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1、参考答案与评分建议 第 1 页（共 14 页）南通市 2023 届高三第三次调研测试 数学参考答案与评分建议 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 已知U R，2|430Ax xx，|3|1Bx x，则UAB A|14xx B|23xx C|12xx D|23xx 【答案】A 2 已知，a b是两个单位向量，则“ab”是“|2|2|abab”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【答案】C 3 某人将斐波那契数列的前6项“1 1 2 3 5 8，”进行排列设置数字密码，其中两个
2、“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有 A120种 B240种 C360种 D480种 【答案】A 4 星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减 已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为7310rPEES，其中PE是激光器输出的单脉冲能量，rE是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：2km，光斑面积与卫星高度有关）若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减满足10lgrPEE（单位：dB）当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为275 km，则此时大小约为（参考数据：lg20.301）A76.02 B83.98 C93.01
3、 D96.02 参考答案与评分建议 第 2 页（共 14 页）【答案】B 5 已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为3r，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为 A29 B39 C23 D2 39 【答案】D 6 已知F为椭圆2214xCy：的右焦点，P为C上一点，Q为圆22(3)1Mxy：上一点，则PQPF的最大值为 A5 B6 C42 3 D52 3 【答案】D 7 已知cos(40)cos(40)cos(80)0，则tan A3 B33 C33 D3 【答案】A 8 已知23loglogab，23loglog(1)bc b，则 A1222abc B1222b
4、ac C5542logloglogbac D5452logloglogbac 【答案】C 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有 A若zR，则zz B若2z R，则z R C若210z ，则iz D若(1i)1iz，则|1z 【答案】AD 参考答案与评分建议 第 3 页（共 14 页）10已知正三棱柱111ABCA B C的各棱长都为1，E为AB的中点，则 A1BC 平面1A EC B二面角1AECA的正弦值为55 C点
5、A到平面11A BC的距离为217 D若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为216 【答案】ACD 11 已知函数()f x及其导函数()fx的定义域均为R，(2)()(4)()f xfxfxf x，且当01x时，3()3f xxx，则 A(3)2f B()(e)ff C33()()22ff D7()02f 【答案】BC 12设A B，是一个随机试验中的两个事件，且131()()()342P AP BP AB，则 A1()6P AB B3(|)4P B A C()(|)P BP B A D7()12P ABAB 【答案】BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
6、13某工厂月产品的总成本y（单位：万元）与月产量x（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知y与x线性相关如果回归方程是3.5yx，那么表格中数据a的值为 x/万件 1 2 3 4 y/万元 3.8 5.6 a 8.2 【答案】6.4 14设等差数列na的前n项和为nS，10a，1523aaa，则1020Sa 参考答案与评分建议 第 4 页（共 14 页）【答案】114 15已知12FF，分别为双曲线22221(00)yxCabab：，的左、右焦点，过2F作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于MN，两点若15cos13MF N，则C的离心率为 【答案】5 16如图，在ABC所在平面内，分别
7、以AB BC，为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG记ABC的内角A B C，的对边分别为a b c，面积为S已知34S，且sinaAsincC4 sinsinaCB，则FH 【答案】3 2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）将函数()sinf xx的图象先向右平移4个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)倍（纵坐标不变），得到函数()yg x的图象（1）若2，求函数()yg x在区间44，上的最大值；（2）若函数()yg x在区间()42，上没有零点，求的取值范围【解】由题意得()sin()4g xx
8、（1）若2，则()sin(2)4g xx 因为44x，所以32444x，3 分 G H F E B C A 参考答案与评分建议 第 5 页（共 14 页）因为sinyx在区间342，上单调递减，在区间24，上单调递增，因为32sin()42，2sin42，所以()g x的最大值为22，此时244x，4x 5 分（2）由题意得()sin()4g xx 因为函数()yg x在区间()42，上没有零点，所以4424kk，其中k Z，6 分 解得，54122kk，所以54122kk，34k，又因为0，所以54k，8 分 由k Z，得0k 或1 所以102或512，所以的取值范围是15(0122，10
9、分 18（12 分）已知数列na满足11a，25a，2156nnnaaa（1）证明：12nnaa是等比数列；（2）证明：存在两个等比数列nb，nc，使得nnnabc=+成立【解】（1）因为2156nnnaaa，所以21123(2)nnnnaaaa，2 分 因为21230aa，所以211232nnnnaaaa，参考答案与评分建议 第 6 页（共 14 页）所以，数列12nnaa是首项为 3，公比为 3 的等比数列 4 分（2）由（1）知，123nnnaa 6 分 所以1132(3)nnnnaa，因为11320a ，所以，数列3 nna 是首项为2，公比为 2 的等比数列，8 分 所以32nnna
10、 所以32nnna 10 分 令3nnb，2nnc，且13nnbb，12nncc，所以，存在两个等比数列nb，nc，使得nnnabc=+成立 12 分 19（12 分）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价下图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率直方图，评分在区间90 100)，70 90)，60 70)，50 60)，上，分别对应为 A，B，C，D 四个等级为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评复评中，原获 B 等级的学生有14的概率提升为A等级；原获 C等级的学生有15的概率
11、提升为B等级；原获 D 等级的学生有16的概率提升为C等级用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立 评分/分 0 0.005 0.015 0.020 0.028 0.032 频率组距 100 90 80 70 60 50 参考答案与评分建议 第 7 页（共 14 页）（1）若初评中甲获得 B 等级，乙、丙获得 C 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为 B等级的人数为，求的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选 1 人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率【解】（1）记“甲同学复评晋级”为事件X，“乙同学复评晋级”为事件Y，“丙同学复评晋级”为事件Z，则1()4P X，1(
12、)()5P YP Z，且X，Y，Z相互独立 根据题意，的可能取值为 0，1，2，3 214164(0)()()()()()4510025PP XYZP X P Y P Z；(1)()()()()PP XYZXYZXYZP XYZP XYZP XYZ 2341415614()24545510025 ；(2)()()()()PP XYZXYZXYZP XYZP XYZP XYZ 34111125124554551004 ；2313(3)()()()()()45100PP XYZP X P Y P Z 4 分 所以的概率分布为 0 1 2 3 P 425 1425 14 3100 所以的数学期望41
13、41323()01232525410020E 6 分（2）记“任选的同学初评是A级”为事件1M，“任选的同学初评是B级”为事件2M，“任选的同学初评是C级”为事件3M，“任选的同学初评是D级”为事件4M 显然1M，2M，3M，4M两两互斥，且1234MMMM 其中1()0.2P M，2()0.6P M，3()0.15P M，4()0.05P M 8 分 参考答案与评分建议 第 8 页（共 14 页）记“选 1 名复评晋级的同学”为事件N，由全概率公式得 1234()()P NP M NM NM NM N 1234()()()()P M NP M NP M NP M N 11223344()()
14、()(|)()(|)()(|)P MP N MP MP N MP MP N MP MP N M 11111300.60.150.05456600 10 分 由条件概率公式得 333()18100(|)()113113600P M NP MNP N 所以该同学初评时是 C 等级的概率为18113 12 分 20（12 分）如图，三棱锥PABC的底面为等腰直角三角形，90ABC，2AB D E，分别为AC BC，的中点，PD 平面ABC，点M在线段PE上（1）再从条件、四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD 平面PBC，并给予证明；（2）在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值
15、 条件：2PD；条件：60PED；条件：3PMME；条件：3PEME 【解】方案一：选择条件和 （1）在ABC中，因为D E，分别是AC BC，的中点，所以DEAB，112DEAB 因为90ABC，所以ABBC，所以DEBC 因为PD平面ABC，BC 平面ABC，所以PDBC 又PDDED，PD DE，平面PDE，所以BC 平面PDE 又DM 平面PDE，所以DMBC 2 分 因为PD平面ABC，DE 平面ABC，所以PDDE M P E D C B A 参考答案与评分建议 第 9 页（共 14 页）在RtPDE中，2PD，1DE，3PEME，所以3PEDEDEEM，在PED和DEM中，又因为
16、PEDDEM，所以PEDDEM，所以90PDEDME，所以DMPE 4 分 又PEBCE，PE BC，平面PBC，所以DM 平面PBC 又DM 平面MBD，所以平面MBD 平面PBC 6 分（2）过点D作DTAB于点T 所以DTDE DP，两两垂直 以点D为坐标原点，分别以DTDE DP，为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 则(0 0 0)D，(1 1 0)B，(0 1 0)E，(0 02)P，122(0)333DMDEEMDEEP ，(1 1 0)DB ，8 分 设平面DMB的一个法向量为()x y z，n，则220330DMyzDBxy ，nn 令1x，得12yz，所
17、以(112)，n 10 分 设直线BP与平面MBD所成角为，因为(112)BP ，所以21sincos=222BP，n，所以，直线BP与平面MBD所成的角的正弦值为12 12 分 方案二：选择条件和 （1）在ABC中，因为D E，分别是AC BC，的中点，M P E D C B A x y z T 参考答案与评分建议 第 10 页（共 14 页）所以DEAB，112DEAB 因为90ABC，所以ABBC，所以DEBC 因为PD平面ABC，BC 平面ABC，所以PDBC 又PDDED，PD DE，平面PDE，所以BC 平面PDE 又DM 平面PDE，所以DMBC 2 分 因为PD平面ABC，DE
18、 平面ABC，所以PDDE 在RtPDE中，3PD，1DE，3PMME，所以2PEDEDEEM，在PED和DEM中，又因为PEDDEM，所以PEDDEM，所以90PDEDME，所以DMPE 4 分 又PEBCE，PE BC，平面PBC，所以DM 平面PBC 又DM 平面MBD，所以平面MBD 平面PBC 6 分（2）过点D作DTAB于点T 所以DTDE DP，两两垂直 以点D为坐标原点，分别以DTDE DP，为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(0 0 0)D，(1 1 0)B，(0 1 0)E，(0 03)P，133(0)344DMDEEMDEEP ，(1 1 0)D
19、B ，8 分 设平面DMB的一个法向量为()x y z，n，则330440DMyzDBxy ，nn 令1x，得13yz，所以(113)，n 10 分 设直线BP与平面MBD所成角为，因为(113)BP ，M P E D C B A x y z T 参考答案与评分建议 第 11 页（共 14 页）所以33sincos=555BP，n，所以，直线BP与平面MBD所成的角的正弦值为35 12 分 21（12 分）已知抛物线212(0)Cypx p：与222(0)Cxqy q：都经过点(4 8)A，（1）若直线l与12CC，都相切，求l的方程；（2）点MN，分别在12CC，上，且94MANAOA ，求
20、AMN的面积【解】（1）将点(4 8)A，代入22(0)ypx p，得648p，解得8p，将点(4 8)A，代入22(0)xqy q，得1616q，解得1q，所以1C的方程为216yx，2C的方程为22xy 2 分 由题意知，直线l的斜率存在且不为 0，设直线l的方程为ykxm 联立216ykxmyx ，消去x，得216160kyym，因为直线l与1C相切，所以2(16)4 160km ，整理得4km 4 分 联立22ykxmxy ，消去y，得2220 xkxm，因为直线l与2C相切，所以2480km 由解得，2km 所以直线l的方程为22yx，即220 xy 6 分（2）因为点MN，分别在1
21、2CC，上，可设22()()162abMaN b，由94MANAOA ，得 参考答案与评分建议 第 12 页（共 14 页）22(816)(9 18)162abba ，即22891616182abba ，化简，得2211622abba，8 分 由2，可得222082abba，整理，得(2)(28)0baba，（）若20ba，由知2440bb，所以24ba，所以(14)(2 2)MN，；（）若280ba，由知24200bb，方程无解；所以直线MN的方程为422(2)1(2)yx ，即220 xy 10 分 所以22(1(2)(4)2)3 5MN ，点A到直线MN的距离为222482185521
22、，AMN的面积1183 552725S，所以AMN的面积为 27 12 分 22（12 分）已知函数()cosf xxx，()sing xax（1）若1a，证明：当(0)2x，时，()()xg xf x；（2）当(0)(0)22x，时，()sin()f xxg xx，求a的取值范围【解】（1）由题意知，当1a 时，令()sinh xxx，则()1cosh xx 当(0)2x，时，()0h x所以()h x在(0)2，上单调递增，所以()(0)0h xh，即()xg x；2 分 参考答案与评分建议 第 13 页（共 14 页）令()sincosxxxx，(0)2x，则()coscossinsin
23、xxxxxxx，当(0)2x，时，()0 x所以()x在(0)2，上单调递增，所以()(0)0 x，即()()g xf x 综上，当1a 时，()()xg xf x在(0)2，上恒成立 4 分（2）()sinsincos()sinf xxxxxxg xxax 令sincos()sinxxxF xxax，(0)(0)22x，因为()()FxF x，所以题设等价于()0F x 在(0)2，上恒成立 由（1）知，当(0)2x，时，sincosxxxx，于是：当0a时，()0F x 恒成立；6 分 当0a时，()0F x 等价于22sincos0()axxx（）当01a时，()左边222cos(cos
24、)axxxxax，令()cosp xax，因为()cosp xax在(0)2x，上递增，且(0)10pa，()02pa，所以存在(0)2，使()0p，所以当0 x，()0p x，即2(cos)0 xax，不合题意 9 分（）1a时，()左边22sincosxxx 令22()sincosr xxxx，(0)2x，则2()2sin cos2 cossinr xxxxxxx 22sin cos2sinsinxxxxx 参考答案与评分建议 第 14 页（共 14 页）22(1cos)sinxxx 22(4sin)sin2xxx 224()(sin)sin022xxx，所以()r x在(0)2，上单调递增，所以()(0)0r xr 所以()左边大于0，所以()0F x 综上，a的取值范围是(0)1)，12 分