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1、现代控制理论课后习题全部答第一章习题答案第一章习题答案1-11-1 试求图试求图 1-271-27 系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。U(s)+-K1KpsK1+-KpsK1s+-1J1sKbJ2s2(s)Kns图图1-271-27系统方块结构图系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：Kp+U(s)K1Kp+-K1Kp-x6+-K1x5+-1J1x4x3KbJ2x2x1(s)Kn图图1-301-30双输入双输入-双输出系统模拟结构图双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：x1 x2x2Kbx3J2KpJ1x3KpKn1x4x5x6J1J1J1阿
2、x3 x4 x3x5 K1x3 K1X6x6 K1KKx11x61uKpKpKp令(s)y，则y x1所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为现代控制理论课后习题全部答1xx2x3x4x5x600000K1Kp10Kb0J2Kp0J10100 K1000KnJ1000001J0000 0 0 x10 xKp2 0 x J130ux400 xK15K1K1x6KpKpx1x2x3y 100000 x4x5x61-21-2 有电路如图有电路如图 1-281-28 所示。以电压所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状
3、态方程，和以电阻状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。上的电压作为输出量的输出方程。R1L1L2i1CUi2-Uc-R2图1-28 电路图解：由图，令i1 x1,i2 x2,uc x3，输出量y R2x2x1 R1x1 L1x1 x3 u有电路原理可知：L2x2 R2x2 x3R111x1x3uL1L1L1R21x2x3L2L2既得x2 x3 x1 x2C x311x1x2CCy R2x2写成矢量矩阵形式为：现代控制理论课后习题全部答R1L1x1。x02。x31 C。0R2L21C1 1 L1x 1L11x20 uL2x300 x1y 0R20 x2x31-31-3 参
4、考例子参考例子 1-31-3（P19P19）.1-41-4 两输入两输入u1，u2，两输出，两输出y1，y2的系统，其模拟结构图如图的系统，其模拟结构图如图 1-301-30 所示，试求其状态空所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。间表达式和传递函数阵。u1b1+-y1a1a5a6+a21 1u2b2+-a3y2a4图图1-301-30双输入双输入-双输出系统模拟结构图双输出系统模拟结构图解：系统的状态空间表达式如下所示：1 0 xx 2 a2x 3 140 x1 a10 a5000 a40 x10 xb a6211 x30 a3x400 0u0 b2x1xy 10102x3x41 sas
5、a1(sI A)210a5000sa40 a61a3现代控制理论课后习题全部答1 sas a1Wux(s)(sI A)1B 210a5000sa40 a61a3100 b0100 0b200sa40 a61a311 sas a11Wuy(s)C(sI A)B 1010210a501-51-5 系统的动态特性由下列微分方程描述系统的动态特性由下列微分方程描述(2)y5 y7 y3y u3u 2u.00 b0100 0b2列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令x1 y，x2 y，x3 y，则有.。110 x10 0 x。x0ux00122。x3375x31x1y 23 1x2x
6、3相应的模拟结构图如下：13u+-5x3x2x12+y731-61-6（2 2）已知系统传递函数）已知系统传递函数W(s)出相应的模拟结构图出相应的模拟结构图6(s 1),试求出系统的约旦标准型的实现，并画试求出系统的约旦标准型的实现，并画s(s 2)(s 3)21016(s 1)4333解：W(s)s(s 2)(s 3)2(s 3)2s 3s 2s现代控制理论课后习题全部答1310 xx 20303 0 x0 200 x400 x100 x21 u0 x31 0 x41x1101x2y 4333x3x41-71-7 给定下列状态空间表达式给定下列状态空间表达式1 010 x10 xx 2 2
7、30 x21u 3x113x32x1y 001x2x3（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：0 s10（2）W(s)(sI A)2s 311s 3sI A s(s 3)22(s 3)(s 3)(s 2)(s 1)s 32s 301(sI A)1 2(s 3)s(s 3)0(s 3)(s 2)(s 1)s 5s 1(s 1)(s 2)s 320s 30 1Wux(s)(sI A)1B 2(s 3)s(s 3)01(s 3)(s 2)(s 1)s 5 s 1(s 1)(s 2)2(s 3)1s(s 3)(s 3)(s 2)(s 1)(2s 1)(s 3)(s 3)1Wuy(s)C(sI
8、A)1B 001s(s 3)(s 3)(s 2)(s 1)(2s 1)(s 3)(2s 1)(s 2)(s 1)现代控制理论课后习题全部答1-81-8 求下列矩阵的特征矢量求下列矩阵的特征矢量10 002（3）A 3127601 2362116 0解：A 的特征方程I A 31276解之得：1 1,2 2,3 310 p11 0p1102p21 p21当1 1时，31276p31p31p11 1 解得：p21 p31 p11令p111得P1p211p311p1111）p（或令p11 1，得P121p311 10 p12 0p1202p22 2p22当1 2时，31276p32p32p12 2
9、1解得：p22 2p12,p32p12令p12 2得P2p22 42p321 p121 2）（或令p121，得P2p22 1 p32 2 10 p13 0p1302p23 3p23当1 3时，31276p33p33p13 1 解得：p23 3p13,p33 3p13令p131得P3p233p333 1-91-9 将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）现代控制理论课后习题全部答141 2x131xx 2102x227u3x113 x353x1y1120y011x22x3（2）2 41解：A 的特征方程I A 1111,2 3,3141 2p1
10、1当10p111 3时，2p21 3p21113 p31p31解之得p21 p31 p11令p111得41 2p11p111当2 3时，102p21 3p211113 p31 p311解之得p12 p221,p22 p32令p12141 2当31时，10p13p132p23p23113p33p33解之得p13 0,p23 2 p33令p331110012 T 102T111 2101011 23(1)(3)2 0p111P1p211 p311p121得P2p2200p32p130得P3p232 p331现代控制理论课后习题全部答012 31 81T1B 11 227520115334 1101
11、20314CT 102011101203310 81030 xx 52u约旦标准型00134 314y x2031-101-10 已知两系统的传递函数分别为已知两系统的传递函数分别为 WW1 1(s)(s)和和 WW2 2(s)(s)1 1 1 1W1(s)s 1s 2W2(s)s 3s 4s 110 0s 2s 1试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结 1W(s)W2(s)W1(s)s 31s 11(s 1)(s 3)12(s 1)1 1s 4s 10 01 s 2s 1s 2s2
12、5s 7(s 2)(s 3)(s 4)1(s 1)(s 2)（2）并联联结1 11 1W(s)W1(s)W1(s)s 1s 2s 3s 4s 110 0s 2s 11-111-11（第（第 3 3 版教材）已知如图版教材）已知如图 1-221-22 所示的系统，其中子系统所示的系统，其中子系统 1 1、2 2 的传递函数阵分别为的传递函数阵分别为1 1s 110sW1(s)W2(s)101 0s 2求系统的闭环传递函数解：现代控制理论课后习题全部答 1s 1W1(s)W21(s)01 1s10s 1101 0s 21 s1s 2 1I W1(s)W(s)I s 1 0s 3s 1 s 2s 3
13、 01 s 2s10s 11010s 21 s 1s 2ss 20s 11 ss 3s 2I W1(s)W2(s)1s 1 s(s 3)s 2s 31 1s 3s 1 s 21ss 1W(s)I W1(s)W2(s)W1(s)s 2s 3 0 ss 1s 31 1s 1 s 2s 1(s 2)(s 1)ss(s 3)11s 300s 1s 31 s1s 21-111-11（第（第 2 2 版教材）版教材）已知如图已知如图 1-221-22 所示的系统，其中子系统所示的系统，其中子系统 1 1、2 2 的传递函数阵分别为的传递函数阵分别为1 1sW(s)10W1(s)s 12011 2s 2求系
14、统的闭环传递函数求系统的闭环传递函数解：1 1 1 1s10s 1sW1(s)W1(s)s 11101 2 2s 2s 21 1 1s 2s10s 1sI W1(s)W1(s)s 11s 301 2 2s 2s 21 s 3s 2sI W1(s)W1(s)12s(s 1)s 2s 5s 2 2s 1现代控制理论课后习题全部答11 s 3s(s 1)1s 2ss 2W(s)I W1(s)W1(s)W1(s)2s 2s 5s 2 2ss 1s 32s 312s(s 1)(s 2)ss(s 2)s(s 2)222(s 2)21s 5s 2s 2s 1ss 1(s 1)2(3s 8)(s 2)2(s2
15、 5s 2)s3 6s2 6s(s 2)(s2 5s 2)s 1s2 5s 2s 22s 5s 21 s1s 2 1-121-12 已知差分方程为已知差分方程为y(k 2)3y(k 1)2y(k)2u(k 1)3u(k)试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数 u u 的系数的系数 b(b(即控制列阵即控制列阵)为为1（1 1）b 1解法 1：2z 311W(z)2z 3z 2z 1z 210 1x(k 1)x(k)u(k)0 21y(k)1 1x(k)解法 2：x1(k 1)x2(k)x2(k 1)2x1(k)3x2(k)uy(k)3x1(k)
16、2x2(k)1 00 x(k 1)x(k)u(k)231y(k)32x(k)11111求 T,使得T1B 得T1所以T 011011 11 40 11 0TAT 23015101111CT 323101现代控制理论课后习题全部答所以，状态空间表达式为 40 1z(k 1)z(k)1u(k)51 y(k)31z(k)现代控制理论课后习题全部答第二章习题答案第二章习题答案现代控制理论课后习题全部答现代控制理论课后习题全部答现代控制理论课后习题全部答2-42-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。11（2）A=41解：第一种方法：令I A 0则1411 0，即14
17、0。2求解得到1 3，2 1p 当1 3时，特征矢量p111p2111p113p11由Ap11p1，得p3p412121p11 p213p111即，可令p1 4p p3p2112121现代控制理论课后习题全部答p12当2 1时，特征矢量p2p2211p12p12由Ap22p2，得41p22p22p12 p22 p12 1 即，可令p24p p p21222221211 1则T，T 12221 4141 13t1te e4221e3tet413t1te e4413t1te e2211 eeAt2203t10 2et12第二种方法，即拉氏反变换法：s11 sI A 4s1sI A1s11 4s1s
18、3s11s1s3s14s3s1s3s1s1s3s1114 s 3 s1 21 111 s 3 s11111 2s 3s 111s3s 113t1te e12eAt L1sI A 2e3tet13t1te e4413t1te e22第三种方法，即凯莱哈密顿定理由第一种方法可知1 3，2 1现代控制理论课后习题全部答1013 e 411t 1e1413t3 13t3te e3t4e 44t 1e11e3tet44413t1te e4413t1te e2213t1te e10111313223tteAte3tete e 41401444e3tet2-52-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果
19、满足，试求与之对应的下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的 A A 阵。阵。2ete2t（3 3）tt2tee1t3t2ee2e2t2et（4 4）t 2tt2eeete3t1ete3t41t3tee210解：（3）因为0 I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件01A tt02et2e2tt2te2e4e2t2et024e2tett01310（4）因为0 I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件01 1t33t2e2e et3e3t1t33tee11441t33t41eet022A tt02-62-6 求下列状态空间表达式的解：求下列状态空间表达式的解：010 x xu 001
20、y 1,0 x1初始状态x0，输入ut时单位阶跃函数。101解：A00s1sI A0s现代控制理论课后习题全部答11 s1s1 sI A2s0s01 s21s1t1t eAt L1sI A010因为B ，ut It1xt tx0t Bud0t1t1t1t 010011d01 t 1tt d0111t 1t221t12t t 12t 11y 10 x t2t 12现代控制理论课后习题全部答现代控制理论课后习题全部答2-92-9 有系统如图有系统如图 2.22.2 所示，所示，试求离散化的状态空间表达式。试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为设采样周期分别为 T=0.1sT=0.1s 和和
21、1s1s，而而u1和和u2为分段常数。为分段常数。u2-1/su1K/(s+1)x1Xx2+1+X+y2图 2.2系统结构图解：将此图化成模拟结构图u2-Xu1K-Xx1x21+X+y2列出状态方程现代控制理论课后习题全部答x1 k u1x1x2 x1 u2y x22x1x 10k0 u110 x01u2y 21x1x2则离散时间状态空间表达式为xk 1GTxkHTukykcxkDuk由GTeAt和HTT0eAtdtB得：A1010B k0 01CT21eAt L1sI A11s10 eT0 L1s1eT1H TeAtdt T et00k0 T001T1dtk0 011eTeT 1eTT01k
22、1ekT 1eT当 T=1 时xk 1e10k1e101e11xk ke11ukyk121x kxk 1e0.1当 T=0.1 时0k1e0.10u1e0.11xkkke0.10.90.1yk121x k0T现代控制理论课后习题全部答现代控制理论课后习题全部答现代控制理论课后习题全部答现代控制理论课后习题全部答第三章习题答案第三章习题答案3-13-1 判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中 a,b,c,da,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？有关，若有关，其取值条件如何？（1）系统如图 3
23、.16 所示：u+-ax1y+-x2+x3-+-x4bcd图3.16系统模拟结构图解：由图可得：x1 ax1ux2 bx2x3 cx3 x2 x1 x1 x2cx3x4 x3 dx4y x3状态空间表达式为：a1xx02 x3 10 x4y 0010 x11x0b002 u1c0 x30 01 dx40000 x由于x2、x3、x4与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与x3有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。（3）系统如下式：现代控制理论课后习题全部答10 x12111xx010 xa0u22x300 2x3b0c0dy x000解：如状态方程与输出方程所示，A 为约
24、旦标准形。要使系统能控，控制矩阵 b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为 0，故有a 0,b 0。要使系统能观，则 C 中对应于约旦块的第一列元素不全为 0，故有c 0,d 0。3-23-2 时不变系统时不变系统31 1 1X X u131 111 y X11试用两种方法判别其能控性和能观性。试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：31 1A,B 1131 1M BAB1 1rankM 1 2,系统不能控。111,C 111-2-2-2-21 1 C 11N CA2244rankN 2,系统能观。方法二：将系统化为约旦标准形。IA 311231 031 2，2 4现代控制理论课后习题全部
25、答1则状态矢量：A1P11P1 P1 11A2P22P2 P2-111 2211-1T，T 111-12211-31 11-20 T-1AT 221-10-4111-32211 221 111-1T B 00111 122111120CT 1-11-102T-1B中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为 0 的列，系统可观。3-33-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i和i1 1(1)A 1,b 1,C 110 2解：构造能控阵：M b111Ab12要使系统完全能控，则11 2，即121 0构造能观阵：1 C 1N C
26、A112要使系统完全能观，则12 1，即121 03-43-4 设系统的传递函数是设系统的传递函数是y(s)s a3u(s)s 10s2 27s 18（1）当 a 取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？现代控制理论课后习题全部答（2）当 a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。（3）当 a 取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。解：(1)方法 1：W(s)y(s)s au(s)(s 1)(s 3)(s 6)系统能控且能观的条件为 W(s)没有零极点对消。因此当 a=1,或 a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观。方法 2：a-1a 3a-6y(s)s a106
27、15u(s)(s 1)(s 3)(s 6)s 1s 3s 61 1，2 3，3 61X 00a 1y 10031X 1u 061a 3a 6X61500系统能控且能观的条件为矩阵 C 不存在全为 0 的列。因此当a=1,或 a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观。（2）当 a=1,a=3 或 a=6 时，系统可化为能控标准 I 型y a10 x10 00 x 0u 0 x01 1827101（3）根据对偶原理，当 a=1,a=2 或 a=4 时，系统的能观标准 II 型为0018a 1027x 1ux 01100y 001 x3-63-6 已知系统的微分方程为：已知系统的微分方程为：y
28、6 y11y 6y 6u试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：a0 6，a111，a2 6，a3 3，b0 6系统的状态空间表达式为.现代控制理论课后习题全部答10 00 x 0u 0 x01 61161y 600 x传递函数为0 s1W(s)C(sI-A)-1B 6000s1611s 61060 s3 6s211s 61其对偶系统的状态空间表达式为：0066 1011x 0ux 0160y 001 x传递函数为W(s)632s 6s 11s 63-93-9 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为s26s8W(s)2s 4s3试求其能
29、控标准型和能观标准型。试求其能控标准型和能观标准型。s2 6s 82s 512解：W(s)2s 4s 3s 4s 3系统的能控标准 I 型为 01 0 xx 1u-3-4 y 52x u现代控制理论课后习题全部答能观标准 II 型为0-35 xx 2u1-4 y 01x u3-103-10 给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。10 00 230 x 1ux 1132y 001 x10 00，b 1，C 001 230解：A 1132M b013AbA2b 1 272511rankM 2 3，系统为不能控系统，不能变
30、换为能控标准型。01 C 0113N CA2CA 179 rankN 3，系统为能观系统，可以变换为能观标准型。3-113-11试将下列系统按能控性进行分解试将下列系统按能控性进行分解1210,b 0,C 11 1010（1 1）A 0 43 1解：M b01 4rankM=23，系统不是完全能控的。AbA2b 0009 13010，R Ab 0，R 1，其中R是任意的，只要满足0构造奇异变换阵Rc：R1 b 323 13 0Rc满秩。现代控制理论课后习题全部答010 301得R1100001即Rcc130010032 1b R1b 0c cR 121A Rc1ARc14 2cc 1 0003
31、-123-12 试将下列系统按能观性进行结构分解试将下列系统按能观性进行结构分解1210,b 0,C 11 1010（1）A 0 43 11210,b 0,C 11 1010解：由已知得A 0 43 1C111232则有N CA2CA474rank N=23，该系统不能观111232构造非奇异变换矩阵R01，有R01001311210则R0001 0101x2ux R01AR0 x R01bu 230 7321y cR0 x 100 x3-133-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解 1001,b 2,C 1 12223（1）A 2012解：由
32、已知得M AAb111 21226Ab2 202现代控制理论课后习题全部答rank M=3，则系统能控 c 11c AN 2cA 71242 511rank N=3，则系统能观所以此系统为能控并且能观系统134111，则T17121226取Tc2c222023147 4354 002 1，B T1b 0，c cT 71323105则A c2c2 0014 3-143-14 求下列传递函数阵的最小实现。求下列传递函数阵的最小实现。1 1 1（1）ws1 1s110 1 1解：01，B0，A c011 100101 1Bc，Cc1 1，Dc0001系统能控不能观11111取R0，则R 00101
33、R1AR 10，B R1B 11所以A000c0101C R 10，D00Cc01000100所以最小实现为Am1，Bm1 1，Cm，Dm100 sI A验证：Cmm11 1 1 wsBms11 1现代控制理论课后习题全部答3-153-15 设设1和和2是两个能控且能观的系统是两个能控且能观的系统1 001：A1，b 11，C1213 4 2：A2 2，b21，C21（1）试分析由1和2所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；（2）试分析由1和2所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。解：（1）1和2串联当1的输出y1是2的输入u2时，x3 2x32x1 x20 010
34、 x1u，y 00 1 xx 340 2120M bAb014A2b1413014则 rank M=23，所以系统不完全能控。W(s)C(sI A)1B s 212(s 2)(s 3)(s 4)s 7s 12当2得输出y2是1的输入u1时1 0 x 340000A2b 11 00u，y 2 10 x1x 210121 64因为M bAbrank M=3则系统能控 c 210321cA因为N 2cA 654rank N=20)。解：因为N c 10cA01满秩，系统能观，可构造观测器。系统特征多项式为detI A det102，所以有a1 0,a0 0,L 01T1 LN 011001100110T 0110于是x T1ATx T1bu 00110 x 0uy cTx 0,1x10现代控制理论课后习题全部答g1引入反馈阵G，使得观测器特征多项式：g2f detI AGcg1 det1 g22 g2 g1根据期望极点得期望特征式：f*r2r23r2r2比较f与f*各项系数得：g2 3r,g1 2r22r2012r2 3r 即G，反变换到 x 状态下G TG 2103r2r3r观测器方程为：AGcx bu Gyx 3r22r10 3r u 2yx012r现代控制理论课后习题全部答5-13类似于 5-12，设计略。