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1、参考答案参考答案1-8 ACCACBDA9 ABD10AC11BCD12BC13.3/814.1515.416.江苏省百校联考高三年级第三次考试数学试卷江苏省百校联考高三年级第三次考试数学试卷一选择题:本大题共一选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知复数z满足12i12i z,则z()A.2B.2C.3D.32.设集合12e1,20 xMxNx xx,则MN()A.0,1B.1,2C
2、.0,D.2,3.已知na是公差不为 0 的等差数列,nb是等比数列,且1122431,abab ab,设nnncab,则数列 nc的前 10 项和为()A.567B.568C.1078D.10794.设ABC的外接圆的圆心为O,半径为 2,若2 ABACAO,且 OAAC,则向量 BA在向量 BC上的投影为()A.3B.-3C.3D.35.某学习小组 8 名同学在一次物理测验中的得分(单位:分)如下:83,84,86,87,88,90,93,96.这 8名同学成绩的第 60 百分位数是n.若在该小组中随机选取 2 名同学,则这 2 名同学的得分均小于n的概率为()A.37B.1528C.31
3、4D.9146.我国古代数学名著九章算术对立体几何问题有着深入的研究,从其中的一些数学用语可见,譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱,“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥,“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵”111ABCABC,其中ACBC,若14AAAB,则“阳马”11BA ACC体积的最大()A.163B.323C.16D.327.若110tan,tan 234 2,则22sin 22cos4()A.310B.25C.15D.08.已知函数 sin11xfxxx,则直线22yx与 fx的图象的所有交点的横坐标之和为()A.2B.1C
4、.4D.0二多选题:本大题共二多选题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在毎小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上在毎小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得全部选对得 5 分,部分选对得分,部分选对得 2 分,不选或有错选的得分,不选或有错选的得 0 分分.9.已知一组数据1213,x xx构成等差数列,且公差不为 0.若去掉数据7x,则()A.平均数不变B.中位数不变C.方差变小D.方差变大10.设函数 2sin0,0fxx,若 2,3 f xfxf xfx,且 fx的最小正周
5、期大于2,则()A.3B.fx在区间0,3上单调递增C.fx是偶函数D.fx的图象向左平移6个单位长度后得到函数 2sin3g xx的图象11.已知抛物线2:14C yx的焦点为,F P为C上一占,下列说法正确的是()A.抛物线C的准线方程为116 yB.战1yx与C相切C.若0,4M,则PM的最小值为2 3D.在3,5M,则PMF的周长的最小值为 1112.若函数 fx是定义域为0,的单调函数,且对任意的0,x,都有 2log6ff xx,且方程 32429125 f xxxxt在区间0.2上有两个不同解,则实籹t的取值可能为()A.0B.1C.2D.3三填空题:本大题共三填空题:本大题共
6、4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知定义在R上的函数 fx为奇函数,且满足13fxfx.当01x时,3fxxx,则 1162ff_.14.已知620,aaxx的展开式中所存项的系数和为 64,则展开式中的常数项为_.(用数字作答)15.设kR,直线1,0l kxyk,I 直线2:230 lxkyk,记12,l l分別过定点1,A B l与2l的交点为C,则ACBC的最大值为_.16.小王自主创业开了一家礼品店,平常需要用彩绳对礼品盒做一个捆扎(要求扎紧绳子不能松动),其中一种长方体的礼品盒一般都是采
7、用“十字捆扎”(如图 1 所示),后来他又学习了一种新的彩绳捆扎方法“对角捆扎”(如图 2 所示),并认为“对角捆扎”比一般的“十字捆扎”包装更节省彩绳.设长方体礼品盒的长宽高分别为,x y z,则“十字捆扎”所需绳长为_;若采用“对角捆扎”,则所需绳长的最小值为_.(注:长方体礼品盒的高小于长宽,结果用含,x y z的式子表示)四解答题:本大题共四解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)设各项均为正数的数列
8、na,记na的前n项和为21111,33nnnnSaSSa.(1)求na的通项公式;(2)设11nnbna,求数列 nb的前n项和nT.18.(本小题满分 12 分)从22cosabB;22234Sabc;23sin()12sin2 CAB这三个条件中任选一个,补充在下列问题中,并作答.记ABC的内角,A B C的对边分別为,a b cABC的面积为S,已知_.(1)求C的值;(2)若4b,点D在边AB上,CD为ACB的平分线,BCD的面积为2 3,求a的值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(本小题满分 12 分)如图,在三棱锥ABCD中,90ACB,平面ACD平面,4,
9、2,2 3ABC ACBCDCAD.(1)证明:AD平面BCD.(2)设点E在线段AB上,直线DE与直线BC所成的角为4,求平面DCE与平面ACD所成的锐二面角的余弦值.20.(本小题满分 12 分)某学校为学生开设了一门模具加工课,经过一段时间的学习,拟举行一次模具加工大赛,学生小明小红打算报名参加大赛.赛前,小明小红分别进行了为期一周的封闭强化训练,下记录了两人在封闭强化训练期问每天加工模具成功的次数,其中小明第 7 天的成功次数a忘了记录,但知道3660a,aZ.第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天序号x1234567小明成功次数162020253036a小红成功次数1622252
10、6323535(1)求这 7 天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率;(2)根据小明这 7 天内前 6 天的成功次数,求其成功次数y关于序号x的线性回归方程,并估计小明第七天成功次数a的值.参考公式:回归方程ybxa中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为1122211,.nniiiiiinniiiixxyyx ynxybaybxxxxnx参考数据:2222221 162 203 204 255 306 36582;12345691 .21.(本小题满分 12 分)已知椭圆C的焦点为11,0F和21,0F,且椭圆C经过点31,2M.(1)求椭圆C的方程.(2)过点21,0F的直线l与椭圆
11、C交于,P Q两点,则在x轴上是否存在定点N,使得 NP NQ的值为定值?若存在,求出点N的坐标和该定值;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分 12 分)已知函数 3213 e3xfxa xxx,其中aR.(1)若1ea,判断 fx的单调性.(2)设 fx有且只有两个不同的极值点12,x x.(i)求a的取值范围;(ii)当4 ea时,设12xx,证明:149024fx.参考答案参考答案1-8ACCACBDA9ABD10AC11BCD12BC13.3814.1515.416.224xyz,22(22)(22)xzyz17.【详解】(1)由211213,32,nnnnnnSSaSSan,两式
12、相找得11132nnnnnnaaaaaan,110,2,3nnnaaan当1n时,2213zSSa,且113a,2229320aa,得223a(2103a 舍去),.21211,333aa数列na为等差数列,公差为13,1.3nan(2)由(1)及题意可得11131113nbnnnn.123nnTbbbb111111131223341nn133 111nnn18.【答案】(1)3C;(2)4.【详解】(1)选22 cosabcB,则由余弦定理可得222222acbabcac,整理可得222abcab,可得2221cos22abcCab.因为0,C,所以3C.选22234Sabc.可得22231
13、sin24abcabC,即2223sin3cos2abcCCab.所以tan3C.因为0,C,可得3C.选23sin12sin2 CAB.可得3sin2cosCC.可得2sin26C,可得sin16C.因为70,666CC,所以62C,可得3C.(2)在ABC中,ABCACDBCDSSS.可得111sinsinsin222BC CDBCDCA CDACDCA CBACB,可得134a CDCDa又12 3.4CDBSa CD由可得2280 aa,解得4a或2 a(舍去),所以a的值为 4.19.【答案】(1)见详解:(2)217.【详解】(1)证明:在ACD中,因为4,2,2 3ACDCAD,
14、所以222ACADCD,所以ADCD.因为90ACB,所以BCAC.因为平面ACD平面ABC,平面ACD平面,ABCAC BC平面ABC,所以BC平面ACD.因为AD平面ACD,所以ADBC.又,ADCD BCCDC BC CD平面BCD,所以AD平面BCD.(2)以C为坐标原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,过C垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系由題意得4,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,3ABCD,所以4,4,0,0,4,0,1,0,3 ABCBCD.设点E的坐标为,0,1 x y zAEAB,则4,4,04,AExy z.所以44,4,0 xyz,所以点E的
15、坐标为44,4,0,所以34,4,3DE.因为直线DE与直线BC所成的角为4,222162cos,243443 DE CBDE CBDE CB,解得12,所以点E的坐标为2,2,0,则2,2,0 CE.设平面CDE的法向量为1111,nx y z,1111110302200 CD nxzxyCE n取13x,可得13,3,1n.又平面ACD的一个法向量为20,1,0 n所以121212321cos,7133 1 n nn nn n,所以平面DCE与平面ACD所成的锐二面角的余弦值为217.20.【答案】(1)1725(2)2711;387yx.【详解】(1)因为3660a,且aZ.所以a的取值
16、共有 25 种情况.又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时,在5711iiiiyaz.即16202025303616222526323535a,得44a.所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时,a的取值共有 17 情况.所以这 7 天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为1725.(2)由题设可知611 162 203 204 255 306 36582 iiix y,123456716202025303649,6262 xy.所以7495826274927722,1149727291 64 baybx,所以y关于序号x的线性回旧方程为27117yx.当7x时,27711
17、387y,估计小明第 7 天成功次数a的值为 38.21.【答案】(1)22143xy,(2)存在点11,08N,使得 NP NQ为定值13564.【详解】(1)设椭圆C的方程为222211xyaa,将点31,2代入椭圆方程,得224410aa,解得214a(舍去),24a,所以椭圆C的方程为22143xy.(2)当直线l的斜率不为 0 时,设直线l的方程为1xmy,设定点,0N t.联立方程组221,3412,xmyxy,消掉x可得2234690mymy.设1122,P x yQ xy,可得12122269,3434 myyy ymm,所以1212121211 NP NQxtxty ymyt
18、myty y221212111my ymtyyt22222226159961111343434tmmmmtttmmm.要使上式为定值,则276154 t,解得118t,此时291113514864 NP NQ.当直线l的斜率为 0 时,2,0,2,0PQ,此时,13564 NP NQ也符合.所以存在点11,08N,使得 NP NQ为定值13564.22.【详解】(1)2 e22efxa xx xxax.当1ea时,12fxxex.令 1eg xx,则 1e1,rgxg x在,1上单调递减,在1,上单调逆增,则 10g xg,故 fx在,2上单调递战,在2,上单调递增.(2)若 fx有且只有两个
19、不同的极值点12,x x,则 fx有且只有两个不同的零点.(i)exxax只有一个实数根,且不为 2,e1xxa,当0a时,x在1,lna上单调递减,在1ln,a上单调递增.则111ln1 ln0,e aaa.由(1)知,当1ea时,fx只有一个极值点 2,舍去.当0a时,e10,xxax为R上的减函数.又因为 200,10maaaeaa e,所以存在00 ax,使得00 x.综上,0a.(ii)证明:当e4 a,即e,04 a时,x在R上单调递减,又 111e2e0,0022244eaa,所以121022xx.又11exax,所以122222211111111111113 e32333 xf xa xxxxxxxxx13 x.令 321123,032 h xxxx x,则 24313 h xxxxx,h x在1,02 x上单调递减,又 149,00294hh,所以149024fx.