《2015年高考北京理科数学试题及参考答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年高考北京理科数学试题及参考答案解析.pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精心整理页脚内容2015 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分 （选择题共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1） 【2015 年北京，理 1】复数i 2i（）（A）12i（B）12i（C）12i（D ）12i【答案】 A 【解析】2i 2i2ii12i，故选 A（2） 【2015 年北京，理 2】若x，y满足010 xyxyx，则2zxy的最大值为（）（A）0（B）1（C ）32（D）2【答案】 D 【解析】如图，当01xy，max2z，故选 D （3） 【2015 年北京，理 3】执
2、行如图所示的程序框图，输出的结果为（）（A）22，（B）40，（C ）44，（D ）08，【答案】 B 【解析】020212222240403stxykstxykstxyk，结束，输出( 4,0)，故选 B（4） 【2015 年北京，理 4】设，是两个不同的平面，m是直线且m?“m”是“”的（）（A）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】/m不能推出/，而/，/m，“/m” 是“/” 的必要不充分条件，故选 B（5） 【2015年北京，理 5】某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的表面积是 （）（A）25（B）45（C）
3、22 5（D ）5 【答案】 C 【解析】由三视图知，PA面 ABC ，12222ABCS，5ABAC，155122PABPCASS,6PCPB，12552PBCS，22 5S，故选 C精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 精心整理页脚内容（6） 【2015 年北京，理 6】设na是等差数列 . 下列结论中正确的是（）（A）若120aa，则230aa（B）若130aa，则120aa（C）若120aa，则213aa a（D）若10a，则2
4、1230aaaa【答案】 C 【解析】210aa，0d，所以30a，132132aaaa a，故选 C （7） 【2015 年北京，理 7】如图，函数fx的图象为折线ACB，则不等式2log1fxx的解集是（）（A）|10 xx（B）|11xx（C）|11xx （D）|12xx【答案】 C 【解析】由题可知：22-10( )202xxf xxx，当1 ,0 x时，2log (1)022xx0,2x时，( )f x单调递减，2( )log (1)g xx单调递增，2log (1)2xx1x当01x时，2log (1)2xx，2( )log (1)f xx的解集为1,1，故选 C （8） 【201
5、5 年北京，理 8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）（A）消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米（B）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多（C）甲车以 80 千米/小时的速度行驶1 小时，消耗 10 升汽油（D）某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】 D 【解析】由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于5，A错；由图知，当以40/km h的速度行驶时，甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少，B 错；甲车以80/km h行驶 1
6、小时耗油 8 升，故 C错在限速80/km h，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油，故选 D 第二部分 （非选择题共110 分）二、填空题：共6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9） 【2015 年北京，理 9】在52x的展开式中，3x的系数为（用数字作答）【答案】 40 【解析】5152rrrrTCx，当3r时，系数为3255424402C（10） 【2015 年北京，理 10】已知双曲线22210 xyaa的一条渐近线为30 xy，则a【答案】33【解析】令22200 xxyyaa，所以1333aa（11） 【2015 年北京，理 11】在极坐标系中， 点23?到直线c
7、os3sin6的距离为 _精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 精心整理页脚内容【答案】 1 【解析】直线方程为36360 xyxy，点为(1, 3)，所以点到直线方程的距离为13621213d（12） 【2015 年北京，理 12】在ABC中，4a，5b，6c，则sin 2sinAC【答案】 1 【解析】222sin22sincos24253616901sinsin263090AAAabcaCCcbc（13）【2015 年北京，理 1
8、3】 在ABC中， 点M，N满足2AMMC，BNNC 若MNxAByAC，则x；y_【答案】12x，16y【解析】111111()323226MNMCCNACCBACABACABAC，所以11,26xy（14） 【2015 年北京，理 14】设函数21421.xaxfxxaxax?若1a，则fx的最小值为；若fx恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是【答案】min( )1f x；1,12,2a【解析】当1a时，21,1( )4(1)(2),1xxf xxxx，1x时，1( )1f x，1x时，min311( )()4()1222f xf，所以min( )1f x；（）当0a时，( )f x没有
9、两个零点，（）当01a时，1x时，220log0 xaax，( )f x有一个零点；1x时，12( )0,2f xxa xa；当21a， 即12a时，( )f x恰有两个零点，所以当112a时，( )f x恰有两个零点；（）当12a时，1x时，220log1xaax，( )f x有一个零点；1x时，1( )0f xxa，22xa，( )f x有两个零点，此时( )f x有三个零点；（）当2a时，1x时，无零点；1x时，有两个零点，此时( )f x有两个零点综上所述1,12,2a三、解答题：共6 题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） 【2015 年北京，理 15】 （本
10、小题满分 13分）已知函数2( )2sincos2sin222xxxf x（）求( )f x的最小正周期；（）求( )f x在区间 0，上的最小值解： （）22( )sin(1cos )22f xxx222sincos222xx2sin()42x，周期221T（）0 x3444x21sin()42x21( )02f x最小值为212精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 精心整理页脚内容（16） 【2015年北京，理 16】 （本小题满分
11、 13 分）A，B两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选 1 人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙（）求甲的康复时间不少于14天的概率；（）如果25a，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）解： （）记甲康复时间不小于14天为事件A则3()7P A，所以甲康复时间不小于14 天的概率为37（）记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件B 基本事件空间
12、如下表乙甲10 11 12 13 14 15 16 12 短短短长长长长13 短短短短长长长14 短短短短短长长15 短短短短短短长16 短短短短短短短17 短短短短短短短25 短短短短短短短所以1010( )7749P B（）11a或18a由于A组为公差为 1 的等差数列，所以当11a或18a时B组也为公差为 1 的等差数列，所以方差一定相等， 而方差相等的方程是关于a的一个一元二次方程， 故最多有两个解，所以只有11a或18a两个值（17） 【2015年北京，理 17】 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，4BC，2EF
13、a，60EBCFCB，O为EF的中点（）求证：AOBE；（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值解： （）证明：AEF为等边三角形，O为EF中点，AOEF又平面AEF 平面EFCB，平面AEF平面EFCBEF，AO平面EFCB，AOBE。（）以O为原点建立如图坐标系,0,0E a，,0,0Fa，0,0,3Aa，2,3 2,0Ba，,0,3EAaa，2,3 2,0EBaa平面AEF的法向量0,1,0m；设平面AEB的法向量, ,nx y z，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第
14、 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 精心整理页脚内容则030300n EAxzxyn EB，取3,1,1n，15cos,515m nm nmn，又二面角FAEB为钝角，二面角FAEB的余弦值为55（）BE 平面AOC，BEOC，2,3 2,0OCa，2 23 23 20BE OCaaa，解得2a（舍）或43a（18） 【2015 年北京，理 18】 （本小题满分 13分）已知函数1ln1xf xx（）求曲线yfx在点00f，处的切线方程；（）求证：当01x，时，323xfxx；（）设实数k使得33xfxkx对01x，恒成立，求k的最大值解： （）(x)ln(1x)ln
15、(1x)f，11(x)11fxx1111xx又( )0f x，所以，切线方程为02(x0)y，即2yx（）3322(x)f(x)2xln(1)ln(1x)2x33Fxxx，211(x)2211Fxxx222(1)(1)(1x)xx22222(1)(1)1xxx4221xx，又因为01x，所以(x)0F，所以(x)F在(0,1)上是增函数，又(0)0F，故(x)(0)FF，所以3x(x)k(x)3f（）31ln(x), x(0,1)13xxkx，设21(x)ln(x)0,(0,1)13xxtkxx，422222(x)(1)(0,1)11kxktkxxxx，0,2k，(x)0t，函数(x)t是单调
16、递增，(x)t(0)t显然成立。当2k时，令(x)0t( )0tx，得402(0,1)kxk，+ 极值0(x )t(0)0t，显然不成立，由此可知k最大值为 2（19） 【2015年北京，理 19】 （本小题满分 14分）已知椭圆C：222210 xyabab的离心率为22，点01P，和点A mn，0m都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M（）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示） ；（）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -
17、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 精心整理页脚内容解： （） 由题意知1b，22ca， 又222abc， 解得2,1abc，所以C的方程为2212xyPA的斜率1PAnkm， 所以PA方程11nyxm， 令0y， 解得1mxn， 所以,01mMn（）,B mn，同（）可得,01mNn，1tanQMOQMk，tanQNONQk，因为OQMONQ所以1QNQMkk，设,0Q t则111ttmmnn即2221mtn，又A在椭圆C上，所以2212mn，即2221mn，所以2t，故存在2,0Q使得OQMON
18、Q（20） 【2015 年北京，理 20】 （本题满分 13 分）已知数列na满足：*1aN，136a ，且121823618nnnnnaaaaa，12n， ，记集合*|nManN（）若16a，写出集合M的所有元素；（）若集合M存在一个元素是 3 的倍数，证明：M的所有元素都是 3 的倍数；（）求集合M的元素个数的最大值解： （） 6，12，24（）若存在(1,2, )ia inL是3的倍数，设3 ()iak k*N，当18ia时，126iiaak，1ia也是3的倍数；当18ia时，1236636iiaak，1ia也是3的倍数综上，1ia是3的倍数，依次类推，当ni时，na是3的倍数；若存在(
19、2,3, )ia inL是3的倍数，设3 ()iak k*N，当118ia时，1322iiaka，因为1ia*N，所以1ia也是3的倍数；当18ia时，1363 (6)22iiaka，因为1ia*N，所以1ia也是3的倍数； 综上，1ia是3的倍数，依次类推，当ni时，na是3的倍数；所以原结论成立（）当11a时，将11a代入12,18(1,2,)236,18nnnnnaaanaaL，依次得到2，4，8，16，32，28，20，4，L所以当9n时，6nnaa，此时1,2,4,8,16,20,28,32M，共8个元素由题意，3a可取的值有14a，1436a，1472a，14108a共4个元素，显然，不论1a为何值，3a必为4的倍数，所以34 (1,2,9)ak kL，当34,8,16,20,28,32a时，4,8,16,20,28,32na(3)n，此时M最多有8个元素；当312,24a时，12,24na(3)n，此时M最多有4个元素；当336a时，36na(3)n，此时M最多有3个元素；所以集合M的元素个数的最大值为8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -