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1、第二十三章旋转单元要点分析教学内容1 .主要内容：图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角.图形旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等.通过不同形式的旋转，设计图案.中心对称及其有关概念：中心对称、对称中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形.中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形.中心对称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心.关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点P(X,y)关于原点的对称点为P (-X,-
2、y).课题学习.图案设计.2 .本单元在教材中的地位与作用：学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验.本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念.它又对今后继续学习数学，尤其是几何,包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用.教学目标1 .知识与技能了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质.了解中心对称的概念并理解它的基本性质.了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法.2 .过程与方法(1)让学生感受生活中的几何
3、，通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决些问题.(2)通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等”等重要性质，并运用它解决一些实际问题.(3)经历复习图形的旋转的有关概念和性质，分析不同的旋转中心，不同的旋转角，出现不同的效果并对各种情况进行分类.(4)复习对称轴和轴对称图形的有关概念，通过知识迁移讲授中心对称图形和对称中心的有关内容，并附加练习巩固这个内容.(5)通过几何操作题，探究猜测发现规律，并给予证明，附加例题进一步巩固.(6)复习中心对称图形和对称中心的有关概念，然后提出问题，
4、让学生观察、思考，老师归纳得出中心对称图形和对称中心的有关概念，最后用一些例题、练习来巩固这个内容.(7)复习平面直角坐标系的有关概念，通过实例归纳出两个点关于原点对称时，坐标符号之间的关系，并运用它解决一些实际问题.(8)通过复习平移、轴对称、旋转等有关概念研究如何进行图形设计.3 .情感、态度与价值观让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识.让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣.让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激
5、发学习热情.教学重点1 .图形旋转的基本性质.2 .中心对称的基本性质.3 .两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系.教学难点1 .图形旋转的基本性质的归纳与运用.2 .中心对称的基本性质的归纳与运用.教学关键1 .利用几何直观，经历观察，产生概念；2 .利用几何操作，通过观察、探究，用不完全归纳法归纳出图形的旋转和中心对称的基本性质.单元课时划分本单元教学时间约需1 0课时，具体分配如下：2 3.1图形的旋转 3课时2 3.2中心对称 4课时2 3.3课题学习；图 案 设 计1课时教学活动、习题课、小结 2课时23.1图形的旋转（1）第一课时教学内容1.什么叫旋转？旋转中心？旋转角？2.什么
6、叫旋转的对应点？教学目标了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题.通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念,应用概念解决一些实际问题.重难点、关键1 .重点：旋转及对应点的有关概念及其应用.2 .难点与关键：从活生生的数学中抽出概念.教具、学具准备小黑板、三角尺教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下面各题.1 .将如图所示的四边形A B C D平移，使点B的对应点为点D,作出平移后的图形.2 .如图，已知A B C和直线L,请你画出A A B C关于L的对称图形A A B C .CA3.圆是轴对称图形吗？等
7、腰三角形呢？你还能指出其它的吗？（口述）老师点评并总结：（1）平移的有关概念及性质.（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对称图形并口述它既有的一些性质.（3）什么叫轴对称图形？二、探索新知我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究.1 .请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？（口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心.如果从现在到下课时针转了 度，分针转了 度，秒针转了 度.2.再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动.如何
8、转到新的位置？（老师点评略）3 .第1、2两题有什么共同特点呢？共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度.像这样，把一个图形绕着某一点0转动一个角度的图形变换叫做旋转，点0叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P,那么这两个点叫做这个旋转的对应点.下面我们来运用这些概念来解决一些问题.例1.如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB,它 绕0点按顺 笊时针方向旋转得到ao E F,在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？O解：（1）旋转中心是0,Z AOE./B
9、OF等都是旋转角.（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置.例2.（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形E F GH都是边长为1的正方形.（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角.4 A n（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？F（老师点评）Y小.4H（1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到 G的.（2）画 图 略.（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的.三、巩固练习教材P 65练 习1、2、3.
10、四、应用拓展例 3.两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为1,现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，间在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由.分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变,只要说明SAOEE=SAODD、，那么只要说明（）即 =A O D DZ.解：面积不变.理由：设任转一角度，如图所示.0 b在 R tZ OD D 和 R tZ X OE E 中：尸阿Z OD D7-Z 0 E E1=9 0 AE 一Z D 0 D,=Z E 0 E（=9 0 -Z BO
11、E OD=OD.OD D AOE E,SAODD=SAOEES W f f OE BD=S i l:Z)OE BD=*74五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：1 .旋转及其旋转中心、旋转角的概念.2 .旋转的对应点及其它们的应用.六、布置作业1 .教材P 66复习巩固1、2、3.2 .同步练习一、选择题1 .在 2 6 个英文大写字母中，通过旋转1 8 0 后能与原字母重合的有（）.A.6 个 B.7个 C.8个 D.9个2 .从 5点 1 5 分到5点 2 0 分，分针旋转的度数为（）.A.2 0 B.2 6 C.3 0 D.3 6 3 .如 图 1,在 R taABC中，Z A
12、CB=9 00,Z A=4 0 ,以直角顶点C 为旋转中心，将4 ABC旋转到AA B C 的位置，其中A、B 分别是A、B 的对应点，且点B 在斜边A B 上,直角边C A 交 AB于 D,则旋转角等于（）.A.7 0 B.8 0 C.6 0 D.5 0 二、填空题.1 .在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为,这 个 定 点 称 为，转动的角为.2 .如图2,Z ABC与4 A D E 都是等腰直角三角形，/C 和/A E D 都是直角，点 E在 AB上，如果4A B C 经旋转后能与4A DE堇合，那么旋转中心是点;旋转的度数是3.如图3,A A B
13、C 为等边三角形，D为aABC内一点，A B D 经过旋转后到达4 A C P 的位置，则，(1)旋转中心是;(2)旋转角度是；(3)a A D P 是三角形.三、综合提高题.1.阅读下面材料：如图4,把A A B C 沿直线B C 平行移动线段B C 的长度，可以变到4 E C D 的位置.如图5,以B C 为轴把A A B C 翻 折 1 8 0 ,可以变到A D B C 的位置.如图6,以A点为中心，把a A B C 旋转9 0 ,可以变到4 A E D 的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角
14、形的全等变换.回答下列问题如图7,在正方形A B C D 中，E是 A D 的中点，F是 B A 延长线上一点，A F=A B.2(1)在如图7 所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使4 A B E 移到A D F 的位置？(2)指出如图7 所示中的线段B E 与 D F 之间的关系.2.一块等边三角形木块，边长为1,如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少？答案：一、1.B 2.C 3.B二、1.旋 转 旋 转 中 心 旋 转 角 2.A 4 5 3.点 A 6 0 等边三、1.(1)通过旋转，即以点A为旋转中心，将4 A B E 逆时针旋
15、转9 0 .(2)B E=D F,B E D F2.翻 滚 次 滚 1 2 0。翻滚五个三角形，正好翻滚个圆，所以所走路径是2.2 3.1图形的旋转第二课时教学内容1.对应点到旋转中心的距离相等.2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.3.旋转前后的图形全等及其它们的运用.教学目标理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等.掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用.先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质.重难点、关键1.重点：图形的旋转的基本性质及其应用.2.难点与关键：运用
16、操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质.教学过程一、复习引入（学生活动）老师口问，学生口答.1.什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？2.什么叫旋转的对应点？A_ _ F3.请独立完成下面的题目./W如图，0 是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕0 点旋转若干次所形成的图形？b（老师点评）分析：能.看做是一条边（如线段AB）绕 0 点，按照同一方法连续旋转60、120、180、240、300形成的.二、探索新知上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题：1.A、B、C、D、E、F 到 0 点的距离是否相等？2.对应点与旋转中心所连线段的夹角/BOC
17、、ZCOD/DOE、NEOF、/F O A 是否相等？3.旋转前、后的图形这里指三角形OAB、AOBC.OCD、AODE.AOEF.O F A 全等老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有般性？下面请看这个实验.请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点0 作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（ABC）,然后围绕旋转中心0 转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形（AA B C ），移去硬纸板.（分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明）41.线段0A与 0A,0B与 OB,0C与 0
18、 C 有什么关系？AA2.NA OA ,/B OB ,Z C OCZ 有什么关系？3.A B C 与AA，B，C形状和大小有什么关系？老师点评：1.OA=OA ,OB=OB ,OC=OC ,也就是对应点到旋转中心相等.2.NA OA =NB 0 B =N C O C ,我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角.3.A B C 和4 A B C形状相同和大小相等,即全等.综合以上的实验操作和刚才作的(3),得出(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等.例 1.如图，A B C 绕 C点旋转后，顶点A的对应
19、点为点D,试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形.分析：绕 C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是/A C D,根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即/B C B =A C D,又由对应点到旋转中心的距离相等，即 C B=C B ,就可确定B的位置，如图所示.D解：(1)连结C D(2)以 C B 为一边作N B C E,使得/B C E=/A C D(3)在射线C E 上截取C B =C B则 B即为所求的B的对应点.(4)连结D B 则A D B C就是a A B C 绕 C点旋转后的图形.例 2.如图，四边形A B C D 是边长为1 的正方形，月.D E=L,A
20、A B F4是4 A D E 的旋转图形.(1)(2)旋转中心是哪一点？旋转了多少度？(3)A F 的长度是多少？(4)如果连结E F,那么a A E F 是怎样的三角形？分析：由A B F 是a A D E 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度,根据旋转前后的对应线段相等，只要求A E 的长度，山勾股定理很容易得到.A A B F 与4 A D E是完全重合的，所以它是直角三角形.解：(1)旋转中心是A点.(2):A B F 是由4 A D E 旋转而成的.B 是 D的对应点Z D A B=9 0 就是旋转角(3)V A D=1,D E=-4 对应点到旋转中心的距离相等且F
21、是 E的对应点；.A F=4（4）V Z E A F=9 0 （与旋转角相等）且 A F=A E.E A F 是等腰直角三角形.三、巩固练习教材P 64练 习 1、2.四、应用拓展例 3.如 图，K 是正方形A B C D 内一点，以 A K为一边作正方形A KLM,使 L、M 在 A K 的同旁，连接B K 和 D M,试用旋转的思想说明线段B K 与D M的关系.分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明.解：:四边形A B C D、四边形A KLM是正方形.A B=A D,A K=A M,且NB A D=/KA M 为旋转角且为 9 0.A D M是以A为旋转中
22、心，Z B A D 为旋转角由A A B K 旋转而成的.B K=D M五、归纳 小 结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：1 .对应点到旋转中心的距离相等；2 .对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3 .旋转前、后的图形全等及其它们的应用.六、布置作业1 .教材P 66复习巩固4 综合运用5、6.2 .作业设计.作业设计一、选择题1 .A B C 绕着A点旋转后得到A A B C,若NB A C =1 3 0 ,Z B A C=8 0 ,则旋转角等于（）A.5 0 B.2 1 0 C.5 0 或 2 1 0 D.1 3 0 2 .在图形旋转中，下列说法错误的是（）A.在图形上的每一点到
23、旋转中心的距离相等B.图形上每一点移动的角度相同C.图形上可能存在不动的点D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3 .如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）A.B.C,D.二、填空题1 .在作旋转图形中，各 对 应 点 与 旋 转 中 心 的 距 离.2 .如图，A A B C 和a A D E 均是顶角为4 2 的等腰三角形，BC、D E 分别是底边，图中的A A B D 绕 A旋转4 2 后 得 到 的 图 形 是,它们之间的关系是_ 其中BD=3.如图，自正方形ABCD的顶点A 引两条射线分别交BC、CD于 E、F,ZEAF=45,在保持/EAF
24、=45的前提下，当点E、F 分别在边BC、CD上移动时，BE+D F与 EF的关系是.三、综合提高题1.如图，正方形ABCD的中心为0,M为边上任意一点，过 0M随意连一条曲线，将所画的曲线绕0 点按同一方向连续旋转3 次，每次旋转角度都是90,这四个部分之间有何关系？2.如图，以ABC的三顶点为圆心，半径为1,作两两不相交的扇形，则图中三个扇形面积之和是多少？3.如图，已知正方形ABCD的对角线交于。点，若点E 在 AC的延长线上，AG 1 E B,交 EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,则4OAF与aOBE重合吗？如果重合给予证明，如果不重合请说明理由？答案：一、1.C
25、2.A 3.D二、1.相等 2.A A C E 图形全等 CE 3.相等三、1.这四个部分是全等图形2.V ZA+ZB+ZC=180,.绕AB、AC的中点旋转180。，可以得到一个半圆,；面积之和二一71.23.重合：证明：EG，AFN2+N3=90VZ3+Z1+900=180VZ1+Z3=9O.*.Z 1=Z 2同理N E=/F,.四边形A BC D 是正方形，A B=BC.,.A BF A BC E,；.BF=C E,A O E=O F,V O A=O B.二 O BE 绕 0点旋转9 0 便可和a O A F 重合.2 3.1 图形的旋转(3)第三课时教学内容选择不同的旋转中心或不同的旋
26、转角，设计出不同的美丽的图案.教学目标理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案.复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案.重难点、关键1 .重点：用旋转的有关知识画图.2 .难点与关键：根据需要设计美丽图案.教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入1 .(学生活动)老师口问，学生口答.(1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？(2 )各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？(3)两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？2 .请同学独立完成下面的作图题.如图，A A O B 绕。点旋
27、转后，G点是B 点的对应点，作出.G A O B旋转后的三角形.BAO（老师点评）分析：要作出A A O B 旋转后的三角形，应找出三方面：第旋转中心：0；第二，旋转角：Z BO G；第三，A点旋转后的对应点：A .二、探索新知从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来.因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究.1.旋转中心不变，改变旋转角画出以下图所示的四边形A B C D 以。点为中心，旋转角分别为3 0、6 0 的旋转图形.2.旋转角不变，改变旋转中心画出以下图，四边形A B C D 分别为
28、0、0为中心，旋转角都为3 0 的旋转图形.因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案.例 L如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以0为旋转中心画出分别旋转4 5、9 0、1 3 5、1 8 0、2 2 5、2 7 0、3 1 5 的菊花图案.分析：只要以0为旋转中心、旋转角以上面为变化，旋转长度为菊花 A的最长0 A,按菊花叶的形状画出即可.A解：（1）连结0 A（2）以 0点为圆心，0 A 长为半径旋转4 5 ,得 A.（3）依此类推画出旋转角分别为9 0、1 3 5、1 8 0、2 2 5、2
29、7 0、3 1 5 的 A、A、A、A、A、A.（4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶.H 0那么所画的图案就是绕0点旋转后的图形.例 2.（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的 点 0为旋转中心，请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？1老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一种花了.。，三、巩固练习 J教材P65练习.四、应用拓展例 3.如图，如何作出该图案绕0点按逆时针旋转9 0 的图形.分析：该备案是个比较复杂的图案，是作出儿个复合图形组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再根据旋转的特征，作出这些关键点的对应点，最
30、后再按原图案作出旋转后的图案.解：(1)连结O A,过 0点沿O A 逆时针作NA O A =9 0 ,在 工射线0 A 上截取0 A =0 A；(2)用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点、C 、D 、E 、*、G 、H；(3)作出对应线段 A，B，、B，L、C D、D 、E，F，、F A、A G、GD 、D H 、H A；(4)所作出的图案就是所求的图案.五、归纳小结(学生归纳，老师点评)本节课应掌握：1 .选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案；2 .作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点线的端点、角的顶点、圆的圆心等.六、布置作业1 .
31、教材.P 6 7 综合运用7、8、9.2 .选作课时作业设计.第三课时作业设计一、选择题1 .如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是(以中心梅花为初始位置)()A.左上角的梅花只需沿对角线平移即可B.右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转4 5 C.右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转1 8 0 忙D.左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转9 0 2 .同学们曾玩过万花筒吧，它是由三块等宽等长的玻璃镜片围成/的，如图2 3-3 3 是看到的万花筒的一个图案，图中所有三角形均是等边三角形，其中的菱形A E F G 可以看成把菱形A B C D 以 A为 中 心()A.顺时针旋
32、转6 0 得到的 B.顺时针旋转1 2 0 得到的C.逆时针旋转6 0 得到的 D.逆时针旋转1 2 0 得到的3 .下面的图形2 3-3 4,绕着一个点旋转1 2 0 后，能与原来的位置重合的是()A.(1),(4)B.(1),(3)C.(1),(2)D.(3),(4)二、填空题1 .如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转 次得到的，每次旋转的角度2 .图形之间的变换关系包括平移、轴对称以及它们的组合变换.3 .如图，过圆心。和图上一点A 连一条曲线，将 0 A 绕 0点按同一方向连续旋转三次，每次旋转9 0 ,把圆分成四部分，这四部分面积一三、综合提高题.1 .请你利用线段、三角形
33、、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标.2 .如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，将该图案绕原点。顺时针依次旋转9 0、1 8 0、2 7 0 ,并画出图形，你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！3 .如图，A B C 的直角三角形，B C 是斜边，将A A B P 绕点A逆时针旋转后，能与a A C P 重合，如果A P=3,求 P P 的长.BPC答案：一、1.D 2.D 3.C二、1.4 7 2 2.旋转 3.相等三、1.答案不唯一，学生设计的只要符合题目的
34、要求，都应给予鼓励.2 .略3 .A B P 绕点A逆时针旋转后，能与A A C P 重合，.*.A P,=A P,/C A P =N B A P,.Z P A P,=N P A C+N C A P =N P A C+N B A P=N B A C=9 0 ,P A P 为等腰直角三角形，P P 为斜边，.P P,=/2 A P=3 V 2 .2 3.2中心对称第一课时教学内容两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及其运用它们解决一些实际问题.教学目标了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题.复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出
35、不同的美丽图案来引入旋转1 8 0。的特殊旋转中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题.重难点、关键1 .重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题.2 .难点与关键：从一般旋转中导入中心对称.教具、学具准备小黑板、三角尺教学过程一、复习引入请同学们独立完成下题.如图，A B C 绕点0旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法.老师点评：分析，本题已知旋转后点A 的对应点是点D,且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向.显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，一般我们选择小于1 8 0 的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；已知一对对应点和
36、旋转中心，很容易确定旋转角.如图，连结0 A、0 D,则/A O D 即为旋转角.接下来根据“任意对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可：作法：(1)连结 0 A、O B,O C 0 D；(2)分别以 O B、0 B 为边作/BO M=/CO N=/AO D；(3)分别截取 O E=O B,O F=O C；(4)依次连结DE、E F、F D；即：4 D E F 就是所求作的三角形，如图所示.二、探索新知问题：作出如图的两个图形绕点0旋 转 1 8 0 的图案，并回答下列的问题:1 .以0为旋转中心，旋 转 1 8 0。后两个图形是否重合
37、？2 .各对称点绕0旋 转 1 8 0 后，这三点是否在一条直线上？老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕0旋 转 1 8 0。都是重合的，即甲图与乙图重合，a O A B 与C0 D重合.像这样，把一个图形绕着某一个点旋转1 8 0。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.例 1.如图，四边形ABCD绕 D 点旋转1 8 0。，请作出旋转后的图案，写出作法并回答.(1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪点？如果不是，请说明理由.(2)如果是中心对称，那么A、B、C、D 关于中心的对称
38、点是哪些点.分析：(1)根据中心对称的定义便宜接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就是旋转中心.(3)旋转后的对应点，便是中心的对称点.解：作法：(1)延长A D,并且使得DA =AD(2)同样可得:BD=B,D,CD=C D(3)连结A B、B C、C D,则四边形A Bz Cz D 为所求的四边形，如图2 3-4 4所示.B答：(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D 点.(2)A、B、C、D 关于中心D 的对称点是A、B、C、D,这里的D 与 D 重合.例 2.如图，已知AD是ABC的中线，画出以点D 为对称中心，与a A B D 成中心对称的三角形.分析：
39、因为D 是对称中心且AD是a A B C 的中线，所以C、B 为一对的对应点，因此，只要再画出A 关于D 的对应点即可.解：(1)延长A D,且使AD=DA,因为C 点关于D 的中心对称点是B(C )，B 点关于中心D 的时称点为C(B )(2)连结 A B、A C.则AA B C 为所求作的三角形，如图所示.三、巩固练习教材P 7 4 练习2.四、应用拓展例 3.如衅，在Z k ABC中,Z C=7 0 ,BC=4,AC=4,现将A A B C 沿 CB方向平移到4 A BC的位置.(1)若平移的距离为3,求a A B C 与AA B C 重叠部分的面积.(2)若平移的距离为x(0 W x
40、W 4),求ABC与4 A B C 重叠部分的面积y,写出y 与 x 的关系式.分析：(1)V BC=4,AC=4.ABC是等腰直角三角形，易得 BDC 也是等腰直角三角形且BC =1(2).平移的距离为x,.BC =4-x解:(1)V CC,=3,CB=4 且 AC=BC.*.BC =C D=1.SAB)C=-X 1 X 1=12 2(2)V C CZ=x,A BC,=4-x,.-AC=BC=4，DC =4-x1 1 2.SAB C=(4X)(4-X)=x-4 x+82 2五、归纳小结(学生归纳，老师点评)本节课应掌握：1.中心对称及对称中心的概念；2.关于中心的对称点的概念及其运用.六、布
41、置作业1 .教材P 7 3练 习1.2 .选作课时作业设计.第一课时作业设计一、选择题1 .在英文字母V W X Y Z中，是中心对称的英文字母的个数有（）个.A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.43.如图，把一张长方形A B C D的纸片，沿E F折叠后，E D 与B C的交点为G,点D、C分别落在D、C 的位置上，若NE F G=55,则/1=（）A.55 B.1 2 5 C.7 0 D.1 1 0 二、填空题1 .关于某一点成中心对称的两个图形，对 称 点 连 线 必 通 过.2 .把一个图形绕着某一个点旋转1 8 0。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图
42、形是 图形.3 .用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：（填序号）（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形;（6）梯形.三、综合提高题1.仔细观察所列的2 6个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内.ABCDEFGH I J K LM N O PQRSTUVWXYZ2.如图，在正方形A B C D中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作法.对称形式轴对称旋转对称中心只有一条对称轴有两条对称轴对称A DB C3.如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是A C的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形.ABC答案：一、1.B 2.D
43、3.D二、1.这 一 点(对 称 中 心)2.中 心 对 称3.(1)(4)(5)三、1.略2.作 法：(1)延长C B且B C =B C；(2)延长D B且B D =D B,延长A B且使B A =B A：(3)连结 A，D，、D C、C B则四边形A B C D 即为所求作的中心对称图形，如图所示.3.略.2 3.2中心对称第二课时教学内容1 .关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平2 .关于中心对称的两个图形是全等图形.教学目标理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个
44、性质的运用.复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质.重难点、关键1 .重点：中心对称的两条基本性质及其运用.2 .难点与关键：让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质.教学过程一、复习引入（老师口问，学生口答）1 .什么叫中心对称？什么叫对称中心？2 .什么叫关于中心的对称点？3 .请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论.（每组推荐一人上台陈述，老师点评）（老师）在黑板上画一个三角形A BC,分两种情况作两个图形（1）作A A
45、B C 一顶点为对称中心的对称图形；（2）作关于一定点。为对称中心的对称图形.第一步，画出A A BC.第二步，以A A B C 的 C点（或 0点）为中心，旋 转 1 80 画出AA，B 和A A B C ,如 图 1 和用2 所示.（1）（2）从 图 1 中可以得出a A B C 与aA B C是全等三角形；分别连接对称点A A 、B B 、C C ,点 0在这些线段上且0平分这些线段.下面，我们就以图2为例来证明这两个结论.证明：（1）在a A B C 和aA Bz C中，O A=O AZ,O B=O B/,Z A O B=Z Az O B/.A 0 BA A,O B.A B=AZ B同
46、理可证：A C=A C ,BC=B C.A BC A AZ B C（2）点 A 是点A绕点0旋 转 1 80 后得到的，即线段0 A 绕点0旋 转 1 80 得到线段0 A ,所以点0在线段A A 上，且 O A=O A,即点0是线段A A 的中点.同样地，点。也在线段B B 和 C C 上，且 O B=O B,O C=O C/,即点0是 B B 和 C C 的中点.因此，我们就得到1 .关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.2.关于中心对称的两个图形是全等图形.例 1.如图，已知A A B C 和点0,画出a D E F,使a D E F 和a A B
47、C 关于点0成中心对称.分析：中心对称就是旋转1 80。，关于点0成中心对称就是绕0旋 转 1 80 ,因此，我们连A O、BO、C 0 并延长，取与它们相等的线段即可得到.解：(1)连结A 0 并延长A 0 到 D,使 O D=O A,于是得到点A的对称点D,如图所示.(2)同样画出点B 和点C的对称点E和 F.(3)顺次连结D E、E F、F D.则4 D E F 即为所求的三角形.例 2.(学生练习，老师点评)如图，已知四边形A BC D 和点0,画四边形A B C ,使四边形A B C D 和四边形A BC D 关于点0成中心对称(只保留作图痕迹，不要求写出作 法).二、巩固练习教材P
48、7 0练习.三、应用拓展例 3.如图等边A BC 内有一点0,试说明：O A+O B O C.分析：要证明O A+O B O C,必然把0 A、O B、0 C 转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边(两点之间线段最短)来说明，因此要应用旋转.以A为旋转中心，旋转60 ,便可把0 A、O B、0 C 转化为一个三角形内.解：如图，把A O C 以 A为旋转中心顺时针方向旋转60 后，到aA O B 的位置，则4A O C A A O,B.A O=A O,0 C=0 B又/O A O =60 ,/.A 0,0为等边三角形.A 0=0 0,在 BO O 中，0 0 +O B BO,即 O A+O
49、 B O C四、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：中心对称的两条基本性质：1 .关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分;2 .关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用.五、布置作业1 .教 材 P7 4复习巩固1 综合运用6、7.2 .选作课时作业设计.第二课时作业设计一、选择题1 .下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.直角 B.等边三角形 C.直角梯形 D.两条相交直线2 .下列命题中真命题是（）A.两个等腰三角形一定全等B.正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少C.菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形D.两直线平行，同旁
50、内角相等3.将矩形A BC D 沿 A E 折叠，得到如图的所示的图形，已知N C E D =60 ,则N A E D 的大 小 是（）A.60 B.5 0 C.75 D.5 5 二、填空题1 .关于中心对称的两个图形，对 称 点 所 连 线 段 都 经 过,而且被对称中心所2 .关于中心对称的两个图形是 图形.3.线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是,它的对称中心是.三、综合提高题1.分别画出与已知四边形A BC D 成中心对称的四边形，使它们满足以下条件：（1）以顶点A为对称中心，（2）以 BC 边的中点K为对称中心.2 .如图，已知一个圆和点0,画一个圆，使它与已知圆关于点0