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1、2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本题包括12个小题，每小题3 5,共 60分.每小题只有一个选项符合题意）1.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有1 1 22 6399%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（）参考公式：2P(K2 k)0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A.12 人 B.18 人 C.24 人 D.30 人1 42
2、.已知。0 乃 0,。+匕=2,则 =一 十 一的最小值是()a b7 9A.-B.4 C.-D.522e x 0,A.-1,0)B.0,+8)c.-1,+8)D.1,+8)4.若机，均为非负整数，在做m+”的加法时各位均不进位（例如，134+3802=3936）,则称（小可为“简单的”有序对，而加+称为有序数对（根,）的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（）A.525 B.1050 C.432 D.8645.设 x e R,则“/一 5%0”是“以一1|0 力0）的左，右焦点，点 P 是。右支上一点，若4-。耳/6=。，且 cos/尸片用=,则。的离心率为（）A.B.4 C.5
3、D.一7 77.设全集U=R,集合A =x|x 3 ,3 =x|x 6 ,则集合(G，A)cB=()A.1 x|3 x 6 B.x 3 x 6 C.x 3 K x 6 D.1|3 JC6)8 .已知a =(l T,2 7 l,0),b=(2 j ),则卜一对的最小值为()A.B.V6 c.y f 2 D.69 .已知4 =|/(0 =0 ,8 =/7 (分)=0 ,若存在4 8,使得|。一|1,则称/(x)与31 x H ,2 0)互为“1 度4-1,X 0零点函数”，则实数。的取值范围为()A.(O,2 e)2脸B.2 e,+)D.2喘1 0.若命题P：玉0 w Z,*1,则 。为A.Vxe
4、Z,eA l C./xZ,ex l1 1.如图是函数y =/(x)的导函数y =/(x)的图象，则下列说法正确的是()()A.x=。是函数y =/(x)的极小值点B.当或x=b时，函数/(X)的值为oC.函数y =/(x)关于点(0,c)对称D.函数y =/(x)在 伽 士8)上是增函数1 2.设机，为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若 z/a,m H n,n/1/3,则。/B.若 z/a,m 上几，则 a/夕C.若 m 工 a ,mH n,n!I (3,则 2 _ 1 _ 夕 D.若根/a,m l.n,nl I (3,则a/，二、填空题(本题包括4 个小题，每小题
5、5 分，共 2 0 分)1 3.如果一个凸多面体是棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线中共有/()对异面直线,贝!1 加 0)=1 5 .已知直线x-y +l =0与曲线y =l n(x+a)相切，则 a的值为.1 6 .定义域为R的奇函数“X)满足：对 VxeR,都有 x)=4 一 x),且 x 0,2)时，x)=x+l,贝|J209)=.三、解答题(本题包括6 个小题，共 7 0 分)1 7 .如图，在三棱锥。-A5C 中，D A =D B =D C,O 在底面ABC 上的射影E 在 AC 上，DF 工A B于尸.(1)求证：5c 平行平面)尸，平面D 4 8 _L 平面。E F
6、；7T(2)若 N 8 A C =NAO C =,求直线3E 与平面D 4 B所成角的正弦值.1 8 .已知椭圆C:5+y 2 =i 的左、右 焦 点 分 别 为F2,1P 是椭圆。上在第二象限内的一点，且直线P 玛的斜率为一也.4(1)求 P点的坐标；(2)过点。(-2,0)作一条斜率为正数的直线/与椭圆。从左向右依次交于A,8两点，是否存在实数2使得 N A F；B =A N A F i P?若 存 在,求出力的值；若不存在，请说明理由.1 9 .(6 分)已知函数/.(%)=2 百 s i nx cos x+2 cos 2 x .(I)求/)最小正周期；71 71(及 求/(X)在 闭
7、区 间 一 二，；上的最大值和最小值.6 3 _2 0 .(6 分)设 函 数/(x)=V s i nx cos x+cos 2 x+m(I )求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间；71 71(I I)当x e 时，函数f (x)的最小值为2,求函数f (x)的最大值及对应的x的值.o 3 _2 1.(6 分)已知函数 f(x)=|2 x-a k|x T，a e R.(1)若不等式f (x)W 4-1 x 无解,求实数a的取值范围；(2)当a 6.6 3 5 =x 1 7,6 9o男女人数为整数故 答 案 选B【点 睛】本题考查了独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.2.C【解
8、析】【分 析】1 4由题意结合均值不等式的结论即可求得y =+丁的最小值，注 意等号成立的条件.【详 解】由题意可 得：b 4aa+一b1 4 9即y =一+的最小值是一.a b 2故 选：C.【点 睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正一一各项均为正；二定一一积或和为定值；三相等一一等号能否取得，若忽略了某个条件，就会出现错误.【解 析】分 析：首 先 根 据g(x)存 在2个 零 点，得 到 方 程/(x)+x +a =0有两个解，将 其 转 化 为/(x)=-x-a有两 个 解，即 直 线 旷=一苫-。与 曲 线y =/(x)有两个交点，根据题中所给的函数解
9、析式，画 出 函 数/*)的图 像(将，(x 0)去掉)，再 画 出 直 线 =-尤，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足y =a与 曲 线y =/(x)有 两个交点，从而求得结果.详 解：画 出 函 数A x)的图像，y =e 在y轴右侧的去掉,再 画 出 直 线，=-%，之后上下移动,可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变
10、形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.4.B【解析】分析：由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0,b 2,第二位有10种从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 第三位有7 种，()，1,2,3,4,5,6 第四为有5 种，()，1,2,3,4 根据分步计数原理得到结果.详解：由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0,12第二位有 10 种从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9第三位有7 种，0,1,2,3,4,5,6第四为有5 种，0,1,23,4根据分步计数原理知共有3x10 x7x5=1
11、050个故答案为：B.点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手.(1)“分析 就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决.5.B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可 知0 5推不出门一1|1；由 x-1 能推出 0 x 5 ,故
12、V 一5 x 0”是“|*一1|6/、则由双曲线的定义可得2。=2白一 用=可 二=(所以离心率e =E =5,故选C.a【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出2大，PF2,属于一般题.7.A【解析】【分析】求 出 然 后 求 解(QA)c 8即可.【详解】全集 U=R,A =x|x 3 ,B=x|x 3 ,所以(QA)B=x3 xW6 ,故选A.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.8.C【解析】试题分析：由题意得，所以卜_川=J(_)2 +(1)2 +(T)2 =:3产 +2 ,当f =0时，,一川的最小值为0,故选C.考点：向量的运算及模的概念.9.B【解析】
13、【分析】通过题意先求出函数/(X)的零点，根据|。一 向 1计算出函数g(x)的零点范围，继而求出实数 的取值范围【详解】3 1 5令/(x)=0,当%+：=0时，=_ 彳或1=_彳v 7 2 2 2 2 x 0,x=23当=-；+1 =0时，解得=-1,%=2x-x+1 -x0,x=2若存在Z2为“1度零点函数”，不妨令g(毛)=0由题意可得：%+；1或,一2|13 1即5 x(),或1 v毛v 3g()=%)2 _Hg)=0*.a =yI nx设(加今%)=。当0 x&时，(x)&时，(x)0,(x)是增函数h 1&)=2e,当x 1 时，-H ,由题意满足存在性实数a的取值范围为 2 e
14、,+8)故选8【点睛】本题给出了新定义，按照新定义内容考查了函数零点问题，结合零点运用导数分离参量，求出函数的单调性，给出参量的取值范围，本题较为综合，需要转化思想和函数思想，有一定难度。1 0.B【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 P：P:玉o e Z,e*1,则F p 为：vxe z,exl,故选：B.【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定，是基础题.1 1.D【解析】【分析】由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分析四个命题即可得到答案.【详解】由函数f(x)的导函数图象可知，当 xe(-8,-a),
15、(-a,b)时,f (x)0,原函数为增函数.故 x=a 不是函数y=/(x)的极值点，故 A 错误；当x=-或 x=l，时，导函数尸(x)的值为0,函数/(力的值未知，故 B 错误；由图可知，导函数/(X)关于点(0,c)对称，但函数y=/(x)在(-8 力)递减，在(b,+8)递增,显然不关于点(O,c)对称，故 c 错误；函数在低y)上是增函数，故D正 确；故答案为：D.【点 睛】本题考查函数的单调性与导数的关系，属于导函数的应用，考查数形结合思想和分析能力，属于中等题.12.C【解 析】【分 析】通过作图的方法，可以逐一排除错误选项.【详 解】如 图，生 万 相 交，故A错误如 图，。
16、,尸相交，故B错误D.如图,故 选C.【点 睛】本题考查直线和平面之间的位置关系，属于基础题.二、填 空 题(本 题 包 括4个 小 题，每 小 题5分，共20分)13.360【解 析】【分 析】先根据异面直线的概念，求 得 了()的表达式，由此求得了(10)的值.【详 解】棱锥共有+1个顶点，从这些点中任取两个都可以确定一条直线.这些直线分成两类：侧棱所在直线与底面内直线.显然所有的侧棱所在直线中，任意两条都不可能成为异面直线，底面内的所有直线中的任意两条也不可能成为异面直线，而任意一条侧棱所在直线，在底面的个顶点中，除去侧棱所在直线用的那个点，还有个点，那 么 由 这 个 点 构 成 的
17、直 线 与 该 侧 棱 所 在 直 线 都 是 异 面 直 线，这个点构成的直线有C（匕若 2）条，故共有了（）=（七 1；（痴 2）对异面直线，则“1 0）=360.故答案为：3 6 0【点睛】本小题主要考查异面直线的概念，考查组合数的计算，属于基础题.14.1【解析】【分析】由l im=0即可求得X-8 Y I【详解】l im（l -l im =1-0=1Y l X 0 0 A-0 0 【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。15.2【解析】【分析】【详解】试题分析：设切点?（%，为），则Jb =Xo+l j o=l n（X o+a），）口 气=己 =1 玉）+a=1,
18、%=0,x o=-1,.a 2.考点：导数的几何意义.16.2【解析】【分析】根据“X）是奇函数，有4-x）=/（X），再结合/（%）=4-力，推出8 +x）=/（x）,得到的最小正周期为8,再求解.【详解】因为定义域为R的/（x）是奇函数，所 以/（一%）=一/（6,又 因 为/（力=4一力，所以 4 一%）=-一 力，所以/（4+%）=-/（力,即 8+x）=/（x），所以x）的最小正周期为8,又因为x w（O,2）时，/（x）=x+l,所以/（2019）=/（8x252+3）=3）=4 l）=/（l）=2.故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、周期性的应用，还考查了运算求解的能力
19、，属于中档题.三、解 答 题（本题包括6个小题，共70分）17.（1）详见解析（2）叵5【解析】【分析】（1）证 明EFBC,从 而BC平面DEF,结合AB_LDF,ABDE,推出AB_L平 面DEF,即可证明平面DAB_L平 面DEF.（2）在4DEF中过E作DF的垂线，垂 足H,说明NEBH即所求线面角，通过求解三角形推出结果.【详解】解：（1）证明：因为D4=D 5=O C,所以E,尸分别是A B,A C的中点所 以 族 从 而 平 面OEF又4 5,。尸，A B I D E,所以A B，平面DEF从而平面D A B J_平面D E F（2）在4）石厂中过E作。口的垂线，垂足”由（1）知
20、平面。A 8,N E 3”即所求线面角由F是A B中点，A B L E F得EA=E B兀设 AC=2,则 BE=1,因为NBAC=NAOC=y,则 =百，E F =屿,DF =叵,EH=叵2 2 5所以所求线面角的正弦值为sin 4 E B F =曳=叵E B 5【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题.1 8.（1）-1,三；（2）存在4 =2,使得=【解析】【分析】（1）由6（1,0）和 直 线 里 的 斜 率 可 得 也 方 程；代入椭圆方程解方程即可求得P点坐标；（2）由耳（一1,0）和2点坐标得：W _ L x轴
21、；假设直线/：x=ry-2（r 0）,代入椭圆方程可求得，的范围和韦达定理的形式，利用韦达定理表示出左根+kBFi,可整理出左必+kBF=0,从而可得ZBfJE =N A f；Q；结 合 助_L x轴可知Z A FtB =2 Z A FtP,进而得到结果.【详解】（1）由6（1,0）及 直 线 桃 的 斜 率 为-多 得 直 线P6的方程为：、=一 当（*_1）代入椭圆方程整理得：5/一2*-7 =0解得：=-1 或x（舍），贝!|：丁 =一 也（一 1 一 1）=变5 4 V 7 2 .P点 的坐标为卜，孝）（2）由（1,0）及尸（-1,告）得：尸月上了轴设直线/的方程为：x=t y-2（t
22、 0）代入椭圆方程整理得：（尸+2）y2-4 fy+2 =0由直线/与椭圆C交于4（X，y）,两点得：A=1 6/2-8（/2+2）0,结合，0,解得：/逝4 f 2由韦达定理得：x+%=再5，乂 乂=彳0.,上 _?2 _=X（%+1）+%G+1）=X（/2-1）+%（以-1）AF 班 X,+1 x2+1 （%1 +l）（x2+1）（玉+1）（+1）o2 4r二 一（弘+%）=0（石+1）（马+i）（西+1）（%+1）直线和8月的倾斜角互补，从 而N86E=N Af；Q结合 P6_Lx 轴 得：N B F F =Z A F F，故 NAF；8=2N/WP综上所述：存 在2=2,使 得4耳8=
23、2 5 2【点 睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到交点坐标的求解、椭圆中满足某条件的定值问题的求解问题,考查了韦达定理在直线与椭圆问题中的应用问题，对计算能力有一定的要求.19.(I)；(II)3,0.【解 析】【分 析】(D先化简整理原式，通过周期公式即得答案；(ID先 判 断 x)在-上的增减性，从而可求出最大值和最小值.6 3【详 解】（I）/（x）=2/3sinxcosx+2cos2x=V3sin2x+cos2x+1=2sin 2x+?j+1所 以/(x)的最小正周期7=飞-=.（ID因 为/（x）=2sin|2x+工+1在区间I 6J上是增函数，在 区 间 上 是 减 函
24、数,故 函 数/(x)在 区 间 上 的 最 大 值 为3,最 小 值 为0.【点 睛】本题主要考查三角恒等变形，最值问题，意在考查学生的转化能力，分析能力以及计算能力，难度不大.TC 712 0.(I)函 数f(x)最小正周期为万，单 调 增 区 间 为k -,k +-,k G Z (II)f(x)取得最大3 6值 为1，此 时x =g.2 6【解 析】【分 析】(I )化 简/(X),再根据周期公式以及正弦函数的单调性即可解决(II)根 据x e【详 解】71 71 71求 出2 x +=的范围，再结合图像即可解决.6 3 6(I)由于函数 f(x)u j si nx c o sx +c
25、o s?x +m=5/3 .1 +c o s 2 x sm 2 x-R T F2 2=si n 2 x+m +,I 6 j 2 最 小 正 周 期 为 丁 =7.2由2 k乃一生效必x+2 2 1 万+工 得：k万一工领k k +,2 6 2 3 671 71故 函 数f(x)的 单 调 增 区 间 为k-,k +-,ke Z.、兀兀、乃m卜 71(II)当时，一 双必工+:_ 6 3 J 6 6应 的x的值，一(领J si n 2 x+?)1,丁，函 数f(x)的 最 小 值 为2,求 函 数f(x)的最大值及对6故 当si n(2 x+f =-1时，原 函 数 取 最 小 值2,即-，+机
26、+?=2,二m =2,(6 J 2 2 2故/(x)=si n(2 x+W)+g，7 TC 7T TT故 当si n 2 x +二=1时，f(x)取 得最大值为一，此 时，2 x +-=-,x =J.2时满足题意，求 出 实 数。的取值范围 由a 2代入化简不等式得不等式组，结合单调性求出最小值详 解：(I)V y (x)4|x 1|2 x a|+|x 1|4|x 1|x|+|x 1 1 2,解 得a6,则 实 数。的取值范围为：(TO,2)D(6,”O).(II)因 为。2,所 以 1,二2/O 3 x +a +l,x 一2X +1 6 Z,一 X 1/(X)在-8,上是减函数，在+8)上是
27、增函数，所 以/(5而=/(|=一 三+1 =2,解 得。=一2适合.点睛：本题考查了含有绝对值不等式的解答，运用不等式的性质进行化简，求出最值，当参数确定范围时,代入进行化简得到函数的表达式，根据单调性求出结果.1 2 12 2.(l)a-,b=-2；(2)1,-,1,2 .【解 析】【分 析】2 易 得x =1和x =-为导函数的两个零点，代入计算即可求得a,b.(2)求 导 分 析f x)0的解集即可.【详 解】(1)V /(x)=x3+a x1+bx+c(x e -1,2 ).f (x)=3x2+2ax+ZJ,x e 1,2,2V函数/(x)在 X=1和 X=-耳 处都取得极值,2故
28、x=1和 x=-为3/+2必+=0 的两根.2a.2(2)由(1)得/(尤)=/一;d 2尤 +c(x e 1,2)故/(x)=3x2-x-2,(x e -1,2)当/(x)0,gp 3x2-X-2 0,(x e-1,2)时，即(3犬+2)-1)0,(1 6 1,2),解得一1 4 4：或 1 4*4 2.-21.函数“X)的单调递增区间为-1,一 ,1,2.【点睛】本题主要考查了根据极值点求解参数的问题以及求导分析函数单调增区间的问题.需要根据题意求导，根据极值点为导函数的零点以及导函数大于等于0 则原函数单调递增求解集即可.属于中档题.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单
29、选题(本题包括12个小题，每小题3 5,共 60分.每小题只有一个选项符合题意)1.如图，表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7,那么该系统正常工作的概率是().A.0.994 B.0.686 C.0.504 D.0.4962.有 A,B,C，。四种不同颜色的花要(全部)栽种在并列成一排的五个区域中，相邻的两个区域栽种花的颜色不同，且第一个区域栽种的是A 颜色的花，则不同栽种方法种数为()A.24 B.36 C.42 D.903.若 函 数 外 力=加+%-欣 存 在 增 区 间，则实数a 的取值范围为()A 1 B.C D.卜 哈-|4.已知函数/(x)是
30、定义在(9,0)(0,”)上的偶函数，且/(-1)=0,若对任意的xe(O,+8),都有x (x)/(x)成立，则不等式 x)0 的解集为()A.(-1,0)?(1,?)B.(-1,0)(0,1)C.(-oo,-D(0,1)D.(9,-1)(L+8)5.随机变量X 的分布列如下：X-101Pa3b若 E X=；,则 O X 的 值 是()12 4 5A.B.C.D.一9 9 9 96.复数z=i(l+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.若函数y=f(x)图象上存在两个点A,8 关于原点对称，则对称点(A 8)为函数y=f(x)
31、的“挛生点对”，且点（A 8）对（氏A）与可看作同一个“李生点对”若 函 数/（幻=2,x0 x+6x 9%+2 a,x N 0恰好有两个“李生点对”，则实数。的 值 为（）A.0 B.2 C.4 D.68.已知复数二满足z-2 i=l（其中i为虚数单位），则|z|=（）A.1 B.2 C.&D.5/59.将函数.7（月=2 41112%+看）的图像向右平移2个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A.函数g（X）的最大值为6+1 B.函数g（X）的最小正周期为万TTC.函数g（x）的图象关于直线x=对称 函数g*）在 区
32、 间完上单调递增10.某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是（）A.用系统抽样，用简单随机抽样 B.用系统抽样，用分层抽样C.用分层抽样，用系统抽样 D.用分层抽样，用简单随机抽样11.从装有3个白球,4个红球的箱子中，随机取出了 3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是（）4 6 12 36A.B.C.D.-35 35 35 3431 2.如图，A4B C和AD所都是圆
33、内接正三角形，且 B C/E F ,将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示 事 件“豆子落在A 4 8 c内”，B表示事件“豆子落在AD后 内”，则P（B|A）=（）D.2二、填 空 题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）1 3.执行下图的程序框图，如果输入/=6,则输出的S值为1 4.在数列%中,4=1,。,用=W-,通过计算生，生,&的值，可猜想出这个数列的通项公式为凡=一21 5 .已知函数/(x)=x,令g(x)=/(x)-丘+1,若函数g(x)有四个零点，则实数出的取(x-l)3,x =/(%)的单调区间；(3)若函数y=/(x)有两个极值点外,马，求证：/(4)+/(*2)6-
34、I n a1 8 .已知数列an的首项为 1.记/()=+a2C；+a“C：e N)(1)若 凡 为常数列，求/(3)的值：(2)若 a“为公比为2的等比数列，求/()的解析式：(3)是否存在等差数列 q,使得/()一1 =(1)2 对一切e N*都成立？若存在，求出数列 ,的通项公式：若不存在，请说明理由.x=3+tcosa 兀19.(6分)已知平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为 厂(t 为参数,0W/2x+2.22.(8 分)如图所示，在边长为8 的正三角形ABC中，E、F 依次是A S、A C 的中点，ADVBC,EHd.BC,FG1BC,D、H、G 为垂足，若将A4BC绕 AO
35、 旋转1 8 0，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.参考答案一、单选题(本题包括12个小题，每小题3 5,共 60分.每小题只有一个选项符合题意)1.B【解析】【分析】由题中意思可知，当A、8元件至少有一个在工作，且。元件在工作时，该系统正常公式，再利用独立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率.【详解】由题意可知，该系统正常工作时，A、3元件至少有一个在工作，且。元件在元件，当A、8元件至少有一个在工作时，其概率为1一（1一0.9卜（1一0.8）=0.9 8,由独立事件的概率乘法公式可知，该系统正常工作的概率为0.9 8 x 0.7 =0.6 8 6 ,故 选B.【点睛】本题考查独立事件
36、的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，在处理至少等问题时，可利用对立事件的概率来计算，考查计算能力，属于中等题.2.B【解析】分析：可以直接利用树状图分析解答.详解：这一种有1 2种，类似AfCf Of 各 有1 2种，共36种，故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查排列组合，考查计数原理，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题可以利用排列组合解答，分类讨论比较复杂.也可以利用树状图解答，比较直观.3.C【解析】【分析】先假设函数“X）不存在增区间，则“X）单调递减，利用“X）的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数。的取值范围，再取这个
37、取值范围的补集，求得题目所求实数。的取值范围.【详解】若函数/（X）不存在增区间，则函数/（X）单调递减，此 时/（%）=2 的+1-工4 0 在区间（0,+0 5）恒成立，o.1 1 1 1 （1 Y 1 1 r 殂/1可得-,则-=-,可得。4 一 二,丁 x /1 I 2）4 4 8,+8 j .故选 C.故函数存在增区间时实数”的取值范围为一【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.4.D【解析】【分析】构造函数尸（幻=殁，判断函数的单调性和奇偶性，根据其性质解不等式得到答案.【详解】对任意的X G（0,+8）,都有X （X）/（X）成
38、立构造函数 E（X）=3=尸（X）=0 =F（x）在（）,+8）上递增.X X/（可 是 偶 函 数=/。）为奇函数，在（-8,0）上单调递增.F(-l)=F(l)=0当x 0时：/（元）（）=F（x）0=x l当x0=F（x）-l xx e（-co,-l）u（l,+o o）故答案选D【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，构造函数/。）=。是解题的关键.X5.D【解析】7 2,1 1 ,1由题设可得。+=一,一。=一=a=.h=,所 以 由 数 学 期 望 的 计 算 公 式 可 得E(X2)=0 x；+l x|=g,(E(X)=,所以由随机变量的方差公2 5式 可 得0 X=(X
39、 2)-(E(X)应 选 答 案D。6.B【解 析】Z=i(l+。=j+/=_1+j,故对应的点在第二象限.7.A【解 析】分 析：由题可知当x0时，“X)与 =-2恰有两个交点.根据函数的导数确定“X)的图象，即可求得实 数。的值.详 解：由题可知，当x 0时，/(x)与丁=一2恰有两个交点.函 数 求 导.尸(勾=T%一)(x(xO)易 得x=1时 取 得 极 小 值/(1)=-2-；x=3时取 得 极 大 值/(3)=2 a另 可 知/(0)=2 a，所得函数图象如图所示.当/(1)=一2。=-2,即a=0时/(%)与丁=-2恰有两个交点.当a=0时，/(X)恰好有两个“挛生点对”，故
40、选A.点睛：本题主要考查新定义，通过审题，读懂题 意，选择解题方向，将问题转化为当x0时，/(x)与y=-2恰有两个交点是解题关键.8.D【解 析】【分 析】先 求 出 复 数z,然 后 根 据 公 式 目=，？+，求出复数的模即可.【详 解】z-2/=1,z=1 +2/,=1?+2?=#.故选 D.【点 睛】本题主要考查复数的模计算，较基础.9.D【解析】【分析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得g(x)的解析式，依次判断g(x)的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.【详解】函数“X)向右平移己个单位长度得：2s i n 2卜高+看=2s i n(2x 菅)横坐标伸长到原来的2
41、倍得：g(x)=2s i n x g(x)最大值为2,可知A错误；g(_ x)最小正周期为2万，可知3错误；x =f时，x-J=2，则X=g不是g(x)的对称轴，可知C错误；3 6 6 3当X V%胃 时，x-e 0,1,此时g(x)单调递增，可知。正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题,关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.10.D【解析】【分析】【详解】总体由差异明显的几部分构成时，应选用分层抽样；总体个体数有限、逐个抽取、不放回、每个个体被抽到的可能性均等，应选用简
42、单随机抽样；.选D11.C【解析】分析：根据古典概型计算恰好是2个白球1个红球的概率.C2c 12详解：由题得恰好是2个白球1个 红 球 的 概 率 为 士L=_.故答案为:C.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）古典概型的解题步骤:求出试验的总的基本事件数；求出事件A所包含的基本事件数加；代公式A包 含 的 基 本 事 件 数=m总 的 基 本 事 件 个 数 一1.【解析】如图所示,作三条辅助线，根据已知条件,这些小三角形全等，A4BC包含9个小三角形，同时又在AOEF内的小三角形共有6个，所以P（B|A）=g ,故 选D.二、填 空 题（本题包括4个
43、小题，每小题5分，共20分）13.21【解析】试题分析：由题意，5=0 +1 +2+3+4+5+6=21.考点：程序框图.【解析】试题分析：根据已知的递推关系，可以构造出我们熟悉的等差数列.再用等差数列的性质进行求解.由于在数列%中,4=1，。,用=#一，则可知-=4+，匚 是 等 差 数 列 公 差 为 首 项 为1,2+。“an+i 2 a an+21 i 1 /1、1 2 2故可知为=l+-（n-l）=-+-/.af l=-，故答案为 一-an 2 2 2 +1 +1考点：数列的通项公式点评：构造数列是对已知数列的递推关系式变形后发现规律，创造一个等差或等比数列，借此求原数列的通项公式，
44、是考查的重要内容.3,15.一%0,最后利用导函数求函数g(x)=x l n x-x-l n x+2单调性，进而确定最小值，证得结论试题解析：因 为f(x)=4 x H n x-gf2,所以r(%)=4一2 x,则/(1)=3-。=2,所以。的值为1.(2)/7%)=4-x-%24x+a 函数y =/(x)的定义域为(0,用)，X X1若1 6-维，即a 4,则/(x)W。，此时/(x)的单调减区间为(。，”)；2 若&，即 0。/石,2+).(3)由(2)知，当0。4时，函数y=，有两个极值点%,冗2,且+工2=4,1 4 Ta-因为/(%)+/(W)=4玉-t z l n X j -X j
45、2-2+4X2-a l nx2 xi-2=4(%+x2)-l n (%j X2)-(xi2+/2)4=1 6F1“T(24 4=面 t要 证/(%)+/伍).构造函数g(9=k n x-若In*,贝i j g(x)=I +l n x-l-L =l n r-Lg(x)在(0,4上单调递增，又g(l)=-1 0g()2=1-n i，且g(x)在定义域上不间断,由零点存在定理，可知g(x)=()在(1,?上唯一实根为，且1叫=.X。则g(%)在(0,%)上递减，伉,4)上递增，所以g(x)的最小值为g(x).111、因为g(毛)=_ I r i Y g +2=1 x-1-2=3 x H-,X 0 X
46、o o 7当天 0,?时，Xo+e玉)5、2,-，则g(%)0,所以g(x)i g(为)0恒成立.z J所以 al n A a-1 n a+2,所以/(x j +/(x 2)V|0A|=|0B|=2V3|AB|=2,.0到 直 线I的 距 离 为3,|3tana+我|则 3=I 9,V tana+l解 之 得t an ajr,OVaVrc 且 C l 卉 2,.兀a=rr-6(2)直接利用关系式，解 得：|M N|=叫=4cos30【点 睛】本题主要考查了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用.20.(I)12；(II)672.【解 析】【分 析】(I)先考虑特殊要
47、求，再排列其他的；(H)根据二项式定理展开式的通项公式求解.【详 解】(I)所 有 不 同 的 排 法 种 数 加=C；H =12.(I I)由(I)知,79-3r的展开式的通项公式为(=9.才.亍9-3r令 一-=0,解得厂=3,2展开式中的常数项为23 C；=672.【点 睛】本题考查排列与二项式定理.21.(1)当x =g,/*)取得极小值/(g)=l -31n 2；当x=l时，/(x)取得极大值/=一1；(2)见解析.【解析】【试题分析】(1)当a=3 时，利用导数写出函数的单调区间,进而求得函数的极值.(2)当a =1时,化简原不等式得(x-l)l n(X-1)+1 ，分别利用导数求
48、得左边对应函数的最小值,和右边对应函数的最大值，最小值大于最大值，即可证明原不等式成立.【试题解析】(1)当 a=3 时，/(x)=31n x +2 x,/(X)=-4-2=当时，/(x)0,/(x)在 上 单 调 递 增；当时，/(x)1,X -L 1 Z?所以不等式/(一1)万-2+2 可变为山(尢-1)+0 /.要证明上述不等式成立，即证明(x l)l n(x 1)+1 幺=。.设 g(x)=(x T)n(x-l)+l,则 g(x)=l+l n(x-l),令 g x)=0,得 x =l +L在 1,1+，上，g (x)0,g(x)是增函数.(|A 1所以 g(x)之 g 1 +-=1一一
49、.I e)eA/、e(x-l f z、e(2-x)h(x=.贝!I/(%)=-1,ex ex在(1,2)上，(x)0,a(x)是增函数;在(2,-8)上，”(x)v O,砍力是减函数,所以(X)K(2)=J(，由此可知/(x-l)/-2x +2.【点睛】本小题主要考查函数导数与极值的求法.考查利用导数证明不等式成立的问题.求函数极值的基本步骤是:首先求函数的定义域，其次对函数求导，求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解，然后求得导函数的零点，即原函数的极值点，结合图象判断函数的单调区间，并得出是最大值还是最小值.22.表面积为48万+86乃，体积为万.【解析】【分析】旋转后几何体是一个圆锥，
50、从上面挖去一个圆柱，根据数据利用面积和体积公式，可求其表面积与体积.【详解】由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为4,高为4石，圆柱的底面半径为2,高为2 6，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面.圆锥的底面积为1 6万，圆锥的侧面积为乃x8 x4 =32万，圆柱的侧面积为27 rx2 x 2 6=8也%，故所求几何体的表面积为1 6%+32万+8百=4 8万+8 6 4.阴影部分形成的几何体的体积为,4 X 4 2 X 4 6-X 2?X 2 6=走71.3 3【点睛】本题考查组合体的表面积和体积的计算，考查空间想象能力、运算求解能力