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1、2021年备战中考复习数学小题(解答)专练：圆的综合(二)1如 图，8。是0。的直径，过/点 作。的垂线交。的延长线于点,且。/平 分N80R(1)求 证：是。的切线；(2)若 z D B C=30,D E=2 c m,求 第 的 长.2.如 图，48是。的直径，AC1.AB,6 c交。于 点。，点在劣弧B D 上,的延长 线 交 的 延 长 线 于 点F,连接力交8。于 点G.(1)求 证:4 A E D=LCAD;(2)若 点是劣弧8。的中点，求 证：=G4;(3)在(2)的条件下，若8 0=B F,止=2,求 用 的 长.3.如 图，半径为7的。上有一动点8,点 力 为 半 径O f上一
2、点，且2 6最大为10,以为边向夕M乍正方形A B C D，连 接。.(1)请 直 接 写 出 的 长；(2)过 点，作AFI.O E,且A F=04,连接尸。，在 点B的运动过程中,F D的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出尸。的 长；(3)在(2)条件下，当点/,8,尸三点在一条直线上时，请 直 接 写 的 长；(4)在(2)条件下，请直接写出O F的最大值和最小值.4.如 图，在“8C中，A B A C,以Z C为直径的。与6c交于点。，DELAB,垂足为E,的延长线与Z C的延长线交于点尸.(1)求 证：是。的切线；(2)若。的半径为2,8=1,求 6 的 长.5.如 图，
3、在平面直角坐标系中，点/的坐标为(6,0),点6的坐标为(0,2)，点 例从 点/出发沿x轴负方向以每秒3c m的速度移动，同时点/V从原点出发沿p轴正方向以每秒1 6的速度移动.设移动的时间为f秒.(1)若 点 例 在 线 段0 4上，试问当f为何值时，与以点Q M、/V为顶点的三角形相似？(2)若直线y=x与AO/WV外接圆的另一个交点是点C.试说明：当0 f 2时，OM O N、。之间的数量关系是否发生变化，并说明理由.6.如 图1,在。中，弦2L弦。，垂 足 为 点 巳 连 接/?、BC、A O.A D A B.(1)求 证：4C A O=2 4 C D B;(2)如 图2,过 点。作
4、O H A D,垂足为点H,求 证：2 O H+C E=DE;(3)如 图3,在(2)的条件下,M交 A B于 N,若 8 C=12,A F,延 长D B、力。交于点F,过 点。作D M A C,垂足为=3 B F,求 例/V的 长.三7图1图2图37.如 图，在。中，为直径,8 C 为 弦.过ZC延长线上一点。，作DF工B O 于 氤 F,交 跋 于 点G,交。于点，点/是OG的中点，连接 6(1)判 断a与。的位置关系,并说明理由；(2)连 接8,若/3%=2/8,67=6,8=4,求 9 的长.8.如 图，点4 B、C是半径为2的。上三个点，为直径，N84C的平分线交圆于点D,过 点。作
5、4 c的垂线交2C的延长线于点E,延长线E D 交的延长线于点F.(1)求 证：直 线EF与。相 切.(2)若。尸=4近，求COSN4。的 值.9.如 图，是。的直径，4C是。的切线，切点为2,B C 交。于 点。，点是 A C的中点.(1)试判断直线D E 与 O。的位置关系，并说明理由.(2)若0。半径为2,N8=60,求图中阴影部分的面积.10.已 知，为。的直径，PA,PC是。的的切线，切点分别为4 C,过 点C作C D交。于 D .(1)如 图1,当P,。，。共线时，若半径为r,求 证C D=r;(2)如 图2,当户，。，。不共线时，若。=2,%=8,求tan/PCI.11.AB,Z
6、C为的弦，A B=A C.(1)如 图(1)，求 证：ABAO=CAO,(2)如图(2),6。为。的 弦，过 点。作O A的垂线交O。于 点E,连 接C E,求 证：B D=C E：（3）如 图（3），在（2）的条件下，连 接。交于点F,连 接OF,A E,若OF1.A B,尸。=5,S，ACE=30,求的长.12.如 图，是 O。的直径,C为。上一点,过 点C的直线交力8的延长线于点P.A C平分，过点，作ADA.P C于点D,，。与O O交于点E.（1）求 证：PC是0。的切线；（2）若28=9,sinzC45=-i,求力。的 长；求/f的长.13.如图，已知。为“6C的外接圆，8C为。的
7、直径，作射线8尸,使得 加 平 分N C 8,过 点/作/O _ L 6尸于点。.(1)求 证：。，为。的切线；(2)若 B D=1,ta r)N/6O=2,求0。的半径.14.如 图1,在中，A B=A C,。是 的 外 接 圆，过C作C D w A B,C D交O。于。，连接力。交8 c于点E,延 长Z?C至 点，使CF=4C,连接AF.(1)求 证：/尸是O。的切线；(2)求 证：A N -B R =BE,EC;(3)如 图2,若 点G是“。的内心，BC-BE=64,求6G的 长.图1yD图2yD15.如 图,O。的半径为5,弦60=6，为8c所对优弧上一动点，的外角平分线40交0。于
8、点P,直线/P与直线8c交于点.(1)如 图1.求证：点 户 为 氤 的 中 点；求sinzm c的 值；(2)如 图2,若 点/为 商 的 中 点，求 上 的 长；(3)若 8 C为非锐角三角形，求 必的最大值.图2 备用图参考答案1.(1)证 明：连 接 0 4 如 图：OA=OD,:.乙ODA=LOAD.:DA 平分zBDE,：.z.ODA=/.EDA.：.z.OAD=/.EDA,：.EC OA.：AE1.CD,：.O AAE.,.点力在。上,是。的切线.(2)解：.8。为O。的直径，.=9 0 ,：.BDC=90-乙 DBC=90-30=60,.NOD/=NQZ=60,在 R f/W
9、F 中,乙 DAE=90-60=30,:.A D=2 D E=4(c m),：ODA=Q,OA=OD,.3。为等边三角形，:.OD=AD=4cm,z.AOD=60,2.(1)证 明：是。的直径，A D B=90,：ACrAB,.2 0 8=9 0 ,：.ABD-Z.CAD,AD=AD，：./-AED-Z.ABD,：./.AED-Z.CAD;(2)证 明：.点是劣弧8。的中点，-DE=BE-：.z.EDB=z.DAE,:乙DEG=4AED,.AEDGS4EAD,ED _EAEG ED:.E5=EGEA;(3)解：连 接OF,.点F是劣弧8。的中点，；.zDAE=Z.EAB,：OA=OE,.Z.O
10、AE-乙AEO,:.z.AEO=Z.DAE,:.OEAD,OF EFOA DE：BO=BF=OA,DE=2,2 EF T,:.EF=4.3.解：(1)当8运动到4 Q 8三点共线,且。位于/,8之间时，28取得最大值,此时 04=4 6-7 =3;(2)。尸长度不变,理由如下，如 图2连 接08,：AFYOE,.2。/尸=90,又/以。=90 ,:ZBAO+4BAF=Z.BAF+Z.FAD,:.z.BAO=Z.DAF,在4必。与尸中，A B=A D Z B A O=Z D A F,A O=A F：.BADAFSAS）,.-.OB=FD=7,即尸。长度不会变化，尸。=7;（3）如图2,当4,6,
11、尸三点一线时，由（2）得8 6。下，：A D=A B=VO B2-O A2=V 72-42=2V T 0，：.OD=OA+AD-3+2A/10,.DE=3+2V10_7=2A/10 4,如图3,当/,8,下三点一线时，由（2）得尸，：.AD-AB-3+2-/10,，。=2。+=4+2历，即 DE=2V 7 5-臧 4+2百5；（4）由（2）可 得，FD=7,，。在以尸为圆心，7为半径圆上运动，又 花=A F2+AE2=5,当。，尸，三点共线，且尸在。，之间时，5+7 =12,此 时 止 取 得 最 大 值，如图4,当。，三点共线，且在。，尸之间时，止=7-5=2,此 时 取 得 最 小 值，如
12、图5,即 的 最 大 值 为12,最小值为2.图3,.加 是 直 径,:.ADlBC,又.在A/8C中，AB=AC,:.BD=CD,:AO=OC,:.ODAB,丈：DEL AB,:.DEA.OD,为。半 径，.上是。的切线；(2)解：丫。的半径为2,4 6=ZC,C=48=2+2=4,-：BE=1,./=4-1=3,过。作于”，则四边形。仍 是 矩 形，.-.EH=OD=2,：.AH=1,：.AH=AO,“AOH=30,.2 必C=60,：.AF=2AE=6,:.CF=AF-AC=2.,：DEA.AB,ADrBC,A E D=ZBED=NADB=“0 ,：.DAE+ADE=2G,乙ADE+乙B
13、DE=90,：./.DAE-Z.BDE,iA E D iD E B,DE丽DEl=AEDE3DE解 得:DE=M，：ODAB,:a FOD-FAE,.F D =O P F D+D E -A E 1F D _ 2而诋 g，解 得：田=2匾,在 R bFOD中，。=VOD2+FD2=7 22+(2V 3)2=4，:,CF=FO-OC=4-2=2.5.解：(1)由题意，得 3 =6,OB=2.当 0f 2 时，OM=6-3t,ON=t.若AABCUMN。,则O密M =O*N ，即6-3t t解 得 占1.若“gAW贝 喘=黑，畔=/解 得t=1.8.综 上，当t为1或1.8时，A/8。与以点Q M/
14、V为顶点的三角形相似.(2)当0 2时，过点C作CDL 0 c交ON于点D,连接CM、CN,如图所示:.“8=4 5 ,二A。为等腰直角三角形，：.O D=O C.M为。的直径，：.MCN=90.又.在。中，KCMN=CNM=A50,:.M C=NC.又；NO 8=ZMCN=9U,：.D C N=O C M.：aC D N C O M S A S).：.DN=O M.又：O D=、叵 OC,：.ON-DN=42O C.二 当 2 3 时，OM-ON=yf2OC.当 f=3 时，OM=O N.6.解：（1）如 图，连 接ZQ DO,：AB=AD,-A B=A D，：./.AOB=Z.AOD,.A
15、O=OB,AO-OD,:aAO眄AOD,：./.BAO=Z.DAO,延 长/。交8。于 点A,：AB=AD,：.AHrBD,:/A H B=乙AHD=90,A D=A B，：./.ACD-乙ABD,：./.CAB=z.BAO=Z.OAD,：.CAO=2CDB.(2)过 点。作。，则CT=DT.：CDrAB,CDrOT,O Q lA B,:.乙 OQB=LOTE=N/Z?=90,.四边形O7FQ为矩形，:.OQ=ET,：TD=CT=ET+CE,：AB=AD,:.OQ=OH,图2:.2OH+CE=DE.(3)如 图，N/CB+N，O8=180,乙FCB+乙ACB=180,:.z.ADB=Z.FCB
16、,r 乙F=aF.:aFCBs&FDA,FB CB 1AF AD-：CB=12,:.AB=AD=36,.乙BCD=BAD,乙AEB=LAED,:a CEB”AED,BE _ BC _1ED AD设 8F=x，贝 Z=36-x,ED=3x,：ABA.CD,:.AED=2Q,则在。中，AR+E伊=A ,(36-x)2+(3x)2=362,解得：x广0(舍)，乂2二警，,BD=VBE2+ED2=/10：CD1.AB,:zBED=9。，4NMA=q。，4ANM=4END,:，乙 NED=xMAN,:.BDE=EDN,：ED=ED,:.B E N E D,B E=N E=-,b：CDB=z.CAB,乙N
17、MA=zBED,:a AM 2 4 DEB,.M N _ A N B E B D .MN 号 X 2 36 36 f,-4 H JD7 .解：(1)连接O C,如下图所示,:DFLBO 于点 F,B+zBGF=90。，X8为直径，：.z.ACB=90,.7为O G的中点，：.CI=DI=GI,“IGC=UCG,；OB=OC,：.z.B=Z.BCO,：BGF=IGC,.N8CO+N7CG=90,：.CI1.CO,为。的切线；(2)连接。/和CO,如下图所示,B.z?C7+z/C(7=90o,N/CG+N6CO=90,:.z.DCI=BCO,：z.B=Z.BCO,：CI=DI,：.z.D-Z.DC
18、I,：.z.D-z.B,：.z.A=Z.DGC,:乙IGC=4ICG,z/4=zC?C4,：.ICG=OCA,：aICGsbOCA,.2GCH=24 B,乙 AOC二2乙B,；zGCH=Z.AOC,：QGCHS 4 A o C,:.MCG“CHG,CG=CH=A,6 IG CG 7 CG HG r；.IG=6,A G=|，.-.HI=IG-G=6-=曰.3 38.(1)证 明：连 接。，如图所示：DCF：OA=OD,：.Z.OAD-Z.ODA,.Z。平分N4尸，：.Z.DAE-Z.DAO,:zDAE=Z.ADO,：.ODAE,.AE1.EF,.ODA.EF,是。的切线；(2)解：在 R N。尸
19、中，OD=2,。尸=4&,9/7=VOD2+DE2=6，：ODAE,O P O F A E A F ,_ 2_ 6 A E -8 AD=VAE2+ED2=.,.c o sz 4Z?=.A D 39.解：(1)直线。与O。相切，理由如下：如图，连接。，OE.AD,是。的直径，A D B=乙ADC=90,1,点F是/C的中点，：.AE=DE,zc是O O的切线，切点为力,.NO/F=90,：OA=OD,OE=OE,；aO A&bO DES S S),O D E=4O A E=90,即 ODA.ED,.直 线DE与O。相切.(2):。半径为 2,z5=60,BAC=90,：.AC=4A/3,乙AOD
20、=2N8=120,：.AE=AC=2 ,图中阴影部分的面积=2 X|X 2 X 2 V 3J P =W3-L-N obU oi o.（1）证明：连接o c,PA,PC是。的的切线，切点分别为4 C,:.PA=PC,/以。=/2。9=90,在 R b%。和 RNPCO中，（PA=PClP0=P0:.PACXPCO H L),:.POA=POC,：CDAB,:.z.CDO=Z.DOA,:.z.CDO-/.COD,:.CD=OC=r-,(2)解：设。交。于巳连接0 c,过。作OHA.CD于H,由(1)可知，PACXPCO,:.z.POA=Z.POC,：CDAB,:.z.CEO=COE,:.CEO=C
21、OE,:.CE=CO=3,.-.CD=CE+ED=1Q,:.CH=DH=S,:.EH=3,-OH=7OC2-CH2=782-52=V39，:XaPOA=tanz/：ADAC=CAB,:aDCAs4CBA,C D =A D =A C B C -A C -A B a nC D A D 6A/23 67 2 9:.AD=2,.C D=2&;连接上,：z.EDC=ACB=2Q,:QEDCSABCA,.E D =D C B C C A 0 nD E 2V 2即丁丽，:.DE=1,:.AE=AD-DE=8-1=7 .13.(1)证明：连接02；.8C为。的直径，BA平令4 CBF,AD1.BF,，N2 O
22、 8=N6 4 C=9 0 ,4DBA=LCBA;：OAC=OCA,：.DAO=DAB+BAO=BAO+z.OAC=2Q,为。的切线.(2)解：.6O=l,ta n N/6O=2,。=2,/8=7AD2+BD2=7 22+12=V 5，:.cos 4 DBA=S;5：z.DBA=Z.CBA,14.解：（1）如图1,连接04,：AB=AC,漉=京，4ACB=乙8,:.OA.BC,：CA=CF,:.乙CAF=ACFA,：CDAB,：.z.BCD-Z.B,：.ACB-/.BCD,：.ACDCAF+CFA=2CAF,：ACB=BCD,:.ACD=2ACB,:.z.CAF=Z.ACB,.AF BC,:.
23、OA1.AF,./尸为。的切线；(2)：BAD=BCD=ACB,N6=N6,:QABE CBA,.AB BEBC=AB,:.A&-=BC*BE=BE BE+CE)=BR+BE*CE,:.A&-BR=BE、EC;(3)由(2)知：，岳=658F,：BGBE=64,:.AB-8,如图2,连接/G,图2:.z.BAG=Z.BAD+Z.DAG,ABGA=Z.GAC+Z.ACB,点G为内心,:.z.DAG=Z.GAC,文：乙BAD+乙DAG=乙GAC+乙ACB,乙BAD=Z.ACB,:.Z.BAG-Z.BGA,:.BG=AB=8.15.(1)证明：如图1,连接PC.图1 A P、员C四点内接于O。,：.
24、PAF=PBC,4平 分 工 加 尸，：.z.PAF=z.BAP,：z.BAP=Z.PCB,：.PCB=PBC,：.PB=PC,PC=PB，二点。为面的中点；解：如图2,过。作PGBC于G,交BC于G,交。于H,连接OB,图2PB=PC.，也是直径，：z.BPC=BAC,z BOG=z BPG=z BPC,2：OGrBC,:.BG=BC=3,RNBOG 中 J；OB=5,.sin C=sin/8OG=带=看;(2)解：如图3,过P作PGLBC于G,连接OC,图3由(1)知：QG过 圆 心 O,且 CG=3,OC=OP=5,：.OG=4,./G=4+5=9,:PC=VCG2+PG2=V32+92
25、=37 1 0，设“P C=x,.乂是商的中点，A P=A C，.Z.ABC-乙ABP=x.：PB=PC,:.z.PCB=PBC=2x,PCE中,APCB=Z.CPE+AE,:/E=2x-x=x=z CPE,:.CE=PC=3屈;(3)解：如图4,过点C 作C Q rA B Q,：ACE=P,乙CAE=“AF=/PAB,:a ACEs&APB.P A _ A B*A C A E r:.PAAE=AGAB,：srZ.BAC=,2:.CQ=AGsmBAC=AC t51 2S/8U=w/8Y Q=y A B A C ,*PAAE-与 45=10,BC=6,:.AC=3,此 时 以 4 =x)x 6 X 8=80.O c