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1、 线性代数习题参考习题一21.解：(D-112=2 x 2 1 x(1)=5.x-l1X2+X+1=(x-l)(x2+x +l)-l-x2=x3-x2-1aa2bb2ah2-a2b1 1 1(4)3 1 4=1 x 1 x 5+1 x 4x 84-1 x 3 x 9-1 x 1 x 8-1 x 3 x 5-4x 9x 1 =58 9 50 a 0(5)b 0 c=O x O x O +a x c x O +x J x O-O x O x O-a x/?x O-c x J x O =OOJO1 2 3(6)3 1 2=1 x 1 x 1 +2 x 2 x 2 +3 x 3 x 3-3 x 1 x
2、 2-2 x 3 x 1-2 x 3 x 1 =1 8.2 3 12.解：（1）对排列3 42 1 5而言，3与2,1分别构成一个逆序，4与2,1也分别构成一个逆序，2与1也构成一个逆序，所以7（3 42 1 5）=5。（2）对排列43 2 1而言,4与3,1,2分别构成一个逆序,3与1,2也分别构成一个逆序，所以7（43 1 2）=5.（3）对排列（-2 1而言，与一1,一2,2,1均分别构成逆序，其逆序数为-1；一1与-2,-3,一-，2也分别构成一个逆序，其逆序数为九-2,依次类推，2与1也构成一个逆序，因此有rn（n-l）-2 1 J=（n-l）+（H-2）+-+2+l=；。（4）对排
3、列1 3（2-1）（2 ）4 2而言，3与2构成一个逆序，其逆序数为1；5与4,2分别构成一个逆序，其逆序数为2；2-1分别与2 一2,2一4,一，4,2构成一个逆序，其逆序数为-1；2 -2分别与2 一4,一,4,2构成一个逆序，其逆序数为-2,；4与2也构成一个逆序，其逆序数为1；因此有1713(2-1)(2)42=1 +2+(-1)+(-1)+(-2)H-1-13.解:在四阶行列式中，含 因 子 对。2 3的项只有两类，分别为 I。2 3a 32 a 4 4和即2 34 34 a 42，下面分别判断这两项的符号，因为行标排列已经是自然排列，故只须计算列标排列的逆序数。因为70234)=1
4、,4.解：(1342)=2,所以含。1 2 3 的 项 分 别 为 一2 3a 32 a 4 4 和 2 3a 34 4 2。41122042曾01-7220-42按第一列展-7-1522-4-2010520厂3-1。20-k2-201170117011709456+7 6按第一列展94501785=0珍+1 5 51171785(2)0 1 1 13 1 1 13 1111 0 1 1q +C2+C3+C43 0 1 10-1 0 01 1 0 1=3 1 0 1“一 0 0-1 0=3x(-1)x(-1)x(-1)=-31 1 1 03 1 1 00 0 0-1(3)-abacae-b c
5、e-bcer2+rlbd-cdde=adfb-ce=adf 002ebfcfef5+fb c-er3 +r02c0按第一列展02e-abdf 04abedef2,(4)a1000ah+1a0ab+1a 0-10b-11c()1r+ar2-10b-11c01按第一列展=(-1)x(-l)x-1c 10-1 d00-1d()0-1dab+a0按第3列展 a b+a=-1c1(-1)xlx=abed+ab+ad+cd+1 v d-cd-1d-cd02(5)a-b-c2a2aH V+Va+h +ca +/?+c a +/7 +c2bb-a-c2b=2bb-a-c2b2c2cc-a-h2c2cc-a-b
6、1 1 11 1 1/j+(a+b+c)r2-2b r1=(6 Z+0+C)2b b-a-c 2b(Q+/?+C)0 -a-b-c 02c 2c c-a-hT-2c/j0 0 -a-b-c 2 x 1 x 2 x x (2)=2(/1 -2)!.=(a +Z?+c(6)-2 2-4 0-2 0 0 03-5 54-13 5e2+cl4 3 -5 5按第附展-24-8-33 1-2 -3/_Or3 4-8-3 ：21 12 05 12 2 1 1-7-1 0 5c2%按第3行展 7-1 02 1 0 -5-3 -2=2 70.N F0 0 1-1 0 -5(7)1 2 2 2-10 0 02 2
7、 22 2 2 22 2 2 2ri-r2按第1行展0 1 22 2 3 2=0 0 1 2-rn-r20 0 22 2 2 n0 0 0 n-2(8)1a 00 a0 01 000a0按第I行展+(-l)，+1x lx0a0a0 00a0 0a00a00 10 0a 0a 0=屋+(1)(l)(i川 x lx ：0 a=陵+(-1)2 向 优 一 2=。+235.证明：（1）a2ah h2C2 fa1ab-cr2aa+b 2b=2ab-a11 1C3-C10(2)a2S +l)2(+4+3。)=伍-a)+0 _Q)2)2(4+3)2b2伍+1)2伍+2)2(3)2c2(C+1)2(c +a)
8、?(c +Jd-(d +lf(2)2(1 +3)2b2-a2按第3行展ab-a2b2-a22b-2a0b-a2b-2aa b+c1.1 落=(a-少a22a+1 4a+46a+9Q-C J 22b+l46+46b+9,d2c+l4c+46c+9d22d+l4d+46d+9a2 2a+1 2 6cr 2a+1 2 0C32C2b2 2b+l 2 6C 4-3C 3b2 2b+2 0=0C3C2c2 2c+l 2 6c2 2c+l 2 0d-2d+l 2 6d2 2d+l 2 0(3)X-10 000X-1 00000-X-1a”an-2 出x+a2M2 ICj+XC?+X C3+X+X%=Xn+
9、QX +Cln_X+Cln尤+(-x)-0 000+尤2 +(x2)x-1-000+i+(T)00 X-11n 2 n 1 it。”+6 l/+%-2厂 +X +X Cl1-1an-2 a2-I0 00按第1行展 /=(T)(x+q“_X +a“)X 1 ,0000 X-1=(一1)(x+q x i+-+4Tx+a,)x(-1)6.解：（1）因 为 玉，工2，N 3是 方 程d+p x+q =0的3个 根，那 么 玉，元2，七 必 然 满 足4（%-%2）（x -1 3）=0，将其展开得X3-(%1+x2+X3)X2 4-(X2X3+凡/+X jX2)X-x1x2x3=0,由对应项系数相等可知
10、,一 (%+尤2+，3)二 0即X1+%2+工3=0因此x2玉=0（2）在此四阶行列式中，能出现丁的因子的项只有4 2 a 2避334 4。由于行标排列已是自然排列，故只须判断列标排列的逆序数，即7（2134）=1,所以2。2 3 3。4 4的符号为负，因此父的系数是一 1。A 4+4 4 +人34+444=1 A 4+*4 +1 434+1,444（3）由定理4.1知aC(1abhbbc 1d 1c 1d 1c2-b c4a 0 c1111=0cda(dcd（4）由定理4.1可知Xaa x a aa ar-rnx-a00 3 00 x-a 0 04“+4,2+4”拒a a 1 1 x-f第n
11、行展 00,_巴一叫x a.J G-i 一叫Q 0 x-a :x-0 01-a X00:x-a :0 x-a 01 1 1El)”a7.解：（1）5r2-r/=1-0一 ：rn-r0X2-m0-L _ Jx（_i）x（_2）x.x（i _n）=（_i）L _J _.（3）abdbdClah 0按第1列展abdc0d 00 d0a+（-l）2，+1c a bc d0 bb 0按第 2-1列展-C-（-l）（2，-,+，/?Z 52n_26=(ad-bc)D2n_2=(ad-bc)2 D2n_4ad-bc1 1 D2=(ad-bcY.(4)111 .111 +q1 -10 1 +6 1 j1 11
12、D“二11 +出，1=011 +a,-1111 l +a“011 ,1 +%1011 -11 +。“111 11r2-r-1%0 ,00“F-10a2 00O F-100 ,4 T0-100 0an1+Z，1,=|411 110%0 0000a2-00000%0000 0a“=2-an8.解：1 20=2-11 -1k ，=i a J10 2 11 0 11 2 01 =-8,D,=1 -1 1=4,2 =2 1 1=4,2 =2 -1 1=-1 223-121 3 21 -1 3故=4 1 4 1 -1 2 3二,y ，z =-8 2 -8 2 -8 21 -2 3-4 41 -31 Li1
13、 -3-2 31 -13 0-7 3-4 11 0=1 2 8,0,=12 11 04-31-33-103-41=4810-7 31-2 4-41-2 3 40 1-3 10 1-1-3D3=96,D4=01 3 1 11 3 0 10 -7-3 10-7 3-3故%=-8,x2=3,x3=6,x4=4.79.解：齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式。=0A 1 1)=1 /.i 1 =-1)1 2 1由 0 =0得2 =1 或=0.1 .解:A%习题二-2-271 3-1 7292 22 082.解:(1 )口=(1,2,3)7(3)(4)(5)(6)3.解:(3)ABABABABAB%2
14、-1131-32 -10 1-7514-221224-20 3-11 0-1 11-1-21“b.222244b23，打，d）ana2a3a2。22“234.证明：（1）4-1211103031499-2 -19 1 1000012000z她/=1b._a2blah2a2b2地a?b.a.瓦a力2-a“b”玉|X|+4 1 3 X 3,q,玉+a”/+&3X 3,。百+a”x,+cix2)x 2=a 1 尤 2 +a22x +a3 3x32+2 a1 2x)x2+2 1 3x,x3+2 a2 3x2x39设矩阵A=(%),B=(b ,C=(cH),则根据矩阵的加法与乘积的定义有矩阵A(8+C)
15、中第i行第/列的元素d i j=E a*(b k j+C k j)k=矩阵AB+AC中第i行第J列的元素Jl=l k=由此可以看出，矩阵A(B+C)和A8+AC中的元素一一对应相等因此有A(B +C)A B +A C(2)设矩阵A=(%)“,，6=(%).“，则根据矩阵乘积的定义有4(A6)中第i行第/列的元素Cij=4 工%=/iZ。也;(44)8k=J k=l且(4)B中第i行第/列的元素%=瓦=立/%k=l因此2(AB)=(2A)B.5.证明：(1)A00-04 0设对角矩阵A=00 A JAA?八2 =力000200-0 A,_,则有，从0 0-00004/”_AA2仍为对角矩阵因此，
16、对角矩阵与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵。10a a2”1 1 2 An（2）设上三角阵A=0 a22a2,B=0 2 2 b2n,则0 0ann.0 0 bm i_q向I a由2+1 2 2 2 abn+4 2&+4也AB=0“2 2”2 2。22b2n d F?也“00.可以看出，仍为上三角阵因此，上三角阵与上三角阵的乘积仍为上三角阵同理可证，下三角阵与下三角阵的乘积仍为下三角阵。4 1 1 2 1 36.解：设与4可交换的矩阵为8=b2T。2 2 3,则也 1 ”32 43 _“1 1+2 1 1 2 +2 2 1 2 +”1 3瓦1 +兀12+”1 3AB=。21+“31 。2 2 +”3
17、2 匕23+。33,BA=”2 1 “2 1 +”2 2 力2 2 +0 2 3_ 41%2“33 _0 31 4l+”32 632+633由A8=8A可知，这两个矩阵各行各列的元素分别对应相等，根据所得的九个方程可得g=b22=b33,b2l=0,仇1 =0,优2 =，=%瓦1仇2 43因此，所有与A可 交 换 的 矩 阵 为0 ht bi2,其中仇 如，43 eH。0 0 .7.解：当A和8可交换时，下列等式成立。（1）(A+B)2=(A+B)(A+B)=AA+AB+BA+BB=A2+AB+AB+B2=A2+2AB+B2(2)(A+B)(A-B)AA-AB+BA-BB A2-AB+AB-B
18、2 A2-B28.解：1 -231 -221 -2-5 61 -21 3-1 43 -43 -43 -4-9 1 0 3 -42 1-2 2(2）因 为0 -12-1 00 -130 1041 01 00 -11 0-1 01 00 10-150 -11 01 0110 -11 00 1-1 00 1-1 01 00 1由此可以看出,0当=4k +1时(0当=4%+2时J0,-r4k+20A0、0b-1、4 H 30p0、T0 2 -1 Y(1(3)因为=1 3 -2)(0（2当为偶数时，所以，当为偶数时，/（3 -2）1 0 1 J12(5)因为(000 0(6)200(00n4002因为1
19、200011010 21 J00010oY1(0014100始01 J0102、(01所以00022220000101、22公J010I01 J101 J200100101120010010010、33、001320、40244236A20244犷0024 解：(1)A1=(X1,X2,-,XH)/=1 2、证明：用数学归纳法证明。当女=1时，等式显然成立。假设当人=时等式成立，即A2-AS =AJAJ-A；当 k =+1,有(A 4 A A+1)r=(A 4-A,)J =A (4 4A,J=%(4%明所 以 当 人=”+1时，结论成立，因此(4 4 2 4)=1 3、证明：(1)因为A,8都
20、是”阶对称矩阵，所以有A，=A,B，=8因 此(2 4 3 8)，=(2 4)，(3 8)，=2 A-3 5,=2 A 3 6(AB-BA)-(BA)BTAT-ATBT B A-A B =-(A B-B A)故2 A 38是对称矩阵，4 6 一员4是反对称矩阵。(2)因为(A?)=(A?1)=ATAT=(A)(A)=A2,(AB-BA)=(A B y -(B A f =Br Ar-AT Br=A B -BA所以A?是对称矩阵，A 3氏4也是对称矩阵。1 4、证明：因为A为对称矩阵，所以14C，=W（A+XE）打=8，（A+/lE y=Br（A1+AEr）B=B（A+AE）B=C故c也是对称矩阵
21、。.a b1 5、解：经计算A =ad-bcw O ,知A可逆，且c dAn=d,A2 1=-b,A2=一c,A22=，故A-1kA-Mad-b ey-c-h ,cos。一sin。(2)经计算A =l wO,知A可逆，且sin 0 cos 0AM=cose，4=sin 0,A12=-sin 0,A22=cos3故A i1 *(cos。r A=A(-sin。sin夕cos%A,A|21经 计 算=34-4-21-2124-4-1-21=-4,A2I=-一 13,A224_4=-32,%02=2 w 0,知A可逆，且2-4-1=2,怎-1-2=0,-1,A 335524351513、（4）经计算|
22、川=%出囚产o，知A可逆，且=a2ai-a,A2 2=alai-an,-,Am=aia2-an_i,15&=0（彳 j）上%1故 A-1=a25、9,3-16丫28广Q52U 2、3 4,x=-8-5、2391 50 V 5010人-53-321-217-8-52391 50、00,i1 991 91 31 911 91 01 92 5T?a、1 91 11 91 8一 可4J258369、7（4）由 XA X+3 得（E-A）X=B,即qX=（E-A 18=1J-1000-12、T7125-10-3、7002323 _3J3I3J _3、U2、5-10-3、7，32J-P0-171 7、解：
23、由 AT8A=6A+8 A,得 6=A（6A+8A）A-I=6A+8A从而（E-A）8=6A16所以S Y（-00-00333 0 0、8=（E-A）T（6A）=6 0-3 040-04=0 2 061、o o L0 0-0 0-1 7j 1 7 J1 8、解：由 A8=A+2 8,得（A 2E）8=A,从而B=（A-2E y A=1、T2 3Y（4 2-1 0 1 12 J l-l 23 W 30=23yH.2-8-6、-9-612 9,1 9,解：|-ZA|=（-Z）、A|=-7M%2 0、解：3A-2A*|=3A-2AA|3 一 =|2A=23|A-|=162 1、证明：（1）充分性u设
24、.77=L 则 4 =（E _）2 =石2 _ _ 凌T +）（*T ）=E-2.S）U=E%T=A必要性n 设A?=A,因为A?=E （2-7T7）4 7,，所以E-（2-r）r=E-r从而2 _4T;=1,即？（2）假设当，r=l时，A是可逆矩阵，则存在矩阵3,使得AB=H4=E由（1）知当0=1时有A?=A,对其两边同时右乘B,得A2B=A8,即A=E,从而=0,这与，是 x l的非零列矩阵相矛盾，故当1时，A是不可逆矩阵。2 2、证明：（1）由 A A 2E=0,得 A（A E）=2 E,故 A E.因此 A 可逆，且 A；一（A E）,由一一A（E-4）=E 知，E A 也可逆，且（
25、E-A=A。2 2 J 2（2）由 A2-A-2E=0,得（A+E）（A 2）=0,同取行列式，得|A+q|A 2 q=0,从而|A+q=0或|A 2目=0,所以A+E与A 2E中至少有一个是奇异方阵。172 3、解：由 A2 +2 A-3 E =0,得A2 +44-2 A 8E +5E =0即（4+4E）-1（A-2 ）=E,所以（A+4E=-g（A 2 E）2 4、证明：由 4 =0知 E-A=E ,即(E-A)(E +A+A i)=E ,所以 E-A 可逆,且（E-=E +A+A”T2 5、证明：用数学归纳法证明。当 机=1时，等式显然成立。假设当m =k时等式成立，即Bk=C AkC当
26、 机=%+1 时，有 Bk+=BkB =(C-AkC)(C-A C)=C Akc C )A C=C-IA18什(4)、fMfW)(2)/(A)=+qA+a,A+a,“4”a0E+q PA k+a 2 P A2 K +amPAp-P (&E +qA+a,A+a,A)P =p f g p f2 8、证明：（1）假设,工0,则。*可逆。在AA*=|川=0两边右乘（A*可 得A=0 ,即A是一个零矩阵。由A的定义可知A*=0,这与A”可逆矛盾，所以当|A|=0时,=0。（2）若|A|*0,则A可逆，对A4*=同两边左乘A-i,可得 A A,从而=如1=固网=附向=若 同=0,则 由 知=|An-2 9
27、、解：（1）A52210 00 00 0、0 035%Ao0A2、,B7340025000 00 06 2、0、7从而484004B00、%(A4、4 幻07因为A 2 31 02 09、50 1 4、3 2 9,所以AB2 31 0002 090000503 2001 49、719Bi 0、0 B21 0 1 0 0、1 0 1 0 0、0 2-1 0 00 2 0 0 0A.0A=3 1 0 0 01,B =0 0 3 0 00 A0 0 0-2 0X J，0 0 0-1 3、0 0 0 0 2,、0 0 0 4 2,、)从而A800A2B27所以A33 0、解：（1）所以所以4、-3,4
28、 B、2-8-6、-41030004200V1Em0c F(EB3 1、解：（1）0E.4-33000002 8000-6-4E,“00B-E J0、E“,C-10 B-B-inB 00EmE J0)B-.r2-Ari(Etn 0、0 c0Em0B B-A B 0、E,“0、0、0 c0=0、因为Aq0、30c0cBAB00cm00cA042B0qo037、7c00B厂“与00，0 A0c0、00100010000 0 00 0 02 15 3,2 0由于=3-r,E；=E3,所以 A=E；1-5 2 J 01 0000001000001000003-1000-5200(2)A=10、00 0
29、 4 4、0 0 7 8i i+d-61 1 0 0 0、从24、由于所以4T=0 1 0 oj27401)100-1100-11、A1、,(3)A0a20一6%,0 由于AJ=a20 0000274000-11000-11000-1100011000)0，可(1a,”J2 100 001、a“10 000所以A”=0kA；0、740100000 01n-i073 2、解：r（A）2 r（8）。在A中划去一行,则这一行元素可以分成两类，一类是这一行可由其他加一1行元素经过初等变换得到，则不改变A的秩，此时r（A）=r（8）；另一类是这一行不可由其他加一1行元素经过初等变换得到，则有r（A）r（
30、6）。1 2 3始1 234、23 3、解：（1）A-21 0r2-r2Jr3-r-4-2-2 J弓+22(-4104501103111(0 80 00J所以、A0 11-1 2、0 1 1-1 2、1 1 0 0-10 222000 0 4-40 1 1-1 20-1-111G+400 0 030 0 0 4-41 100一”J1 0 0 00 0 037所以r(A)=42所以A230”1 5-2 40 63 01000-1300202000110-400、01、0 0 0 0 0?34、解：（此题答案为2）3 2 1 1 00、I22 7231 0 02631200110 0 10227、
31、723632所 以A21102270、2311 00112r2-20、(2)(A1 200 1 01 2001 01 0001221-2-30 00、017MFr3+r21010014220117-3020Z+2r24+44002 4-71吟7170 0122 27231 0 0-2 4-13 10 1 0 _ _ r2+r32 27 10 0 12 I2 2 J-24所以31122所以(4)2721273-201 000、049510-30马+2rl-Qr3+r2022100000-2010-2100010f o0100001000121A35-1（A|E）-2-21211100001271
32、00-3 1-3-20010i-2-3-2001021000170121000110ro01110-4-1010-2+4000121-6-10000124+2410004612100003I7r3-r01 000I0-171116I00011-2-400008-1O当-2o01-1000100010-4-1-120010-1-136711100021-10J-2-4036 6-10a A?oAoAA3E2ooE2oAoE?A2AoE2oE224E2 O 4T 0O E2 V由于4 12-32所以-2-100-3200045_31_j_8_A3TA24TV.T T74_4,7-777习题三1.证
33、明：显然0是非空的。设任意ae0,y?e0,有a+4=0e0；且对任意;IwR,有/la a 0 0 ,所以0是向量空间。2.证明：(1)因为向量空间对数乘封闭。设丫是一向量空间，则对任意ceV,均有/laeV,25从而取2 =0,则有O wV,得证。（2）因为向量空间对数乘封闭。设V是一向量空间，则对任意二丫，A e R,均有4 2丫，从而取4=-1,则有一awV,得证。3 .解：（1）不是。因为对任意a =（O,l,Z）”,而2 a =（O,2,2 Z）wW1,叱 非 向 量 空间，所以叱不是R 3的子空间。（2 ）是。显 然 必 是 非 空 的。对 任 意a=（公，%,0）也，夕=（%2
34、，2，）必，有a +/?=（%+*2,M +%，）e 电；对数丸 e R,有 A a=e W2；且 必 u ，所以 也 是R 的子空间。（3 ）是。显 然 帆 是 非 空 的。对 任 意a =（X，x，z J e W,，%-弘+3 Z|=0 ,夕=（工2，%，72）卬3，工2 一%+3 Z2 =0有a +夕=（%+，%+%，ZI +Z2）e吗，因为（芭+%2）（弘+力）+3（Z+72）=（斗 _弘+3&）+（工2-%+37 2）=0 ：对数 有4二=（九须，4%，九 ）卬3，且W3u R，所以卬3是 的 子 空 间。（4）不是。因为对任意a =（王，工2，工3）e%,玉+X3 =1而2 a =
35、（2$，2工2,2工3），2%+2+2%3 =2,从而2a任 ,叼 非 向 量 空 间，所 以 也 不 是 的 子 空间。（5）不是。因为对a =（l,0,0）e%,而2a=（2,0,0）,并不满足三匚二方二一？名这一条件，从而2ae%,也 非向量空间，所 以 弘 不 是A，的子空间。（6）是。显 然 叫 非 空。对 任 意a =（XI,y,Z|）e M，玉+2必+3 Z=0，玉=%，月=（工2，%，72）卬6，x2+2 y2+3 z2=0，工2 =%，有。+，=（王+X2，必+为，71+1 2）6卬6，因 为（X+）+2（%+%）+3（ZI +Z2）=0 ，x,+x2=y,+y2；对 数 /
36、?,有/la =（4为，丸以，/1 2 1）e%，因 为Ax,+2（2 y,）+3（2 zl）=0,=A y,且卬6尺，所 以 也 是 凡，的子空间。4.f t?：,%=（1,1,。）（0,1,1）=（1,。,1）。5.解:由3（/_。）+2（。2+。）=5（4+&）得26a=3(3%+2%-5%)=(1,2,3,4).6.证明：设有X1,尤2,，尤 使%血+4+七=。即乌+.2 3+。2 )+&(%+%+%)=0整理得(玉+1 2 +,+毛)，+(%2 +,+Z )2 +,+毛。=0因斗，毛线性无关，有%!+X2 H-F Xr=0+毛=0.xr=0方程组的系数行列式1 1 10 1 1.=1
37、*00 0 1齐次方程组只有零解X|=%=0,所 以 用，%，月线性无关。7.证明：利用观察法可以看出，必，尸2,尸3，6 4具有以下关系自-区+6 3 -尸4=0显然力,6 2，夕3,4是线性相关的。8.解:(1)设 有 实 数 占/2,0，使得kxax+k2a2 +k3a3=。即(匕+%3,&i +2攵2 +3%3，L +5&+6女3 )=(0,0,0)由此得27匕+-=0 A1+2kz+3k3 0kx+5k2+6k3=0其系数行列式为o,上述齐次方程组有非零解，具有无穷多组解，易求得=1,=1,=一1是它的一组解，从而有%+%=0因此，线性相关。(2)设有实数人,攵2/3,使得攵1 4+
38、k2a2+k3a3 =0即(左,_+2.他)=(0,0,0)易 得 占=心=&，该齐次方程组只有零解因此，线性无关。9.解，设有实数占，右,&,使 得kxax+k2a2+kyay=0因此得K +&+%=。=-T 2-产K,k、因此，能由。2，3，am-线性表示。(2)设%J =4 a l +4%T-,则有1 k k、4 一 七 -产 am-+4 a2 +,.+4”一 1。“一 4”=0I 占 k)即(k、(k、2 T X2+-+am_,-am=0I k)I kx )上式说明1 2，。3，.一，。,“的系数不全为零，这与它们线性无关相矛盾，故 a,“不能由a|,a 2，一、a“i 线性表示。1
39、7.证明：因。，4,，。，是维单位向量组，从 而/,火，%可 由。，&2,，&“线性表示，而。，心,，,可 由 四。2,，见 线性表示，所以%，4，与。，42,，&等价，则有厂(名,a“)=r(4 4,，)=故 必，火,，氏 线性无关。1 8.证明：充分性。设任一维向量都可由,火，%,线性表示，则”维单位向量组。4 2,，,必可 由%，。2,线性表示，从而由1 7题知，“线性无关。必要性。设 Q 1,&2，一，。“线性无关，则,，,可以作为向量空间R”的一个量，因此，对任一维向量都可由。,0 2,线性表示。1 9.证 明：因(X-=0 Z|+,+0 ,tz(_ j +1 (z;+0 ,cni+
40、l+,+0 ,d fv+0 /?!+,+0 ,/?,z =1,2,-,5,所以向31量组A可由向量组。线性表示，则 有 同 理 可 得 弓4弓，因此有max 八,弓“设%,a,2,-,a,r?n限外,分别是向量组A和8的最大无关组，则向量组C可由它们线性表示，所以2 0.证明：设4f皿，令4 =（。|,。2,，4），8 =（4，6 2，,，瓦），其中名 为A的列向量，4为8的列向量，则4+8=（因+4,+A 2-，%+.）再 设r（A）=r,r（5）=5.且 ,%？，%.为%，a2，的 一 个 最 大 线 性 无 关 组，外,02,，A，为 四，儿，力,的一个最大线性无关组作 向 量 组（I）
41、%+用,。2+四,%+4；（1 1）aa,ai2,/?j2则（i）可由（i i）线性表示，所以r（A+6）=r（I）r（II）r+s=r（A）+r（B）同理可证，r（/l-B）知r（8）=，所以向量组8是R”的一组基，且a在这组基下的坐标为（6,。2一4,一见_1）。2 9、解：(2A2,2Ai-A2,-A3)=2(A2,2Ai-A2,-A3)=2x(-r)(A2,2Al,A3)=(-2)X2|(A2M,M3)|=(-4)(-1)|(AM2,4)|=4|A|=-1 2(2)A-B =(a-/3,-2r2,2r3,-2r4)|=(-2)x 2 x (-2)(a-J3,r2,r3,r4)=81(。
42、)2，4，)|一|(夕,3，)|=8|(a,-公弓,-)|+|(夕，弓，弓，一 )|358(|A|+|B|)=40习题四1、解：（1）对此齐次线性方程组的系数矩阵4进行初等行变换，得1 12-PA=2 11-1(2 212;(4、1 1 0 0 0 0-301034001-3由此得364玉=产 x2=-3X4令 =1，即得到该齐次线性方程组的一个基础解系（4、3-343（2）对此齐次线性方程组的系数矩阵A进行初等行变换，得由此得X =-2X2+x4x3=00、,即得该齐次线性方程组的一个基础解系（3）对此齐次线性方程组的系数矩阵A进行初等行变换，得（4）对此齐次线性方程组的系数矩阵A进行初等行
43、变换，得3 73 3Xl=X3-X4(八 1 3 1 3)3 4-5 7、1 7 1 72 -3 3 -2八，1 9 2 0A =4 1 1 -1 3 1 61 7 1 717 2 1 3)0 0 0 0、0 0 0 0 ,由此得1 9 2 0 x2=x3-x4 1 7 1 7即得该齐次线性方程组的一个基础解系3 )1 7I1 702、解:（1）对增广矩阵A进行初等行变换，得1 1 1 0A=2 2 0 -10 0-2 1-2 1(5 5-3 -4-8 4J1 1 00 0 10 0 0、0 0 0-12200102200 0即得分别令,即得该非齐次线性方程组的通解3810-1+0(1、202
44、007C C.G e H)(2)对增广矩阵A进行初等行变换，得知 r(A)=2,r(A)-3,该方程组无解，(2)对增广矩阵A进行初等行变换，得1 1 -3-1 rA=3-1-3 4 4J 5-9-8 0,1 00 10 03 3 5-2 4 43 7 1-2-4-40 0 0,即得该齐次线性方程组的一个基础解系3、由增广矩阵(G C wR)3 9 5知该方程组有解的充要条件是r(A)=r(A)，即 工q=0/=1T0-110-10000aja2 10010000-1-1a+%+3+4。2+。3+a4A=001-10a30010-1a3 十%0001-1a40001-1a45J0001a500
45、0005当Z 4=0时，有/=1=X5+。+。2+。3+。4%2=%5+3+a4(为 P)、O _ Q(%B)O (%0PA(屁，再将 自，/?2，3单位化，50以 _ 1 0肃耳-11、4=_L-3IIAII V 1 5 2A.=_ L 3llA ll V 3 5 36、证明:因为 A，=(E-2 x x T)T=E T-2(x T)7=E-2x/=A,且A=(E-2XXT)(E-2XXT)=E-4 x/+4(x/)(x/)=E-4XXT+4X(XTX)XT=E所以A是对称的正交矩阵。7、证明:M M =(Aa)(Aa)=aTA1Aa=aT(A，A)a =aTa -1|1（5%23 2 5,
46、0 0-25*1、2 50 0+1,/一令。=（7，）=1127,则 kA P=I:61 1、解：因为A为实对称矩阵，则存在正交矩阵P,使TAP=A=0、0、030003,所以7A =P N p-=P k p T ,记P=（7，%,3），则7,7,%为力的特征值4=6,4=4=3所对应的单位正交特征向量。因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，且P 1 =（1）为4=6所对应的特征向量，则对应于4 =4=3的特征向量x应满足X，1 =0设X=（%，1 2，刍）/，则上式即为X +%3 =0可得正交的基础解系p211、7，P 3-101、752把P i，P，P a正父单位化，得7=1一V61
47、=2需IFlVTO_L6lGJL百2-212解：（1）由1 A 4同=20技2布-IF1正O/L=6_LI瓦2 1 r,所以 A=PXP=14 1J 1 4,-21-2-202 =(?!+2)(4 1)(4 4),知 A 的特征值为一 见4 =-2,=1,4=4,从而可求出3个特征值分别对应的特征向量为%2、32-33 /2-21、753知A的特征值为4=4=i，4=i o从而可求出3个特征值分别对应的特征向量为将其正交单位化，得%=22),2、飞375314_2羽0 =3亚,勺 二-3027、3)于是所求的正交矩阵为 P=(el,e2,e3)32323示4375正30习题六1.解：(1)f
48、-x2+y2-1 z2-2xy-4xz-4yz(x,y,z)-1-2-2、-2-7.仆、y1z.(2)/=X：+x；+x；+X；-2xtx2+4X 1X3-2XX4+6x2x3-4x2x4 1-12、-1-113-22310-P-2072,解：(1)二次型/的矩阵为54A的特征多项式 2 0 0、A=0 3 2、0 2 3,|A-2|=-(2-l)(2-2)(2-5)则A的特征值为4=1,4=2,4 =5从而3个特征值对应的特征值向量分别为，1、%=0jo7=70、4=1将其单位化，得01一 正104T11、e2-0令0 1 0 =(2勺)=一2上I JVL2 o-L则经过正交变换x =P y
49、后，二次型化为标准形f =y f+2 y；+5y；(2)二次型f的矩阵为1 i o-r1 1-1 0A =0-1 1 1、T 0 1 LA的特征多项式|/l-2 E|=-(/l+l)(/l-l)2(/l-3)则A的特征值为4=-i,4=4 =1,4=355从而它们对应的向量分别为将其单位化得令，1 1 0 1)2 V 2 21 c0 l 1j=P=(62，03 0)=2 V 2 21 1 c l-7=0 一2 V 2 21 ,、1 1-0 f=-2 V 2 2 )则经过正交变换X=P y后，二次型化成标准形f =-y：+y；+y；+(3)二次型f的矩阵为A的特征多项式 0 1 1 r10-11
50、A =1-10 1-1 1 1 0,|A-2 E|=(2-l)3(2 +3)则A的特征值为4=-3 ,4=4 =4=1从而它们对应的特征值向量分别为56将其正交单位化，得2(1正21_2_ 2=正201k 2，2-8+%）2+2（为-3%）+|4令 4=%2=%-%+%1即 3%=马+马+W 4,则有1%=Z 3 +/4Z4=4。4=4/=2z：-2z；+2z；+|24而所用的变换为x =Cy=G （。2 2）=（G 0 2）Z-Cz其中 1 0 0 0、（31 10 0、320 11-31-10 021 -1 -1 一一C=C）C2=0 0 10八c 1 1=20 0 1-o o o r20