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1、高中数学知识总结归纳（打印版）引言1课程内容：必修课程由5个模块组成：必修l：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幕函数）必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4:基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法
2、、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1:由2个模块组成。选修l1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修l2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2:由3个模块组成。选修2一1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修22:导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修23:计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3:由6个专题组成。选修31:数学史选讲。选修32:信息安全与密码。选修33:球面上的几何。选修34:对称与群。选修35:欧拉公式与闭曲面分类。选修36:三等分角与数域扩充。系列4:由10个专题组成。选修41:几何证明选讲。选修42:矩
3、阵与变换。选修43:数列与差分。选修44:坐标系与参数方程。选修45:不等式选讲。选修46:初等数论初步。选修4一7:优选法与试验设计初步。选修48:统筹法与图论初步。选修49:风险与决策。选修410:开关电路与布尔代数。2重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：(1)集合与简易逻辑集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件第1页(2)函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用(3)数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用(4)三角
4、函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用(5)平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用(6)不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用(7)直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系(8)圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用(9)直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量(l0)排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用(11)概率
5、与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布(1l)导数：导数的概念、求导、导数的应用(13)复数：复数的概念与运算第2页高中数学必修l知识点第一章集合与函数概念Kl.l集合1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念栠合中的元素具有确定性、互异性和无序性(2)常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N十表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集(3)集合与元素间的关系对象a与其合M的关系是aEM,或者吐M,两者必居其一(4)集合的表示法O自然语言法：用文字叙述的形式来描述媒合列举法：把栠合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示栠合描述法：xix具有的性质，其中x为集合的代表元
6、素阳示法：用数轴或韦恩图来表示集合(5)集合的分类O含有有限个元素的集合叫做有限集含有无限个元素的集合叫做无限集不含有任何元素的集合叫做空集(0).A)A 士士土字集合A中的任一元素都(l)AB A=B 属千B,B中的任相等(2)B竺A一元素都属于A示意图8或勹 3(7)已知集合A有n(n1)个元素，则它有2”个子集，它有21个真子集，它有211-1个非空子集，它有2-2非空真子集(8)交集、并集、补集名称1记号1意义交集lA门x i XE A，且XE B 1.1.3】集合的基本运算Cl)AnA=A C2)An0=0 C3)AnBA AnB B 性质第3页示意图并集lAU 补媒I几Ax Ix
7、EA，或XEB Cl)AUA=A C2)AU0=A C3)AUB;,A AUB:)B xlxEU，且江AI凡(AnB)=(4;A)U（凡B)凡(AUB)（乌A)n(418)An心A)02AU（乌A)=U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集I xi 0)xi-a x a(a 0)xlxa 尸把ax+b看成一个整体，化成lxla,I ax+b I c(c 0)(2)一元二次不等式的解法判别式A=b24ac 二次函数y=ax2+bx+c(a 0 的图象一元二次方程ax2+bx+c=O(a 0)的根ax2+bx+c O(a 0)的解集ax2+bx+c
8、 0)的解集(1)函数的概念lxl a(a 0)型不等式来求解A 0 A=0 I,)x 1 勹巧0 XfX2-b土扣4acx1,2=2a b 芍X2=2a（其中斗x2)xlx叫b xi X=t=-2a x I x1 x x2 。l.2习函数及其表示1.2.1】函数的概念A0 J。无实根R。O设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个数X,在集合B中都有唯一确定的数j、(x)和它对应，那么这样的对应（包括栠合A,B以及A到B的对应法则J)叫做娱合A到B的一个函数，记作f:A今B.函数的三要素定义域、值域和对应法则第4页只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一
9、函数(2)区间的概念及表示法设a,b是两个实数，且ab，满足a:o:;x:o:;b的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a:o:;xb,或a a,x:o:;b,x b的实数x的媒合分别记做a,+oo),(a，知），（OO，b，（女，b).注意：对千媒合xlaxb与区间(a,b)，前者a可以大千或等千b,而后者必须ab,（前者可以不成立，为空栠；而后者必须成立）(3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则：CDJ(x)是整式时，定义域是全体实数J(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时
10、的实数的集合对数函数的真数大千零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等千1.y=tanx中，x虹（kE Z).零（负）指数幕的底数不能为零若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交粲对千求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知J(x)的定义域为a,b，其复合函数Jg(x)的定义域应由不等式a:o:;g(x):o:;b解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合间题的实际意义(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方
11、法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：O观察法：对千比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数y=f(x)可以化成一个系数含有y的关千x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,则在a(y)*0时，由于x,y为实数，故必须有=b2(y)4a(y)c(y)习0,从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的伯域或最值换元
12、法：通过变做代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题第5页反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法l.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变谥之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变忱之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系(6)映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f,对千集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对
13、应，那么这样的对应（包括集合A,B以及A到B的对应法则j.）叫做集合A到B的映射，记作f:A今B.给定一个集合A到集合B的映射，且aEA,bEB.如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象l.3函数的基本性质l.3.1】单调性与最大（小）值(1)的数的单调性定义及判定方法函数的定义性质图象如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个y y=f/(X)自变岱的值X1、X2，当x1f(X2)又2时，都有f.（x坏f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。x,x,函数的单调性如果对千属千定义域I内某个区间上的任意两个y y=f(X)自变谥的值xl、X2，当x
14、1f(x2),那么就说f(x)在这个区。间上是减函数x,X:判定方法(l)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象（在某个区间图X 象上升为增）(4)利用复合函数(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象（在某个区间图X 象下降为减）(4)利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数y=fg(x)，令U=g(x)，若y=f(u)为增，u=g(x)为增，则y=fg(x)为增；若y=f(u)为减，u=g(x)为减，则y=Jg(x)为增；若y=f(u)为增，u=g(x)为
15、减，则y=fg(x)为减；若y=f(u)为减，u=g(x)为增，则y=fg(x)为减第6页a(2)打”.J”函数f(x)=x+-=(aO)的图象与性质X f(x)分别在（心，心订、心,+oo)上为增函数，分别在一五，O)、（0，甚上为减函数(3)最大（小）值定义O一般地，设函数y=f(x)的定义域为I如果存在实数M满足：（1)对千任意的XEl，都有f(x巨M;(2)存在x。El，使得J(x。)M.那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作J,ax(x)=M.a f(x)=X十一(a 0)X y 2 一石。石2石x 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I如果存在实数m满足：（1)对于任意的XEI
16、都有f(x)凶m;(2)存在x。E/,使得f(x。)m.那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作lrnax(x)=m.O，左移h个单位y=f(x+h)y=f(x)k0，上移K个单位hO，右移围个单位)kO，下移围个单位y=f(x)+k 伸缩变换y=f(x)0伞l，伸归，缩）y=f(mx)Y=f(x)OAl，伸）y=Af(x)对称变换y=f(x)y寸（x)y=f(x)二Y=f(-x)y=f(x)一丘y寸(-x)Y=f(x)直线y=x)y广(x)去掉y轴左边图象Y=f(x)保留y轴右边图象，并作其关千y轴对称困象y=八Ix i)Y=f(x)保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y=I f(x)I
17、(2)识图对千给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数批关系问题提供了”形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章基本初等函数(I)2.1指数函数l，且neN+，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号忒；表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号奻；表示，负的n次方根用符号忒；表示；0的n次方根是0;负数a没有n次方根式子忒；叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时
18、，a为任意实数；当n为偶数时，aO.根式的性质：（如汀a；当n为奇数时，忒了a;当n为偶数时，卢a|a(a之0)-a(aO,m,nEN+，且n l).0的正分数指数幕等千o.m m 正数的负分数指数幕的意义是：-l-a（一）”呐)(aO,m,nE N+，且n 1).0的负分数a v a 第8页指数幕没有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数(3)分数指数幕的运算性质CD a a=a+s(a 0,r,s E R)(aY=a,(aO,r,sER)(abY=aH-(a O,b 0,r ER)0且a=I:-1)叫做指数函数a 1 Oa 0)矿 0)函数值的ax=l(x=0)ax=1(x=0)变化情况a
19、x 1(xO)矿1(x 0)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低2.2对数函数O，且a*1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN,其中a叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：x=logaN飞x=N(a 0,a*I,N 0).(2)几个重要的对数恒等式log 1=0,log a=1,log ab=b.(3)常用对数与自然对数第9页常用对数：lgN,即log,0N;自然对数：lnN,即log.N（其中e=2.71828).(4)对数的运算性质如果a0,a*1,M 0,N 0,那么减法：logaM-log0 N=loga M N
20、加法：log0M+log0 N=loga(MN)数乘：nlog0M=toga M(n ER)a log,N=N logb N log冰M1=!:.loga M(b*O,n ER)换底公式：logN=(bO且b:t 1)b logb”【2.2.2】对数函数及其性质(5)对数函数函数对数函数名称定义函数y=log,x(a 0且al)叫做对数函数a 1 Oa 0(x 1)loga x 1)函数值的log/X=0(X=1)loga x=0(x=1)变化情况loga x 0(0 x 0(0 x O,则幕函数的图象过原点，并且在O,+oo）上为增函数如果al时，若Ox1,其图象在直线y=x上方，当al时，
21、若Oxl,其图象在直线y=x下方n卜充知识】二次函数(1)二次函数解析式的三种形式O一般式：f(x)=ax2+bx+c(a:t:-0)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a:t:-0)两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a*0)(2)求二次函数解析式的方法O已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便(3)二次函数图象的性质b O二次函数f(x)=ax2+bx+c(a:t:-0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x=一，顶点坐标是2a b 4ac-b2(-,
22、2a 4a b b b 当aO时，抛物线开口向上，函数在(-oo,-上递减，在-,+oo)上递增，当x=时，2a 2a 2a 4ac-b2 b b 儿，,(x)=；当aO时，图象与x轴有两个交点M1(X1,0),M 2(X 2,0),I MIM2|凡x2I=.矗lal(4)一元二次方程ax2+bx+c=O(a*0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重千二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程ax2+bx+c=0(a*0
23、)的两实根为xp易，且x1三斗令f(x)=ax2+bx+c,从以b 下四个方面来分析此类问题：CD开口方向：a对称轴位置：x=-判别式：A 端点函数2a 值符号(Dkx1X2 七y I/入b X=-I 2a x1x2 k 0 l,I I I I o:X k入b IX=-.2a x1kx2 af(k)O/入/f(k)0 y b x=-2a 10 10 X2 入a 0 x,10 k X2入ad k1x圣x2k2 第13页Y小aO二入。b x=-2a。b,x=,:2a 斗,I,节,.,f(k1)0 y。kzLIIIj k(f aO 有且仅有一个根X1（或x2)满足k1x1（或x2)k2 f化）f化）
24、O,并同时考虑f(k1)=O 或f(kz)=O这两种情况是否也符合y i/(k1)0,可1、Ay f化）0。aO。k1x1k圣p1x冬p2 此结论可直接由推出(5)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a=1=0)在闭区间p,q上的最值1 设f(x)在区间p,q上的最大值为M,最小值为m,令x。(p+q).2(I)当aO时（开口向上）若b b b b 一一p,则m=f(p)若p圣q，则m=f(-）若一q，则m=f(q)2a 2a 2a 2a、q(f _)M b一加则IIIII(IllllIll,l,llll-llifxo Xo则M=f(p)2a f(b-)2a(II)当aq则M=f(q)2a 2
25、a 2a 第14页,订（b-)2a,订（b-)2a I:f(b-)2a b O若三坏，则m=f(q)2a b X。，则m=f(p).2a X。X1 厂、丿b一切(lf1IIII，飞，IIII.1111111 第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点l、函数零点的概念：对于函数y=f(x)(x e D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xeD)的零点。2、函数零点的意义：的数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)=0有实数根-函数Y=f(x)的图象与x轴有交点仁过因数Y=f(x)有零点3、函数零点的求法：求函
26、数Y=f(x)的零点：（代数法）求方程f(x)=0的实数根；（几何法）对千不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数y=ax2+bx+c(a*0).1)6 0,方程ax2+bx+c=O有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点2)6=0,方程ax2+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3)6 a/o 2.2.2平面与平面平行的判定l、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平而平行，则这两个平面平行。工习：a7符号表示：1
27、：勹乙/anb=13/a a/a b/a 2、判断两平而平行的方法有三种：(1)用定义；(2)判定定理；(3)垂直千同一条直线的两个平面平行。2.2.3-2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质l、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a 夕,-a/0 a。飞:cb a/b 作用：利用该定理可解决直线间的平行间题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。第18页h./J 夕I,尸符号表示：:n/:=a a/b B n y=b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直
28、的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L上a直线L叫做平面a的垂线，平面a叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。L p G 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定l、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形梭：勹2、二面角的记法：二面角o-1-3或a-AB-fl 3
29、、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3-2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质l、定理：垂直千同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直千交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图平面（公理l、公理2、公理3、公理4)空间直线、平面的位置关系第19页直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率平面与平面的位置关系l、直线的倾斜角的概念：当直线1与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线1向上方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角令特别地，当直线l与x轴平行或重合
30、时，规定a=0.2、倾斜角a的取值范围：0 a 知=一台k1k2=-1 k2 轴的交点为B(O,b)，其中a*O,b*O 3.2.3 直线的一般式方程l、直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=O(A,B不同时为0)2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式第20页3.3.1两直线的交点坐标l、给出例题：两直线交点坐标Ll:3x+4y-2=0 Ll:2x+y+2=0 解：解方程组3x+4y-2=0 2x+2y+2=0 得x=-2,y=2 所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)3.3.2 两点间距离两点间的距离公式3.3.3 点到直线的距离公式1.点到直线距离
31、J 厄I=(x2飞）2+(Y2-y,)2 公式：点P(x0,y。)到直线l:Ax+By+C=O的距离为d=IAx。+By。+Cl心2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1和h的一般式方程为L,:Ax+By+C,=0,|12 Ax+By+C2=0,则h与h的距离为d=1 CC2I 卢第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程1、圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心为A(a,b)，半径为r的圆的方程2、点M(x。,y。)与圆(x-a)2+(y-b)2户的关系的判断方法：(l)（x。-a)2+(y。-b)2户，点在圆外(2)(x。-a)2+(y。-b)2=r2,点在圆上(3)(.x
32、;。-a)2+(y。-b)长户，点在圆内4.1.2 圆的一般方程l、圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=O 2、圆的一般方程的特点：(1)CDx2和y2的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1圆与圆的位置关系第21页l、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线l:ax+by+c=O,圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆的半径为r,圆心（卒，巠）到直线的距
33、离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：(l)当d r时，直线l与 圆C相离；（2)当d=r时，直线l与圆C相切；(3)当d r1+r2时，圆Cl与圆C2相离；（2）当l=r1十历时，圆C，与圆C2外切；(3)当Ir1-r2 I l r1+r2时，圆Cl与圆C2相交；(4)当l=Ir,-r2 I时，圆c,与圆C2内切；（5)当llr,-r21时，圆c,与圆C2内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用l、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二
34、步：通过代数运算，解决代数间题；第三步：将代数运算结果“翻译“成几何结论4.3.1空间直角坐标系l、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z),x、Y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标y X 2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任怠点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z),x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。4.3.2空间两点间的距离公式l、空间中任意一点R(xl,yI,zl)到点片(X2,Y2,22)之间的距离公式阳计妇X2广（Y1立(Z1-Z2)2 z P
35、2 x 第22页高中数学必修3知识点第一章算法初步1.1.1 算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法“通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成2.算法的特点()有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题(4)
36、不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对千一个问题可以有不同的算法(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决1.1.2 程序框图l、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（二）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能 l 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不起止框可少的。I_ 7 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法输入、输出框中任
37、何需要输入、输出的位置。厂赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公处理框式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明判断框“是”或“Y;不成立时标明“否”或“N”。学习这部分知识的时候，要準握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类第23页判断框”是“与“否“两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要
38、非常简练清楚。（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B
39、框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：(1)、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。(2)、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后
40、判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。成立不成立第24页当型循环结构直到型循环结构注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用千记录循环次数，累加变量用千输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。1.2.1 输入、输出语句和赋值语句1、输入语句(1)输入语旬的一般格式,!图形计算器(2)输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3)”提示内容”提示用户输入什么样
41、的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的虽；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变巍或表达式；(5)提示内容与变械之间用分号“;“隔开，若输入多个变量，变量与变撇之间用逗号“,”隔开。:格式:|INPUT”提示内容”；变罣 二！IINPUT”提示内容，变量2、输出语句(l)输出语句的一般格式:图形计算器：I I PRINT”提示内容”；表达式:格式 i I Disp”提示内容”，变量(2)输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3)”提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4)输出语句可以输出常砒、变址或表达式的值以及字符。3、赋值语句,-:
42、图形计算器：变量表达式也产表达式变量（l)账值语句的一般格式I I,(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变批；（3)赋值语句中的=”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4)赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；(5)对于一个变量可以多次赋值。注意：赋值号左边只能是变谥名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。赋值号左右不能对换。如“A=BB=A的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）赋值号”=”与数学中的等号意义不同
43、。1.2.2条件语句1、条件语句的一般格式有两种：(l)IF-THEN-ELSE语句；(2)IFTHEN语句。2、IFTHEN-ELSE语句IFTHEN-ELSE语句的一般格式为图l，对应的程序框图为图2。IF 条件THEN 语句lELSE 语句2END IF 第25页图1图2分析：在IFTHENELSE语句中，”条件”表示判断的条件，”语句l”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2表示不满足条件时执行的操作内容；ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对F后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1;若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2。3、IF-THEN语句IF
44、-THEN语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4。I IF 条件THEN语句END IF（图3)（图4)否注意：条件”表示判断的条件；“语句“表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。1.2.3循环语句循环结构是由循环语句来实现的。对应千程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型(WHILE型）和直到型(UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。1、WHILE语句C 1)WliILE语句的
45、一般格式是对应的程序框图是WHILE 条件循环体WEND(2)当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接看执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。2、UNTIL语句(1)UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是DO 循环体LOOP UNTIL 条件第26页(2)直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，
46、然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOPUNTIL语旬后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）(I)当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在II甘ILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环例题：设计计算lx3x5x.x99的一个算法（见课本P21)S七1For I From 3 To 99 Step 2 S+-Sxl End For Print S。S七1I f-1 D
47、o S f-1 I七l咖leI:;97 I f-1+2 S f-Sxl End While Pr int S s1 I f-1 Do S+-1 I七lWhile I 99 S七SxlI七1+2End咖lePrint S S+-Sxl I e I+2 1 1+2 S七SxlLoop Until I 100（或者I99)Print S。S+-l I七lDo While I:s;99（或者I100)S七SxlI七I2Loop Loop Until I 99 Print S Sl I七lDo While I:;97（或者I99)11+2 S七SxlLoop Pr int S Pr int S 0 颜老
48、师友情提醒：I.一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。2.在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。3.书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由千是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！1.3.1辗转相除法与更相减损术l、辗转相
49、除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第27页(1)：用较大的数m除以较小的数n得到一个商S。和一个余数凡；（2):若R。=O,则n为m,n的最大公约数，若R罕0，则用除数n除以余数凡得到一个商SI和一个余数RI;(3):若Rl=0，则RI为m,n 的最大公约数，若RI=f=-0，则用除数凡除以余数R)得到一个商S2和一个余数凡，依次计算R R 直至，=0,此时所得到的，,-1即为所求的最大公约数。2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也
50、，以等数约之。翻译为：（1):任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。(2):以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例2用更相减损术求98与63的最大公约数分析：（略）3、辗转相除法与更相减损术的区别：(1)都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数