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1、 人教版九年级上册全书教案第二十一章二次根式教学目标1.知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2)理解G (a0)是一个非负数，(&)2=a (a 2 0),7 oT=a (a 2 0).(3)掌握G ,y/b=a b(a 0,b 2 0),-Ja b=a 4b；s j a _ l a4b V b(a 2 0,b 0),l a _ y/aV b y Jb(a 0,b 0).(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化筒
2、.(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.3.情 感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化筒的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点1 .二次根式血(a 2 0)的 内 涵.y a(a 2 0)是一个非负数；(、7
3、)2=a (a 2 0)；J/=a (a 2 0)及其运用.2 .二次根式乘除法的规定及其运用.3 .最简二次根式的概念.4 .二次根式的加减运算.教学难点1 .对 八(a 2 0)是一个非负数的理解；对 等 式(、后)2=a (a 2 0)及J/=a (a 2 0)的理解及应用.2 .二次根式的乘法、除法的条件限制.3 .利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.21.1二次根式第一课时教学重难点关键1 .重点：形 如 右(a 2 0)的式子叫做二次根式的概念：2 .难点与关键：利 用“J Z (a e 0)”解决具体问题.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个
4、问题：3问题1：已知反比例函数尸一，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是x问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=l,ZC=90,那么A B 边的长是.问题3：甲射击6 次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S?,那么S=.老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即 x=y,所以X2=3.因为点在第一象限，所以x=V3,所以所求点的坐标（,V3).问题2：由勾股定理得A B=W问题3：由方差的概念得$=A二、探索新知很明显石、而、都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如。（a0）
5、的式子叫做二次根式，“、厂”称为二次根号.（学生活动）议一议：1.-1有算术平方根吗？2.0 的算术平方根是多少？3.当 a0）、历、蚯、-0、X-、yjx+y（x2 0，y 2 0）.x+y分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：垃、G （x0）、册、-6、Vx+y（x?0,y 0）；不是二次根式的有：不、-也、.x x+y例 2.当 x 是多少时，,3 x-1在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3 X-1 2 0,J 3 x-1才能有意义.解：由3 x-1 2 0,得：X，3当x-L忖，J 3
6、 x-1在实数范围内有意义.3四、应用拓展例3.当x是多少时，,2 x+3+一 在实数范围内有意义?X+1分析：要使J 2 x +3 +一 在实数范围内有意义,必须同时满足j2 x +3中的20利一1一中的x+i r o.x+l X+1f2 x+3 0解：依题意，得 x +l3由得：x -2由得：x W-l当且x r-l时，J 2 X +3 +在实数范围内有意义.2 x+1例4（1）已知尸j2 x +J x 2+5,求*的 值.（答案:2）y（2）若 疝 斤+V F=1=0,求 a 2 “+b 2 4 的 值.（答案:（）五、本节课要掌握：1 .形 如&（a）0）的式子叫做二次根式，“”称为二
7、次根号.2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.第一课时作业设计一、选择题1 .下列式子中，是二次根式的是（）A.-V 7 B.V?C.4 D.x2.下列式子中，不是二次根式的是（）A.V 4 B.V 1 6 C.V 8 D.-X3 .已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）A.5 B.V 5 C.-D.以上皆不对5二、填空题1 .形如 的式子叫做二次根式.2 .面积为a的 正 方 形 的 边 长 为.3 .负数 平方根.三、综合提高题1.某工厂要制作一批体积为I n?的产品包装盒，其高为0.2 m,按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2 .当x是多少
8、时，立廿3+*2在实数范围内有意义?X3 .若二7+4=5 有意义，则4=.4.使式子，-（X-5）2有意义的未知数X有（）个.A.0 B.1 C.2 D.无数5.已知a、b为实数，且L-5+2 J 1 0-2 a=b+4,求a、b的值.第一课时作业设计答案：一、1.A 2.D 3.B二、1.4a（a0）2.4a 3.没有三、1.设底面边长为x,则0 2 x 2=1,解答：x=V 5 .2.依题意得:2x+30 x H 03x 2X KO.当x -3且x#0时，尤+3+*2在实数范围内没有意义.2 x3 .-4.B 5.a=5,b=-432 1.1 二次根式（2）第二课时教学内容1.4a（a2
9、 0）是一个非负数；2.（y/a）2=a（a0）.教学目标理 解 右（a2 0）是一个非负数和（右）2=a（a 0）,并利用它们进行计算和化简.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出右（a 0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（右）2=a（a2 0）；最后运用结论严谨解题.教学重难点关键1 .重点：4a（a，0）是一个非负数；（、5）2=a （a 20）及其运用.2.难点、关键：用分类思想的方法导出 （a 20）是一个非负数；用探究的方法导出（JZ）2=a(a 20).教学过程一、复习引入（学生活动）U答1.什么叫二次根式？2.当a 2 0时，右 叫 什 么？当a/5)2
10、=3?5=45,V2 2V6 6 22_(V7)2_ 722 4三、巩固练习计 算 卜 列各式的值:(V18)I 呼了（而 了,岷）2(3 2 _ (5 扬 2四、应用拓展例2计算1.(V x+T)2(x 0)2.(V 3.(Va2+2a +l )24.(，4丁2 -1 2x +9 )-分析：(1)因为 x 0,所以 x+l 0；(2)a2 0；(3)a2+2a+l=(a+1)20；(4)4X2-1 2X+9=(2X)2-2 2x -3+32=(2x-3)2 0.所以上面的4题都可以运用(J Z)2=a (a 0)的重要结论解题.解：(1)因为x 2 0,所以x+l 0(J x +1 )2=x
11、+l(2)Va2 0,；.(C)2=a2(3)Va2+2a+l=(a+1)2又,:(a+1)22o,/.a2+2a+1 0 ,Z./a2+2 a +=a2+2a+l(4)V4X2-1 2X+9=(2X)2-2 2x 3+32=(2x-3)2又：(2x-3)22。.1.4X2-1 2X+9 0,；.(A/4X2-1 2X+9 )2=4x2-1 2x+9例3在实数范围内分解下列因式：(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1.4a(a 20)是一个非负数；2.(4a)-a (a 20);反之:a=(y/a )2(a 20).第二课时作业设计一、选择题1 .
12、下 列 各 式 中 赤、技、“21、-2+翅、J /+20、V-1 44,二次根式的个数是().A.4 B.3 C.2 D.12.数a没有算术平方根，则a的取值范围是().A.a 0 B.a 20 C.a /3)略2 1.1二次根式(3)教学内容=a (a 20)教学目标理 解 7=a (a 0)并利用它进行计算和化简.通过具体数据的解答，探 究=a (a 20),并利用这个结论解决具体问题.教学重难点关键1.重点：=a (a 20).2.难点：探究结论.3.关键：讲清a 2 0时，必=2才成立.教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1 .形 如&(a NO)的式子叫做二次根式
13、；2.4a(a 2 0)是一个非负数；3.(6)2=a (a 2 0).那么，我们猜想当a 0时，=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.二、探究新知(学生活动)填空：=；V o.o i2=；=；因此，一般地：后=2 (a 2 0)例1化简(1)V 9 (2)J(-4了 (3)V 2 5 (4)J(-3)2分析：因 为(I)9=-32,(2)(-4)2=4 2,2 5=5 2,(4)(-3)2=3 2,所以都可运用J/=a (a 0)去化简.解：(1)V9=A/F=3(2)J(-4)2 =4(3)V 2 5=V F=5 (4)(-3)2 =E =3四、应用拓展例2填空：当a0忖，J/=_
14、_ _ _；当a a,则a可以是什么数？分析：(a 2 0),.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使气)2”中的数是正数，因为，当 a W O 时，必=(_4)2 ,那么-a 2 0.(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根 据(1)、(2)可知J/=|aI,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢？a 0.解：(1)因为J/=a,所以a 2 0；(2)因为C=-a,所以a a,即使a a 所以a不存在；当 a a,即使-a a,a 0 综 上,a 2,化简 J(x _ 2 _ J(1 _ 2X)2 .分 析:(略)五、归纳小结本节课应掌握：J
15、/=a(a 2 0)及其运用，同时理解当a y1(-a)2-4aC.y(a)2 ya=(-a/2.若J痂 是 一 个 正 整 数，则正整数m的最小值是.三、综合提高题1 .先化简再求值：当 a=9 时，求 a+J l 2 a +/的值,甲乙两人的解答如下:甲的解答为：原式=a+J(l a)2 =a+(1-a)=1；乙的解答为：原式=a+J(l-q)2 =a+(a-1)=2 a-l=1 7.两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是2 .若|1 9 9 5-a|+V a-2 0 0 0 =a,求 a-1 9 9 5 2 的值.(提示：先由a-2 0 0 0 0,判 断 1 9 9 5-a 的值是正
16、数还是负数，去掉绝对值)3.若-3 W x W 2 时，试化简|x-2|+J(X+3)2+&-1 0犬 +25。答案：一、1.C 2.A二、1.-0.0 2 2.5三、1.甲 甲 没 有 先 判 定 a是正数还是负数2 .由已知得 a-2 0 0 0，0,a 2 0 0 0所以 a T9 9 5+Ja-2000=a,Ja-2000=1 9 9 5,a-2 0 0 0=1 9 9 52,所以 a T 9 9 5 2=2 0 0 0.3 .1 0-x21.2二次根式的乘除教学内容4a 4b y f a b(a 2 0,b 2 0),反之=&,4b(a 2 0,b0)及其运用.教学目标理解 ,-Jb
17、 -Ja b(a 2 0,b 2 0),y a b=-Ja ,y f b(a 2 O,b 2 0),并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出G&=册(a 2 0,b 0)并运用它进行计算；利用逆向思维，得出疝 4b(a 20,b 2 0)并运用它进行解题和化简.教学重难点关键重点：4a 4b=a b(a 0,b 20),4 a b 4 a ,Jb(a 20,b 2 0)及它们的运用.难点：发现规律，导 出&i Jb=y/a b(a)0,b 20).关 键：要讲清疝(a 0,b/9=,4x9=；(2)V16 x y/25=,V16x 25=.(3)7 1 0 0 X 7 3 6=，7
18、1 0 0 x 3 6=.参考上面的结果，用“、或=填 空.74 X V9_749,716X725_716x25,7100 x736 7100 x362.利用计算器计算填空(1)V 2 X V 3 屈,(2)V 2 X V 5 V 10,(3)A/5 X-6/10,a y(2)化简：而；J l i；V 2 4；V 5 4；y l l 2 a2b2教材P u练习全部四、应用拓展例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:(1)/(-4)x (-9)-x（2）4|X V 25 =4 XX V 25 =4 V 12=8 V 3解：（1）不正确.改正：V（-4）x（-9）=V 4 x 9 =V 4
19、 X V 9 =2X3=6（2）不正确.改正：J 4 X V 25 =J X V 25 =J x 25 =V H 2=V 16 x 7 =4 7 7V 25 V 25 V 25五、归纳小结本节课应掌握：(1)4a 、/=，石=(a 20,b 20),a b=4a ,4b(a 20,b 0)及其运用.第一课时作业设计一、选择题1.若直角三角形两条直角边的边长分别为而c m和cm,那么此直角三角形斜边长是().A.3 5/2 cm B.3-/3 cm C.9cm D.27cm2.化 简a-的结果是(a）.A./a B.y j a C.-s j-a D.-a3 .等式J 7 T T JT万=Jd-i
20、成立的条件是()A.xl B.xT C.T W x W l D.xl 或 xW T4 .下列各等式成立的是().A.4 6 X 2石=8 V 5 B.5百 X 4收=20逐C.4 7 3 X3 V 2=7A/5 D.5 5/3 X 4A/2=20V 6二、填空题1.71 0 1 4=.2.自由落体的公式为S=；g t 2(g为重力加速度，它的值为10m/s2),若物体下落的高度为7 20m,则下落的时间是三、综合提高题1.一个底面为30cmX30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20cm,铁桶的底面边长是多少厘
21、米？2.探究过程：观察下列各式及其验证过程.f3(32-l)+3 _ 阶-1),3 _ 3y 32-l 32-1 32-1 V 8通过上述探究你能猜测出:(a0)，并验证你的结论.答案：一、1.B 2.C 3.A 4.D二、1.1376 2.12s三、1.设：底面正方形铁桶的底面边长为X,贝lJx?X 10=30X30X20,x2=30X30X2,x=730 x30 x V2=3OV2.+a _ la3-a a _ a(a2-1)a _/a1 v a2-1 a2-1 v tz2-1 a2-1 a2-121.2二次根式的乘除教学内容圆=归4b V b(a，0,b 0),反过来b(a2 0,b 0
22、)及利用它们进行计算和化简.教学目标理解(aN O,b 0)和a _ 4a(a2 0,b 0)及利用它们进行运算.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.教学重难点关键1.重点：理解a _ la4b V b(aN O,b 0),a _ sa(aN O,b 0)及利用它们进行计算和化简.2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们完成下列各题：1 .写出二次根式的乘法规定及逆向等式.2 .填空(1)6V 3V7规律：*出77,(2),(3)6,(4)每组推荐一名学生上台阐述运算结果.
23、(老师点评)二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到:一般地，对二次根式的除法规定：-(a20,b0),反过来，=会（a20,b0）下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.例1.计臬噂昌）哈福苧分析：上面4小题利用 =（a 0,b 0）便可直接得出答案.例2.化简:四、应用拓展例3.已知.-=i 且x为偶数,求(1+x)V x-6 Jx 6卜5x+4V x2-l的值.分析:式子再只有a2 0,b 0时才能成立.因此得到9-x 2 0且x-6 0,即6 0 x 0 x 66 0,b 0）和色=军（a 0,b 0）及其运用.b -J b第
24、二课时作业设计一、选择题A.5/5 B.1.计 算 其+小 2 +的结果是（）.2C.V2D,正7772.阅 读 卜 列运算过程:1 V3 V3-7 3 x 7 3 -3 2亚 2#)数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么,化 简 定2 的结果是（).2亚一亚乂亚-5A.2 B.6 C.-V6 D.V63二、填空题1 .分母有理化：（1）产=；（2），=;（3）1=3 V2 V1 2 2 V52 .已知x=3,y=4,z=5,那么+的 最 后 结 果 是.三、综合提高题1 .有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为行：1,现用直径为3 后cm的一种圆木做原料加工这
25、种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2 .计算答案：一、1.A 2.C_ V3 V3 V10 V2xV5 V2一、1-；(2)-；(3)T=-=-6 6 2 V5 2 V5 21.设：矩形房梁的宽为x （c m）,则 长 为 行x c m,依题意,得：(Vi x)2+x2=(3 而)2,4X2=9X 1 5,x=/1-5 (c m),2V3 X ,X=yfi x2=-y/3(c m2).42n n 1-n r-x 7 n=7 nm m m“、h 6 c 3(/71+n)(/n-n)a2 a2(2)原式二-2 j-今-x-x-V 2a m+n m-na2 1.2二次根式的乘除教学内容最简
26、二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.重难点关键1 .重点：最简二次根式的运用.2 .难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1.计 算(1)(2)婆，(3)咨V 2 7 d 2 a2.现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h i k m,h2km,那么它们的传播半径的它 们 的 比 是 多.二
27、、探索新知观察上面计算题1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:1 .被开方数不含分母；2 .被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式.学生分组讨论，推荐3 4 个人到黑板上板书.老师点评：不是.J 2 R%V 2趴 一 正 一 h2例 1.(1)3，；(2)y j x2y4+x4y2;(3)倔9例 2.如图，在 R t Z k ABC 中,Z C=9 0,AC=2.5c m,BC=6 c m,求 AB 的长.解：因为 AB2=AC?+BC2所以 AB=,2
28、.52+6?=J(|)2+36 =6.5(c m)因此AB的长为6.5c m.三、巩固练习教材P“练习2、3四、应用拓展例 3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:1 _ l x(7 I l)=6-1 _ R 1V 2 +1 (V 2 +1)(V 2-I)-2-1，1 _ l x(V 3-V 2)V 3-V 2 _ 国片回 痣)(痒伪一_T-7 7同理可得：L V4-V3,V 4 +V 3从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（-4+L I L +L +I-I_二）（V 2 002 +1）的值.V 2 +1 V 3+V 2 V 4 +V 3 V 2 002 +
29、V 2 001分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的.解：原式=（&-1+百-血 +口百+J 2 002-J 2 001）x（V 2 002 +1）二（V 2 002-1）（V 2 002+1）=2002-1=2001第三课时作业设计一、选择题1.如 果 有（y o）是二次根式，那么，化为最简二次根 式 是（）.A.（y 0）B.J孙（y 0）C.1 -（y 0）D.以上都不对2.把（a-1）.中根号外的（a-1）移入根号内得（）.V 0因为1 1，所以水0,-0、a原式=-a a2-a y/-a+V-=(l-a)a2.1d 4 2 0 1/
30、.x-4=0,/.x=2,但.x+2W 0,/.x=2,y=4-x2 0 4J x+y y j x-y =y x2-y22 1.3二次根式的加减(1)教学目标理解和掌握二次根式加减的方法.先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理 解.再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.重难点关键1.重点：二次根式化简为最简根式.2.难 点 关键：会判定是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式.(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合 并.同类项合
31、并就是字母不变，系数相加减.二、探索新知学生活动：计算下列各式.(1)2 V 2+3 V 2 2次-3 屈5 次(3)V 7 +2V 7 +3A/9X7 3 百-2 0+0老师点评：(1)如果我们把血当成x,不就转化为上面的问题吗？2 7 2+3 7 2=(2+3)V 2=5 /2(2)把 布 当成y；2 V s 3 /8 +5 -y/8 =(2-3+5)V 8 =4 -/8 =8 /2(3)把J 7当成z；V 7+2 V 7+V 9 V 7=27 7 +2 V 7+3 7 7 =(1+2+3)5=6不(4)百 看 为 x,J 5看为y.3 V 3 -2 乖)+V 2=(3-2)V 3 +V
32、2=-/3 +V 2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2 后与指表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的.(板 书)30+&=3及+2行=5 后3 7 3+7 2 7 =3 7 3+3 7 3=6 7 3所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.例 1.计算(1)V 8+V 18 (2)V 16 +V 6 4 x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并.解：(1)7 8+7 1 8=2 7 2+3 7 2=(2+3)7 2=5 7 2(2)Jl 6 x +J6 4 x =46+8
33、G=(4+8)V x =12/x例 2.计算(1)3 -4 8 _9+3y/12(2)(4 8 +J20 )+(y/12 -x/5)解：(1)3 J 4 8 -9；+3 瓶=1 2 6一 3G+6 百=(12-3+6)6 二 1 56(2)(J 4 8 +4 20 )+(y f l 2 -J5)=J 4 8 +J20 +/12 -y/5=4 V 3 +2 5/5 +2 y/3 5/5 -6 3 +A/5四、应用拓展2例 3.已知 4 x 2+y 2-4 x-6 y+10=0,求(x j 9x 4-y2二)-(x2y的值.分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2 x T）2+
34、（y-3）2=0,即乂=,，y=3.其2次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值.解：V 4 x2+y2-4 x-6 y+10=0V 4 x2-4 x+l+y2-6 y+9=0（2x-l）2+（y-3）2=0原式二一+y23=2x Jx +y x y-x V x +5 y x y=x V x +6 y f x y当 x=,y=3 时,21原式二一X .一 +62 V 2I 哼+3 指五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并.第一课时作业设计一、选择题1.以下二次根式：疝；万；岛 亚 中
35、，与百是同类二次根式的是（）.A.和 B.和 C.和 D.和2.下列各式：3 V 3 +3=6A/3；=1 ；V 2+/6 =-/8 =2,2,；=2 V 2,其 1Tl错误的有（）.A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0个二、填空题1.在瓜-y/15a,2 瓦、V125.2 出/、3 7 0 23 3 a-2 中，与伤是同类二次根式的有2.计算二次根式5 G -3-7 6+9 的 最 后 结 果 是.三、综合提高题1.已知、6-2.2 3 6,求（痴-J ）-（旧+1 历）的 值.（结果精确到0.01）2.先化筒，再求值.答案：、1.C 2.A二、1.1 J75a 2/4?2.&4b-2
36、 4a3a三、1.原式V-不 =w X2.236七0.452.原式=6 jH+3 jE (Ay/xy+6y/xy)=(6+3-4-6)yxy-/xy,3当*=,y=27时，原式=-22 1.3二次根式的加减（2）教学目标运用二次根式、化简解应用题.通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固.二、探索新知
37、例 1.如图所示的RtABC中，NB=90,点 P 从点B 开始沿BA边 以 1 厘米/秒的速度向点A移动；同时.，点 Q也从点B开始沿BC边以2 厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后aPEQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）APB分析：设 X 秒后P B Q 的面积为3 5 平方厘米，那么P B=x,B Q=2 x,根据三角形面积公式就可以求出x的值.解：设 x 后P B Q 的面积为3 5 平方厘米.则有 P B=x,B Q=2 x依题意，得：-x 2 x=3 52X2=35X=A/35所 以 而 秒 后 的 面 积 为 3 5 平方厘米.P Q=y j
38、 PB-+BQ2=&+4 Y=6r=J5 x3 5 =5 百答：病 秒 后 P B Q 的面积为3 5 平方厘米，P Q 的距离为5 6 厘米.例 2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1 m）?分析：此框架是由A B、B C、B D、A C 组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度.解：由勾股定理，得A B=y/AD2+B D-=V 42+22=7 2 0=2 7 5B C=y j B D2+CD2=V 22+l2=V 5所需钢材长度为A B+B C+A C+B D=2 y/5+/5 +5+2=3 V?+7 3 X 2.2 4+7-1 3.7 （m）答：要焊接一个如图
39、所示的钢架，大约需要1 3.7 m 的钢材.三、巩固练习教材P19练习3四、应用拓展例 3.若最简根式3 a电4 a+3 6 与根式,22士+6 而 是同类二次根式,求a、b 的值.（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分 析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式J2 a从-4+6从 不是最简二次根式,因此 把 亚 嬴万寿7化 简 成 b-y/2 a-b+6,才由同类二次根式的定义得 3 a-b=2,2 a-b+6=4 a+3 b.解：首先把根式J2 ab2 +6/化为最简二次根式:，2。/?2 _ 03+6 6 2 =，从(2。l +6)=|b|
40、J 2 a-1 +6山题意得4。+3。=2。一/7 +63 a-h=2.j 2 +4/?=63 a-b=2/.a=l,b=l五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.一、选择题1 .已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边 的 长 应 为（）.（结果用最简二次根式）A.5 7 2 B.V 5 0 C.2 7 5 D.以上都不对2.小 明 想 自 己 钉 一 个 长 与 宽 分 别 为3 0cm和2 0cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木 条 的 长 应 为（）米.（结果同最简二次根式表示）A.1 3 /1 00 B.V
41、1 3 00 C.IOA/13 D.5A/13二、填空题1 .某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它 的 面 积 是1 6 000?,鱼塘的宽是 m.（结果用最简二次根式）2 .已知等腰直角三角形 的 直 角 边 的 边 长 为 那 么 这 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 周 长 是.（结果用最简二次根式）三、综合提高题1 .若最简二次 根 式2 J 3 m 2 2与 2 1 4 m2 -1 0是同类二次根 式,求 小n的值.32 .同学们，我 们 以 前 学 过 完 全 平 方 公 式a22 ab+b2=（ab）2,你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那 么 所 有
42、的 正 数（包 括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（Jj）2,5=（V 5 ）2,你知道是谁的二次根式呢？F面我们观察：（V 2-1）2=（后）2-2 1 夜+/=2-2行+1=3-2行反 之，3_2 /2=2 2 /2+1=(5/2 _1)23_2 5/2=(V 2 _1).A/3-2A/2=72-1求：(1)3 +2/2；(2)A+2-/3 ；(3)你会算-旧吗？(4)若，“2斯=诟 士 册,则 m、n与 a、b的关系是什么？并说明理由.答案：一、1.A 2.C二、1.20 V 2 2.2+2收三、1.依题意，得 1 3/H2-2 =4W2-10,m2=8m=2 5/2 V2 T=27
43、22=3n=V 3所以m-2V 2、tn-2V 2=6 或3Gm=2/2或 r-n=-V 3m=-25/2 =-G或2.(1)V 3 +2V 2=7(V 2+1)2=V 2+1(2)“+2 G=J(用Ip =0+1(3)J 疝=-2 百=J(百-1)2 二百-1+几=a,、，1-I(4)理由：两边平方得a 2j=m+n 2 Jmn=bb=mn2 1.3二次根式的加减(3)教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用.教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.复习整式运算知识并将该知识运用于含
44、有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：山整式运算知识迁移到含二次根式的运算.教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题：1 .计算(1)(2x+y),z x(2)(2x2y+3 xy2)+xy2.计算(1)(2x+3 y)(2x-3 y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)单项式X单项式；(2)单项式X多项式；(3)多项式+单项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运用.二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立.整式运算
45、中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式.例 L 计算：(1)(V 6+V 8 )X V 3 (2)(4 7 6-3 72)+2 后分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.解：(1)(V 6 +V 8)x y j s =/6 x+/8 x/3-V T s+V 24 =3 5/2+2解：(4 V 6 -3 5/2)4-2 5/2=4 V 6 4-2 y/2-3 y p2-r 2 V 22例 2.计算(1)(V 5+6)(3-V 5 )(2)(V 1 0+V 7)(V 1 0
46、-V 7)分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.解：(1)(石+6)(3-J?)=3 /5 (V 5 )*+1 8_6 V s=1 3-3(2)(V 1 0+V 7)(V 1 0-V 7)=(V i o)-(V7)2=1 0-7=3三、巩固练习课本P20 练 习 1、2.四、应用拓展例 3.已知土x 出 h二 2 一x a其中a、b 是实数，且 a+bW O,a b伊 行 Vx+1 -VX VX+1+Vx间G+4 GM并求值.分析：由 于(而 T+4)(V 7+T-V )=1,因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到X的
47、值，代入化简得结果即可.(Jx+1 +4)2解：原式二(Jx+I-五)2 +(Jx+1 +VX)(A/X4-1-fx)(Jx+1 -Vx)(Vx+l+Vx)(V x+1 Vx)+(V x+1 +Vx)2(x+l)-x(x+l)-x=(x+1)+x-2 6(x +1)+x+2 Jx(x+1)=4 x+2.x-b x-a.-二L-a b/.b(x-b)=2 ab-a(x-a)bx-b2=2 ab-ax+a2/.(a+b)x=a2+2 ab+b2(a+b)x=(a+b)2V a+bOx=a+b；原式=4 x+2=4 (a+b)+2作业设计一、选择题1.(后-3比?+2后)X及 的 值 是().A.V
48、3 _3 V30 B.3 V 3 0 V33 3C.27 3 0-V3 D.V3-V303 32.计 算(4+J x-l )(Jx-yJx-l)的 值 是().A.2 B.3 C.4 D.1二、填空题1 .(-+)2的计算结果(用最简根式表示)是2 22 .（1-2百）（1+2 0）-（2石 T）2的 计 算结果（用最简二次根式表示）是3 .若 x=J T,则 x?+2 x+l=4 .已知 a=3+2行，b=3-2 j l,则 a2 fc-ab2=三、综合提高题1.化简逐+77V10+714+715+721、1,1 L _|v X +1 4 y+X X +1 yJ 4-X,.*.z /J.m
49、m F=I y v/v一、匚 、2.当x=-r=时,求-/+-/)的 值.(结果用最同一次根式表不)v2-1 x+1-x2+x x+1 +x2+x课外知识1 .同类二次根式：儿个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是().A.岳 与0B.与Q m a 护C.y/mn 与 V nD./机+与J机+2.互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,同忖它们的积是有理数，不含有二次根式：如X+1-JX2+2X与x+l+
50、J f+2 x就是互为有理化因式；4与1y/x也是互为有理化因式.练习：血 +省 的有理化因式是X-4的有理化因式是一-47T-G万的有理化因式是3 .分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的.练习：把下列各式的分母有理化4.(1)(2)V 2(3)口 厂;I6 yj2(4)3也+4 C3V3-4V2其它材料:如果n是任意正整数,练习：填空=答案:1.A 2.D11 +2 百二、1.1-2.4A/3-24 3.2 4.4 7 22三、L原 式=五加+6 币+6加+旧不=_ _ _ _ _ _ _ 石+b _ _ _ _ _ _ _ _