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1、六校联盟高年级联考（2023.04)数学试卷命题单位：（满分：150 分，测试时间：120 分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、己知复数z满足z(2+i)=3+4i（其中i为虚数单位，则fzl=C)A.B.2c.、rsD.2Js2.己知向量马与8的方向相反，三（3，斗，jiij=3$3，则马（A.(-6,4)B.(-4,6)c.(-9,6)D.(9,-6)3.在t:ABC中，A=60。，sin2 A=sin B sin C，则t:ABC一定是）A.锐角三角形B.钝角三角形c.直角三角形D.等边三角形4.己知m,n为实数，2+
2、iCi为虚数单位 是关于x的方程x2-mx+n=0的一个根，则m+n=()A.9B.7c.5D.45.设向量马与8的夹角为，定义马b=jm;inO+bcos己知向量马为单位向量，lbl=13,I二bl=2，则印b=()A子B.1C.JiD孚6.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到己知棱长为a的正四面体体积为18.fi.，如图，沿该四面体的棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为：的截角四面体，则该截角四面体的体积为（试卷第1页，共4页 且，、，、，、，、，、p、J、，飞，、河北省保定市六校联盟2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题答案第 1 页，共
3、 8 页 六校联盟六校联盟高高一年级联考（一年级联考（2022023 3.0 04 4）参考答案参考答案 1C 【详解】()()()()34i2i34i10+5i2+i2i2i2i5z+=+，所4 15z=+=.2C 【详解】a与b的方向相反，ab=（0）设(),ax y=，则()(),3,-2x y=，于是3,-2.xy=由3 13a=，得22117xy+=，即2229413117+=，29=，3=，()-9,6a=3D 【详解】在ABC中，因为60A=，2sinsinsinABC=2abc=，由余弦定理可得，222222cosabcbcAbcbc=+=+，所以22bcbcbc=+，即()2
4、0bc=，所以bc=，结合60A=可得ABC一定是等边三角形 4A 【详解】由2+i是关于x的方程20 xmxn+=的一个根，则2-i是关于x的方程20 xmxn+=的另一个根，则2i2i4m=+=，(2i)(2i)5n=+=，即4m=，5n=，则9mn+=，5B 【详解】由题意得2222+212 1cos()433a baa bb=+=+=，解得cos0=，又0,，所以sin1=，所以1aba=.6C 【详解】截角四面体的体积为大正四面体的体积减去四个相等的小正四面体体积，由正四面体的体积为可得正四面体棱长 a=6 因为棱长为 1 的正四面体的高22361323h=，则棱长为 1 的正四面体
5、的体积211362134312V=，所以该截角四面体的体积为答案第 2 页，共 8 页 3246 218 242123V=7D 【详解】设ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c=,则AB边上的高3sinsin602haBaa=，由正弦定理得()sin 120sin31sinsintanCAaCCC=+.ABC为锐角三角形62C，则3tan3C，所以()311,4tanaC=+，从32 32h，因此AB边上的高的取值范围是32,2 3.提示：也可画图处理，考虑临界情况直角三角形时.8B 【详解】不妨设向量(1,0)a=，(,)bm n=，则(1,)axbxmxn=，(,)byamy
6、 n=，所以()222222(1)()21axbmxxnmnxmx=+=+，又对任意实数x有axb的最小值为32，所以()()2222224(2)324mnmmn+=+223nm=又222|()byamyn=+，对任意实数y有bya的最小值为3，所以23n=，所以233m=，即1m=由(1,)abm n+=+，可得22222(1)217abmnmnm+=+=+=或 3，故73ab+=或提示：也可考虑几何方法 9BD 【详解】对于 A，3i,2i+是虚数，不能比较大小，故错误；对于 B,234iiiii 1 i+10+=，2342023iiii+ii 1 i1+=故正确；对于 C,()212ii
7、34z=+=+，复数z对应的点(3,4)位于第二象限，故错误；对于 D,复数z满足11zz=+，即复数z对应的点到点(1,0),(1,0)的距离相等，故z在复平面内对应的点的轨迹为(1,0),(1,0)连线的中垂线，故正确，答案第 3 页，共 8 页 10ACD 【详解】A当()+=-4 4a b，时，1t=故 A 不正确 B.ab，则1230a bt=+=，4t=，B 正确；a与b夹角为钝角时，则123t0a b=+，4,t 当 t=-1 时向量,a b反向，所以a与b夹角为钝角时4t1t 且，C 不正确；2t=时，(2,2)b=，a在b上的投影向量为323,2abbbb=，D 不正确 11
8、ABD 【详解】如图 1，设圆锥母线为l，高为h，由半径r3，体积为得21=3h3V=，所以=1h，222lhr=+=，侧面积为2 3rl=.A 正确;由圆锥的内切球球心O1作1O DPB，垂足为点D，设11O DOOR=，则11POR=,由113sin2O DOBOPBPBPO=，即312RR=，解得2 33R=，内切球O1的表面积为()()22442 338448 3 R=，故 B 正确；选项 C，3sin2OPB=，02OPB，所以60OPB=，则120APB=，过点P作平面截圆锥的截面面积最大时，对应三角形为等腰直角三角形2122Sl=，故 C 不正确；选项 D，如图 2，把圆锥的侧面
9、展开一半，点A展开到A，1PM=，2PAPA=，32rA PBl=，由余弦定理22232cos54cos2A MPAPMPAPMA PB=+=，所以从A点沿圆锥表面到M的最近路线长354cos2A M=，故 D 正确.12AC【解析】在ABC中csin3 cosAaC,12 题图 答案第 4 页，共 8 页 sinsin3sincosCAAC,又sin0A,tan3C,=3C，故 A 正确;又c=6,所以c2=4 3sinRC,故2 3R,B 不正确；取的中点,如图所示:在tRAOM中，2222(2 3)(3)3OMOAAM,在tRDOM,1DM，2222(3)12ODOMDM故选项 C 正确
10、;2 32CDCOOD,当且仅当圆心在上时取等号,所以的最大值为2 32故 D 错误.1313 因为32zi=+，所以3 2zi=，因此()223-2i9413z z=+=.143 2 【详解】过A作AEBC于E，在直观图中，45ABC=，1ADDC=，DCBC，所以1,1ECBE=，2BC=，故原平面图形的上底为1，下底 2，高为2 2，所以这块菜地的面积为1(12)2 23 22S=+=，1512【详解】由题意可得正方体外接球的直径 3AB=，设点O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点，OAOB=且32OAOB=，222()()()32OAOPOBOPOA OBOAOBOPOABOPPP
11、P=+=+（）由21OP ，PA PB 的最小值为22131222=（）（）.1690【详解】在RtABC中，45ACB=，所以BCAB=，在RtABD，30ADB=，所以tan30ABBD=，即3BDAB=，在BCD中，120BCD=，14 题图 答案第 5 页，共 8 页 90CD=，由余弦定理，2222cos120BDBCCDBC CD=+，即22213902 90()2ABABAB=+，解得90AB=或45AB=（舍去），即黄河楼AB的估计高度为90米.17(1)32m=，3z=；(2)3,2.（1）()()()()2232 i 1 i32 i32 i2 i3i3-2m32i1 i1
12、i 1 i1 i22mmmmmz+=+3 分 若z是纯虚数，则3203+20mm=，解得32m=，3iz=，3z=5 分（2）由（1）知，3-2m32i22zm+=，3-2m 32-i22mz+=6 分2m33(2m3)222zzi+=8 分 复数2zz在复平面上对应的点位于第二象限，()2303 230mm+，解得23m ，即,23m 10 分 18(1)5 (2)21-2【详解】（1）因为1122CFCDAB=，2CEEB=，所以2233ECBCAD=，所以21123223EFECCFBCCDABAD=+=+=+，所以12,23xy=，故295xy+=6 分（2）()22121122326
13、3AC EFABADABADABAB ADAD=+=+9 分 ABCD为平行四边形，|6,|360ABADBAD=，答案第 6 页，共 8 页 6 3 cos609AB AD=，2211221693-2632AC EF=+=12 分 19(1)23B=(2)2【详解】（1）coscos()sin2222ACBB+=，所以sinasin2BbA=，由正弦定理得：sinsinsinsin2ABAB=，sin0A，sinsin2BB=，sin2sincos222BBB=，()0,0,sin0222BBB，得1cos22B=，即23B=，23B=5 分（2）3BA CB=,3BA BC=a cos3c
14、B=,得a6c=，由余弦定理得：222=-2a cos20baccB+=，22c14a+=1()2BDBCBA=+，222211()(a2cos)244BDBABCcacB=+=+=所以2BD=12 分 20(1)3B=(2)(8,12【详解】由题意得：(),mbc ac=，()sinsin,-sinnBCA=+，且mn()()sinsin-sin()=0bcBCA ac+，根据正弦定理可得()()()bcbca ac+=，即222acbac+=2221cos22acbBac+=又(0,)B3B=5 分(2)若4b=，由余弦定理可得：222116=2()32acacacac+=+2()4aca
15、c+223()()164acac+2()64ac+08ac+，当且仅当ac=时取等号 4acb+=812abc+所以三角形ABC周长的取值范围(8,1212 分 21(1)4 (2)证明见解析 答案第 7 页，共 8 页【详解】（1）由题可知()11213333ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+=+，因为点E为AD的中点，所以111236AEADABAC=+AMmAB=,ANnAC=,1136AEAMANmn=+,因为M，N，E三点共线，11136mn+=116336(36)()2()2243636nmmnmnmnmn+=+=+=当且仅当23m=，13n=时，等号成立6 分（
16、2）由2AOOBOC=+，则2AOOAABOAAC=+，即()14AOABAC=+，()111113641221=121OEAEAOABACABACCABCBA=+=，所以/OE CB，又,E C B三点不共线，所以/OE BC12 分 22(1)3C=；(2)2 6c=【详解】（1）由正弦定理得21abbcbacb+=+，即1abbcac+=+，整理得()()()()a acb bcacbc+=+，化简得222abcab+=，由余弦定理得2221cos22abcCab+=，又()0,C，则3C=；4 分（2）由面积公式得113sin3222abCab=，解得4ab=6 分 11sin30si
17、n30322S ABCS BCDS ACDb CDa CD=+=+=8 分 即1sin30()32CDab+=，6ab+=10 分 又4ab=，2222()336 12=24cabababab=+=+=，2 6c=12 分 答案第 8 页，共 8 页 另解：由面积公式得113sin3222abCab=，解得4ab=，又CD是ACB的角平分线，则1sin261sin26ACDBCDCA CDSCAADSCBBDCB CD=，即ADbBDa=6分()bbabCDCAADCAABCACBCACACBabababab=+=+=+=+8分 所以()()()2222222222abaabbCDCACBCACA CBCBababababab=+=+10 分 即()()()222222242132a baba babababab=+，整理得()222433a bab=+，又4ab=，解得6ab+=，则2222()336 12=24cabababab=+=+=，则2 6c=12 分