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1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。现代控制理论参考答案第一章答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。图1-2冻统方块结构图解：系统的模拟结构图如下:系统的状态方程如下:放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。X=X1 22 K K KX=-12-X-O-X+X+X3 J 3 J 4 J 5 J 61111X=X4 3*X5X6-K x+K XI 3K=-t-xK 1I 6K-J-XK 6K+.UMKPPP令6(s)=y,则 所以，系统的状态空间表达式及输出方程
2、表达式为1-1010000*X1*00Kb-000Xi00XX2X300KIL.JK一,“,J17KL LJ2X3+00U*X4001 1o0oX40*X50K0-Ki00K及X5XK-u*X-_ 1-0000 _ i_L 6JKL 6JKKL py=h 0 0 00.X1X2X3X4X5X61-2有电路如图1-28所示。以 电 压 为 输 入 量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2上的电压作为输出量的输出方程。放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!2所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。解:由 图 令 、/、”七,输 出
3、量）1-xR x+L x x=u1 I 1 1 3有电路原理可知：L x+R x=x 既得2 2 2 2 3x=x+C x1 2 3X3X2XR-L XL iiR-2-XL2r-XC*Li1+L2231+ULX31+XC 2y=R x2 2写成矢量矩阵形式为:XIX2X31 I2C C1ri1 L20X+(J u2x 0 3Xy=b R 0-x2 2XL 31-4两输入匕，气,两 输 出 的 系 统,其 模 拟 结 构 图 如 图1 -3所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵。放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!3所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。解：
4、系统的状态空间表达式如下所示:X1X1010X-a-a022iX100.3X0一C l-aJ 45 X0 1 0.2X3XS-10aS+Q0(s i-A)=2i-10s一0a5a4SaW(S)=(S/-A)T8=2-1uxa6-1W(s)=C(s/4)-18=1 1uy000b200001-5系统的动态特性由下列微分方程描述(2)了+5 y+7 y+3y=ii+3 ii+2u列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!4所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。解：令 x=y,x =，x =y ,则有1 2 3X1X
5、2X30 10 0-3 7xy =b 3 1.x2XL 3相应的模拟结构图如下:1-6 已知系统传递函数匹）=而软%，试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解:_ 1 0 1、6(5 +1)-4 -y 3 3S(S +2)(5 +3)2 (5 +3)2 5 +3 5 +2 s1-7 给定下列状态空间表达式放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!5所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。Xy =b 0 1.x 2X3(1)画出其模拟结构图(2)求系统的传递函数解：5 -1 0(2)W(s)=(s/-A)=215 +3 0-1 5 +3sl-A|=s(
6、s+3)2 +2(s+3)=(s+3)(5 +2)(s+1)(si-A)-i1(s+3)(5 +2)(5 +1)飞+3、2(s+3)5 +3 0s(s+3)05-1 (5 4-1)(5 4-2)w(S)=(S/-A)T8 =lix1(5 +3)(5 +2)(5 +1)-(s+3)-2(5 +3)-s-5s+35(5 +3)5 100(5 +1)(5 +2)0121(s+3)(s+2)(s+1)G+3)s(s+3)(2 5+1)(5+3)W (S)=C(S A)TB=b 0uy(s+3)1.s(s+3)(2 s+1)(5 +3)1(5+3)(5 +2)(5+1)(2 s+1)(s+2)(s+1)
7、1-8求下列矩阵的特征矢量-0 1 0(3)A=3 0 2-1 2 -7 -6解：A 的特征方程|V-A|=-31 2-1 0A,-2 =X a +6 X 2 +1 1 A,+6 =07 A,+6放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!6所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。解之得：九=1,入=1 2 0当儿=一1时，3-1 2解得：令 p“=l（或令乙=-1得一 J得当入=一2时,03-1 20-7解得：p2 2-2%P：1 =P3 2 2 1 2令 嘘2得（或 令%=1，得当L时,03-1 210-7PPP解得：2 3=一3乙4=3%令PJ1 得1-9将下
8、列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!7所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。(2)1x2102101X2X3解：A的特征方程|A/-A|=X-4-1-1-112-2X-3=(A.1)(A.-3)2=0X=3,九=11,2 3411当 入=3时,10-1解 之 得 心令 p“二l当%=3时,10-1令%=1P2当 入=1时,3解之得+12=。32411P|3=3=2%令 J?=1P3PR得411解 之 得%=P22得得T=1 1 0-0-1 2 1 0 2T-=1 1 -21 0 10 1 -1放弃很简单，但你坚持到
9、底的样子一定很酷!8所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。约旦标准型3 1)=0 30 00 1 80 x+-51 J -3-12 u43 1 41-1 0己知两系统的传递函数分别为W/S）和W2（s）1111W(s)=15 +1 5+2.S,+1W G)=2s+315 +400一5+2_+1试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结15 2+5 5 +7(5+1)(5 +3)(s+2)(5 +3)(5 +4)11(s+1)2(5 +1)(5 +2)（2）并联联结1111W(s)=W(s)W(s)=115+1s+2s+
10、1s+315 +400s+2 _ s+l1-1 1 （第3版教材）已知如图1-2 2所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!91W($)=s+110_ 1s15+2W(s)=210所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。0*1求系统的闭环传递函数解：1W(s)W (s)=s+I 21 八1二11 os+2_0 _ 5+1r o1s+21I+W (s)W (s)=/+5 +11 011 0 1s+2s+101ss+3s+2s+2 _s+31S+15+1+W(s)W(s)L =上1s+2ss+2s(s+3)2 5+30s
11、+2os+25+1.s+3 _W(s)=17+W(s)W G)L w (S)=I 2 I s+31-11（第 2 版教材）已知如图1-22所示的系统,s+3_ 115+15+1(s+2)(5 4-1)s5+2s(s+3)s+301015+1s+3其中子系统1、2 的传递函数阵分别为1W(s)=s+12_ 1s15+2-1 0W(s)=20 1求系统的闭环传递函数解：11-11 W(s)W(s)=i is+12s11 00 1_=s+12 71s+2_s+2,放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!11 一s+2 一I+W(s)W(s)=i is+12s11 00 1=s+125s+3s+2_s
12、+2_10所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。s+35 +2-21Ss+2s+LW(s)=匕 +W(s)W (s)L W G)=1 1 1 s2+5 s+25 +3s+2-21 1S 5 +25 +2-s_ 1s15+1 15 +25 +3 2s+31s(s+1)(5 +2)2 Ss(s 4-2)s(s+2)5 2 +5 s+22 2(5 +2)21-+-一 一 十 _s+2 s+1S S+1(5 +1)2(3 5 +8)(s+2)2 (s 2 +5 s+2)53+6S2+6 s(s+2)(S2 +5 s+2)5 +15 2 +5 5 +2s+25 2 +5
13、 s+21-1 2 已知差分方程为y(k+2)+3 y(k +1)+2y(k)=2u(k+1)+3u(k)试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为丁(1)b=解 法 1：W(z)=2 z +3z 2 +3 z +21 1+z+1 z+2-1 0 1x(k+1)=0 _ 2 x(%)+(&)y(k)=l 1 L(左)解法2：X (k +1)=X (左)12x(左 +1)=-2x(k)-3x(左)+u2 1 2y(k)=3x(%)+2x(k)-0 1 1 0 x(k 4-1)=_ 2 _ 3 x(氏)+伏)y(k)=k 2 1 c(A)ii i -i求 T,使得丁-山
14、=得J=0 1 所以 T=0 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!11所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。1T-AT=01 T 0 1 T 1 -1 1 一4 0-1-3 ()1 J-5C T =(3 2.1 -1=b -1 10 1所以，状态空间表达式为-4 oi r rz(女+1)=z(女)+u(k)-5 1 1y(.k)=b -1 1(%)第二章习题答案2-4用 三 种 方 法 计 算 以 下 矩 阵 指 数 函 数e4。/、f i n(2)A=(4 D解：第一种方法：令|-A|=o则 1、7 =0 ,即(九一1)2 4=0。-4 A 1-1求解得
15、至叱=3,，=-1当时,特征矢量PIIP21由丝=%，得1411乙3乙p+p=3p 1即 4 J 21 1 1，可令 P =.4P+p=3p 1 2I 11 21 21 L当 九=一1时，特征矢量P=乙22 2 p221由 牝=%。2,得4放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!12所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。可令，2=14141第二种方法，即拉氏反变换法:-11 1 11 11 1 1 et 003,+e-i31-242 24 40 4 二=_2-2j|_ 0 e-t_111 1 g +e-t eit+e-tL24.2 2si-Af-1-45 1e
16、Ai-L-i=1 1e3,+e-2 203r e-t1 1031-Cf4 41 1 e3z+e-t2 2第三种方法，即凯莱一哈密顿定理由第一种方法可知了3,丫-1-13-1 3d 1 ri 3 尸e30=_I-1ei=2uX2则离散时间状态空间表达式为xQ+D=G(T)xQ)+”(r)Q)y(Q=cxQ)+Du Q)由 G(7)=e4和/(T)=f TedtB 得：0-1 01&0一A=B=_ 1 oj o-1_r/5+1 0eAt=L-ysl A)l=Zri 5 =-1 s口 fr j|el 0|0H=J r eAtdt=Jz dt=o o -e-T 1 0-1当 T=1 时 xG+l)=e
17、 1-e-i 1y(,k+1)=2 lx(k)2CT=1e-T 0-e-r 1-e-T 0 j_ kG-e-r)0T-l+e-r T_|o-1 k(T-1+e-T)-T(0/xk)+u k)ke-1放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!16所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。/x e-o.i 0 /（1-e-o）0 ,.当 T=0.1 时 xU+U=xk+（uk）1-e-oA 1 J A:-）.i-0.9 7-0.1y(k +l)=2 l x(k)第三章习题3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关
18、，其取值条件如何？（1）系统如图3.16所示：图3.16 系统模拟结构图解：由图可得:x=-ax+u11x=-bx22x=-ex+x+x=x+x -ex3 3 2 112 3x=x dx4 3 4状态空间表达式为:放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!17所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。*X1-a000 X1-fX2X3X4y =00100 1-b10o l0-c100-d!X2X3XL 4J4-000u由于fff与无关,2 3 4能观的，为不能观系统。因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于)，只与与有关，因而系统为不完全(3)系统如下式:XX2X3
19、-1001-10yc000d0X解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有a *0,6#0。要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有C H0,17 0。3-2时不变系统-311-3X +111Iu1y11-1X试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一:-311-3，B1 11 -1M=IBAB-2-2-2-2A11111111“函=1Pi2riA P=九 P n P2 2 2 2 21-1T-1-21-2一r=1T AT=1T B=,2T-B中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0 的列，系统可观。
20、3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数a,和B,a一1,b=a2ii,c=h-i解：构造能控阵:M-Ab-1aa I+12要使系统完全能控，则a+1工 a,即a-a +102 1 2放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!19所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。构造能观阵:N =CCA1a-11 a2要使系统完全能观，则l-a w-a ,即a -a +1*02I123-4设系统的传递函数是y(s)_ s+au(s)S3+10s 2 +2 7 s +18（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？（2）当a取上述值时，求使系统的完
21、全能控的状态空间表达式。（3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。解：（1）方法 1 ：W（s）y(s)_ s+au(s)(s +1)(5 +3)(5 +6)系统能控且能观的条件为W（s）没有零极点对消。因此当a=l,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。方法2：a-1 a-3 a-6y(s)s+a To _ 6 B-37r 士-(s)(s +l)(s +3)(5 +6)s +1 s +3 s +6A,=11y-100a 110X20-30系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=l,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。（2）当a=l,a=3或a=6时，
22、系统可化为能控标准I型x=-18 -2 7y=L 1 o l x(3)根据对偶原理,0 10 0当a=l,a=2或a=4时，系统的能观标准n型为放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!20所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。0 0士=1 00 1y=b 0-18-27-10llxx+a103-6已知系统的微分方程为：y+6 j+y+6y=6u试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：a=6,a=11,a=6,a=3,b=60 I 2 3 0系统的状态空间表达式为-o i 0 =0 0 1 x+Ou-6 -11-6y=k 0 olx传递函数为W(s)=
23、C(sI-A)8=k其对偶系统的状态空间表达式为：Xy传递函数为W(s)=-6-S3-652-11s+63-9已知系统的传递函数为-1 o p ro0 0-06SII-Is+60I653+652+lls+6一00-6-FI0-II x+0u0I-6二 Io 0llxW(s)=2+6s+8S2+4s+3试求其能控标准型和能观标准型。解：W(s)=52+65+8S2+4s+31 2s+5l+-2+4s+3系统的能控标准I型为放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!2I所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。能观标准II型为3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变
24、换为能控和能观标准型。0 1解：A=-2 -3-1 10o 网,匕=1 ,c =b o 11-3j 图M Ab1 -22-5-3711rankM=2 3,系统为不能控系统，不能变换为能控标准型。rankN=3,-1-3-7 90 1系统为能观系统，可以变换为能观标准型。3-11试将下列系统按能控性进行分解1(1)A=0021-4-1 00,6=0,C=ll-1 1解:M =%Ab3L 0 0-40rankM=23,系统不是完全能控的。构造奇异变换阵RC1 3 9其中R 是任意的，只要满足R 满秩。3放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!22所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津
25、时，你对梦想的偏执。即A-0-103 0001得 R-1=-1013 0C01100JA=R-iAR-3402-21万=R-ib=r=cR=11 2 -1c0103-12 试将下列系统按能观性进行结构分解(1)A100解：由已知得4 =21-41 1 -1 110,c =6 -1 J则有N =CC AC A 2124-1-3-7124r a n k N=2 3,该系统不能观构造非奇异变换矩阵R-l，0有 R-1=0120I21则A=0320-1-10-101x=R iAR x+R bu-0 0 0A y=cR x=l 0()xJ 03-13 试招下列系统按能控性和能观性进行结构分解(1)力=1
26、2-2解：由已知得“0202 1112012 6-2放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!23所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。rank M=3,则系统能控ccACA21-1-72511rank N=3,则系统能观N=124所以此系统为能控并且能观系统取Tc2则不=1120126-22-54,B=T-b=cl，则TTc217-3447_ 12-315-344=7 1323122010001J3-14求下列传递函数阵的最小实现。(1)wG)=I 15+1 1 1解：a-100-10=1 ,Bo1111AB=c1001,C1111D=0000系统能控不能观1
27、01 10 1，则R0取=0-11-100-1所以最小实现为Am=hi,验证：C-A),5=wG)所以4=C=C Rc 000,B=R、B0(10111100D0000=1,Bm11D=m000015+1 111放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!24所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。3-15设2 和2 是两个能控且能观的系统1 2S：A=oi l ,b=I。C=ir2 11Ji i|_-3-4 j|_1J iS：A=2,h=1,C=12 2 2 2(i)试分析由z 和z 所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；1 2(2)试分析由E 和Z
28、 所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。1 2解：(1)、和4 串联当Z 的输出y 是Z 的输入时,1 1 2 2X-0-32Mx=-2x+2x+x3121 0_-0-4 0X+1 U，1-200=匕 Ab A 2 b =10y=o 0 lx1 -4-4 131 -4则 rankM=23,所以系统不完全能控。W(S)=C(S/-A)T8=s+21(s+2)(5+3)(5+4)$2+7S+12当Z 得输出y 是Z 的输入时2 2 1 1因为 M=b Ab A2b=rank M=3 则系统能控c 2 1因为 N=cA=-3-2CA2 6 5rank N=230 x=-300 00 1
29、1 -2014则系统不能观y=L 1 ox1-6-4放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!25所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。W(s)=C(sl-A)-u B=-1-S2+7 5 +1 2(2)Z和E并联I 2X=0-30Myi-4-2b 1 lx-41 3-4因为r a n k M=3,所以系统完全能控1-24因为r a n k N=3,所以系统完全能观2 s +2 +、圾(s)=C(s/-A i Bs +2 -A2G +1)Q +2)G +3)7现代控制理论第四章习题答案4-1 判断下列二次型函数的符号性质:(1 )Q(x)=-X 2 -3 x2
30、-1 1 x2 4-2 x x-xx-2 xx1 2 32 2 3 I 3(2)v(x)=%2 +4 x2 +%2 -2 x x-6 x x-2x x2 31 2 2 3I 3解：(1)由已知得Q。)-X 4-X-X X23-3 x-l x22 3-x-x-l l x2 23x1X2X-11 x X1 2X 31-3-1_ 12X-112-1 1x2X3放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!26所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。-1 1 -1-1 117 1A=-1 0,A=二 2 0,A=1 -3 -=0,11-1=3 0-1-3 =-1 6 01因此
31、。(x)不是正定的4-2 已知二阶系统的状态方程:x=a11 21a12a22、X试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方 法(1)：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A 的特征值均具有负实部。即:-川=X-aII-a21一Q12九一。22=Q11=0+a 认+Q 4 -a a22 11 22 12 21有解，且解具有负实部。即：a+a a a11 22 II 22 12 21方 法(2)：系统的原点平衡状态x=0 为大范围渐近稳定，等价于A7 P +P A=-0。e放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!27所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦
32、想的偏执。取。=/,令 尸=-22PP212PIP)-一，则带入Ar P +P 4 =Q,得到2a2a0-P-f1 12 11 1aa+aaP01 21 1 2 22 11 202a2aP-1J1 22 21-2 2J 1若2ai ia1 202a2 1a+a1 1 2 22a1 20a2 12a22=4(。+a)(a a-a1 1 2 2 1 1 2 2 1，a )=0,则此方程组有唯一解。即1 2 2 11|A|+2 +Q22(。+Q1 1 2 2)-(a a+a a)1 2 2 2 2 1 1 1|川+。2 +Q21 *1 1 1 1 2_ 1 1 2 1 2 2)|A|一(a a+Q
33、aI I L 1 2 2 2 2 1 1 1其中 d e t A=ar a-a a1 1 2 2 1 2 2 1要求P正定，则要求A=Pi i i|A|+2 +Q2II i i ”0 2(a +a )I Al1 1 2 2 1 1A=IPI=(a +a)2+(a-a)24-1-22.4(a +Q)I I 2 22-U 0因 止 匕 a +a 0,e I 2则=2x x+2x xI I 2 2=2x(-x+2 x)+2 x(2x-3x)1 *I 2 2 1 2=-2x2+6 尤 x-6 x2I I 2 23 3=-2(x X)2 -X 2 00,有V(x)f 8。即系统在原点处大范围渐近稳定。(
34、2)系统唯一的平衡状态是x=0。选取Ly a p u n o v 函数为V(x)=X 2+1 2 0,e 1 2则放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!28所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。1 (%)=2x x+2 x xI 1 2 2=2x(-x+x)+2 x(-x-x)1,1 2 2 1 2=-2 x2 -2x2 0*2 2 2 1试确定平衡状态的稳定性。解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有:X2-Q(l+X)2X-X2 2 101/(x)df(x)dxr-1-a-4ax-3OX222取P =/-(2(x)=Jr(x)+J(x)0-1011+-a-4
35、ax-3ax2-a-4ax-3ax220222-o0-2a-Sax-6 ax222很明显，Q(x)的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Ly a p u n o v 函数为V(x)=#+X；0,则C(x)=2x x+2x x1 1 2 2=2xx+2 冗(-x-a(l+x)2x)1 ,2 2*1 2 2=-2 t Z(l+X 2)X 2 00,有V(x)-8。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-9 设非线性方程：X=x1 2X=-X 3 -X*2 I 2试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解：(1)采用克拉索夫斯基法，依题意有：放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!2 9所谓的光辉岁
36、月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。XfM=2X 3 X 20 1-3x2-11V(X)=/T(X)/(X)=X-X 3-X 1+L 2 12X2X 3 X1 2=X 2 +(一 工3 -X21 2IM f 8 ,有 V(x)8。取 尸=/Q(x)=(x)+/(x)0 3 m 0 1-=1 +1 1 3 x 2 1L！1 0 1-3%2-1-3x2-2 1L i ()-1 4-1 r 2则。(x)=，根据希尔维斯特判据，有:-1+3x2 2L 1 0 3x2 1A=0,=I =(3x2-1)2 0,0(无)的符号无法判断。I 2-1+3x2 2 II,3 3(2)李雅普
37、诺夫方法：选取Lyapunov函 数 为=0,则=+3x xI 1 2 2=3X3X+3X(-X3-X)1 2 2 I 2=-3%2 02底(x)是负定的。IM-0 0，有V(x)f 8。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数X=%4-2x2%I 1 I 2X =-x 2 2解：假设V(尤)的梯度为:vv=a x +Q x1 1 1 1 2 2a x +x2 1 I 22 27v v)VV2/计算V(x)的导数为:放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!30所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。(x)=(VV)Tx=(
38、a%+Q x a x-a x/11 1 12 2 21 1 22 2+2 X 2%、1 1 2、一X)2 z-a (a+a)xx-a x2+2a x2x2+2a xx11 I 12 21 1 2 22 2 12 1 2 1 1 1 2选择参数,试选a =a=l,c z =a=0,于是得:11 22 12 21V Vx、i显然满足旋度方程aw avvdx2dxi艮 嚓 二 箓=表明上述选择的参数是允许的。则有:2 1P(x)=-(l-2 x x)X2-%21 2 1 2如果1-2 学或R g，则廿(x)是负定的，因 止 匕，早 2=1 ox(1)画出模拟结构图。(2)若动态性能不满足要求，可否任
39、意配置极点？(3)若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵。解(1)系统模拟结构图如下：-9o题系统模拟结构图(2)系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统Z =(A,O,C)完全能控。0对于系统Z =(A,b,C)有：0M=b Ab=:：rankM=2,系统能控，故若系统动态性能不满足要求,可任意配置极点。放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!32所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。(3)系统Z=(4/,C)的特征多项式为：0|九/一川=(九+2)(九+1)=九2+3 0+2则将系统写成能控标准I型，贝第x0 1 L+HM O_-2 -3|_1 _引入状
40、态反馈后，系统的状态方程为：x=(A+bK)x+bu,设K =L k ,则系统Z=(A,bK,C)的特征多o 1 K项式为：/(X)=d etXZ-(A+bK)=Xi+(3-k)九 +(2&)io根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：/*(九)=(九 +3 =九2+6九 +9比较/(九)与/*(九)各对应项系数，可解得：k=-7 k=3,K=-1-3】。0 15-4设系统传递函数为(5-1)(5+2)(5 +1)(5-2)(5+3)试问能否利用状态反馈将传递函数变成5-1(5+2)(5+3)若有可能，试求出状态反馈K,并画出系统结构图。解：W(s)=(s T)(s +2)=S 2+S-2(5
41、+1)(5-2)(5+3)5 3+25 2-5 5-6由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。能控标准I型为令K =I k k k 为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为0 1 2/(，)=d e t?J-(4+b K =左 +(2-k )入2+(5-k )入 +(6+k )2 I 0由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2,-2,-3,得期望特征多项式为放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!33所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。/*（1）=（入 +2）（九 +3）（九 +2）=/+7+16 +12比较/（入）与/*（九）的对应项
42、系数，可得k=-18 k=-21k=-520即 长=匚18-21 一51系统结构图如下:题5-4系统模拟结构图5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。解：系统的能控阵为:-41100-5M -Ab A 叼rankM=3,系统能控。201由定理5 2 1可知,采用状态反馈对系统Z =（Ab,C）任意配置极点的充要条件是Z =（A6,C）完全能控。0 0又由于m成M=3,系统X =（A,b,C）能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系0统镇定。5-7设计一个前馈补偿器，使系统放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!34所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，
43、你对梦想的偏执。1W(s)=s：1s +215(5+1)解耦，且解耦后的极点为-2 o解：W(s)=W(s)W (s)0 dW G)=W(s”W(s)d 0.(5)1=1-1s(s +l)s(s +l)(s +2)1s-15(5 +1)-1s +215 +11=s(s +2)，S一 15(5 +1)s +2-s-(5 +2)s(s +2)5+1 s+1W (S)=W(S)TW(S)d 0s +2 s(s +2)s(s +2)s +1 s +11(5 +1)2001($+2)2s +2-s(s +l)2(5 4-2)2-(s+2)s(5 +1)3(5 4-1)(5 4-2)5-10已知系统:试设
44、计一个状态观测器，使观测器的极点为-r,-2r(r 0)。解：因为NCcA1 00 1满秩，系统能观，可构造观测器。系统特征多项式为d e t l A/-A】=d e t0=九2,所以有a =Q,a=0,L =X 1 0 110放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!35所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。T-i =LN1 00 1于是丁=+=X+u1 o oy-cTx=（0,l）x引入反馈阵G彳，使得观测器特征多项式:/（X）=d e t V-（A-G r）X g1-1卜+豆2Q+牙入+?根据期望极点得期望特征式:/*（Z）=（A,+r）（A,+2r）=A,2+3 从+2 2比较/G）与 r G）各项系数得:3=3,吗=2 八即 仁=2：反变换到x状态下G =T G=3r观测器方程为：放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!36