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1、2022年高考金榜预测卷（一）数 学（新高考卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.设集合 A=x|x/n 2
2、,8 =l,2,4,5,则 8C(6R4)=()A.1 B.1,2)C.1,2,4 D.4,5【答案】D【详解】因为A=x|万 工 2,所以(后可 解得则-，3-x0 小3所以4=口|-1犬4 3 ,则4 4 =5|一 1或 3,又 3=1,2,4,5,所以 BC(6RA)=4,5.故选：D.2.已知复数z=l+i,则 仔)的 值 是()A.32 B.-32 C.i D.-i【答案】C【详解】z _ l+i _(1+i)_ 2i一 口 一 (l-i)(l+i)2所以m=故选：C3.如图，圆。的直径A3=4,点 C,。是半圆弧AB 上的两个三等分点，则 而.而=（）DB.4石C.2 G【答案】D
3、【详解】以。为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直AB 为 y 轴，建立平面直角坐标系,连接 CD,OC,0D,因为点C,。是半圆弧AB 上的两个三等分点，所以NAOC=NCO=NB OO=60。，所以三角形OCD为等边三角形，故/OC=NOOC=60。，则 CO4B,因为AB =4,所以A(-2,0),C(-l,亦),贝 反=(T,6 (-2,0)=(1,，亚=(1,-(-2,0)=(3,，所 以 京 通=卜 3+4=6 A1 0 Bb故选：D4.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石飘壶、潘壶等.其中，石瓢壶的壶体可以近
4、似看成一个圆台.如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：c m),那么该壶的容积约接近于()H*6A.100cmB.200cm5C.300cmD.400cm【答案】B【详解】解：设 R为圆台下底面圆半径，为上底面圆半径，高为6,贝|J R =5,r =3,h=4,，台=京7国+&+，)=+x 4.(2 5 +1 5 +9)=詈 分 2 0 0 k1 1?),故 选:B.5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁 4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2 人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1 人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为()1A.6-BD
5、.2-11-3【答案】A【详解】从甲，乙，丙，丁 4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有C：4=6 x 2=1 2 种可能，要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有8=2 种可能.所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率尸=2=；1.12 6故选：A6.已知函数/(x)=&s i n x,函数g(x)的图象可以由函数f(x)的图象先向左平移以。0)1r r个单位长度,再将所得函数图象保持纵坐标不变，横 坐 标 变 为 原 来 的 0)得到，若x =2是函数g(x)的一个极大值点，x =-聿是与其相邻的一个零点，则 g
6、|的 值 为()A.-7 2 B.0 C.1 D.0【答案】C【详解】函数“X)的图象先向左平移夕(。)个单位长度，得到y =&s i n(x+e)的图象,再将所得函数图象保持纵坐标不变，横 坐 标 变 为 原 来 的 0)得到C Dg(x)=V s i n x+e)的图象；由题可知，4=解得7 万，则0 =1，又g j g =0 s i n佶x g+*=&,4 3 3 T 2 V 07 12 6/故可得任+*=2版+e,%eZ,解得g =2)b r +2,&e Z,4 2 4故=&s i n-|x y +2k 兀 +s i n 2)+=6 s i n ：)=1.故选：C.2 27.已知椭圆C
7、:鼻+2=1(a 0)的左焦点为R A,8分别为C的左右顶点，a be G:V+(y-m)2=W(机 0)与y轴的一个交点为，直线AD,BG的交点为例，且“F _L x轴,则C的离心 率 为()A.-B.；C.-D.-3 2 3 4【答案】A【详解】解法一：由题意可知 A(-a,0),8(a,0),a0,2?),G(0,M,F(-c,0),故直线A)的方程为，-2,=/=x,即y=x +2m,U 一(一a)a直线8G的方程为丁-初二等心,即y=x+m,联 立 直 线 皿 8G的方程，解得/7C*I又M F J _x轴，所以-；=-c,a=3 c,所以C的离心e =-=3 a 3故选：A.解法二
8、：设。为坐标原点，由题意知 A(-a,0),B(“,0),G(0,m),F(-c,0),D(02),M F/。，故,所 以 儒1=篇,即 幽=伫 ,解得|阚=2机”)OD OA 2m a a乂 4OGB 卜M B,明以 id -SR 1，即-=-II I C/zj 1 m(1解得也用=四辿，则 以 9=网山，得”=3 c,a a ac 1所以C的禺心率e =7a 3故选：A.8.已知a=10%b =l产,c =1210,则。，加H 的大小关 系 为()A.b c a B.b a c C.a c b D.abc【答案】D【详解】构造f(%)=(22-x)2x,x 10,f=I n x d-,f
9、(x)=l n x+-1 在 10,”)时为减函数,./(10)=-ln l0+y-l=|-ln l0|-ln e2=1-2 0,所以r(x)=-ln x+子-1 )上单调递减，所以 1。)/(11)川 2),B P 121n l0 llln ll 101n l2,所以 10口 ”u m。,abc.故选：D.二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.9.在 正方体A BC O-A gGA 中，下述正确的是()A.A C/平面 A B G B.AD_L 平面 A B GC.A G J.A
10、R D.平面A BC i平面 B B Q Q【答案】A D【详解】AC/AG，A C u平面A 8G，A Gu平面A 8G，所以A C 平面AG：N D 4 C =4 5。，A O与 A C 不垂直，则A O与 A C 不垂直，AZ)_L 平面A/G不正确；A C=A Dl=C Dl,则 ACR 为等边三角形，则 A R与A C 不垂直，则 4R与A G也不垂直；正方体AB C。-A 耳GR中，有 8 月，平面A G,则 B&J.A G，又 BQ 1 A G，可推得A G L平面B B R D,从而平面AtB Ct 1平面B B RD.故选：AD.1 0.已知等差数列 ,的前项和为品，若%=3
11、,$2=7,贝 U ()A.=5-B.若%,+%=%+%,则_ 1 +3 的最小值为I Im n 1 2C.s“取最大值时，=4 或=5D.若 S.0,的最大值为8【答案】A C D【详解】由题意得4 =4,/=3,可得则等差数列%的通项公式为4,=5-，则选项A判断正确;若=。2+4 o,则加+=2+1 0 =1 2,1 1 6则 一+一 =tn n1 1 6+一m ntn+nx-1 24。7 +8)得(当且仅当，/时等号成立)乂*ne N*,则,+3的最小值不是fl .则 选 项 B判断错误：m n 1 2等差数列%中，4 =4/=3%=2%=1 =。4=一1 则等差数列 q 的前项和S”
12、取到最大值时，=4 或=5.则选项C正确；”(4+5-)=(9-叽0,得0 0/0）的左、右焦点分别是6 ,乃，P是双曲线右支上一点，a-b%职 =（）,0为坐标原点，过点0作月P的垂线，垂足为点H,若双曲线的离心率e =4,存在实数m满足0H=向。用，则m =.【答案】|【详解】当工=。时，代入双曲线可得丁=幺，a由 班 电=0可得P5，耳入，由题易得6。”耳 尸 心.由相似三角形的性质可知，微=耨，则m=:.2a2m+b2m =b2 整理得2=；丝.T|P段,a-m a四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.17.等比数列%中，4=2,且 电，q+%，
13、成等差数列.(1)求数列 为 的通项公式；若数列2-jo。一。,J,试求数列也 前项的和T.，并证明北2；.【答案】(1)4=2(2)7；=1-证明见解析【详解】(1)设等比数列 ,的公比为4,因为4 =2,且 出,q+a 3，劭成等差数列,所以 q(%+/)=2(q +%),因为“I+4 3=i +a(r=4(1+4 2)片0，所以/3 sin Acos C，即 sin C(sin B cos C+sin C cos B)=V3 sin A cos C,即 sin Csin(5+C)=sin Csin 4=百 sin Acos C,又 sin A w 0,所以 tan C=/3,7 T因为o
14、 c 7 i,所以c=；且(2)6 7 _ sin A _ sin(B +C)_ sin B cosC+cosB sinC _ 1 2h sin B sin B sin B 2 tan B因为“BC为锐角三角形，所以0 B-2八 A 2兀 c 兀0 A=-B TT TT解得6 23 2所 以 且 tanB，3所以 _ L+互VB-A E C D=SA E C DXAB=XADXAE sin 兀x f AE tan y j=4(2)在图2 中，以A 为原点，以4 0 所在的直线为了釉建立如图所示的直角坐标系，则8(0,0,2 0(0,2,0),E(6,1,0),C(6,3,0),E F =E B
15、 +B F =E B +-B C =(-7 3,-1,2V 3)+-(7 3,3,-2/3)=4 473 5 73 T 4 T 设面C F 的一个法向量为居=a，x，z j,配=(0,2,0),X-C=0 一.nnA EF=02M =0y/3 5-x,+.4 1 4M+条=0令 Z =l,则=2,弘=0,取 1 =(2,0,1)设面D E F的一个法向量为鼠=(均，Z 2)，而=(-6,L 0),伍 屈=0 卜 人 2 +%=。由彳-G 5 百n2-EF=0I -4-x,-+4-y,2 +2 z22-0令=1,则%=/5*2 =2 ,取 2 =(1,/5,-2)所 以%一 均=0,二/_ 1
16、_ 2，从而二面角C-E/7-7)为直二面角2 0.从有3 个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1 个球，摸出的球不再放回，记 A,表示事件”第i 次摸到红球，i =l,2,7.(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；记 P(A 4 A)表示A，4,4同时发生的概率，P(A J A&)表示已知A与4都发生时4发生的概率.证 明:P(A 4 4)=P(A)P(&|A)P(A|A 4)；求P(A j.【答案】(1)3 证明见解析，5_ 4 x 3【详解】(1)由条件概率公式可得P(&l A)=&姿=2 袭=:；4 27所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为方:（2）由条件概率乘法公
17、式p（A|A4）=7管可得 P（A 4 A s）=P（A 4）尸（4 1A4X，由尸（414）=号*，可得尸（A&）=P（A）P（4 I A）,所以 P（A44）=P（A）P（A I A）P（A I A4）；由可得 P（4）=尸（A&M+尸 44）+P（A%4）+P（*4）=尸（A）P（4|A）尸（A 1 44）+尸（天）P（4|A）（A I A）+p（A）p 区|A）P（A|A W）+P（4）p 区|A）P（A|AA）3 2 1 4 3 2 3 4 2 4 3 3 3=X X +X X 4-X X +X X =,7 6 5 7 6 5 7 6 5 7 6 5 7所以*4)=?2 1.已知椭圆
18、C，+，l（a 6 0）的半焦距e g,离心率e g,且过点 半,1 ,0为坐标原点.求椭圆。的方程；LlLfl LUU ULlUl（2）设过点。（0,2）的直线/与椭圆C分别交于不同的两点A,B,若 043=。上 求 4的取值范围.【答案】（1）C=1 3 1【详解】（1）由题意得力+厂=1,2 6 r ba2=b2+c2整理得2/-2 1/+4 5 =0,g|J（a2-3）（2 a2-1 5）=0,解得/=3或当.2=3 时，从=2,/=1,此 时 C的离心率6 =32,不合题意，舍去,2 4 4 a 6 3所以椭圆C的方程为K+=I.3 2(2)当宜线/的斜率存在时，设直线/的方程为丁
19、=米+2,y =f c c +2,联立，/2 得(2 +3/)/+1 2丘+6 =0,-F =1,1 3 2因为直线/与椭圆C分别交于不同的两点A,B,所以A =(1 2 k)2-2 4(2 +3 )0,整理得&2 :.设A(X，y J,B(x2,y2),p l i x,中广三为,乙 JK,乙 jKU U IILUI所以 Q 4 .Q B =(占,-2).(电，必-2)=再 三 +(%-2)(%-2)=x,x2+kx,kx2=(l +Z:2)x1x2=(l +A:2)x -1 p-=|i|p-,因为二 ,，所以令则犬=芸(2),3 2 +3 x(3)3 y -66-2 v 2 5 n r u
20、u n s由丁大 得 即 2 Q A-Q 3 7，3 y -6 3 2 2U U LIIU L1LIUI 5因为Q A Q 8 =2|O Q =42,所以 2 4 4 1，解得2 o当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x =0,此时直线/与椭圆C的两交点分别为(0,0),(0,-虎)，不妨取 则 Q A =(0,忘2),。8 =(0,血一2),UUl UUU j所以Q A.Q B =2,所以4 4 =2,解得丸=耳，综上所述，义的取值范围为J22.已 知 函 数 小)=欣+三+6 求函数“X)的极值；若函数/(X)的最小值为0,与,&2 ；(3)证明：对于任意n e N ,7+!二+，-0)
21、,=若a W O时，则/g x)。恒成立，/(x)在(O,+8)匕单调递增，故f(x)没有极值；若。0,则当O,a)时，/30 ,/(x)单调递增，/(x)有极小值，极小值为/(a)=ln a+b+l,无极大值.(2)由(1)可知，当4()时，/(X)有最小值，/(x)mi n=na+b+,由函数f(x)的最小值为0，得ln a+b+l=O,由题知 g(x)=/(x)_；=I n x+?+一；,g|=ln +2+/7 =ln 2 =e 0 ,2)2 2 2 e J 2 2a a尸5,g(e 6/)=l +ln Q +Z?0,4 24eax2e -e ln-1-(t z 0 ),令(x)=ej呜
22、，则仆)二 卜 J令p(x)=e*,则P(x)在(0,+8)上单调递增，又p(j =O,.在(0,j上，p(x)0,/(x)0,/?,(x)0,(x)单调递增，1.e.l ；1/./i i x)=川一=e e -e ln =e-e ln =e +e ln 2e 2 2 2e/.e*-e ln Xj 2得证.(3)由(1)a 0,最小值为/(a)=ln a+b +l,所以/(x)=ln x+q +6 2 ln a+6+1,令a =l,b=O,可得/=1,又在时，x)单调递增,所以当xl时6 i,对于任意 w N ,可得I n -,n n +1I n +2 +l1-+2I n +3n+21-+3L,I n2n2n-1 一2/2以上各式相加可得I nn+3 In-x,x-n+2 2n 1-+-+n+n+212n+1 n+2-x-xn n +11可得w+十 +L l n2 成立.2 2n