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1、2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括1 2个小题，每小题3 5,共6 0分.每小题只有一个选项符合题意)1.小红和小明利用体育课时间进行投篮游戏，规定双方各投两次，进球次数多者获胜.已知小红投篮命中的概率为W3 ，小明投篮命中的概率为万1，且两人投篮相互独立，则小明获胜的概率为()1 2 2 8 6A B -C D 2 5 5 2 5 2 5【答案】D【解析】【分析】由题意可知，用(x,y)表示小明、小红的进球数，所以当小明获胜时，进球情况应该是(2,0),(2,1),(1,0),由相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得。【详解】由题
2、意可知，用(x，y)表示小明、小红的进球数，所以当小明获胜时，进球情况应该是(2,0),(2/),(1,0),小明获胜的概率是5 I 5；5；1 3 2-F-1-=2 5 2 5 2 562 5故选D。【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的应用，意在考查学生分类讨论思想意识以及运算能力。2 .从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件A为“抓取的球中存在两个球同色”，事件8为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件A发生的条件下，事件3发生的概率 P(B|A)=()3 1 2 1 2 1 6A.-B.C.D.7 3 7 1 9
3、2 1【答案】C【解析】【分析】根据题意，求出P(A)和P(A 3),由公式P(0A)=稀 即 可 求 出 解 答.【详解】解：因为事件A为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色,所以P（A）3 C；C：+3 C；_ 5 7 _ 1 9C；8 4 2 8事件A发生且事件8发生概率为：P（A B）=2 G q C C.=裳=Co 8 4 73故尸上篇二卷2 8故选：C.1 2历【点睛】本题考查条件概率求法，属于中档题.3.函 数y =Io g 2（x 的定义城是（）A.小 1 B.小 1 C.木 工1 D.R【答案】C【解析】【分析】根据对数的真数大于零这一原则得出关于X的不等式，解
4、出可得出函数的定义域.【详解】由题意可得（x 1）2 0,解得XH 1,因此，函数y =l o g 2（x 1）2的定义域为 H尤工1 ,故选C.【点睛】本题考查对数型函数的定义域的求解，求解时应把握“真数大于零，底数大于零且不为1”，考查计算能力，属于基础题.4.设xeR,贝!|“|2 x-l|4 3”是“x+1 2 0”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解这两个不等式，然后判断由题设能不能推出结论和由结论能不能推出题设，进而可以判断出正确的选项.【详解】|2 x-l|-l x 0 =x -l,显然由题设能推出
5、结论，但是由结论不能推出题设，因此“|2xl归3”是“x+1 20”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判断，解决本问题的关键是正确求出不等式的解集.1 4 Q5.已知“，b,c e（O,-H）,则下列三个数a+，b+,c+-（）b c aA,都大于4 B,至少有一个不大于4C.都小于4 D.至少有一个不小于4【答案】D【解析】分析:利用基本不等式可证明4 6 假设三个数都小于2,则。+,+,+。+!6b c a b c a不可能，从而可得结果.详解：-F H-Fed-=|4 Z H-|+1 Z?4|+1 C H|6,b c a a）b）c）假设三个数都小于2,
6、则a+?+,+c+y=x2-o r,根据题意可知，y=lnx与y=f 一方(a e A)有交点，-2 Inx即lnx=x-ax=a=x-,x设 y=(x 0),x2 1 +In x，令(x)=d-l +lnx,(x 0)“(x)=2 x+g 0恒成立，/7(x)在(0,+纥)是单调递增函数，且(1)=0,.力(%)在(0,1)(x)v O,即y v O,(I,”)时/2(x)0 ,即y 0 ,y =x-2在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，x所以当X=1时函数取得最小值1,即”1 ，a的取值范围是 1,+c o j.故选C.【点睛】本题考查了根据函数的零点求参数取值范围的问题，有2个
7、关键点，第一个是求g(x)关于M(1,0)对称In X的函数，根据函数有交点转化为a =x-x Q,求其取值范围的问题，第二个关键点是在判断函数x单调性时，用到二次求导，需注意这种逻辑推理.1 0.若 从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种【答案】D【解析】试题分析：要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有C：=l种结果,当取得4个奇数时，有 仁=5种结果，当取得2奇2偶时有=6 x 1()=6 0种结果洪有1+5 +6 0 =6 6种结果.故答案为D.考点：分类计数原理.
8、1 1.已 知 函 数/(力=1 0 依2,若/(x)恰有两个不同的零点，则。的取值范围为()【答案】B【解析】分析：求出函数的导数，通过导数判定函数的单调性，从而得到”的取值范围详解：令y(x)=o,/依-加=0Inx则。=,x令g(x)=M(x 0),g，(x)=|=0 x=4 eg(x)在(0，&)单调增，在&，+8)单调减g（x）3=g（）=：.，的取值范围为 0，（故 选3点睛：本题主要考查的是函数的零点问题，解决问题的关键是导数判断函数的单调性，然后通过数形结合的方法得到关于。的范围【答 案】B【解 析】【分 析】通过函数的单调性和特殊点的函数值，排除法得到正确答案.【详 解】因
9、为/（X）=，N,其定义域为（F,（）（）,”）所 以/（一%）=电1 =_ 止=_/（）,X X所 以/（%）为奇函数，其图像关于原点对称，故 排 除A、C项,1 rn 51n1当*=时，f -=-1 0 1 n2 h x)=/2 的值域是_.(x-c)+a,x c=4时，a*3,b=3,8 4 都正确，不满足条件.当 a=2时，b=4、c=3时，a*3成立，*4 成立，此时不满足题意;当 a=3时，b=2、c=4 时，都不正确，此时不满足题意;当 a=3时，b=4、c=2时，*4 成立，此时满足题意；当 a=4时，b=2,c=3时，a*3,4 成立，此时不满足题意;当 a=4时，b=3 c
10、=2时，a*3,b=3 成立，此时不满足题意;综上得，a=3、b=4、c=2,、2X,x b f 2S x4则函数2 ,=2，(x-c)+a,x b*-2)-+3,x 4 时，f (x)=2X24=16,当 xS4 时，f (x)=(x-2)4323,综上f (x)3,即函数的值域为 3,+8),故答案为 3,+8).点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a,b,c 的值是解决本题的关键.14.在二项式(4+产 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中含x 的项为_.I 2 )35【答案】O【解析】【分析】求出二项式(4+方展开式的通项，得出展开式
11、前三项的系数，由前三项的系数依次成等差数列求出的值，然后利用X 的指数为1,求出参数的值，并代入通项可得出所求项.【详解】由题意知，C：、殳成等差数列，即=1+（一）,整理得2一9 +8 =0,2 4 8A kQ n 2,解得=8,令4一 彳=1,解得氏=4.I 3 5因此，展开式中含x的项为乩3 5故答案为：一 无.8【点睛】本题考查二项式中指定项的求解，同时也考查了利用项的系数关系求指数的值，解题的关键就是利用展开式通项进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.1 5 .已 知 非 零 向 量 满 足 同=4网，且 _ L（a +2 b）,则a与 人 的 夹 角 为.【答案】y【解析】【分析
12、】通过。_ L（a+2 6）,可得/?（。+2 4=0,化简整理可求出c o s。=-g,从而得到答案.【详解】根据题意，可 得 小,+2止0,即 同 似c o s e +2=0,代 入 团=4瓦 得 到c o s 6 =于是a与b的夹角为与.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.1 6.在平面直角坐标系无3,中，若 双 曲 线 二 一 y2 =1（加0）的一条渐近线方程为X +百y=0 ,则实数2的值为.【答案】A/3【解析】Y21分析：双 曲 线 二-丁 =1（m 0）的焦点在X轴上，所以其渐近线方程为y
13、=X,根据条件，所以机的m m值为6详解：因为双曲线二 ：/=1(机 0)的焦点在x 轴上，m所以其渐近线方程为y=x,m又因为该双曲线一条渐近线方程为x+Gy =0,1即 y=一v3所以加的值为后点睛：双曲线渐近线方程：当焦点在X轴上时为丫=2%,当焦点在y 轴上时为y=，x.a b三、解答题(本题包括6 个小题，共 70 分)x1 7.已知函数 g(x)=：-,f(x)=g(x)-ax.(1)求函数g(x)的单调区间；(2)若函数/(X)在(1,m)上是减函数，求实数。的最小值；(3)若三知6 6 0 2 ,使/(x J w r(w)+a(a 0)成立，求实数”的取值范围.【答案】(1)函
14、数g(x)的单调减区间是(0,l),(l,e),增区间是(e,+8)；(2)-；(3)a -二.4 2 4 夕【解析】【分析】(1)根据解析式求出g(X)的定义域和g (x),再求出临界点，求出g (x)0 对应的解集，再表示成区间的形式，即所求的单调区间；(2)先求出f(x)的定义域和f (X),把条件转化为f (x)W0在(1,+8)上恒成立，再对F (x)进行配方，求出在X G (1,+8)的最大值，再令f，(X)maxW O求解：(3)先把条件等价于“当 X de,e2 时，有 f(x)min fz(x)max+aw,由(2)得 f，(x)max.并把它代入进行整理,再求f (x)在e
15、,e4 上的最小值，结合(2)求出的a 的范围对a进行讨论：和 0a,，4 4分别求出f (x)在e,用 上的单调性，再求出最小值或值域，代入不等式再与a 的范围进行比较.【详解】Y由已知函数g(x)J(x)的定义域均为(0,1)u (1,+8),且/(X)=丁 0 CI n%,1In Y Y.一(1)函数.x _lnx l,则 g x)=O,x=e,各 一 (I nx)2 (I nx)2当0c x e 且时，g(x)e 时，g(x)0.所以函数g(x)的单调减区间是(0,1),(1,e),增区间是(e,+oo)；,/c，,、lnx-1 八,因/在。,例)上为减函数故/=百 一 心 在。,+8
16、)上恒成立所以当xe(l,+8)时，f(x)m m 0,p e 、lnx-1 f 1 Y 1 (1Y 1又 f(x)=-T a=-H-。=-H-a，(In x)2 ln x j Inx nx 2 J 4故当=:，即无=e2 时，fxm K=-a,Inx 2 4所以,一。40于是a z j,故。的最小值为工；(3)命题“若 3 x,/c e,e2 使/(为)W/(9)+成立等价于：当 X 时，有/(X)min /(工人+。，由(2),当x e e,e2 时，/(,皿=；一，/(x)max+。=；，问题等价于：“当x e e,e2 时，有了(用1 nhi；，当;时，由(2),x)在 卜?上为减函数
17、，则/(X)min=/卜 2)=+-/故2当0。；时，由 于/口)=(I_一。在 e,e2 上为增函数，故 尸(x)的值域为 八e)/,即 一 ,；-a1.由/(X)的单调性和值域知，m 唯一 X e(e,e2),使/，(%)=0,且满足：当 x e e,/)时，f(x)0,f(x)为增函数；所以，/(X)min=/(X o)=：一依0 一 丁 7 一彳=彳，与0“/,0,6),又底面 A B C 的法向量=(0,0,1)设直线AC与底面A B C所成的角为。，则s i n 6=6 =45/词加2所以，直线AC与底面A B C所成的角为45。.(2)设在线段4 G上存在点P，设GP=%GA，o
18、 w，w i,则G P=-G-1,O),CP=CC+CIP=(-6九1-入 扬,B=(0,1,7 )设平面B.CP的法向量，n=(x,y,z),贝 山：能:喊 对 Q，+底“令 z =1,贝!)y =V 3,x-m (,百,1).A A设平面A C C,A的法向量n=(x,y,z),贝嵋优拿花黑令 z =1,贝Uy =-5/3,x =1,;.=(1,-3,1).要使平面C P _L平面ACG4，贝!|加=(?,6,1)?(1,-6/)=?一2=0AA)考点：本题主要是考查线面角的求解，以及面面垂直的探索性命题的运用.点评：解决该试题的关键是合理的建立空间直角坐标系，正确的表示点的坐标，得到平面
19、的法向量和斜向量，进而结合数量积的知识来证明垂直和求解角的问题.22.某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了 2名男生1名女生，2班推荐了 3名男生2名女生.由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队.(I)求1班至少有1名学生入选代表队的概率；(H)设X表示代表队中男生的人数，求X的分布列和期望.13【答案】Q)di)见解析14【解析】【分析】(I)用1减去没有1班同学入选的概率得到答案.(II)X的所有可能取值为1,2,3,4,分别计算对应概率得到分布列，再计算期望.【详解】(I)设1班至少有1名学生入选代表队为事件AC4 S 13则 P(A)=1-=1 =
20、C；70 14(II)X的所有可能取值为1,2,3,4p(x=l)=9c c3=L1 ,p(X=2)=C-2C2 =3-C：14 C：7C3cl 3P(X=3)=,=T P(X=4)=4c；14因此X的分布列为X1234P11437371141 3 3 1 5E(X)=lx +2 x-+3x-+4x =-.14 7 7 14 2【点睛】本题考查了概率的计算，分布列和数学期望，意在考查学生的应用能力和计算能力.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题(本 题 包 括12个 小 题，每 小 题35,共60分.每 小 题 只有一个选项符合题意)1.已知函数/(x)=,g(x)=
21、A x-l,若 方 程/(x)-g(x)=0在x-2,e 2)上有 3 个实人111人,4，U,根，则 上 的 取 值 范 围 为()A.(1,2吗2 +5【答 案】B【解 析】【分 析】利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和最值，利用数形结合进行求解即可.【详 解】当X=O时，/(o)=o,g(o)=_ l,贝u/(o)-g(o)=o不成立,即 方 程/(X)-g(x)=o没有零解.当x 0时，xnx=kx,即 A x=xln x+1,则左=ln x+.x设/(x)=l n x+L则(x)=一3=二?，由/z (x)0,得l ov e?,此时函数(力单调递增：由x X X(
22、x)0,得0 x 0 时，(%)-;当x 0,得X 1 (舍 去)或无一1,此 时 函 数m(x)单调递 增；由加(无)0,得T x 0,故 选C.【点 睛】本小题主要考查导数运算，考查函数的奇偶性，考查函数图像的识别，属于基础题.3 .若 a=+,b=c o s ,c =e dx,则（）A.a b c B.b c aC.b a c D.c a b【答 案】c【解 析】【分 析】直 接 由 微 积 分 基 本 定 理 计 算 出 可 得.【详 解】因为 a=（x+l）dr =3 o ）=/?=c o s xdx=（s i n x）|（）=s i n 1 ,所 以b a c,i I o 2故 选
23、：c.【点 睛】本题考查微积分基本定理，掌握基本初等函数的积分公式是解题关键.4 .定义在（。1）上的函数/（x）的导函数/（X）在（。,刀的图象如图所示，则 函 数 在（。*）的极大值点个数为（）【答案】B【解析】【分析】由导数与极大值之间的关系求解.【详解】函数在极大值点左增右减，即导数在极大值点左正右负，观察导函数图象，在（。,切上有两个/（X）有两个零点满足.故选：B.【点睛】本题考查导数与极值的关系.属于基础题.5 .若命题 p：VxwR,I n x x+l 0 B.3 x0 e R ,I n x0-x0+1 0C.Vxe R,ln x-x+l=0 D.3 x0 e R ,I n x
24、0-x0+1 0【答案】B【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题来判断.【详解】解：命题 p：Vxe H,I n x x+l 0.故选：B.【点睛】本题考查特称命题的否定，注意特称命题的否定要变全称命题，并且要否定结论，是基础题./(x)=-r6.若 函 数,4(a+l)2a(。+1丫 的 定 义 域 为R,则 实 数a的取值范围为x log2+2xlogz+log2,齐a a+4a()A.(0,1)UAB.(0,1)c.0,(-1.0)【答 案】A【解 析】【分 析】a(a+l)0首先由题 意 可 得，(2a V 4(a+l)(a+l21og2-41og2-一log24-0由题意可得(
25、2a V 4(a+l)(a+12 1 0 g-4 1 o g2-一J a+)a 4a0第 一 个 式子解得a -1或a0；第 二 个 式 子 化 简 为1+log,一I-Q+12一 2(2+log2 等)1 1%誓-1)0，令log?拶=则(1 /J-2(2+/)”1)0,解 得/1,贝！Ilog?一1,rs。+1 1 1。+1 -口 r 32 八1八 一则 0 2.即 。0 或 0 0/0）上的四点八，B,C,D满足4C =A B+A），若直线AD的斜率与直线AB的斜率之积为2,则双曲线C的离心率为（）A.G B.72 C.75 D,272【答案】A【解析】很明显，A,B,c,D 四点组成平
26、行四边形ABDC,如图所示，设 A(x,y),3(a,0),C(-a,0),则:2 2 2KkA B Xx kKA D -)2 n +1,X-2 2 一-c 2 十 x-a x+a x-a a 2a2 2 2 2点 A 在双曲线上，贝!：5 _ 与=1=1 +与,a2 b2 a2 b22 2据 此 可 得:1+1=1 +当,;方=2。2,2a2 h2结合c2=a2+b2可得双曲线的离心率为e=6.a本题选择A 选项.点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或 e 的范围；另一种是建 立 a,b,c 的齐次关系式，将 b 用 a,e 表示，令两边同除以a 或水
27、化为e 的关系式，进而求解.8.若函数f（x）=6-I n x 在（1,4w）上是增函数，则实数。的取值范围是（）A.(f l)B.y,i C.(1,+)D.工+oo)【答 案】D【解 析】【分 析】由题意得r(x)=a-20在(1,+c。)上恒成立，利用分离参数思想即可得出结果.【详 解】V f(x)=ax-nx,:.f(x)=a-,X又 函 数/(x)=公T n X在(1,+0 0)上是增函数，:./(x)=a-L 2 0 在(1,”)恒 成 立，x即a,xw(l,+8)恒 成 立，可 得aN I,x故 选D.【点 睛】本题主要考查了已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.9 .设i
28、为虚数单位，复数二满足z(l i)=2 i,则|z|=()B.72D.2V2【答 案】B【解 析】【分 析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可.【详 解】,、c 2/2 z(l+z)2 z-2 ,.由 Z(J)=2，得 z=n=了而万=丁=-1+，,.-.|z|=V2 ,故 选B.【点 睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算.10.设 随 机 变 量X B 2,p),若P(X2 1)=，则E(x)=()92 1A.-B.-C.2 D.13 3【答 案】A【解 析】【分 析】根据对立事件的概率公式，先求出。，再依二项分布的期望公式求出结果【详解】5 4产
29、(XNl)=l P(X=O)=.P(X=O)=4 1?即(l_ p)2=，所以 P=，E(X)=2p =-,故选 A.【点睛】本题主要考查二项分布的期望公式，记准公式是解题的关键.11.某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：有心脏病无心脏病秃发2 03 0 0不秃发54 5 0根据表中数据得K2=775乂2%)0.1 00.0 50.0 2 5 0.0 1 00.0 0 5 0.0 0 12.7 0 6 3.8 4 15.0 2 4 6.6 3 57.8 7 91 0.8 2 8A.0.1B,0.0 5C.0.0 1 D.0.0 0
30、1【答案】D【解析】【分析】根据观测值K J对照临界值得出结论.【详解】由题意，K?2 10.828,根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.001.故选D.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，理解临界值表格是关键，是基础题.12.推 理“圆内接四边形的对角和为180;等腰梯形ABC。是圆内接四边形；A+C=180”中D.和的 小 前 提 是（）A.B.【答 案】B【解 析】【分 析】由演绎推理三段论可知,是大前提；是小前提；是结论.【详 解】由演绎推理三段论可知,是大前提；是小前提；是 结 论，故 选B.【点 睛】本题主要考查演绎推理的一般模式.二、填 空 题（本 题 包
31、括4个 小 题，每 小 题5分，共20分）1 3.如 图 是 棱 长 为 的 正 方 体 的 平 面 展 开 图，则在这个正方体中，直 线E E与M N所成角的余弦值为【解 析】【分 析】结合正方体的平面展开图，作出正方体的直观图，可 知B E F 是 正 三 角 形,从 而 可 知 直 线E F与M N所成 角 为 三，即可得到答案.【详 解】作出正方体的直观图，连 接B F,B E,易 证 三 角 形3石尸是正三角形，而 M N/B F,故 直 线E F与所 成 角 为 则 直 线 痔 与 所 成 角 的 余 弦 值 为!.3 2【点 睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了异面直线的夹角的
32、求法，属于中档题.14.向量a,b的夹角为60,且 同=2,间=1则a.(a+2b)=.【答案】6【解析】【分析】由题意，利用向量的数量积的运算，可得。(+2b)=/+2。必，即可求解.【详解】由题意，可知向量。力的夹角为60，且 忖=2,忖=1则 a-(a+20)=a2+2a.b=|a +2M.Mcos60=4+2x2xlxg=6.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.215.若实数X、满 足 亍+丁=1,贝|(x+l)(2y+l)的取值范围是.【答案】-|,3 +2血 .【解析】【分析】利用椭
33、圆的参数方程，设x=2cos6,y=sin。，代入所求代数式，换元r=sm6+cos6)=V 2sinp+e-V 2,V 2,可得出sinBcos，=,将代数式转化为关于，的二次函数在区间-72,夜 上的值域来处理.【详解】设x=2cos9,y=sin。，则(x+l)(2y+l)=(2cose+l)(2sine+l)=4sin6cose+2(sine+cos 6)+1,设r=sine+cos9=0 s in e +?J G 一应,0 ,则J =(sin6+cose)=l+2sin6cos。，1.sinSeos8=,(x+l)(2+l)=4 x -+2r+l=2f2+2；-l,其中f e 一夜,
34、0 ,(i y由于二次函数y =2/+2 f 1 =+Z G$/2,A/2 J,当r =-；时，为m=-当f =0时，,3=2x(夜+2&-1=3+2 夜.因此，（x+l）（2 y+l）的取值范围是一*3+2&,故答案为一|,3 +2 夜【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数的值域问题以及二次函数的值域，本题用到了两次换元，同时要注意（s i n 6 士c o s 8）2 =1 2 s i n O c o s。=1 s i n 2 6关系式的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.1 6.设函数f（x）=x 3-；x 2 2 x+5,若对任意xG l,2 都有f（x）0,“X
35、）在 1,2 上递增，由题意知m大于f（x）在 x G 1-1,2 上的最大值，求得f（x）m a x=f（2）=7,所 以 m 7.三、解 答 题（本题包括6 个小题，共 70 分）1 7.如图，在四棱锥尸一 A B C。中，平面 BAD，平面 A B C。，P A 工 P D,P A =P D,A B A D,A B =,AD -2 AC -C D -V 5.（I）求证：PD,平面Q4B；（D）求直线95 与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（I ）见解析；（I I）昱.3【解析】分析：（1）先证明P A P D,再证明P Z），平面MB.（2）利 用 向 量 方 法 求 直 线 与 平
36、面PCD所成角的正弦值.详解：（I）因为，平面A4Z_L平面ABC。，ABAD,所以A B,平面B4。，所以又因为Q4d_P,所以PO L平面R4B;（II）取A。的中点。，连结P。，CO,因为Q4=P ,所以PO LA D.又因为P O u平面P A D,平面B4_L平面ABC。,所以PO L平面ABCD.因为C O u平面A B C D,所以PO LCO.因为AC=C D,所以COLAZ）.如图建立空间直角坐标系。-孙z,由题意得，A(),1,O),5(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-l,0),P(0,0,l).设平面PC。的法向量为=(羽y,z),则n-PD=0 f-y-z =
37、0 ，即 证（定义）-指 一 求（解三角形），其关键是找到直线在，平面内的射影作出直线和平面所成的角和AB*n解三角形,方法二：（向量法）sin cr-其中AB是直线/的方向向量，是平面的法向量，。是A8 直线和平面所成的角.1 8.在极坐标系中，圆 的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为(为 参 数).(1)求圆的标准方程和直线的普通方程；(2)若直线与圆 交于 两点，且，求 实 数 的 取 值 范围.【答案】(1)详见解析；(2)(),直线I的参数方程为 y f 3 a,即4 /_(5二3 4)2 3 a 2,整理得：1 1 2 1 2 0 +1
38、 0 0 0 ,即2 5(l l a-1 0)(a-1 0)0,解得：j y c z 1 0 试题解析：(1)的直角坐标方程为在直线的参数方程中消得:(2)要满足弦 及圆的半径为可知只需圆心 到直线的距离 即可。由点到直线的距离公式有:整理得：即故实数的取值范围为：解得:考点：1.极坐标；2.参数方程。1 9.已知函数,f(无)=3(2尢 +l)ex+ax(1)当。=0时，求函数|7(x)|的单调区间；(2)若函数以)=|/(刈的值域为0,+8),求a的取值范围.【答案】(1)增区间是1一8,一；),(一；,+8),单调减区间是(一g（2）a.或a”12Ve【解析】【分析】(1)利用导数求出/
39、“)的单调区间以及/(幻0,/(x)2 0时x的范围，即可得到函数|/(x)|的单调区间；(2)先利用/(为=0有解求出。的大致范围，再 证 明 在 该 范 围 内”即可。【详解】(1)当。=0,f(x)=3(2x+l)ex,所 以/(x)=(6x+9)e,3由于尸(x)=(6x+9)靖=0,可得x=万,当一之时，r(x)2时，/)(),f(x)是增函数;2 2因为当x -,时，/(%)-=如匚，即直线y=，与曲线g(x)=Q x+D e、有交点.则g(x)=0匕空,令g，(x)0得x e(-1)和x e e收)令g(x)。恒成立;e x所以X (YO,-1时，g(x)e(0,J；当xe1-g
40、,+oo)时，Q +l)所以x e(-1,0)时，g(X)G(-Q O,；g(g j =4&,即x e(0,+8)时，g(x)e 4&,+o o),g(x)的图像如图所示.直线y =与曲线g(x)=(2 +D e有 交 点,即 苫”1或 二.4&,所以a。或a”1 2人，3x3 e 3 e下证先证e Nx +1，设(x)=-xl,贝!)(幻=产一1,当x 0时，hx)0,(x)0,函数单调递增，所以(x)N(O)=O,即e zx +l；3当。时，若x NO,/(x)=3(2%+1)ex+ax 3 ex+a r 3(x+l)+a x 3 +x 3e因为)，=彳+3在120时的值域是3,+8),又
41、因为函数f(x)连续，所以：(X)|G 0,+8)；当为,一1 2八 时，若x 0,/(x)=3(2 x+l)e*+o x.3(2 x+l)e -1 2&x =6卜-2班 卜+3,当 x W O 时，e 1 -8 时/(%)+0 0 ,又因为函数/(尤)连续，所以I/G)仁。，+8),3综上，或 叫1 2 /e e【点睛】本题考查导数在函数研究中的应用，综合性强，属于中档题。2 0.已知函数/(x)=a(x+l n x)(a w 0),g(x)=x2.(1)当。=1时，方程/(x)=7 在 区 间+8)内有唯一实数解，求实数加的取值范围；(2)对于区间 1,2 上的任意不相等的实数占、x2,都
42、有|/(苞)一/()|卜(%)-8(%)|成立，求。的取值范围.【答 案】(1)me-e,l Jl+M (2)一la 0或0 a W l【解 析】【分 析】n Y(1)由=得 加=+-X即y =加 与 力 的 图 象 在L+8 1上 有 唯 一 交 点.设 力=1+1!2二利用导数讨论出函数的单调性，得出答案.(2)不妨设当。0时,/(刃 0,则/(在口,2 上 单 调 递 增,则 转 化 为/(W)g(W)/(x J g&)，即*x)=/(x)g(x)在 L 2 上单调递减，所以?(=依+”2厂4 0恒 成 立,当“0时，即G(X)=/(%)+g(%)在 1,2 上单调递增，从而可求答案.【
43、详 解】【详 解】In x(1)解：由x+l n x =/n r,得 加=1 +-,x设 0=1 +,X G L+o,x _ e j则 问 题 等 价 于y=加 与x)的图象在1 ),一,+上有唯一交点,e J(力=手“x)0,函数单调递增,x e(e,”)时，(x)0,函数单调递减，=r(e)=l +l且x e(e,+o o)时，解：r(x)=，(l+J,g(x)在 1,2 上单调递增.不 妨 设1 4王 42,当a 0时,/(力 0,则(x)在 1,2 上单调递增,g(x j g(x 2),|/(%)-/(工2)|k(%)-8()|可化为/(马)一/(不)8(工2)-8(内)，“W)-g(
44、w)/(N)-g(%)，设 R(x)=F(x)-g(x),即 F(x)=a(l+ln x)-x2,:F(x)在 1,2上单调递减，/(%)=竺 土 巴 二 空4()恒成立，7 Y2即a 4与在 1,2上恒成立,x+1-N 1V x+1/1 1V 1 ,.,.0 a l,-+U 2)4当a/(%),g(x j g(x 2)，|/(Xl)/(x 2)|g(x J g(x2)|可化为/(x j /(x 2)F a)+g a)，设 G(x)=/(%)+g(x),即 G(x)=(l+lnx)+x2,G(x)在 1,2上单调递增，G x)=+。+2/0恒成立，即a 2 与7 r2在，2上恒成立.x+12J
45、 2 *x+1(1V 1)-1W a 0,-+-lx 2)4综上所述：-la 0或02=1,p为C上的任意点.(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(2)设点A的坐标为(3,0),求|/%|的最小值.【答案】(1)证明见解析.（2）|尸山的最小值为短1 1 5【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，设点利用点到直线的距离公式，即可得到结论，写出距离的乘积，再利用点在双曲线上得出定值；（2）用点点距公式表示出|P A|,利用配方法，求得函数的最值，即可求得结论.（1）设点P（%,均），由题意知双曲线的两条渐近线方程分别为-2 丁 =0 和 x+2y
46、=0,则点P（x0,%）到 两 条 渐 近 线 的 距 离 分 别 为 归 御 和常1，则应抖 反抖=得证；yJ5 5 5（2）设点 P（毛,%）,贝！J|PA=1 0 3）2+为2=（X。3）2 I x0 十二（玉）2 2）.,.当x=时，归山有最小值寺.2 2.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,1,1.现采用分层抽样的方法从中抽取7 人,进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7 人中有4 人睡眠不足，3 人睡眠充足,现从这7 人中随机抽取3 人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3 人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与
47、数学期望.9【答案】（1）3 人，2 人，2 人；（2）分布列见解析，一.7【解析】【分析】由甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2,利用分层抽样的方法，即可求得从甲、乙、丙三个部门的员工人数；（2）由题意，随机变量X 的所有可能取值为0,2,3,求得相应的概率，得出其分布列，利用期望的公式,即可求解.【详解】（1）由题意知，某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,1,1,可得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7 人，所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3 人，2 人，2 人.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则 P(x
48、=)二若=D=答总,P(X=2)=蜜=茅P(X=3)=-=C；3 5所以，随机变量X的分布列为所以随机变量X的数学期望E(X)=0 x +l x竺+2XU +3X-L=2.3 5 3 5 3 5 3 5 7X0123P43 51 83 5123 513 5【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题,准确得到随机变量的可能取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题(本题包括12个小题，每小题3 5,共 60分.每 小 题只有一个选项符合题
49、意)1.若cosa=-,a 是第三象限的角，贝!sin(a +f7T=(54)a 7逝D.-10V 210nV 2U.-102.若。=2.叫人=0.6。4,c=lg 0.6,则实数a,b,c 的大小关系为()A.abcB.a c bC.b c aD.b a c3.从某企业生产的某种产品中随机抽取1()件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下:质量指标分组10,30)30,50)150,70)频率0.10.60.3则可估计这批产品的质量指标的众数、中位数为()A.30,4 3-B.40,4334.下列求导运算正确的是()C.40,4 3-3D.30,43A.(X2)=XB.(G)-7=2
50、ylxc.，)=二D.(log,x)、，=-m 2X5.已知复数z满足z(l+2 i)=i,则复数Z在复平面内对应点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.4如果COS0+A)=，那么s in(-+A)的 值 是()2 2B也2A.V321D.-227.已知函数 x)=2cos:.r-siMx+2，则.外 的最小正周期为五，最大值为3B.尸色：的最小正周期为斤，最大值为4C.以,：的最小正周期为之 口，最大值为3D.飞：的最小正周期为之口，最大值为二8.已知函数 X)=2x4-1X-1,其定义域是-8,T),则下列说法正确的是()A./(X)有 最 大 值 无 最