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1、2021年备战中考复习数学小题（解答）专练：圆的综合（二）1如图，BD是O的直径，过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，且DA平分BDE（1）求证：AE是O的切线；（2）若DBC30，DE2cm，求的长2如图，AB是O的直径，ACAB，BC交O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G（1）求证：AEDCAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2EGEA；（3）在（2）的条件下，若BOBF，DE2，求EF的长3如图，半径为7的O上有一动点B，点A为半径OE上一点，且AB最大为10，以AB为边向外作正方形ABCD，连接DE（1）请直接写出OA的长；（
2、2）过点A作AFOE，且AFOA，连接FD，在点B的运动过程中，FD的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出FD的长；（3）在（2）条件下，当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写DE的长；（4）在（2）条件下，请直接写出DE的最大值和最小值4如图，在ABC中，ABAC，以AC为直径的O与BC交于点D，DEAB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F（1）求证：DE是O的切线；（2）若O的半径为2，BE1，求CF的长5如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1
3、cm的速度移动设移动的时间为t秒（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线yx与OMN外接圆的另一个交点是点C试说明：当0t2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ONOC；试探究：当t2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由6如图1，在O中，弦AB弦CD，垂足为点E，连接AD、BC、AO，ADAB（1）求证：CAO2CDB；（2）如图2，过点O作OHAD，垂足为点H，求证：2OH+CEDE；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB、AC交于点F，过点D作DMAC，垂足为M交AB于N，若BC12，AF3BF，求MN的
4、长7如图，在O中，AB为直径，BC为弦过AC延长线上一点D，作DFBO于点F，交BC于点G，交O于点H，点I是DG的中点，连接CI（1）判断CI与O的位置关系，并说明理由；（2）连接CH，若GCH2B，CI6，CH4，求HI的长8如图，点A、B、C是半径为2的O上三个点，AB为直径，BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长线ED交AB的延长线于点F（1）求证：直线EF与O相切（2）若DF4，求cosEAD的值9如图，AB是O的直径，AC是O的切线，切点为A，BC交O于点D，点E是AC的中点（1）试判断直线DE与O的位置关系，并说明理由（2）若O半径为2，B60，求
5、图中阴影部分的面积10已知，AB为O的直径，PA，PC是O的的切线，切点分别为A，C，过点C作CDAB交O于D（1）如图1，当P，D，O共线时，若半径为r，求证CDr；（2）如图2，当P，D，O不共线时，若DE2，CE8，求tanPOA11AB，AC为O的弦，ABAC（1）如图（1），求证：BAOCAO；（2）如图（2），BD为O的弦，过点D作OA的垂线交O于点E，连接CE，求证：BDCE；（3）如图（3），在（2）的条件下，连接CD交AB于点F，连接OF，AE，若OFAB，FD5，SACE30，求DE的长12如图，AB是O的直径，C为O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点P，AC平分DAB
6、，过点A作ADPC于点D，AD与O交于点E（1）求证：PC是O的切线；（2）若AB9，sinCAB，求AD的长；求AE的长13如图，已知O为ABC的外接圆，BC为O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF，过点A作ADBF于点D（1）求证：DA为O的切线；（2）若BD1，tanABD2，求O的半径14如图1，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，过C作CDAB，CD交O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CFAC，连接AF（1）求证：AF是O的切线；（2）求证：AB2BE2BEEC；（3）如图2，若点G是ACD的内心，BCBE64，求BG的长15如图，O的半径为5，弦BC6，A为B
7、C所对优弧上一动点，ABC的外角平分线AP交O于点P，直线AP与直线BC交于点E（1）如图1求证：点P为的中点；求sinBAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若ABC为非锐角三角形，求PAAE的最大值参考答案1（1）证明：连接OA，如图：OAOD，ODAOADDA平分BDE，ODAEDAOADEDA，ECOAAECD，OAAE点A在O上，AE是O的切线（2）解：BD为O的直径，C90，BDC90DBC903060，ODAEDA60，在RtADE中，DAE906030，AD2DE4（cm），ODA60，OAOD，OAD为等边三角形，ODAD4cm，AOD60，的长2（1）证
8、明：AB是O的直径，ADB90，ACAB，CAB90，ABDCAD，AEDABD，AEDCAD；（2）证明：点E是劣弧BD的中点，EDBDAE，DEGAED，EDGEAD，ED2EGEA；（3）解：连接OE，点E是劣弧BD的中点，DAEEAB，OAOE，OAEAEO，AEODAE，OEAD，BOBFOA，DE2，EF43解：（1）当B运动到A、O、B三点共线，且O位于A，B之间时，AB取得最大值，此时OAAB73；（2）DF长度不变，理由如下，如图2连接OB，AFOE，OAF90，又BAD90，BAO+BAFBAF+FAD，BAODAF，在BAO与DAF中，BAODAF（SAS），OBFD7，
9、即FD长度不会变化，FD7；（3）如图2，当A，B，F三点一线时，由（2）得ABOADF，ADAB，ODOA+AD3+，如图3，当A，B，F三点一线时，由（2）得ABOADF，ADAB，DEAD+AE4+2，即DE或；（4）由（2）可得，FD7，D在以F为圆心，7为半径圆上运动，又FE，当D，F，E三点共线，且F在D，E之间时，DE5+712，此时DE取得最大值，如图4，当D，F，E三点共线，且E在D，F之间时，DE752，此时DE取得最小值，如图5，即DE的最大值为12，最小值为2 4（1）证明：如图，连接OD，AD，AC是直径，ADBC，又在ABC中，ABAC，BDCD，AOOC，ODAB
10、，又DEAB，DEOD，OD为O半径，DE是O的切线；（2）解：O的半径为2，ABAC，ACAB2+24，BE1，AE413，过O作OHAB于H，则四边形ODEH是矩形，EHOD2，AH1，AHAO，AOH30，BAC60，AF2AE6，CFAFAC2DEAB，ADBC，AEDBEDADB90，DAE+ADE90，ADE+BDE90，DAEBDE，AEDDEB，解得：DE，ODAB，FODFAE，解得：FD2，在RtFOD中，FO4，CFFOOC4225解：（1）由题意，得OA6，OB2当0t2时，OM63t，ONt若ABOMNO，则，即，解得t1若ABONMO，则，即，解得t1.8综上，当t
11、为1或1.8时，ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似（2）当0t2时，在ON的延长线的截取NDOM，连接CD、CN、CM，如图所示：直线yx与x轴的夹角为450，OC平分AOBAOCBOCCNCM又在O中CNO+CMO180，DNC+CNO180，CNDCMOCNDCMO（SAS）CDCO，DCNOCM又AOB90，MN为O的直径，MCN90OCM+OCN90DCN+OCN90OCD90又CDCO，ODOCON+NDOCOM+ONOC当 t2时，过点C作CDOC交ON于点D，连接CM、CN，如图所示：COD45，CDO为等腰直角三角形，ODOCMN为O的直径，MCN90又在O中，CMNCN
12、M45，MCNC又OCDMCN90，DCNOCMCDNCOM（SAS）DNOM又ODOC，ONDNOC当2t3时，ONOMOC；当t3时，OMONOC当t3时，OMON6解：（1）如图，连接AO、DO，ABAD，AOBAOD，AOOB，AOOD，AOBAOD，BAODAO，延长AO交BD于点H，ABAD，AHBD，AHBAHD90，ACDABD，CABBAOOAD，CAO2CDB（2）过点O作OTCD，则CTDT，CDAB，CDOT，OQAB，OQBOTEAED90，四边形OTEQ为矩形，OQET，TDCTET+CE，ABAD，OQOH，2OH+CEDE（3）如图，ACB+ADB180，FCB
13、+ACB180，ADBFCB，FF，FCBFDA，CB12，ABAD36，BCDBAD，AEBAED，CEBAED，设BEx，则AE36x，ED3x，ABCD，AED90，则在RtAED中，AE2+ED2AD2，（36x）2+（3x）2362，解得：，BDCDAB，BED90，NMA90，ANMEND，NEDMAN，BDEEDN，EDED，BEDNED，CDBCAB，NMABED，AMNDEB，MN7解：（1）连接OC，如下图所示，DFBO于点F，B+BGF90，AB为直径，ACB90，I为DG的中点，CIDIGI，IGCICG，OBOC，BBCO，BGFIGC，BCO+ICG90，CICO，
14、CI为O的切线；（2）连接CH和CO，如下图所示，DCI+ICG90，ICG+BCO90，DCIBCO，BBCO，CIDI，DDCI，DB，ADGC，IGCICG，AOCA，ICGOCA，ICGOCA，GCH2B，AOC2B，GCHAOC，GCHAOC，ICGCHG，CGCH4，IG6，HG，HIIGHG68（1）证明：连接OD，如图所示：OAOD，OADODA，AD平分EAF，DAEDAO，DAEADO，ODAE，AEEF，ODEF，EF是O的切线；（2）解：在RtODF中，OD2，DF4，OF6，ODAE，AE，AD，cosEAD9解：（1）直线DE与O相切，理由如下：如图，连接OD，OE
15、，AD，AB是O的直径，ADBADC90，点E是AC的中点，AEDE，AC是O的切线，切点为A，OAE90，OAOD，OEOE，OAEODE（SSS），ODEOAE90，即ODED，直线DE与O相切（2）O半径为2，B60，BAC90，AC4，AOD2B120，AEAC，图中阴影部分的面积10（1）证明：连接OC，PA，PC是O的的切线，切点分别为A，C，PAPC，PAOPCO90，在RtPAO和RtPCO中，RtPAORtPCO（HL），POAPOC，CDAB，CDODOA，CDOCOD，CDOCr；（2）解：设OP交CD于E，连接OC，过O作OHCD于H，由（1）可知，RtPAORtPCO
16、，POAPOC，CDAB，CEOCOE，CEOCOE，CECO8，CDCE+ED10，CHDH5，EH3，OH，tanPOAtanHEO11解：（1）连接OB、OC，BOCO，AOAO，ABAC，ABOACO（SSS），BAOCAO；（2）AODE，点O是圆心，ABAC，BDCE；（3）连接AD，过点O作OMAC于点M，在BDF和CAF中，BFDCAF，BDCCAB，BDFCAF，由（1）知：BAOCAO，AOAO，OFAOMA90，AOFAOM（ASA），AFAM，ABAC，BDCE，由（2）知，ADBAEC（SSS），SAECSADB30，ACAB，在ADB和AEC中，OFAOMA，则BD
17、DE，AFAM，DE612解：（1）连接OC，OCOA，OCAOAC，AC平分DAB，DACOACOCA，ADDP，DAC+DCA90，ACO+DCA90，PC与O相切；（2）AB为直径，ACB90ADC，BC3，AC6，DACCAB，DCACBA，即，AD8，CD2；连接CE，EDCACB90，EDCBCA，即，DE1，AEADDE81713（1）证明：连接OA；BC为O的直径，BA平分CBF，ADBF，ADBBAC90，DBACBA；OACOCA，DAODAB+BAOBAO+OAC90，DA为O的切线（2）解：BD1，tanABD2，AD2，AB，cosDBA；DBACBA，BC5O的半径
18、为2.514解：（1）如图1，连接OA，ABAC，ACBB，OABC，CACF，CAFCFA，CDAB，BCDB，ACBBCD，ACDCAF+CFA2CAF，ACBBCD，ACD2ACB，CAFACB，AFBC，OAAF，AF为O的切线；（2）BADBCDACB，BB，ABECBA，AB2BCBEBE（BE+CE）BE2+BECE，AB2BE2BEEC；（3）由（2）知：AB2BCBE，BCBE64，AB8，如图2，连接AG，BAGBAD+DAG，BGAGAC+ACB，点G为内心，DAGGAC，又BAD+DAGGAC+ACB，BADACB，BAGBGA，BGAB815（1）证明：如图1，连接P
19、C，A、P、B、C四点内接于O，PAFPBC，AP平分BAF，PAFBAP，BAPPCB，PCBPBC，PBPC，点P为的中点；解：如图2，过P作PGBC于G，交BC于G，交O于H，连接OB，PH是直径，BPCBAC，BOGBPGBPC，OGBC，BGBC3，RtBOG中，OB5，sinBACsinBOG；（2）解：如图3，过P作PGBC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG3，OCOP5，OG4，PG4+59，PC3，设APCx，A是的中点，ABCABPx，PBPC，PCBPBC2x，PCE中，PCBCPE+E，E2xxxCPE，CEPC3；（3）解：如图4，过点C作CQAB于Q，ACEP，CAEPAFPAB，ACEAPB，PAAEACAB，sinBAC，CQACsinBACAC，SABCABCQ，PAAESABC，ABC为非锐角三角形，点A运动到使ABC为直角三角形时，如图5，ABC的面积最大，RtABC中，AB10，BC6，AC8，此时PAAE80