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1、正弦和 余 弦（一）一、素质教育目标（一）知识教学点使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.（二）能力训练点逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.（三）德育渗透点引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.二、教学重点、难点1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论.三、教学步骤（一）明确目标图 6-11.如 图6-1,长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间
2、距离为多少米？2.长5米的梯子以倾斜角NCAB为3 0 靠在墙上，则A、B间的距离为多少？3.若 长5米的梯子以倾斜角4 0 架在墙上，则A、B间距离为多少?4.若 长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角NCAB为多少度？前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含3 0 角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到
3、一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.通过四个例子引出课题.()整体感知1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30。、4 5、60角的对边、邻边与斜边的比值.学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.2.请同学画一个含4 0 角的直角三角形，并测量、计算40。角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻
4、边与斜边的比值也是固定的吗？这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知.(三)重 点、难点的学习与目标完成过程1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导:Cl Q C3图6-2若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶 点AI，A2,A3重合在一起，记 作A,并使直角边AC”AC2,A
5、C3落在同一条直线上，则斜边AB”AB2,AB3落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知，BC|B2C2B3C3,/.ABIQS AAB2c2s2AB3c3s,:.蛆啰昌.朋A C,.AC,因此 在这些直角二角AB】AB,AB,1 AB（AB,AB,*H U M用一闲形中，N A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透.而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.sin 60=练习题为 2作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比
6、值都能求出来.（四）总结与扩展1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含3 0 角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识.2.扩 展：当锐角为3 0 时，它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要
7、，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣.四、布置作业本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念.五、板书设计正弦和余弦（二）一、素质教育目标（一）知识教学点使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角3 0、45。、6 0 角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.（二）能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.（三）德育渗透点渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.二
8、、教学重点、难点1.教学重点：使学生了解正弦、余弦概念.2.教学难点：用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.三、教学步骤（一）明确目标1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”2.明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值正弦和余弦.（二）整体感知当直角三角影有一段角为3c.时，它的对边与科边的比值为:，只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.而上节课我们发现：只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定.这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而
9、解了.通 过 与“3 0 角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.（三）重点、难点的学习与目标完成过程正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要,因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含儿个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如 图63：请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力.教师板书：在4ABC中，N C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的
10、比叫做N A的正弦，记 作sinA,锐 角A的邻边与斜边的比叫做N A的余弦，记 作cosA.B若把N A 的对边BC记作a,邻边AC记作b,斜边AB记作c,则51nA=,cosA=.c c引导学生思考：当N A 为锐角时，sinA、cosA的值会在什么范围内？得结论 0sinA1,0cosA1（N A 为锐角）.这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.教材例1 的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“cosA、cosB，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.例 1 求出图64 所示的RtZABC中
11、的sinA、sinB和 cosA、cosB的值.解,（1）7斜边 AB=JW+B d=5,一 3.4.-anA=-anB=-.cosA.=4 coBn =3.5。5(2)nA=,cB=.VAC=VABa-BCJ=12.0 12.12学生练习1中1、2、3.让每个学生画含30。、45。的直角三角形，分别求sin30、sin45、sin60和cos30、cos45、cos60.这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.sin30=SIB45*=乌，sin6O*=-y-.M 4 4cos30*=坐,cos45-=，cos60*=.4 4
12、4例2求下列各式的值：+E 3 0*(2*.解:(I).m30，+30*+4=发dn45*-co60*=/*孝-：又！=不.为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：(1)sin45+cos45；(2)sin30 cos60；(3)0.5-iiii60*j(SJanA=-,H IZA =(0 HA=*,M Z A =在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20大概在什么范围内，cos50呢？这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神.还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述 锐角
13、的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小.为查正余弦表作准备.（四）总结、扩展首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值.知道任意锐角A的正、余弦值都在01之间，即0sinA1,0cosA 6 0 这三个特殊角的正弦值和余弦值，但在生产和科研中还常用到其他锐角的正弦值和余弦值，为了使用上的方便，我们把0 9 0 间每隔r的各个角所对应的正弦值和余弦值（一般是含有四位有效数字的近似值），列成表格正弦和余弦表.本节课我们来研究如何使用正弦和余弦表.（三）重点、难点的学习与目标完成过程1.“正弦和余弦表”简介学生已经会查平方表
14、、立方表、平方根表、立方根表，对数学用表的结构与查法有所了解.但正弦和余弦表与其又有所区别，因此首先向学生介绍“正弦和余弦表”.（1）“正弦和余弦表”的作用是：求锐角的正弦、余弦值，已知锐角的正弦、余弦值，求这个锐角.2）表中角精确到1,，正弦、余弦值有四位有效数字.3）凡表中所查得的值，都用等号，而 非“心”，根据查表所求得的值进行近似计算，结果四舍五入后，一般用约 等 号 表 示.2.举例说明例4查表求37 2 4 的正弦值.学生因为有查表经验，因止匕查sin37 2 4 的值不会是到困难，完全可以自己解决.例5查表求37 2 6 的正弦值.学生在独自查表时，在正弦表顶端的横行里找不到2
15、6,但2 6 在2 4 3 0 间而靠近2 4,，比2 4 多2,可引导学生注意修正值栏，这样学生可能直接得答案.教师这时可设问“为什么将查得的5加 在0.6074的最后一个数位上，而不是0.6074减 去0.0005”.通过引导学生观察思考，得结论：当角度在0 9 0 间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.解:sin37 24z=0.6074.角度增2 值 增0.0005sin37 26=0.6079.例6查表求sin37 2 3 的值.如果例5学生已经理解，那么例6学生完全可以自己解决，通过对比，加强学生的理解.解:sin37 24=0.6074角度减1 值 减0.00
16、02sin37 23=0.6072.在查表中，还应引导学生查得：sin0=0,sin90=1.根据正弦值随角度变化规律：当角度从0 增加到9 0 时，正弦值从。增加 到1；当角度从9 0 减少到0 时，正弦值从1减 到0.可引导学生查得：cos0=1,cos90=0.根据余弦值随角度变化规律知：当角度从0 增加到90 口 寸，余弦值从1减小到0,当角度从9 0 减小到0 时，余弦值从0增 加 到1.（四）总结与扩展1.请学生总结本节课主要讨论了“正弦和余弦表”的查法.了解正弦值，余弦值随角度的变化而变化的规律：当角度在0 9 0 间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小；当角
17、度在0 9 0 间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大.2.“正弦和余弦表”的用处除了已知锐角查其正、余弦值外，还可以已知正、余弦值，求锐角，同学们可以试试看.四、布置作业预习教材中例8、例9、例1 0,养成良好的学习习惯.五、板书设计14.1正 弦和余弦（四）一、正余弦值随角度变 二、例题 例5 例6化规律例 4正弦和余弦（五）一、素质教育目标（一）知识教学点使学生会根据个锐角的正弦值和余弦值，查出这个锐角的大小.（二）能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.（三）德育渗透点培养学生良好的学习习惯.二、教学重点、难点和疑点1.重点：由锐角的正弦值或余弦
18、值，查出这个锐角的大小.2.难点：由锐角的正弦值或余弦值，查出这个锐角的大小.3.疑点：由于余弦是减函数，查 表 时“值增角减，值减角增”学生常常出错.三、教学步骤（一）明确目标1.锐角的正弦值与余弦值随角度变化的规律是什么？这一规律也是本课查表的依据，因此课前还得引导学生回忆.答：当角度在0 9 0 间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；当角度在0 9 0 间变化时,余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）.2.若cos21 30=0.9304,且表中同一行的修正值是分1 J 2 13 1修正值123则 cos21。3 y =,cos21 28=.3.不查表，比较大小
19、：（1）sin20 sin20 1 5；（2）cos51 cos50 1 0；（3）sin21 cos68.学生在回答2题时极易出错，教师一定要引导学生叙述思考过程，然后得出答案.3题的设计主要是考察学生对函数值随角度的变化规律的理解，同时培养学生估算.（二）整体感知已知一个锐角，我们可用“正弦和余弦表”查出这个角的正弦值或余弦值.反过来，已知一个锐角的正弦值或余弦值，可 用“正弦和余弦表”查出这个角的大小.因为学生有查“平方表”、“立方表”等经验，对这一点必深信无疑.而且通过逆向思维，可能很快会掌握已知函数值求角的方法.（三）重点、难点的学习与目标完成过程.例8已知sinA=0.2974,求
20、锐角A.学生通过上节课已知锐角查其正弦值和余弦值的经验，完全能独立查得锐角A,但教师应请同学讲解查的过程：从正弦表中找出0.2974,由这个数所在行向左 查 得17,由同一数所在列向上查得1 8,即0.2974=sin17 1 8,以培养学生语言表达能力.解：查表得sin17 18=0.2974,所以锐角 A=17。1 8.例9已知cosA=0.7857,求锐角A.分析：学生在表中找不到0.7857,这时部分学生可能束手无策，但有上节课查表的经验，少数思维较活跃的学生可能会想出办法.这时教师最好让学生讨论，在探讨中寻求办法.这对解决本题会有好处，使学生印象更深，理解更透彻.若条件许可，应在讨论
21、后请一名学生讲解查表过程：在余弦表中查不到0.7857.但能找到同它最接近的数0.7859,由这个数所在行向右查得38,由同一个数向下查得 1 2,即 0.7859=cos38 1 2.但cosA=0.7857,比 0.7859小 0.0002,这说明N A 比38 1 2 要大，由0.7859所在行向右查得修正值0.0002 对应的角度是 1 ,所以NA=38 12+1=38 1 3.解:查表得 cos38 12=0.7859,所以：0.7859=cos38 1 2,.值减0.0002角度增10.7857=cos38 1 3,即 锐 角 A=38 13.例 1 0 已知cosB=0.4511
22、,求锐角B.例 10与例9 相比较，只是出现余差体例中的0.0002)与修正值不-一致.教师只要讲清如何使用修正值(用最接近的值)，以使误差最小即可，其余部分学生在例9 的基础上，可以独立完成.解:0.4509=cos63 12值增0.0003角度减10.4512=cos63 1T二锐角 B=63 1T为了对例题加以巩固，教师在此应设计练习题，教材P.15中2、3.2.已知下列正弦值或余弦值，求锐角A 或 B：(1)sinA=0.7083,sinB=0.9371,sinA=0.3526,sinB=0.5688；(2)cosA=0.8290,cosB=0.7611,cosA=0.2996,cos
23、B=0.9931.此题是配合例题而设置的，要求学生能快速准确得到答案.(1)45 6,69 34,20 39,34 4 0；(2)34 0,40 26,72 34,6 4 4.3.查表求sin57与cos33,所得的值有什么关系？此题是让学生通过查表进一步印证关系式sinA=cos(90-A),cosA=0.8387,/.sin57=cos33,或 sin57=cos(90-57),cos33=sin(90-33).(四)、总结、扩展本节课我们重点学习了已知一个锐角的正弦值或余弦值，可用“正弦和余弦表”查出这个锐角的大小，这也是本课难点，同学们要会依据正弦值和余弦值随角度变化规律(角度变化范围
24、0 90)查“正弦和余弦表”.四、布置作业教材复习题十四A组3、4,要求学生只查正、余弦。五、板书设计14.1正弦和余弦(五)例8 例9 例10正弦和余弦(六)一、素质教育目标(一)知识教学点归纳综合第一大节的内容，使之系统化、网络化，并使学生综合运用这些知识，解决简单问题.（二）能力训练点培养学生分析、比较、综合、概括逻辑思维能力；培养学生分析问题、解决问题的能力；使学生逐步形成用数学的意识.（三）德育渗透点渗透数学知识来源于实践又反过来作用于实践的观点；培养学生的学习兴趣及良好的学习习惯.二、教学重点、难点和疑点1.重点：归纳总结前面的知识，并运用它们解决有关问题.2.难点：归纳总结前面的
25、知识，并运用它们解决有关问题.3.疑点：学生在用“正弦和余弦表”时，往往在修正值的加减上混淆不清.三、教学步骤（一）明确目标1.结合图6-5,请学生回忆，什么是N A的正弦，余弦？教师板H a b节.认=一cA=.c c2.互余两角的正弦、余弦值之间具有什么关系？答：sinA=cos（90-A）,cosA=sin（90。-A）.教师板书.3.特殊角0、3 0、4 5、6 0、9 0 的正弦值余弦值各是多少？答:aoCT=0.tin45*=4，J*n60*=，4 4 4i90*=lico0*=1,cos30*=噌.coi45*=,co4SO*=：.cotW=0.4.在0 9 0 之间，锐角的正弦
26、值、余弦值怎样随角度的变化而变化？答：在0-9 0 之间，锐角的正弦值随角度的增加（或减小）而增加（或减小）；锐角的余弦值随角度的增加（或减小）而减小（或增加）.本节课我们将运用以上知识解决有关问题.（二）重点、难点的学习与目标完成过程1.本章引言中提到这样一个问题:修建某扬水站时，要沿着斜坡铺设水管.假设水管AB长 为105.2米，NA=30。6，求坡高BC（保留四位有效数字）.现在，这个问题我们能否解决呢？这里出示引言中的问题，不仅调动学生的积极性，激发学习动机，同时体现了教学的完整性，首尾照应.对学生来说，此题比较容易解答.教师可以请成绩较好的学生口答,物 褪 机 在RiAABC中，5必
27、=某,AHBC=AB sinA=105.2 sin30 6=105.2X0.5015心52.76（米）.这一例题不仅起到巩固锐角三角函数概念的作用，同时为下一节“解直角三角形”做了铺垫.同时向学生渗透了数学知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，培养学生用数学的意识.2.为了过渡到第二大节“解直角三角形”，教材还安排了例1,它既是对概念的巩固、应用，又为解直角三角形作了铺垫.出示投影片图6-7例1 1如图6-7,在RtABC中，已知AC=35,A B=45,求NA（精确到1）.分析：本题已知直角三角形的斜边长，直角边长，所以根据直角三角形中锐角的余弦定义，先求出cosA,进而查表求
28、得NA.教师可请一名中等学生板书，其他学生在本上完成.解，CMA=落0.7778,查表得/A心39,3.教材为例题配置了两个练习题，因此在完成例题后，请学生做巩固练习在aABC中，NA、NB、N C所对的边分别为a、b、c.已 知a=32,ZB=50,求c（保留两位有效数字）.（2）已知 c=20,b=1 4,求NA（精确到 1）.学生在做这两个小题时，可能有几种不同解法，如（1）,应选择c=吃 最 筒 便，选择8 m =2 最俯使.通过比较，使学生学会选撵恰cesB c当的三角函数关系式解题，培养学生的计算能力.4.本课安排在第一大节最后一课，因此本课还有对整个第一大节进行归纳、总结的任务.
29、由于在课前复习中已经将几个知识点一一复习，因此这里主要配备小题对概念加以巩固和应用.(1)判断题：I对于任意锐角a,都有0sina 1和ovcosa V1()i i对 于 任 意 锐 角a 2，如果a c(2，那 么cosa i锐 角a 2 ()这道题是为巩固正弦、余弦的概念而配备的，可引导学生用图形来判断，也可 用“正弦和余弦表”来判断.对于假命题，应请学生举出反例.(2)回答下列问题i sin20+sin4O 是否等于 sin60；ii cos10+cos20 是否等于 cos30.可引导学生查表得答案.这两个小题对学生来说极易出错，因为学生对函数sinA、cosA理解得并不深，而且由于数
30、与式的四则运算造成的负迁移，使学生易混淆.(3)在RtaABC中，下列式子中不一定成立的是A.sinA=sinBB.cosA=sinBC.sinA=cosBD.sin(A+B)=sinC这一小题是为复习任意锐角的正弦值与余弦值的关系而设计的.通过比较儿个等式，加深学生对余角余函数概念理解.教师可请学生口答答案并说明原因.)如果/A 楝 角，且06A=；,那么(|A.0 ZA 30B.30 VNAW45C.45VNAW60D.60 ZA90对于初学三角函数的学生来说，解答此题是个难点，教师应给学生充足时间讨论，这对培养学生分析问题、解决问题能力很有好处，如果学生没有思路，教师可适当点拨；要想探索
31、N A在哪个范围，首先观察其余MmAHBTg的内？着，（XKJ,进一步引导学生得出八4n a范围，答案选D.（三）总结与扩展请学生总结：我们研究了正弦、余弦的概念及余角余函数关系，会 用“正弦和余弦表”查任一锐角的正弦、余弦值，并会用这些知识解决有关问题.四、布置作业1.看教材培养学生看书习惯.2.教材习题14.1 A组.对 学有余力的学生可选作B组 第1题.五、板书设计14.1正弦 和 余 弦（六）一、正余弦概念及有关 二、例解 例11知识 引例-正切和 余 切（一）一、素质教育目标（）知识教学点使学生了解正切、余切的概念，能够正确地用tanA、cotA表示直角三角形（其中一个锐角为/A）中
32、两边的比，了解tanA与 8 tA 成倒数关系，熟记30。、45。、60。角的各个三角函数值,会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子,会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系.（二）能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力.（三）德育渗透点培养学生独立思考、勇于创新的精神.二、教学重点、难点1.重点：了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值.2.难点：了解正切和余切的概念.三、教学步骤（一）明确目标1.什么是锐角N A 的正弦、余弦？（结合图6-8回答）.2.填 表角度 a函数0 3 0
33、4 5 0 9 0 si n ac os a3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系？4.当角度在0。90。变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？5.我们己经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值.那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其它一些三角函数，木节课我们学习正切和余切.（二）整体感知.正切、余切的概念，也是本章的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要.教材在继第 节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切.像这样,把概念、计算和应用分成两块，每块自成一个整体小循环，第二
34、循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识.（三）重点、难点的学习与目标完成1.引入正切、余切概念本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时,两直角边的比值是否也固定？因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明,图 6-10并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切.”给出正切、余切概念如图6-1 0,在 R taA B C 中，把N A 的对边与邻边的比叫做/A 的正切,记作tan A.ZA的对边即 tanA=4的邻边并把/A 的邻边与对边的比叫做N A 的余切
35、，记作cotA,NA的邻边即 cotA=N 4的对边2.tanA与 cotA的关系tan-_ 请学生观察ta n A 与c o tA 的 表 达 式，得 结 论 -cot A（或cot A=-,tan A-cot A=1tan A）这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与tanA=cot(90O-A)区别开.3.锐角三角函数.a*b t a t hsin A=一,cos A=,tan A=,cot A=,由上图，c c b a把锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做N A的锐角三角函数.锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目.问：锐角三角函数能否为负数？学生回答这个
36、问题很容易.4.特殊角的三角函数.教师出示幻灯片三角函数三角函数030456090sin A022V22旦21cos A1V3VV2V20tanAcotA请同学推算30。、45。、60。角的正切、余切值.(如图6-11)llvllg11百-tan 30=tan A=j=-V3 3BCtan 45=tan A=ACA Ttan 60=tan B=BCACcot 30=cot A=-=BC ABcot 45=cot A=_7=-=1BC 1、。nBC 1 V3cot 60=cot B=-=AC V3 3通过学生计算完成表格的过程，不仅复习巩固了正切、余切概念，而且使学生熟记特殊角的正切值与余切值，
37、同时渗透了数形结合的数学思想.0,90。正切值与余切值可引导学生查“正切和余切表”，学生完全能独立查出.5.根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系.结论:任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值.即 tanA=cot(90-A),cotA=tan(90-A).练习：1)请学生回答tan45。与 cot45。的值各是多少？tan60。与 cot30。？tan30。与 cot60。呢？学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题：tan60。与 cot60。有何关系？为什么？tan300与 cot30。呢？2)把
38、F列正切或余切改写成余角的余切或正切：(l)tan52；(2)tan3620,；(3)tan75017；cotl9；cot2448；(6)cotl5023,.6.例题例1求下列各式的值：(1 )2 s i n 30 0+3t a n 30 0+c o t 4 5 ；(2)c o s 2 4 5+t a n 6 0 0 1在求A B时，也 可 由 及 勾 股 定 理 得 出BE：A B =1：7 1 0,所A E 3以A B =2 3 而=7 2.7（米）.3.巩固练习（I）教材 P124.2由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很快做完，教师可再给布置一题.
39、（2）利用土城修筑一条渠道，在城中间挖去深为0.6米的块（图6-35阴影部分是挖去部分），己知渠道内坡度为1 ：1.5,渠道底面宽BC为0.5米，求：横断面（等腰梯形）ABCD的面积；修 条 长 为100米的渠道要挖去的土方数.分析：1.引导学生将实际问题转化为数学问题.2.要求S等腰梯形A B C D,首先要求出A D,如何利用条件求AD?3.土方数=S-1解：1 =,=不，B E =0.6（米），A H 1 3AE=1.5x0.6=0.9（米）.等腰梯形ABCD,，FD=AE=O.9（米）.，AD=2xO.9+O.5=2.3（米）.,S梯 四C D =；Q 5+2.3）X 0.6=0.8
40、4 0 0.8（米2）.总土方数=截面积x渠长=0.8x100=80（米 3）.答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米.（四）总结与扩展引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力.1.弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题.2.认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题.3.选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错.4.按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精
41、确度确定答案以及注明单位.四、布置作业1.看教材，培养看书习惯，作本章小结.2.预习实习作业.3.课 本 习 题 14.5第 4 题实习作业一、素质教育目标（一）知识教学点巩固所学的三角函数，学会制作和应用测倾器，能正确测量底部可以到达的物体高度.（二）能力训练点培养学生动手实践能力，在实际操作中培养学生分析问题、解决问题的能力.（三）德育渗透点渗透数学来源于实践，又反过来作用于实际的辩证唯物主义观点，培养学生用数学的意义：培养学生独立思考、大胆创新的精神.二、教学重点、难点和疑点1 .重 点：培养学生解决实际问题的能力和用数学知识的意识.2.难点：能根据实际需要进行测量.3.疑点：在本实习中
42、，学生们测出的答案可能悬殊较大，学生会产生疑惑.三、教学步骤(一)明确目标1.检查预习效果(1)这节课我们将制作什么工具？(2)测倾器有哪几个结构？并对照实物，请学生加以解释。(3)测倾器测倾斜角的原理是什么？通过对以上三个问题的解答，全体学生基本掌握测倾器测量倾斜角的原理，了解测倾器的结构；这样教师可把学生分组，制作测倾器.2.在组长的带领下，全体学生积极配合，共同制作测倾器.(1)用木板做一个半圆刻度盘，用量角器在上面画刻度，注意半圆盘上的刻度与量角器不同，它是90。0。90.(2)用手钻在圆心处打孔，并按上图用螺钉、螺母把它和一根长为130cm的木杆联在起，这时，半圆盘就能绕着固定螺钉旋
43、转(螺母不能固定得太紧或太松).(3)在圆心螺钉处悬挂一铅垂线，以标出铅直向下.(4)在半圆盘的直径的两端钉两个标针，当木杆与地面垂直时，通过两标针及中心的视线是水平的，因为它与铅垂线互相垂直.让学生把自制的测倾器与教师制好的测倾器对照，以帮学生加以改进.(二)重点、难点的学习与目标完成过程.1.测倾器的使用方法学生亲自动手制作测倾器之后，有了成功的喜悦，很想亲自使用它进行测量.这时教师不妨请每组派代表在同一地点测出倾斜角.边测量边讲解：(1)把测倾器插在远离被测目标处，使测倾器的木杆的中心线与铅垂线垂合，这时标针连线在水平位置.注意：一定要注意铅垂线与木杆重合，否则说明木杆不竖直，不能测量.
44、(2)转动半圆盘，使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B处.注：“使目标物顶部B点落在视线上”指眼睛、两个标针与目标物顶点B点位于同一直线上,即四点共线.(3)由图6-36知，/BO E+/AO E=90。，/A O C+/A O氐90。，由同角的余角相等知，倾 角/EOB等于铅垂线与零度线间的夹角/A O C,刻度盘上读出NAO C的度数，就是倾角NEOB的度数.在各组同学的重复测量后，比较结果会发现，结果可能差别较大，启发学生：哪组数据正确？怎样使结果更精确？解释忖强调，不同的数值都不一定与真实值相同，有的偏大，有的偏小，为了准确度高，可以采用求平均值法，降低误差.由于学生在做物理实验
45、时常采用平均值法，因此对这一点不难理解.2.测量底部可以到达的物体的高度(1)创设情境，激发兴趣.每天清晨，国旗班的战士们都要将庄严的五星红旗在天安门广场升起.在国歌声中，旗手以什么速度升旗才能使国旗在国歌奏完时刚好升起呢？下面我们就研究一下.已知国歌演奏时间一定，只要测出旗杆的高度，问题就不难解决了.怎样测旗杆高呢？这样的启发使学生非常感兴趣，而且在预习的基础上，完全可以用己制作好的测倾器加以测量.(2)测量方法如图6-37,以测量旗杆A B的高度为例.请学生用自己制作的测倾器演示测旗杆高度的过程,并叙述方法：在测点D 处安装测倾器，测出旗杆顶的倾角NACE=a.注意，测点D 与旗杆底B 在
46、同一水平面，否则，加大测量难度.量出仪器的高CD=EB=b.量出测点D 到旗杆底B 的水平距离BD=EC=a.由 AE=a-tan a,得 AB=AE+b=a-tan a+b.测量时，不同同学的结果也各不相同，为了准确测量，需多次测量，求平均值.本实验共测三个元素DC、a、B D,每测一次，应把数据填入表中.(3)解决引例问题.sV-测出旗杆高度后，再测出国歌播完所用的时间，用 t,就可以算出升旗的速度了.(三)总结与扩展在本实习中，同学们测出答案肯定有出入，教师可从以下几方面提问学生，并加以强调.1.自制测倾器时，怎样才能更准确？学生在实习后，可以回答：“应刻度均匀、准确，最好用量角器代替2
47、.在测倾器上打标针时，应注意什么？答：这两个标针应该在固定螺钉的同一直线上，并正好在测倾器两个90。刻度所在的直线上,这样可使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B 处时减小误差，提高精确度.3.把测倾器插在地上时，应注意什么？答：所插地面与旗杆底在同一平面上.使木杆沿铅垂线插在地上.4.为了减少误差，采用什么办法？答：多次测量，求平均值.实习报告如下，要求学生认真填写.实习报告 年 月 E题目 测量底部可以到达的旗杆高测量目标见上图6-37测量数据测量项目第一次第二次平均值BD 的长20.15m19.93m20.04m测 倾 器 的高CD=1.23mCD=1.19mCD=1.21m倾斜角。
48、=28。15a =27。45a =28。旗杆高AB(精确到0 1 米)AB=AE+EBAE=CE tan cc,BE=CD,CE=BDoAB=BD-tan a +CD=20.04 x tan 28。+1.21。查表知 tan 28。=0.5317./.AB=20.04x0.5317+1.21 11.9(/n).题目测量底部可以到达的旅杆高负责人及参加人员计算者及复核者指导教师审核意见备注四、布置作业认真记录数据，填好实习报告.平均数(一)一、素质教育目标(-)知识教学点1.使 学 生 初 步 了 解 统 计 知 识 是 应 用 广 泛 的 数 学 内 容.2.了解平均数的意义，会计算一组数据的
49、平均数.3.当一组数据的数值较大时，会用简算公式计算一组数据的平均数（二）能力训练点：培养学生的观察能力、计算能力.（三）德育渗透点1.培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.2.渗透数学来源于实践，反过来又作用于实践的观点.二、教学重点、难点和疑点1.教学重点：平均数的概念及其计算.2.教学难点：平均数的简化计算.三、教学步骤（一）明确目标在日常生活中，我们常与数据打交道，例如，电视台每天晚上都要预报第二天当地的最低气温与最高气温，商店每天都要结算一下当天的营业额，每个班次的飞机都要统计一下乘客的人数等.这些都涉及数据的计算问题.请同学们思考下 面 问 题.（教师出示幻灯片）为了从甲乙
50、两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验.两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲？*6*6591n 74乙 937876g 6771.怎样比较两个人的成绩？2.应选哪一个人参加射击比赛？教师要引导学生观察，给学生充分的时间去思考，并可以分成小组讨论解决办法.对于这个问题，部分学生可能感到无从下手，部分学生可能想到去比较两组数据的平均数，让学生动手具体算一下两组数据的平均数.结果它们相等.在学生无法解决此问题的情况下，教师说明，这正是本章要解决的问题之一.（写出课题）.这样做的目的是教师有意创设问题情境、制造悬念，这不仅能激发学生学习的积极性和自觉性，引起学生对所学课