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1、湖南省中小学课程资源教学设计课程基本信息学科高中数学年级高二学期秋季课题条件概率教科书书 名：普通高中数学教材出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年7月教学目标1.通过情景和问题的分析，理解条件概率的概念，能计算简单随机事件的条件概率；2.通过探究活动理解条件概率与事件的独立性的关系；3.通过典型问题的解决，会利用条件概率的概念和乘法公式解决实际问题。4.在学习条件概率的概念和利用其概率解决实际问题的过程中，落实数据分析、数学运算和逻辑推理等核心素养的培育。教学内容本节课内容选自普通高中数学教材人教A版数学选择性必修第三册第七章第一节条件概率与全概率公式，共2个课时，条件概率是第一课时，
2、本节课主要学习条件概率。学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型）已经有所了解。条件概率是学生接触到的又一个全新的概率模型，一方面，它是对古典概型计算方法的巩固，另一方面，为后续研究概率的乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式打下良好基础。通过本单元的学习，学生需要用数学的眼光看待随机事件的概率，能用概率的一般概念解释具体现象，并通过条件概率和独立性等数学概念分析复杂问题，寻找解决复杂问题的方法。学习过程中蕴含着数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。1.教学重点：（1）条件概率的概念及公式，概率的乘法公式及应用。2.教学难点：（1）对条件概率中“条件”的正确理解，条件概率与
3、无条件概率的比较；（2）正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题。学生学情由于具体问题中的许多条件概率问题与我们的直觉相悖，因此往往很难迅速得到正确的答案，这就是概率问题不同于其他数学问题之处。因此，学生在学习条件概率概念时可能会产生困惑，对条件概率定义的理解会存在偏差。由于古典概型的条件概率计算总可以通过缩小样本空间转化为非条件概率的计算，因此学生在学习心理上可能会不自觉地拒绝接受条件概率的概念。另外，独立性是概率论中极其重要的概念，独立性的概念可以用条件概率描述，但在实际操作中两个随机独立性的判断往往是基于学生的经验，所以学生容易忽视独立性与条件概率之间的关系。教学方
4、法和策略认识论告诉我们，认识就是在实践认识再实践再认识的过程中不断深化的。此过程并不是一帆风顺的，让学生学会迂回方式在已有知识和经验的基础上主动建构，体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，条件概率定义式的验证与应用其实就是数学模型的建立与应用的典范因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试。整节课贯穿启发式教学原则，并由此获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣和学好数学的信心，践行 “学会思考，体验过程，学会表达”的理念。1.数学抽象：条件概率的概念 ；2.逻辑推理：条件概率公式的推导 ；3.数学运算：运用条件概率公式计算概率；4.数学建模：将相关问题转化为
5、条件概率。教学过程引导语：在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率的问题。当事件A与B相互独立时，有P(AB)=P(A)P(B)如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面，我们从具体的问题入手。1. 情景导入（一）通过动画引入，某班级有45名学生，其中男、女生人数及团员的人数如表1所示。团员非团员合计男生16925女生14620合计301545表1思考1：在班级里随机选择一人做代表，问选到男生的概率是多少？思考2：在班级里随机选择一人做代表，问如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？师生活动：先由学生尝试自主完成上面的
6、问题，要求学生在每个问题中用符号表示样本空间和相关的事件，分析是否满足古典概型的条件。分析：在思考1中，随机选择1人做代表，则样本空间包含45个等可能的样本点。用B表示事件“选到男生”，根据表中的数据可以得到：n()=45,n(B)=25。从而根据古典概型知识可知，选到男生的概率P(B)=n(B)n()=2545=59对于思考2，随机选择一人做代表，用A表示事件“选到团员”，引导学生分析“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为：P(B|A).此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，在新的样本空间中，事件B表示选到的代表既是团员又是男生，
7、即为积事件AB，根据表中的数据可以得到：n(A)=30，n(AB)=16从而根据古典概型知识可知，如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率:P(B|A)=n(AB)n(A)=1630=815追问：事件A的发生是如何改变样本空间的？是增大样本空间，还是缩小样本空间？师生活动：教师引导学生思考、交流、总结。设计意图：通过具体的实例，引入条件概率的直观概念，使学生认识到在事件A发生的条件下，会缩小样本空间，条件概率P(B|A)本质上是在新的样本空间A中事件AB的概率，即P(B|A)=n(AB)n(A)运用动画和图表，能够使学生直观理解有关概念，进行条件概率的计算。情景导入（二）通过动画引入，某个
8、家庭有2个孩子。思考3：两个孩子都是女孩的概率？思考4：如果有1个孩子是女孩，那么两个孩子都是女孩的概率又是多少？师生活动：首先要求学生用集合语言表示样本空间和问题中有涉及的条件，判断问题是否满足古典概型的条件，然后教师引导学生进行互动交流。分析：对于思考3，用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间=bb,bg,gb,gg，且所有样本点是等可能的，所以 n()=4，用B表示事件“2个孩子都是女孩”，则B=gg，即 n(B)=1。从而根据古典概型知识可知，2个孩子都是女孩的概率：P(B)=n(B)n()=14对于思考4，用A表示事件“家庭中有1个孩子是女孩”，“如果有1个孩子是女孩，那么两个孩子都是
9、女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率。记为：P(B|A)此时，相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率。A=bg，gb，gg，即 n(A)=3在新的样本空间中，事件B表示两个小孩都是女孩，即为积事件AB，即 n(AB)=1。从而根据古典概型知识可知，如果有1个孩子是女孩，那么两个孩子都是女孩的概率:P(B|A)=n(AB)n(A)=13B设计意图：通过两个情景导入，引导学生发现对于一般的古典概型，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是P(B|A)=n(AB)n(A)。2. 抽象概念从上面两个情境和数学问题的分析中，我们知道：1.事件B发生的概率为P(B)=n(B)n
10、()2.在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)=n(AB)n(A)（一）它们都是根据古典概型知识和方法来求解。图1（二）求P(B)，是以为样本空间，如图1，事件B发生的概率为事件B包含的样本点数与样本空间的样本点数的比值。ABAB（三）求P(B|A)，是以 A为样本空间，如图2，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为积事件AB包含的样本点数与事件A包含的样本点数的比值。（四）因为 P(B|A)=n(AB)n(A)=n(AB)n()n(A)n()=P(AB)P(A)图2所以，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率还可以通过P(B|A)=P(AB)P(A)来计算。于是，给出一般
11、的条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称 P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率。一般把“P(B|A)”读作“A发生的条件下B发生的概率”。设计意图：由具体实例抽象概括共同特征以形成数学概念，是数学抽象的重要表现形式，也是重要的数学思想方法，条件概率的定义不再局限于古典概型，对于一般的概率模型都成立，这也是数学概念的一般性的体现。3. 精微概念（条件概率与事件独立性的关系，乘法公式）探究：在问题1和问题2中，都有P(B|A)P(B)。一般地， P(B|A)与P(B)不一定相等. 如果P(B|A)与P(B)相等，那
12、么事件A与B应满足什么条件？直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)=P(B)成立。事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)0，则条件概率与事件独立性的关系：当P(A)0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B).P(B|A)=P(AB)P(A)=P(A)P(B)P(A)=P(B)反之，若P(B|A)=P(B)，且P(A)0，则P(B)=P(AB)P(A)P(AB)=P(A)P(B)即事件A与B相互独立。思考：对于任意两个事件A与B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢？对于任意
13、两个事件A与B，若P(A)0，由条件概率P(B|A)=P(AB)P(A) , 可得： P(AB)=P(A)P(B|A)概率乘法公式当事件A,B独立时，有 P(AB)=P(A)P(B)设计意图：通过对问题的进一步深入探究，得到两事件A，B相互独立的充要条件，并推导出概率的乘法公式.有了条件概率的定义、条件概率与事件独立性的关系、概率乘法公式，就初步具备了解决较复杂概率问题的能力。4. 数学文化亚伯拉罕棣莫弗（法国数学家，1667年-1754年）十七世纪的法国数学家亚伯拉罕棣莫弗在著作机会的学说明确提出了“条件概率”的概念，“很多概率问题往往不是简单直白的，而是附加了一些条件，在此基础上来求解事件
14、的概率”，比如：在某事件A发生的前提下，求解B事件的条件概率P(B|A)。无条件概率P(B)可解释为试验前人们根据以往积累的资料和经验，对事件B发生的(绝对)可能性大小的认识。而条件概率P(B|A) 可解释为后验概率：人们先经过试验，已经获得了A事件已发生的这个新信息，那么这个新的信息将要求我们，并且有助于我们重新审视或估价事件B发生的可能性大小。从亚里士多德时代开始，人们就已经认识到随机性（不确定性）在客观世界中的普遍性，15、16世纪，人们开始数量化研究随机性（不确定性），并尝试从中发现客观规律，20世纪逐渐发展成一门严格的数学学科分支-概率论。从亚里士多德时代开始，人们就已经认识到随机性
15、（不确定性）在客观世界中的普遍新，15、16世纪，人们开始数量化研究随机性（不确定性），并尝试从中发现客观规律，20世纪逐渐发展成一门严格的数学学科分支-概率论。概率论的发展经历了四个阶段：第一阶段为萌芽时期，时间在1654年之前，以数据统计为主要手段，主要研究保险、赌博、占卜等实际问题；第二阶段为古典概率论时期，时间在1654年-1812年，以排列组合方法为主要手段，主要研究离散型随机变量，标志性著作为1657年惠更斯的论赌博中的计算；第三阶段为近代概率论时期，时间在1812年-1933年，以微积分等分析方法为主要手段，主要研究连续性随机变量，标志性著作为1812年拉普拉斯的分析概率论；第四
16、阶段为现代概率时期，时间在1933年至今，以集合论、测度论为研究基础，研究内容逐渐趋向多元化，标志性著作为1933年柯尔莫戈洛夫的概率论基础。亚伯拉罕棣莫弗的机会的学说、伯努力的猜度术和拉普拉斯的概率的分析理论为较早期的概率史上有三部里程碑性质的著作。条件概率是一种带有附加条件的概率，它是古典概率论中重要的概念之一，人们通常以古典概型为基础来研究条件概率。同样，条件概率是研究概率的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式的基础。5. 应用新知（条件概率、乘法公式的应用）例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，求：(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率
17、；(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率。师生活动：教师先作示范性分析，强调“抽出的题不再放回”的意义，具体为：如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，由于“抽出的题不再放回”，所以两个事件是不独立的，那么问题（1）就是求积事件的概率，问题（2）就是条件概率。可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率。接着，由学生独立完成。在学生完成本例题的解答以后，教师给出完整的解题过程。追问：通过以上的例题解答，请问条件概率一般有几种方法？师生活动：学生思考并回答问题，教师进行总结。解法1：(1)试验的样本空间包
18、含20个等可能的样本点，即. “第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB. 从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，因此，所以(2)“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率. 显然,利用条件概率公式，得解法2：在缩小的样本空间A上求P(B|A).已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因为，.所以事件A发生的条件下，事件B发生的概率为又，利用乘法公式可得设计意图：通过具体问题分清条件概率与积事件概率的联系与区别，归纳求条件概率的两种一般方法，总结条件概率的基本性质。6. 方法总结与课堂小结求条件概率有两种方
19、法：方法一：基于样本空间，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式法公式 P(B|A)=P(AB)P(A)求P(B|A) ；缩小样本空间法方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率，即利用公式P(B|A)=n(AB)n(A)来计算P(B|A) .易错提醒：利用缩小样本空间求条件概率问题，应搞清楚是求哪个事件的样本点数。设计意图：1.学生总结本节课的知识、思想方法，2.教师帮助学生梳理学习脉络，形成知识体系。教学反思本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标。进一步发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。学科网（北京）股份有限公司