 A/P,M N cA M =M,所以平面ASP面AMN,A Q u面 A M N,所以AQ平面ABP当A。_!MN时，AQ有最小值，则易求出AM=M N =0,AN=AD2+DN2-2 AD-DN cos 120=4+l-2x2xlx-lj=V 7,所以 Q,M 重合,所以则AQ的最小值为AM=6,故B正 确；对
20、于C,若 aA B。的外心为M,过 M 作于点”，丽=+22=2收.1 2则 A 8-A M=5 A=4.故c$笥吴；JT对于D,过 A 作 A O L C Q 于点。，易知A。，平面CQO,O R=A A cosy=l在 Q A Q G 上取点A”a,使得A A=G，D 4=1,则 4 4=4 4 =，Q =Q42=/=5=2所以若A Q=V L 则。在以。为圆心，2为半径的圆弧4A3上运动,又因为。0 =1,。4=6,所以443=(,则圆弧&A等 于 半，故D正确.故 选：A B D.11.【答案】A C【详解】由分步乘法计数原理可知：q=L 2,选 0或1,均有2种选 择,故(%,J)共
21、有2 个，A正 确；因为数列&是等差数列，所以为定值，当 c“=。，贝 q=。(i=l,2,贝=0,当 =1,贝!弓=1 (，=1,2,，贝(J/?”=q+a2 H -=1 +2+3H 卜=(2 B与荀吴；若数列出 是等差数列，则 2 fmg+C 2+/；,为定值，只有q=0(i =l,2,能满足要求，故 a“=0,C 正 确；若数列电 是等比数列，则 白 二广aC 十 ：；+.二：；=4 为定 值,且 它 ，4 2c2 十 十因为包片 o ,所以 g*o ,4。+4 G =g(+a2c2+a”/”,)，所以 为 c”=(4 T)+),若 0=1,则 4 c“=(9+02+-+4应=0,所 以
22、%=0,舍 去；若#1,出。2=g-1)平,(q+，2)6=(g-l)c：,其中。=,2=1,解 得：4 =3,=(g-l)(4 G +2 c ),其中 ct=c2=c3=,解 得：q=2,故夕不是定值，数 列 电 不可能是等比数列，D 错误.故选：A C12.【答案】BCD【详解】若 满 足 苏=3罚，设 网=,0 /2,则 有 网=3 r,网=4/,国=2,网=Y 2.如下在 O Q 8中，由余弦定理得cos N O Q B =|OQ|2+|gB|2-|Og|2 22+(4r)2-l 3+16r22佻卜|网 2x2x4r-16/在O Q A中，由余弦定理得：co s/O Q A =|O Q
23、|2+|Q AT 0 4|22+(3 f)2 +3产.3+16产 1 +3产2|OQHQA|2x 2x 3，4 r16/4 1解得f =g,，点Q(2,0)是圆。的“3倍分点”，故A错 误；过。作弦A B的垂线垂足为。，当P在直线/：*-2上时，如下图：._ _ 1 _|UiTi _|UiHi IUUTI若尸是圆。的4倍分点”即而=；丽，设 网=，|闭=”，则 有 网=2 网=3九在AORA中，由余弦定理得co s/O P A =|O/f+|A/f-|O A2OP-AP在 O P B中,八 OP?+BP-OB由余弦定理得：co s N 0 P 8 =J_ 1 2而 言a2+(3 r)2-1 _
24、 a2+9t22a-3/6 at亡，解 得 心 平.又 同=2,即八解得必又:y =X-2与坐标轴得交点为历(2,0)与7 V(O,-2),则在直线/：y =x-2上，圆。的 倍 分 点”的轨迹长度为|M N|=20,故B正确；在 圆:(x-6)2 +y 2 =1上取一点尸，若点尸是圆。的“2倍分点”,则有序=2通，设 限=%(X Y2,|词”,5 4 a 4 7,则 有 网=2 f,网=3 f,如卜图：在 O PB中，由余弦定理得：co s N O PB。a2+(3/)2-1 _/+9/-12a x 3 f 6 al由余弦定理得:co s Z.OPA=|OP|2+|PA|2-|OA|22|0
25、件 照/+(2。1 _/+4/2a x 2 f 4al在(?附中,a2+9?-1 _ a2+4t2Gat 4m为 牟 得 =6 +1 2 5 ,即 0:(了-6)2 +丫2=1上，恰有1个点是圆。的“2倍分点”，故C正确；设 网=f,(R Y 2,同=。.如下 图：若 点 尸是圆。的力倍分点”则有 网=f,|丽卜勿，在 O PB中，由余弦定理得：co s/O P3 =2OP-PB2 T o 4 2+(2/)2-l 合+仆 2ax214at在AOPA中，由余弦定理得：co s ZOPA=|0 耳2+伊川2|0 川2 _ +*a2+t2-1 /+4/-12 1 0 PHp川2at2at4at,解得
26、/=2/+1,0,9,由上面的结论可知，若点P 是圆。的“2 倍分点”，解得/=6 r+1,.a2 e(O,2 5,，若 m:点 P 是圆。的“1 倍分点，：点尸是圆。的“2 倍分点”,则 m 是 加 的充分不必要条件，故D正 确.故 选：BCD.三、填 空 题：本题共4小题，每小题5 分，共2 0 分.13.【答案】2【详解】前言 方 向 上 的 投 影 向 量 的 模 为 胃 二 弟 早4 a-2 a-b+=2.故 答 案 为：214.【答案】/=3 x【详解】解：当抛物线开口向右时，如 图 所 示：因 为 网=3,倒=3 M/ABC=9 0 ,所 以 留 卜 J 幽+阿 2=6,N CA
27、B=6 0 ,由抛物线的定义得|A B|=|A F|,所以A A B F是等边三角形，所以 T=(吃 1=；*3 =所以抛物线的方程是V=3 x,同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为：丁=-3 乙综 上：抛物线的方程为：/=3 彳，故 答 案 为：/=3 彳15【答案】？0【详解】如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形A B C O 和 E F G”的面积之和，即 S =SaABCD+S却GH=2s0ABCD,因为函数/(x)=s i n(2 x+9)的图像向左平移9 个单位长度得到函数g(x)的图象，所以=6 x 1 =9,又因为图中阴影部分的面积为所以2,=,解得
28、9 =5，T 7 TT 0 1 j r又由图象可得9 =(,可得所以7 =乃，所以卬=干=2,所以/(x)=s i n(2 x+,因为/q)=s i n(2 x +9)=l,可得(+夕=+2 无肛4 wZ,即 8 =+2%万,4 w Z,因为网 0,所以2.+2)-(4+1)+)=0有三个不同的零点无“与看，令 g(x)=2,则 8()=号，所以当 x 0,当 x l 时 g(x)。时=。，令 f =贝 I J 2(a+2)(+1)，+/=。e e e i e必有两个根4,%不妨令4 0,0 弓/，且4+与=a +l，4 4=2(a +2),Y Y即“不必有一解蜀0,f2=-r-有两解修，七，
29、且0小1*3,e e故(2 六)(2烹 2宗)=(2 4)2(2 _。2)2=4-2储+12)+y2=4-2(4+1)+2(4+2)2=36.故答案为：36.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.e 1 117.【答案】证明见解析3=5-诃声【详解】将向+(+1)=(+2)4,+(+1)3两侧同除(+1)(+2),可得“，用 _1 =%(+1)2 _ _%=2+2=(+1)(+2)(+2)+及(+2)(+1)(+2)H(H+1)(+2)又 因 为 鼻=1,1x2即数列是首项为1,公差为1的 等 差 数 列.(6分)(2)由 可 知，方=长 +(-1)1 =
30、，即为=2(+1),/I I/2sin A*2V2sin C*sin B=4sin Asin Bsin C=4x x -=-;(6分)2 6 2 3 假 设 +=1能成立，所以a+c=a c,由余弦定理，得。?=/十。2一2。或。$3,a c所以6 =/+c?+a c ,所以（a +c）2-a c =6,故（a c）?一一6 =0,解得a c =3 或a。=一2（舍），（9 分）此时a+c =3,不满足2 2 怎,所以假设不成立，故，不成立；综上，+=1 不成立.（1 2 分）a c19.【答案】a9;国7b 1 OI【详解】（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件A,“该考
31、生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件B,根据题意可得P（A）=C；J j P=?I)+ixt4x2=i4 m分)（2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为x,报考乙大学通过的科目数为y,根据题意可知，I a所以，E(X)=3 x-=,尸(y=o)=渭(1-帆)=2(1-加)，o 5 l oP(y =1)=x-(l -7 7 1)+x +6 3 6 3 61?1氏=2)=不”+不1X m=31 1 1-m1 8 31m,21 5 2x +x 勿 7 =一 +3 6 3 9i 2 1尸(y =3)=q X m .(8 分)则随机变量y 的分布列为：Y0123P(1 /?)1 8v)1 1 1-
32、m1 8 31 1 +nt9 21m9F(y)=H_l+2+w+im=5+/J 1 8 3 9 3 6若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有E（y）E（x）,5 3 2所以工+机 彳，又因为0 v m l,所以二小1,6 23所以，加的取值范围是（1 2 分）20.【答案】总有平面P 8 D，平面P A G ;证明见解析（2）笔（3）存在；Q 为线段P A 的中点.【详解】（1）在 翻折过 程 中 总 有 平 面 平 面 尸 A G,证明如下：点M,N 分别是边B C,C D 的中点，.又因为菱形A 8 C M H N D 4 B=6 0。，二 P M N 是等边三角形,：G是MN的中点，：.M
33、 N P G,(2分)菱形ABCD的对角线互相垂直，/.B D A C,J.M N 1A C,：A C cPG =G,AC u 平面 PAG,PG u 平面 PAG,；.MN_L 平面PAG,；._ L 平面PAG,：Bu 平面P 8 D,；.平面 P3D_L平面PAG.(4分)(2)由题意知，四边形MN8为等腰梯形，且。B=4,MN=2,QG=g,所以等腰梯形MNDB的面积5=吆3 m=3括，(6分)2要使得四棱锥P-MNDB体积最大，只要点尸到平面MNDB的距离最大即可，/.当PG J_平面MNO8时，点P到 平 面 的 距 离 的 最 大值为石，此时四棱锥P-AWOB体积的最大值为V=1
34、x33xV 3=3,连接B G,则直线P8和平面MND3所成角的为NPBG,在RtzxPBG中，PG=B BG=V 7,由勾月殳定理得：PBAPGBG?=M .sin/咏=生=渔=叵.PB M 10（8分）(3)假设符合题意的点。存在.以G为坐标原点，GA,GM,GP所在直线分别为A轴、)轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系,则 4(3后0,0),M(0,1,0),N(0,l,0),P(0,0,因为AG上平面P M N,故平面PMN的一个法向量为加=(1,0,0),设 而=2而(O V l),V AP=(-3x/3,0,),A0=(-3 A,O,2),故Q(3 6(l_),0,网,.W=(0,
35、2,0),西=(3 6(R),1,-1),平面QMN的一个法向量为%=(,上*2),则 区 加=0,n QM=0,J 2y2=0即 3也（九-l）x,+y2-A/32Z,=0%=0令3,所 以 甘 小 二即3 ），0，“2 =-7（0,3（2-1）,（10 分）5（4-1）则平面。MN的一个法向量盂=(4 0,3(/1-1),设二面角。-M V-P的平面角为巴所以 靛卜危丁Violo-解 得：A=l,故符合题意的点Q存在，且Q为线段P A的 中 点.(12分)2 1.【答案】(1)证明见解析口,2【详解】(1)由题意得 =左焦点F(T0)=c =l,b2=a2-c2=,所以椭圆C的标准方程为：
36、而=，-；）,赤=（-1 一 芭,f）,由 两=2而 得（对芳-3 =-1-%,-%），解得1 +2=工 同 理1 +=；.（3分）t 7|V 2，2+V2=1 .2/1联立J 2 ,得（厂+2），2-2。-1 =0 yt+y2=-2,yty2=-x=ty-l1 +）+1 +=；+：=；f=；.=一2,从而;1 +=-4（定值）（6分）/“2 t 弘 2 一11一加,.1 1 +2 1 +必 1 +4 1 +由 1+/1=；7得乂=丁,=T，=U=-tyl t t y,1 +X -3 -/z代入 =mS2+S,有 g(y _%)=g，孙 _g ,贝J%-必=%-必，解得/n =l-/=l-(l
37、 +/z)=1 +t )=-3 +(+3)H-(9 分)X%+3 +3 4 z l 2,/./+3 =1 2 G 1,3 ,设 =+3,贝 “叩,3 ,贝 ()=-3 +i/+，,贝 ”()=1-4/2,令解得2 0,解得1N =g （O）=-m,1 -X;直线，：x-2 y =0与切线垂直，_ 巾3 =-1,.?=2.（4分）(2)由题意得，/?(x)=/M l n(l-x)-l +x2,由函数有两个极值点，贝！J （x）=2 x 旦=-2 r+2x一 二0,在x l上有两个不等的实根，即1-x 1-x-2x2+2x-m=0 y在x 0,芭 J吟可“1 +V ,i 卜+%=i r n 门、0
38、 ,则 0,则 p(x)0,则 P（x）在上单调递增,A p(x)p0,.-0,即 蛆 皿 1,%.不 力（不）动（形）成立,（1 2 分）方 法 二：要证与力（不）士伍），即 证：W 7（%）-毛/7（X2），又 /2()-j c2/i(2)=/nr1ln(l-xI)+xj?一 玉 一 mr2 1 n(1 一马)一天+x2=m x1ln(l-x1)-x2ln(l _%2)+(工；一石 一%+-)=7 7 7x3n(_ xi)_ x2*n(-x2)+(xi-x2)(xi+4 2)2 一%/一 1 又占+=1,中 2 =,所以 2x/(x J)=W 2X2-1 +2(1 -x2)lrw2-2 x2ln(l-x2),又0?0,(9分)令 p(x)=2 x-l+2(l-x)lnx-2 Ai n(l-x),求导，P (x)=-2 1 n x(l-x)+Z+尹，x 1 x I z J由 贝/+%0,x(l-x)e o l,则一 21nx(l-x)0,贝 ”(x)0,乙)X 1 X,z则P（X）在 上 单 调 递 增,p(x)p(g)=o所以百M h）一动（）0,即百力&）动（2）.（12分）