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1、试卷第 1页，共 4页2022-2023 学年度春学期四校期中联考试卷2022-2023 学年度春学期四校期中联考试卷高一数学高一数学考生注意：客观题请用 2B 铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上。一、单选题（本大题共 8 小题，每小题只有一个正确选项，每题 5 分，共 40 分）一、单选题（本大题共 8 小题，每小题只有一个正确选项，每题 5 分，共 40 分）1已知复数2i1iz，则z z（）A1B32C2D522一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形，则原平面图形的面积为（）A2B4 2C8D8 23一质点
2、在力1(3,5)F ，2(2,3)F 的共同作用下，由点(10,5)A移动到(4,0)B，则1F，2F 的合力F对该质点所做的功为（）A16B24C110D1104在ABC中，2222cos2cosabcbcAacB，则ABC一定是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等边三角形5中国古代数学家刘徽在九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2），刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约 200 年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一
3、等高处的截面积都相等，则两立体体积相等.如图（3）（4），祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（）A13B23C83D1636已知0,2，sin2cos4，则cos2的值为（）A0B12C32D32江苏省无锡市四校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题江苏省无锡市四校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题第 2页，共 4页7设1A、2A、3A、4A为平面直角坐标系中两两不同的点，若1312RA AA A，1412RA AA
4、A，且114，则称点3A、4A和谐分割点1A、2A.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（）A点C可能是线段AB的中点B点C可能是靠近点A的线段AB的三等分点C点C、D可能同时在线段AB上D点C、D可能同时在线段AB的延长线上8 已知ABC的内角A，B，C满足sin2si1ns n2iAABCCAB，ABC的面积S满足12S，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（）A16 2ab abB8bc bcC612abcD1224abc二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 4 小题，每小题有多个正确选项，错选得小题，每小题
5、有多个正确选项，错选得 0 0 分，漏选得分，漏选得 2 2 分，每题分，每题 5 5分，共分，共 2020 分）分）9下列结论正确的是（）A在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线B不共面的四点可以确定 4 个平面C圆锥的侧面展开图是个半圆，则圆锥的母线是底面半径的 2 倍D有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱10在复平面内，下列说法正确的是（）A若复数z满足0z z，则0z B若复数1z、2z满足1212zzzz，则1 20z z C若1 21 3z zz z，且10z，则23zz D若1z，则1iz 的最大值为2111下列选项中正确的是（）A设向量1
6、,1ax，1,3bx，若a，b共线，则2x B已知点)0,0(O，向量)0,4(),3,1(OBOA，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是)0,3(),2,2(C若1,2a ，4,1b，则a在b方向上的投影向量的坐标为82,1717D若平面向量a，b满足22ba，则2ab的最大值是 512下列结论正确的是（）A若3,4,6,3,5,3OAOBOCmm ，ABC为锐角，则实数m的取值范围是34m B点O在ABC所在的平面内，若0OAOBOC ，则点O为ABC的重心C点O在ABC所在的平面内，若230OAOBOC ，AOCS，ABCS分别表示AOC，ABC的面积，则:1:6AOCABCSSD点
7、O在ABC所在的平面内，满足AO ABAO ACABAC ，且CO CACO CBCACB ，则点O是ABC的外心试卷第 3页，共 4页三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13已知32 i是关于x的方程02qpxx的一个根，则qp的值是.14某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得75DAB，60ABDo，48AB 米，在点A处测得塔顶C的仰角为30，则塔高CD为米.15已知正四棱台1111ABCDABC D中，1124ABAB，若该四棱台的体积为28 33，则这
8、个四棱台的表面积为16在平面内，定点,A B C O，满足2OAOBOC ，且0OAOBOC ，则AB _；平面内的动点,P M满足1AP ，PMMC ，则2|BM 的最大值是_四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 6 小题，作答各题时须有必要的计算和推理过程，共小题，作答各题时须有必要的计算和推理过程，共 7070 分）分）17（本题 10 分）根据要求完成下列问题：(1)已知复数11i(R)2zb b在复平面内对应的点在第四象限，11z，求1z；(2)复数 2226253 izmmmm为纯虚数，求实数m的值18（本题 12 分）已知向量a，b满足|2a，|3b，且(3)(2)16a
9、bab.(1)若()()abab，求实数的值；(2)求a与2ab的夹角的余弦值.19（本题 12 分）从24cos4cos cos14sin sinABCBC；sinsinsinsincCaACBb；ABC的外接圆的半径为 2，且AB，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答.已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且2 3a，_.(1)求角A的大小；(2)若3bc，求ABC的面积.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.第 4页，共 4页20（本题 12 分）如图，直三棱柱111ABCABC-的高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.(1)以上、下
10、底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V；(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.21（本题 12 分）如图，在ABC中，P在线段BC上，满足2BPPC ，O是线段AP的中点(1)延长CO交AB于点Q（图 1），求AQQB的值；(2)过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F（图 2），设EBAE ，FCAF （i）求证2为定值；（ii）设AEF的面积为1S，ABC的面积为2S，求12SS的最小值22（本题 12 分）如图，某公园改建一个三角形池塘，90C，2AB 百米，1BC 百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案
11、一如图，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且23CPB，求连廊APPCPB的长（单位为百米）；(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图，使得DEF为正三角形，设2S为图中DEF的面积，求2S的最小值；方案三如图，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设3S为图中DEF的面积，求3S的最大值.第 1页，共 5页2022-20232022-2023 学年度春学期四校期中联考试卷学年度春学期四校期中联考试卷高一数学高一数学（参考答案）（参考答案）一、单选题一、单选题1D2D3A4C5.B6A7C8B二、多选题二、多选题9
12、ABC10AD11ACD12BC三、填空题三、填空题1319142241544162 3494四四、解答题、解答题17（1）解：由复数名11i(R)2zb b在复平面内对应的点在第四象限，可得0b，又由11z，可得221()12b，解得234b，所以32b ，所以复数113i22z 5 分（2）解：因为复数 2226253 izmmmm为纯虚数，则22602530mmmm，解得2m ，即求实数m的值为2.10 分18（1）因为|2a，|3b，且(3)(2)16abab，所以22(3)(2)352ababaa bb 6516a b ，所以2a b，3 分因为()()abab，所以22()()(1
13、)270ababaa bb ，解得27；6 分（2）因为|2a，|3b，由（1）得2a b，所以22(2)22 226aabaa b，8 分222222(2)444 24 2317ababaa bb ，10 分设a与2ab的夹角为，则(2)63 17cos172172aabaab12 分19【详解】（1）解:选：因为24cos4cos cos14sin sinABCBC，所以24cos4cos cos4sin sin10ABCBC，第 2页，共 5页即24cos4cos10ABC，2 分因为ABC，所以24cos4cos 10AA，即24cos4cos10AA，即22cos10A，解得1cos
14、2A，4 分因为0,A，所以3A；6 分选：因为sinsinsinsincCaACBb，在ABC中，将正弦定理代入化简可得：22cacbb，即222bcbca，即222bccba，2 分在ABC中，由余弦定理可得：2221cos22bcaAbc，4 分因为0,A，所以3A；6 分选：因为ABC的外接圆的半径为 2 且2 3a，在ABC中，由正弦定理可得：2 3224sinsinaAA，解得3sin2A，3 分因为AB，所以0,2A，所以3A；6 分（2）由（1）知3A，3bc，2 3a，在ABC中，由余弦定理可得：2221cos22bcaAbc，即222911622ccc，解得2127c，即2
15、 217c，9 分所以6 217b，10 分所以379sin21AbcSABC.12 分20（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，由勾股定理逆定理可知：底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm，又因为三棱柱111ABCABC-的侧棱垂直于底面，其高为2cm，所以1 11313 4212(cm).2ABCA B CV 2 分设圆柱底面圆的半径为r，则123 4221345ABCSrABBCAC 第 3页，共 5页圆柱体积123122(cm).OOV5 分所以剩下的几何体的体积3(122m.)cV 6 分（2）直三棱柱111ABCABC-可补形为棱长分别为3cm,4c
16、m,2cm的长方体，它的外接球的球半径R满足222234229R，即29cm.2R 8 分所以，该直三棱柱的外接球的表面积为2229429cm2S.10 分由（1）可知该直三棱柱的内切球半径为1cm，则内切球球的体积3344 1cm.33V 12 分21（1）依题意，因为2BPPC ，所以11213333APABBPABBCABBAACABAC ，因为O是线段AP的中点，所以111236AOAPABAC ，设ABxAQ，则有136xAOAQAC，2 分因为,C O Q三点共线，所以1136x，解得52x，即25AQAB，所以35QBAB，所以23AQQB；4 分（2）（i）根据题意1ABAEE
17、BAEAEAE ,同理可得：1ACAF，由（1）可知，111236AOAPABAC ，所以1136AOAEAF，6 分因为,E O F三点共线，所以11136，化简得23，即2为定值，且定值为 3；8 分（ii）根据题意，11sin2SAE AFA，211sin11sin22SAB ACAAEAFA，所以121sin211111sin12SAE AFAAAFASE，10 分第 4页，共 5页由（i）可知23，则32，所以1222111221922121 324SS，易知，当12时，12SS有最小值，此时1229SS.12 分22（1）解：因为点P是等腰三角形PBC的顶点，且23CPB，1BC，
18、所以6PCB，由余弦定理可得，222cos2PBPCBCPCBPB PC，解得33PC，1 分又因为2ACB，故3ACP，在RtACB中，2AB，1BC，所以223ACABBC，在ACP中，由余弦定理可得，2222cos3APACPCAC PC，解得213AP，3 分故212 3212 3333APPCPB，所以连廊APPCPB的长为212 33百米4 分（2）解：设图中的正DEF的边长为a，(0)CEF，则sinCFa，3sinAFa，设1EDB，则213BDEBDEB，233DEBDEB，所以2133ADF，在ADF中，由正弦定理可得，sinsinDFAFAADF，即3sin2sinsin()63aa，6 分即231sin()sin322aa即721)sin(73cos3sin23a（其中为锐角，且3tan)2，8 分所以23 328minS；9 分图中，设BEx，(0,1)x，因为/DE AB，且EFDE，所以3DEC，6FEB，2EFB，第 5页，共 5页所以3cos62EFxx，222cos3CEDECEx，所以221133313(22)()()2222228DEFSEF DExxxxx，11 分所以当12x 时，DEFS取得最大值38，故3S的最大值是3812 分