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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2015年安徽，理1，5分】为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】B【解析】由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础（2）【2015年安徽，理2，5分】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由选项
2、可知，B、C项均不是偶函数，故排除B、C，A、D项是偶函数，但D项与轴没有交点，即D项不存在零点，故选A【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断求函数的定义域；如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断与的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的（3）【2015年安徽，理3，5分】设，则是成立的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，解得，易知，能推出，但不能推出，故是成立的充分不必要条件，故选A【点评】本题考查充分必要条件的判断
3、，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题（4）【2015年安徽，理4，5分】下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由题意，选项A，B的焦点在轴，故排除A，B，项渐近线方程为，即，故选C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题（5）【2015年安徽，理5，5分】已知，是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A）若，垂直于同一平面，则与平行 （B）若，平行于同一平面，则与平行 （C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【解
4、析】对于A，若，垂直于同一平面，则，不一定平行，如果墙角的三个平面；故A错误；对于B，若，平行于同一平面，则与平行相交或者异面；故B错误；对于C，若，不平行，则在内存在无数条与平行的直线；故C错误；对于D，若，不平行，则与不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故选D【点评】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系（6）【2015年安徽，理6，5分】若样本数据，的标准差为，则数据，的标准差为（ ）（A）8 （B）15 （C）16 （D）32【答案】C【解析】设样本数据，的标准差为，则，即方差，而数据，的方差，所以其标
5、准差为，故选C【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键（7）【2015年安徽，理7，5分】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由题意，该四面体的直观图如下，时直角三角形，是等边三角形，则，所以四面体的表面积，故选B【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目（8）【2015年安徽，理8，5分】是边长为2的等边三角形，已知向量，满足， ，则下列结论正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】依题意，故，故A错误，所以，
6、又，所以， 故B，C错误；设中点为，则，且，所以，故选D 【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系（9）【2015年安徽，理9，5分】函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A）， （B）， （C）， （D），【答案】C【解析】由及图像可知，；当时，所以；当， 所以，所以故，故选C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及的符号是解决本题的关键（10）【2015年安徽，理10，5分】已知函数（，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【
7、解析】由题意，所以，则，而当时，解得，所以，则当，即时，取得最大值要比较的大小，只需判断2，-2，0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0，2与比较近，-2与比较近，所以当时，此时，当时，此时，所以，故选A【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置（11）【2015年安徽，理11，5分】的展开式中的系数是 （用数字填写答案）【答案】35【解析】由题意，令，得，则的系数是【点评】本题考
8、查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具（12）【2015年安徽，理12，5分】在极坐标中，圆上的点到直线距离的最大值是 【答案】6【解析】由题意，转化为直角坐标方程为，即；直线转化为直角坐标方程为，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设圆心到直线的距离为，圆心的半径为，则圆到直线距离的最大值【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（13）【2015年安徽，理13，5分】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的为 【答案】4【解析】由题意，程序框图循环如下
9、：，；，； ，；，此时，所以输出【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基础题（14）【2015年安徽，理14，5分】已知数列是递增的等比数列，则数列的前 项和等于 【答案】【解析】由题意，解得，或者，而数列是递增的等比数列，所 以，即，所以，因而数列的前项和【点评】本题考查等比数列的性质，数列的前项和求法，基本知识的考查（15）【2015年安徽，理15，5分】设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 _；【答案】【解析】令，求导得，当时，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故
10、正确；当时，若，则，易知，在，上单调递增，在上单调递减，所以，解得或，故正确所以使得三次方程仅有一个实根的是【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之三、解答题：本大题共6题，共75分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答写在答题卡上的指定区域内（16）【2015年安徽，理16，12分】在中，点在边上，求的长解：设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得，所以又由正弦定理得，由题设知，所以，在中，由正弦定理得【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查（17）【2015年安徽，理17，12分】已知2件次品和3件正品放在一起，现需
11、要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，（2）的可能取值为200，300，400，；故的分布列为200300400【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力（18）【2015年安徽，理18，12分】设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标（1
12、）求数列的通项公式；（2）记，证明解：（1），曲线在点处的切线斜率为，从而切线方程为，令，解得切线与轴交点的横坐标 （2）由题设和（1）中的计算结果知，当时，；当时，因为；所以，综上可得对任意的，均有【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型（19）【2015年安徽，理19，13分】如图所示，在多面体，四边形， 均为正方形，为的中点，过的平面交于（1）证明：；（2）求二面角余弦值解：（1）由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又面，面面，所以 （2），且，以为原点，分别以为轴，轴和轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标，而点为
13、的中点，所以点的坐标为设面的法向量，而该面上向量，由，得应满足的方程组，为其一组解，所以可取，设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得所以结合图形知二面角的余弦值为【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题（20）【2015年安徽，理20，13分】设椭圆E的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为（1）求的离心率；（2）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程解：（1）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，、故（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线的方程为，点N的坐标为，设
14、点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为，又点在直线上，且，从而有解得，所以，故椭圆的方程为【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题（21）【2015年安徽，理21，13分】设函数（1）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记，求函数在上的最大值；（3）在（2）中，取，求满足时的最大值解：（1），因为，所以，时，函数单调递增，无极值；时，函数单调递减，无极值；对于，在内存在唯一的，使得，时，函数单调递减；时，函数单调递增因此，时，函数在处有极小值（2）时，当时，取，等号成立，当时，取，等号成立由此可知，在上的最大值为（3）即为，此时，从而取，则，并且，由此可知，满足条件的最大值为1【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题7