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1、高一数学第 1 页 共 4 页2024 年春学期期中考试2024 年春学期期中考试高一数学试卷高一数学试卷命题人：复核人：考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.客观题请用 2B 铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色水笔书写在答题卡上。一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知a，b为非零向量，则“0a b”是“a与b夹角为锐角”的()A.充分而不必要条件B.必要而不
2、充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2已知一个圆锥的母线长为 2，其侧面积为2，则该圆锥的体积为（）A.33B.3C.3D.3.ABC三边长分别为7AB，5BC，6CA，则AB BC 的值为()A19B19C14D184在用斜二测画法画水平放置的ABC时，若A的两边分别平行于 x 轴、y 轴，则在直观图中A等于（）A45B135C90D45或 1355.己知a，b均为单位向量若|1abrr，则a在b上的投影向量为（）A32aB12aC32bD12br6已知点 O 是ABC内部一点，并且满足20OAOBOC ，AOC的面积为1S，BOC的面积为2S，则12SS（）A2B3C13D12
3、7在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为1F，2F，且12FF ，1F 与2F 的夹角为，下列结论中正确的是（）#QQABQQ4UggCIQIJAARgCEQWQCAKQkBECAIoOxBAIoAABCQFABAA=#江苏省无锡市江阴市两校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题高一数学第 2 页 共 4 页A越小越费力，越大越省力B的范围为0,C当2时，1FG D当23时，1FG 8.如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为32cm，两底面对角线EG、11E G的长分别为14cm、62cm，水深为1
4、2cm则玻璃容器里面水的体积是()A33336cmB33337cmC33338cmD33339cm二、二、选择题选择题（本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 6 分分，部分选对的得部分选对的得部分部分分分，有选错的得有选错的得 0分分）9下列命题中是真命题的是（）A.在四边形 ABCD 中，若0ABCD ，且0AC BD ，则四边形 ABCD 是菱形B.若点 G 为ABC的外心，则0GAGBGC C.向量1(2,3)e，213,24e 能作为平面内的一组基底
5、D.若 O 为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0OBOCOBOCOA ，则ABC为等腰三角形10ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，S 为ABC的面积，且2a，2 3AB ACS ，下列选项正确的是（）A3AB若3b，则ABC只有一解C若ABC为锐角三角形，则 b 取值范围是(2 3,4)D若 D 为BC边上的中点，则AD的最大值为2311如图，矩形ABCD中，22ABAD，E为边AB的中点，将ADEV沿直线DE翻折至1ADE的位置若M为线段1AC的中点，在ADEV翻折过程中（1A 平面ABCD），下列结论正确的是（）A.三棱锥1BACE体积最大值为212；B.直线/
6、MB平面1ADE；C.直线BM与1AE所成角为定值；D.存在1ADE，使1DEAC#QQABQQ4UggCIQIJAARgCEQWQCAKQkBECAIoOxBAIoAABCQFABAA=#高一数学第 3 页 共 4 页三、填空题（本题共三、填空题（本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.已知点(3,4)A、(1,2)B，点P在直线AB上，且|2|PAPB ，则点P的坐标是13.点P是边长为 2 的正三角形ABC的三条边上任意一点，则|PAPBPC 的最小值为_.14若正三棱台111ABCABC-中上底的边长为 1，下底的边长为 2，侧棱长为 1，则它的表面
7、积为_，1AA与1BC所成角的余弦值为_四四、解答题解答题（本题共本题共 5 小题小题，共共 77 分分解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程证明过程或演算步骤或演算步骤）15.将形 如11122122aaaa的符 号称为 二阶行 列式，现规定 二阶行 列式的运 算如下：1112112212212122.aaa aa aaa已知两个不共线的向量a，b的夹角为，|6a，|(bt其中0)t，且2sin41.2cos13t(1)若为钝角，试探究ab与5ab能否垂直?若能，求出cos的值；若不能，请说明理由；(2)若3，当0k 时，求|4|akb的最小值并求出此时a与4akb的夹角
8、16如图，在直三棱柱111ABCA BC中，11ABBCAA，90ABC，D，E分别是棱11AC，AC的中点（1）判断多面体11ABEDBC是否为棱柱并说明理由；（2）求多面体11ABEDBC的体积；（3）求证：平面1/BC E平面1AB D#QQABQQ4UggCIQIJAARgCEQWQCAKQkBECAIoOxBAIoAABCQFABAA=#高一数学第 4 页 共 4 页17已知梯形ABCD中，2ABDC，2ABBC，60ABC，E 为BC的中点，连接 AE.(1)若4AFFE，求证：B，F，D 三点共线；(2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若 P 为以 B 为圆心、BA 为半径
9、的圆弧AC（包含 A，C）上的任意一点，当点P在圆弧AC（包含 A，C）上运动时，求PA PC 的最小值18.在coscos2BbCac；11sintantan3sincosCABAB；设ABC的面积为S，且2224 33()3Sbac这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并加以解答在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_，2 3b（1）若4ac，求ABC的面积；（2）求ABC周长的范围（3）若ABC为锐角三角形，求bca的取值范围19.已 知 直 三 棱 柱111ABCA BC中，侧 面11AA B B为 正 方 形，2,ABBCE F分别为 AC 和1CC的中点，D 为棱11
10、AB上的动点(包括端点1).BFB E，若平面11A B E与棱 BC 交于点.G（1）请补全平面11A B E与棱柱的截面，并指出点 G 的位置；（2）求证：BF 平面11A B E；（3）当点 D 运动时，试判断三棱锥DEFG的体积是否为定值?若是，求出该定值及点 D 到平面 EFG 的距离；若不是，说明理由#QQABQQ4UggCIQIJAARgCEQWQCAKQkBECAIoOxBAIoAABCQFABAA=#高一数学期中考试答案及评分标准高一数学期中考试答案及评分标准单选：B A A D D A D A多选：AD,CD,ABC填空：12.1,05,83或13.314.2 3.36解答
11、：15.（13 分）解：(1)（6 分）由题意，可得，2 2sincos1143tt ，解得2t，.1 分所以|2b，所以62cos12cosa b，.1 分所以 225451648cosababaa bb，.1 分因为为钝角，则cos0，所以 51648cos0abab，.2 分所以ab与5ab不能垂直.1 分(2)（7 分）因为3，则62cos12cos63a b，.1 分所以2222223481664483664278akbaka bk bkkk，.2 分当38k 时，2min427akb，即min43 3akb，.1 分此时342akbab，所以2332722aabaa b，.1 分所
12、以332732cos,32263 32aaba aba ab ，.1 分又因为3,0,2a ab，所以3,.26a ab.1 分16.（15 分）解：（1）（3 分）多面体11ABEDBC不是棱柱.1 分理由如下：因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有 3 个平行四边形，而多面体11ABEDBC只有 1 个面是平行四边形，故不是棱柱.2 分（2）（5 分）易知三棱柱111ABCA BC的体积11122VABBCAA，.1 分三棱锥11AA B D的体积11111132212VABBCAA，.1 分易知三棱锥1CBCE的体积等于三棱锥11AA B D的体积，故多面体11ABEDBC的体积
13、21111222123VVV.3 分（3）（7 分）证明：因为D，E分别是11AC，AC的中点，所以11/DEAABB，所以四边形1BB DE为平行四边形.1 分所以1/BEB D又BE 平面1AB D，1B D 平面1AB D，所以/BE平面1AB D.2 分#QQABQQ4UggCIQIJAARgCEQWQCAKQkBECAIoOxBAIoAABCQFABAA=#易知1/C DAE，得四边形1ADC E为平行四边形所以1/C EAD，又1C E 平面1AB D，AD 平面1AB D，所以1/C E平面1AB D.2 分而1BEC EE，BE，1C E 平面1BC E，所以平面1/BC E平
14、面1AB D.2 分17.（15 分）【详解】（1）（4 分）如图 1，BDBCCD 12BCBA 11111112525252BFBEEFBCEABCEBBABCBCBA 2155BCBA 25BFBD ，.3 分B，F，D 三点共线.1 分（2）（5 分）如图 1，2222211()24BDBDBCBABCBC BABA 422 cos6017 7BD .1 分12AEABBEBCBA 2222211()24AEAEBCBABCBC BABA 122 cos6043 3AE .1 分221111322224AE BDBCBABCBABCBAACBB 1133442 2 cos602242
15、.2 分3212cos143,7AE BDAE BDAE BD .1 分（3）（6 分）如图 2，PABABP ，PCBCBP 2()()()PA PCBABP BCBPBA BCBPBA BPBC BP 设,0,3ABP，则3CBP，2 2 cos42 2 cos2 2 cos()33PA PC 64cos4(coscossinsin)64 3sin()333.4 分0,3，233,3，当32，即6时，PA PC 取最小值64 3.2 分18.（17 分）解：（1）（5 分）选，由正弦定理得cossincos22sinsinBbBCacAC，整理得sincos2sincossincosBCA
16、BCB，即2sincossincoscossinsin()sinABBCBCBCA，.2 分因为sin0A，所以1cos2B，又0B，故3B.1 分选，因为11coscoscossincossintantansinsinsinsinABABBAABABAB#QQABQQ4UggCIQIJAARgCEQWQCAKQkBECAIoOxBAIoAABCQFABAA=#sin()sinsinsinsinsinABCABAB，所以sinsinsinsin3sincosCCABAB，.2 分又sin0C，故tan3B 又0B，故3B.1 分选，因为2224 33()3Sbac，即2222 3sin3()a
17、cBacb，所以2223sin32acbBac，.2 分根据余弦定理可得3sin3cosBB，所以tan3B，又0B，故3B.1 分由余弦定理得22222cos()22cosbacacBacacacB，即21124222acac，解得43ac，.1 分所以ABC的面积1143sinsin22333SacB.1 分（2）（5 分）由余弦定理得22222cos()22cosbacacBacacacB，即22112()22()32acacacacac所以24()3acac.1 分因为”）时取“当且仅当cacaac(202.1 分所以22()0432acca所以2 34 3ac.2 分所以ABC周长c
18、ba的范围为3634，.1分（3）（7 分）由（1）知3B，23AC，由正弦定理得：32sin()sinsin23sinsinAbcBCaAA.1 分3 1cos13112sin222tan2AAA，.2 分在锐角ABC中，02A，02C，即2032A，所以62A，即1224A.1 分又tantan3134tantan()23123413 11tantan34，.1 分所以23tan12A，.1 分所以bca的取值范围是31(2，32).1 分19.【答案】解：(1)（4 分）如图，点 G 为 BC 的中点，.2 分连接1,EG GB，#QQABQQ4UggCIQIJAARgCEQWQCAKQ
19、kBECAIoOxBAIoAABCQFABAA=#由 E 为 AC 中点，则/EGAB，又11/ABAB，所以11/EGA B，所以11,A B G E四点共面，.1 分故平面11A B E与棱柱的截面为11ABGE.1 分(2)（4 分）证明：因为在Rt BFC与1Rt BGB中，1tantan2BFCBGB，所以1BFCBGB，又90BFCFBC，所以190BGBFBC，所以1BFBG，.2 分1BFB E，且11111,BGB EB BG B E平面11ABGE，所以BF 平面11ABGE，即BF 平面11A B E；.2 分(3)（9 分）由(2)知BF 平面11ABGE，又EG 平面
20、11ABGE，所以EGBF，.1 分又1/,EGAB ABB B，所以1EGB B，.1 分又1BFB BB，且1,BF B B 平面11BCC B，所以EG 平面11BCC B，.1 分又11/ABEG，11A B 平面 EFG，EG 平面 EFG，所以11/AB平面 EFG，.1 分所以 D 到平面 EFG 的距离等于1B到平面 EFG 的距离，.1 分所以11113D EFGBEFGE FGBFGBVVVSEG11 1123FCGGBBBCC BSSSEG正方形111221 122 11322 12，所以三棱锥DEFG的体积为定值12.2 分EFG中，,1,2EGFG EGFG，所以121222EFGS，设点 D 到平面 EFG 的距离为 h，由1132D EFGEFGVSh，可得3 22h，所以点 D 到平面 EFG 的距离为3 22.2 分#QQABQQ4UggCIQIJAARgCEQWQCAKQkBECAIoOxBAIoAABCQFABAA=#