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1、2020-2021学年福建省福州市晋安区八年级（下）期中数学试卷一、选 择 题（本大题共1 0 小题，共 40.0 分）1.若 二 次 根 式 有 意 义，则x的取值范围是（）A.%3B.%。3%32.下列式子中，属于最简二次根式的是（)A.炳B.V7C.V 0 2D.3.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（)A.对角线互相平分B.对角线相等C.每一条对角线平分一组对角D.对角线互相垂直4.下列运算中，正确的是（）A.5V 3-2 V 3=3B.2A/2 x 3V 2 =6C.3百+6=3D.5.如图，在四边形4 B C D 中，点。是对角线的交点且AB/CD,添加下列哪个条件，不能判定四边形Z
2、 B C D 是平行四边形（）2 V 3+3V 2A.AB=CDB.AO=COC.AD=BCD.AD/BC6.如图，矩形0 4 B C 的边0 4长为2,边4 8 长为1,。4在数轴上,以原点。为圆心，对角线O B 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A.2.5-2-1 O 1 2；3B.2V2 C.V3D.V 57.ABC 三边分别为a、b、c,下列能说明 ABC 是直角三角形的（）A.b2=a2-c2B.a：b：c =1：2：2C.2NC=NA+NBD./.A：Z.B：Z.C =3：4：58.在 国法统宗中有一道“荡秋千”的 问 题.“平地秋千未起,踏板一尺离地，送行一
3、步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高土素好奇，算出索长有几?译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1 尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”秋于的绳索始终拉的很直，则绳索长为（）A.15.5 尺B.14.5 尺C.13.5 尺 D.12.5 尺9.把图1的矩形纸片SBCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图2）,已知4MPN=90。，P M =3,PN=4,则矩形4BCD的面积为（）A.1210.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6,6）,点E、产分别在边BC、B
4、A,OE=3V1 若/EOF=4 5 ,则F点的纵坐标是（）A.2B1C.V3D.V5-1二、填 空 题（本大题共6 小题，共 24.0分）11.在菱形ABCD中，A B =2,则 菱 形 的 周 长 是.12.写 出“全等三角形的面积相等”的逆命题.13.如图，在长方形4BCD中无重叠放入面积分别为2cm2和8cm2 A -的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 c m2.8214.如图，在矩形ABC。中，对角线4C、BD交于点。，已知乙4OB=60,A B =2,则AC的长为.15.在RtAHBC中，/.B A C=9 0 ,且a+c=27,a-c =3,则b的值是16.如图，在Rt/k
5、ABC中，A B A C=9 0 ,且BA=12,A C=1 6,点D是斜边BC上的一个动点，过点。分别作DE J.AB于点E,D F 1 A C于点F,点G为四边形DE4F对角线交点，则线段GF的最小值为/BE A第2页，共21页三、解答题(本大题共9小题，共 86.0 分)1 7.计 算：(1)(遍)。+3/+|1一遮|;(2)先化简，再求值：(m 遮)(m +遮)m(?n -6)，其中m1 8.如图，在四边形4 B C D 中，A B =CD,A D=C B,求 Df 证：乙4=ZC./如图，已知正方形C D E F 的边长为1 3 c m,且AC J.AF,A B =3cm,B C=4
6、cm,A F=1 2 c m,试判断 A B C 的形状并说明理由.2 0 .如图在8 x8 的正方形网格中，ABC 的顶点在边长为1 的小正方形的顶点上.(1)填空：/-A B C=,B C=.(2)若点4 在网格所在的坐标平面里的坐标为(1,-2),请你在图中找出一点。，并作出以4、B、C、D四个点为顶点的平行四边形，求出满足条件的。点的坐标.2 1 .求证：对角线相等的平行四边形是矩形.(要求：画出图形，写出己知和求证，并给予证明)2 2 .下面是小兰探究二次根式的运算规律的过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律.特例1：特例2：B二工=四.0 ,1%3 .故 选D .2.【答案】B
7、【解析】解：4、V 9 =31故A不符合题意；B、夕是最简二次根式，故B符合题意；C、加=，故C不符合题意；D、3=更，故。不符合题意；弋 3 3故选：B.根据最简二次根式的定义，判断即可.本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.3.【答案】A【解析】解：因为矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，所以矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分.故选：A.先逐一分析出矩形、菱形、正方形的对角线的性质，再综合考虑矩形、菱形、正方形对角线的共同性质.本题主要考查了矩形、菱形、正方形的性质，解
8、题的关键是熟知三者对角线的性质.4.【答案】C第 6 页，共 21页【解析】解：4、5 V 3-2 V 3 =3 /3.故此选项错误；B、2 V 2 x 3 V 2 =1 2,故此选项错误；C、3百+遮=3,正确；。、2 V 3 +3 V 2,无法计算，故此选项错误；故选：C.直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案.此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.5.【答案】C【解析】解：A.-A B/CD,4 B =C D,.四边形A B C D是平行四边形，正确；B、v A B/CDf A Z-CDO=Z.A B O,乙OA B =O C D,A O=C O/.）C
9、O=A A B O f:.。=0 8,.四 边 形4 8 c o是平行四边形，正确；C.-A B/DC A D=B C,.四边形力B C D是平行四边形或等腰梯形，故本选项不能判定这个四边形是平行四边形；D,-.-A B/fCD,A DI IB C,四边形A B C。是平行四边形，故本选项能判定这个四边形是平行四边形；故选：C.直接根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案.注意掌握排除法在选择题中的应用.此题主要考查了平行四边形的判定.6.【答案】D【解析】解：由勾股定理可知，OB=V 22+I2=V 5，这个点表示的实数是近.故选：D.本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理
10、）解答即可.本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出0 B的长.7.【答案】A【解析】解：4 :炉=a2 c2,:.c2+b2=a2,二此三角形是直角三角形，故符合题意；B、设a=x,b=2x,c=2x,V X2+(2x)2*(2x)2,此三角形不是直角三角形，故不符合题意；C、7 乙4+NB+NC=180,2ZC=Z-A+B,：.ZC=60,AA+B=120,此三角形不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；D、设乙4=3x,KUe=4x,Z.C=5x,乙4+NB+NC=180,3x+4x+5x=1 8 0,解得=15。，ZC=5 x 15=
11、75,此三角形不是直角三角形，故不符合题意；故 选:A.根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可.本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,C满足。2+匕2=c 2,那么这个三角形就是直角三角形.也考查了三角形内角和定理.8.【答案】B【解析】解：如图，设绳索有支尺长,由题意得：1()2+(x+1 5)2=X2,解得：x=14.5,即绳索长14.5尺，故选：B.设绳索有x尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可.本题考查了勾股定理的应用，理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键.9.【答案】B【解析】解：由勾股定理得，MN=5,设Rt PMN的斜边上的高为九，则矩
12、形的宽4B也为无,根据直角三角形的面积公式得，h=PM-PN+M N詈,第8页，共21页由折叠的性质知，B C=P M +M N +PN=12,矩形的面积=ABBC=故选：B.利用折叠的性质和勾股定理即可求出答案.本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理解决问题.10.【答案】A【解析】【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型.连 接EF,延 长BA使 得A M =CE,则 OCE=O A M.先 证 明 OFE=O F M,推出 EF=F M =A F+A M =A F
13、+CE,设力F=x,在 Rt EFB 中利用勾股定理列出方程即可解决问题.【解答】解：如图，连 接EF,延 长B A,使 得A M =CE,v OA =OC,乙OCE=/LOA M,OCE 三 OA M(SA S).OE=O M ,/.COE=/.MOA ,A EOF=45,/.COE+LA OF=45,/.MOA+N力 OF=45,/.EOF=Z.MOF,在 O F E 和 O F M中，OE=OM乙FOE=匕FOM,OF=OF OFE 三 OFM(S A S),.EF=FM=AF+AM=AF+CE,设 AF=%,CE=yOE2-OC2=V45-36=3，:.EF=3+%,EB=3,FB=6
14、 x,(3+x)2=32+(6-x)2,x-2,二 点F的纵坐标为2,故 选4.11.【答案】8【解析】解：.四边形4BCD是菱形，AB=BC=CD=DA,：AB=2,二菱形的周长=4AB=8.故答案为：8.根据周长=4aB得出菱形的周长.此题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形四边相等的性质，难度一般.12.【答案】面积相等的三角形全等【解析】【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，把题设与结论互换即可得到逆命题；本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题
15、，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.【解答】解：“全等三角形的面积相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，因而第10页，共21页逆命题是：面积相等的三角形全等.故答案是：面积相等的三角形全等.13.【答案】2【解析】解：.两张正方形纸片的面积分别为2cm2和8cm2,二 这 两 张 正 方 形 纸 片 的 边 长 分 别 为 2y2cm,AB=2V2cm BC=2/2+V2=3V2cm 空白部分的面积为3ax 2V2-2-8=2cm2.故答案为：2.由题意易得这两张正方形纸片的边长，从而能得出长方形ZBCD的边长，然后根据割补法可以求得空白部分的面积.本题主要考查二次根式的运算及应
16、用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键.14.【答案】4【解析】解：四边形2BCD为矩形，0A=OC,OB=OD,ELAC=BD,/.ABC=90,:.OA=OB=OC=OD,义：乙 AO B=60,.40B为等边三角形，Z.BAO=60 在直角三角形4BC中，/-ABC=90,Z.BAO=60,LACB=30,:AB=2,AC=2AB=4.故答案为：4.由四边形ABCD为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得OA=O B,又41OB=6 0,根据有一个角为60。的等腰三角形为等边三角形可得三角形4。8 为等边三角形，根据等边三角形的每一个角都相等都为60。可得出NB4。为60。，在直角三
17、角形4BC中，根据直角三角形的两个锐角互余可得44cB 为30。，根据30。角所对的直角边等于斜边的一半，由 的 长 可 得 出 AC的长.此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，以及含30。角直角三角形的性质，矩形的性质有：矩形的四个角都为直角；矩形的对边平行且相等；矩形的对角线互相平分且相等，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键.1 5.【答案】9 解析解：ra +c=2 7,a c=3,二 由勾股定理，得炉=a2 c2=(a+c)(a c)=2 7 x 3 =8 1,二 b=9.故答案为：9.根据勾股定理即可得到结论.本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一
18、定等于斜边长的平方.1 6.【答案】y【解析】解：连接A D、EF,v Z.B A C=9 0,且B 4 =9,A C=1 2,B C=/A B2+A C2=V 1 22+1 62=2 0，v DE LA B,DF 1 A C,/.DEA =Z.DFA =A B A C=9 0 ,四边形D E A 尸是矩形，EF=A D,.当 4 D 1 B C 时，A D 的值最小，此时，4 8。的面积=：48*力。=3 8。*4。,1 2 x 1 6 =20A D,A D E F 的最小值为当，点G 为四边形D E A F 对角线交点，二 厂 1厂 厂 24 GF=-EF=2 5故答案为：卷.由勾股定理求
19、出B C 的长，再证明四边形D E/尸 是矩形，可得E 产=AD,根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题.本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关第12页，共21页键是熟练掌握矩形的性质，属于中考常考题型.1 7.【答案】解:原式=l +3 x曰+百 一1=1 +V 3 +V 3 -1=2 V 3;(2)原式=m2-3 m2+6m=6 m 3,当?n=立 时，原式=6 V 7-3.【解析】(1)先计算零指数累、化简二次根式、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可；(2)先化简代数式，再代入计算即可.本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式
20、的混合运算顺序和运算法则.AB=CDAD=CBDB=BD.A B D CDB(SSS):.Z-A=z C.【解析】连接B O,利用S S S证得A A B O三 C O B,得出答案即可.此题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定的基本方法是解决问题的关键.1 9.【答案】解：A A B C是直角三角形，理由如下：,:正方形C D E F的边长为1 3 cm,CF 1 3 cm,AC L A F,乙 CAF=90,由勾股定理得，AC=ICF2-A F2=V132-122=5(cm).v AB2+BC2=32+42=25,AC2=25,AB2+BC2=AC2,.ABC是直角三角形，【解
21、析】首先利用勾股定理得4c=5cm,再计算AB?+BC2=32+42=25,AC2=25,A B2+BC2=AC2,可得结论.本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.2 0.【答案】(1)135；2V2(2)见解析图【解析】解：(1)由图形可得：ABC=45+90=135,BC=y/22+22=2班;故答案为：135,2V2;(2)满足条件的D点共有3个，以4、B、C、。四个点为顶点的四边形为：平行四边形分另!是。48。1、口 48。2。和 口 4。38。.其中第四个顶点的坐标为：必(3,-4)或4(7,-4)或。3 (T，0).(1
22、)直接利用网格得出：44BC的度数，再利用勾股定理得出BC的长;(2)利用平行四边形的性质得出。点位置即可.此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，注意不要漏解.21.【答案】已知：如图，在。ABCD中，AC=BD.求证：1BCD是矩形，证明：方法一：.四边形力BCD是平行四边形,第14页，共21页：AB=CD,AB 11 CD,-A C =BD,BC=BC,.ABC 三OCB(SSS).:.乙ABC=Z.DCB,：AB/CD,/.ABC+Z.DCB=180.4ABe=-x 180=90,2.ABC。是矩形，方法二：设AC,BD交于点0.四边形ABC。是平行四边形,OA=OC,OB 0D,
23、-A C =BD,：OA=OC=0B.:.z l=z3,z2=z4,4ABe=Z1+Z2=-x 180=90,2M BCD是矩形.【解析】本题考查了平行四边形的性质和矩形的判定，利用全等三角形的判定与性质得出乙4DC=N8CD是解题关键.根据全等三角形的判定与性质，可得NABC与4DCB的关系，根据平行四边形的邻角互补，可得N4BC的度数，根据矩形的判定，可得答案.特例2：22.【答案】1 _ Vn-1n2-n【解析】解：(1)由题意得:V4,5故答案为:12(2)特例1：9 3特例3：=34 第 n 个式子为：口二=里，n nz n故答案为：4.3 =旦;y/n nz n(3)证明：杭_+=
24、后=早5 为大于1的正整数).(1)根据所给的式子的形式进行求解即可；(2)对所给的式子进行分析不难得出运算规律；(3)对(2)中的规律进行整理即可.本题主要考查分式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律.23.【答案】(1)证明：CE/DB,BE/DC,四边形DBEC是平行四边形，v AABC=9 0 ,点。是4 c 的中点，BD=CD=-AC,2四边形DBEC是菱形；(2)解：连接。E交BC于点G,点。是4 c 的中点，AD=CD=6 点F是 的 中 点，。F是AABC的中位线，BC=2DF=4,.四边形OBEC是菱形，BC ID E,CG=-BC=2,DE=
25、2DG,2 DG=yJCD2-C G2=V62-22=4&，BC=2CG=8V2，二菱形DBEC的面积=DE-BC=i X 8V2 X 42第16页，共21页=16/2.四边形D8EC的面积为16夜.【解析】(1)根据己知易证四边形08EC是平行四边形，再利用直角三角形斜边上的中线可得BD=C D,即可解答；(2)连接DE交BC于点G,根据线段中点的定义可得AD=CD=6,再利用三角形中位线定理可求出BC的长，然后根据菱形的性质可得BC J.D E,C G=B C =2,DE=2DG,从而在Rt DGC中，利用勾股定理求出D G,从而求出DE的长，最后进行计算即可解答.本题考查了三角形中位线定
26、理，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练学握菱形的判定与性质是解题的关键.24.【答案】解：PD=P E iiP D 1 PE,理由如下：.正方形ABC。，AC是对角线，BC=D C,4 BCP=4DCP=45.X-.PC=PC,BCP 三 ADCPISAS).A PB=PD,Z.PBC=乙PDC.又,：PE=PB,:.PD=P E,4 PBC=4PEB.乙PEB=乙PDC.乙PEC+乙PDC=180.由四边形PECO内角和为360。,工 乙 DPE+乙 DCE=180.Z-DCE=90,乙DPE=90.PD 1 PE且PD=PE；(2)仍然成立，四边形ABC。是正方形，4 c为对角
27、线，BA=DA,Z.BAP=Z.DAP=45,v PA=PA,B4P*n4P(S4S),:.PB=PD,又,：PB=PE,:PE=PD.(i)当点E与点C重合时，点P恰好在4C中点处，此时，P E 1P D.(ii)当点E在BC的延长线上时，如图.2(1)ADP=L ABP,乙ABP=Z.ADP,Z-CDP=乙CBP,v BP PE,:.Z.CBP=Z.PEC,乙PEC=乙PDC,Z1=4 2,乙DPE=乙DCE=90,:.PE 1 PD.PD=PE,PD 1 PE仍然成立，数量关系：BC2+CE2=2PB2,证明：如图2,连接DE,第18页，共21页图 2(2)由可得PE=PD,PE 1 P
28、D,DE2=PD2+PE2=2PE2,四边形ABC。是正方形，BC=DC,乙BCD=Z.DCE=9 0 ,.在Rt (?中，DC2+CE2=DE2,:.BC2+CE2=DE2=2PE2,又；PE=PB,：.BC2+CE2=2PB2.【解析】根据点P在线段4。上时，利用三角形的全等判定可以得出PE 1 PD,PE=P D-.(2)利用三角形全等得出，BP=PD,由PB=PE,得出PE=PD,要证PE 1 PD；从三方面分析，当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；连接DE,由知PE=PD,PE A.PD,得D
29、E2=PD2+PE2=2PE2,由四边形4BCD是正方形知BC=OC,BCD=ADCE=90,根据+。后2 =QE2知BC?+=DE2=2PE2,结合PE=PB得BC?+CE2=2PB2.本题是四边形的综合问题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质.25.答案(1)解：7a b+|2 a|=0,又r Va-b 0，|2 -a|0,Q=b=2,/.?1(2,2),如图1中，过点4作AH _ L OB于H,在RtaA H B中，Z.AHB=90,AH=2,Z,ABH=30,:.BH=巡AH=2k，OB=2+2v5，c=2+2A/3;由(1)可知乙408=45。，
30、v OA 1 A T9 AC LAB,4 OAT=乙CAB=90,:.乙OAG=乙TAB,Z.ATO=Z.AOT=45,:.OA=AT,v Z-AOG=Z.AOT+乙BOG=450+90=1 3 5,乙ATB=180-LATO=180-45=135,Z-AOG=Z-ATB JAO G ATB(AAS)t:.AG=AB,AAGO=/.ABT=30,四边形4CDE是正方形，:.AC=AE,v AG=AB,：CG=BE，第20页，共21页V 4 COG=90,“GO=30,CG=2OC,：.BE=2OC；：AG=AB,/.GAF=Z.BAF=45,AF=AF,GAFmA BAFQSAS),GF=BF
31、,v BF2-OF2 s,s=BF2-OF2=GF2-OF2=OG2,啜30。=争OG=/3OCOC2=n,_ 丝1 _ (竺)2 _ 律)2-3.n OC2-I 0C,一【解析】利 用非负数的性质求出a，b的值，可得点4的坐标，如图1中，过点4作4HJLOB于H,解直角三角形求出。H,即可解决问题;(2)如图2中，延长4 c交y轴于G,过点4作AT 1。4交。B于兀证明 HOGm/k ATBQMS),推出AG=AB,/.AGO=ABT=3 0 ,根据含30。角的直角三角形的性质可得结论;如图2中，连接G F,证明 G4F三 B A F(S A S),推出BF=FG可得结论.本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.