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1、目录第一章集合与简易逻辑.2第 二 章 复 数.3第 三 章 函 数.4第 四 章 导 数.8第五章三角函数与解三角形.10第六章平面向量.15第 七 章 数 列.18第八章不等式.23第九章立体几何.26第十章 直线和圆.29第十一章 圆锥曲线.3 2第十二章排列、组合和二项式定理.3 6第十三章概率.3 7第十四章统计与统计案例.3 91/41第一章集合与简易逻辑(-)集合-.集合元素具有确定性、无序性和互异性。在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性二.遇 到/n 8=0时，你是否注意至广极端 情况：/=0或6=0?同样当/q 8时，你是否忘记A=0的情形？要注意到0是任何集合的子集，
2、是任何非空集合的真子集。三.对于含有个元素的有限集合A/，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2,2-1,2-1,2-2.四.集合的运算性质：W AJ B=A B A；(2)2 0 8 =8=8=4；/1 6 =CL,A O CVB;Z D G，8=0 o Z q 8;C J U 8=U o 4=8;(6)Cl/(AQB)=CvAUCuB;五.研究集合问题，一定要理解集合的意义一一抓住集合的代表元素。六.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。(二)逻辑七.全程命题的否定是特称命
3、题，特称命题的否定是全称命题。八.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾)，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若/q 8,则4是8的充分条 件；若，则 是8的必要条件；若4=8，则力是8的充要条件.2/41第二章复数L复 数：形如a +b i,(a,b e R)的数叫做复数.其中 叫实部 叫虚部。复数的模的公式：z=a +b i,z yla2+b22.复数有关概念：实数虚数，纯虚数共辗复数复数相等。+b i =c+di U,3.虚数单位i的性质:产=L严=1,严+】二,，严+2=_ 严+34.复数的运算：zx=a+b i
4、 ,z2=c+di ,a,b,c,d e R则 Z 土%=(。土。)+3 d)i j zl-z2=(a c-b d)+(a d+b c)i5.注意问题：复数的运算与多项式的运算相同，只需要把运算过程中出现的一换成1。虚数不能比较大小，能比较大小的必为实数。3/41第 三 章 函 数-.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则)：1.根据解析式要求如偶次根式的被开方大于或等于零，分母不能为零，对数1 0 g x中x 0,a 0且a#1 ,等。2.根据实际问题的要求确定自变量的范围。3 .复合函数的定义域：若已知/(x)的定义域为。,可,其复合函数/g(x)的定义域由不等式a
5、4 g(x)4 b解出即可;若已知/g(x)的定义域为。,回,求/(x)的定义域，相当于当时，求g(x)的值域(即/(%)的定义域X二,求函数值域(最 值)的方法：1.配方法一一二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 见网上的最值；二是求区 间 定(动)，对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看 ：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系)，2.换元法一一通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，3.函数有界性法一一直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函
6、数的值域,最常用的就是三角函数的有界性，4.单调性法一一利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，5.数形结合法一一函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等 等，6.判别式法一一对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：7.不等式法一一利 用 基 本 不 等 式6 N 2向a,b G夕)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧8.导数法一一T 殳适用于高次多项式函数。三,
7、分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函 数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值/(%)时,一定首先要判断X。属于定义域的哪个子 集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。四 .求函数解析式的常用方法：1.待定系数法一一已知所求函数的类型2.代 换(配 凑)法 一一已知形如/(g(x)的表达式，求/(x)的表达式。3.方程的思想一一已知条件是含有/(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于/(x)及另外一个函数的方程组。五 .反函数：1,存在反函数的条件是对于原来
8、函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立，偶函数只有/(x)=O(x w 0)有反函数;周期函数一定不存在反函数。2.求反函数的步骤：反求x；互 换x、；注明反函数的定义域(原来函数的值域X注意函数4/41y=/(+1)的反函数不是了=f(x+l),而是夕=广|。)-1。3.反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。函数y=/(x)的图象与其反函数y=广 的 图 象 关 于 直 线p=x对 称，注意函数y=/(x)的图象与X=/T(y)的图象相同。/(a)=b c尸 =%互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函
9、数性。设/(X)的定义域为A，值域 为B,则有=x(x e B),/W=x(x e Z),但/六.函数的奇偶性。1.具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。2.确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性)：定义法：利用函数奇偶性定义的等价形式：/(%)/(-乃=0或 七=1 (/(x)*0 X/(x)图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。3.函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则
10、其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若/(x)为偶函数,则/(-x)=/(%)=/(|x|).若奇函数/(x)定义域中含有0 ,则必有/(0)=0./(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件。定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)二复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个(/(幻=0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集).七,函数的单调性。1,确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法(取值一一作差一一变形一一定 号)、导数法(在区间(凡份内，若总有/(X)
11、0 ,则/(%)为增函数；反 之，若/a)在区间(a,b)内为增函数，则f(x)0 ,请注意两者的区别所在。在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y a x +-(a 0X6 0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(-0 0,-,杉,+0 0),减区间为复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，5/41特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数/(x)=1 0 g“,-如+3)在区间(-8,自上为减函数，求。的取值范围(答：(1,2 6);二是在多个单调区间之间不能添加符号“U”和“或“；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示.2.注意到函数单调
12、性与奇偶性的逆用(比较大小；解不等式；求参数范围).八.常见的图象变换1 函数N =/(X+a)(a 0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿x轴向左平移a个单位得到的。2.函数y=/(x+a)(a 0)的图象是把函数y=/(x)助图象沿y轴向上平移。个单位得到的；4.函数y=/(xj+a(a 0)的图象是把函数歹=f(x)的图象沿x轴伸缩为原来的,得到的。a6 .函数y=4(x)(。0)的图象是把函数卜=/(x)的图象沿歹轴伸缩为原来的。倍得到的.九.函数的对称性。1.满足条件/(x+a)=/伯7)的函数的图象关于直线=与 对 称。2.点(xj)关于y轴的对称点为(-x/)；函数y=/(x)关
13、于轴的对称曲线方程为y=/(-x);3.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)；函数夕=/(x)关于x轴的对称曲线方程为y=-/(x);4 点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y)；函数_y=/jx)关于原点的对称曲线方程为少=-/(-x)；5 .点(8)关于直线卜=彳+。的对称点为(3-。),8 +。)；曲线/(x,y)=0关于直线y=x+“的对称曲线的方程为/(y-0,x+a)=0。特别地，点(xj)关于直线y=x的对称点为U，x)；曲线f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线的方程为f(y,x)=0 ；点(xj)关于直线y=-x的对称点为；曲线/(x,y)=0关于直线了=-X的对
14、称曲线的方程为f(-y,-x)=0。6 .曲线/(x/)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程为/(2 aT,2 b-y)=0。7.形如y=叵 玷(c丰0,ad丰be)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线=-2(由分母为零确定)和直线J，=?(由分子、分母中X的系数确定),对称中心是点(一 把)。8 .|/(x)|的图象先保留/(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；/(|x|)的图象先保留/(X)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出v轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。十.函数的周期性。1.类比“三角函数图像”得：若y=/(X)图像
15、有两条对称轴x=a,x=h(a ),则y=/(x)必 是 周 期 函 数，且一周期为T =2 a-b ;若y=/(x)图像有两个对称中心Z(“,0),8(6,0)(。)，则_y=/(x)是周期函数，且一周期为T =2 a-b ;如果函数y=/(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b(a手b),则函数y=/(x)必是周期函数，且一周期为T=4|a-b|；2 .由周期函数的定义“函数/(x)满足/(a+x)=-/(a0),则/(%)是周期为a的周期函数”得：函数/(x)满足-/(x)=/(a+x),则/(X)是周期为2 a的周期函数；6/41若/*+a)=一(a H 0)恒成立，则
16、T=2 a;/(x)若/(x+a)=(aa0)恒成立，则 T=2 a./(x)十一,指数式、对数式：m 1 m a=yjam,a =,a=l,log l=0 ,log(,a=l ,Ig2 +lg5 =l ,logex=nx,aa =N0 1 ogN =b(a OM Hl,N O),a Sa N=N ,|og h=log.l o g,a“m十 二.指数、对数值的大小比较：(1 )化同底后利用函数的单调性；(2 )作差或作商法；(3)利用中间量(0或1 )；(4 )化同指数(或同真数)后利用图象比较。7/41第四章导数1.导数的概念：/()=lim(1&)_/(,导函数也简称导数.20 Ax2.导
17、数的几何意义几何意义：曲线/(x)在某一点(X。,比)处的导数是过点(X。,我)的切线斜率.3.求导公式O =0(C为 常 数)；(x)=x T;(s inx)=cos x;(cos x)=-s inx;(ex)=ex；(axy=ax na;(lnx)=-;(logx)=-logae.x x4.运算法则如果(x)、v(x)有导数，那么i/(x)n(xH，=(x)3(x),c w(x)=cw(x)；“(x)心)，=，(x)v(x)+“(x)W(x);(喇/(叱丁.5.性质：若/(x)在R上可导,证 明：若/(x)为 偶(奇)函 数，则/(x)为 奇(偶)函 数6.导数的应用：(-)用导数求函数单
18、调区间的一般步骤.(1 )求/(x)；(2 )/(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；/(x)0 ,那 么 s ina=,cos a=,tana=,(x 0),r r xcota=(y w 0)。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。y7、三角函数线的特征 是：正弦线M P“站在x轴上(起点在x轴上葭 余弦线0 M“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点/(1,0)处(起点是A)”.三角函数线的重要应用是比 yA较三角函数值的大小和解三角不等式。B s 8、特殊角的三角函数值：(%R、3 045600901802701575。si n aj_2也V3V010-
19、1y/6y/24丁cos aV3T422_ 1 _210-10V6+V24a-立410/41tanay/3T1V30/0z2-V32+V3cot aV31TV 3/0/02+5/32-V39、同角三角函数的基本关系式：(1)平方关系：sin a +cos a =1,1+tan a=sec a.1 +cot-a=esc a(2)倒数关系:sin a esc a=1,cos a sec a=1,tan a cot a=1,(3)商数关系：tana=sina-,cota 二cos acos asin a同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关
20、系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。10、三角函数诱导公式(上乃+a )的本质是：奇变偶不变(对左而言，指左取奇数或偶数)，符号2看象限(看原函数，同时可把。看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值。1 k两角和与差的正弦.余弦.正切公式及倍角公式：sin(a P)=sinacosP cososin令sin 2a=2 sin a cos acos(a 尸)=cos a cos 干sin a sin
21、0 a=/?cos 2a=cos a-sin 2aJ=2cos2 a-1=1-2sin2 atan(a 夕)an Q 士 tan/14=tan tan 02 1+cos2 a=cos a=-2.2 1-cos2asin a=-2_ 2 tan atan 2a=-l-tan a1 2.三角函数的化简.计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有：(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差
22、角的变换.如a =(&+)_夕=(&-/?)+/?,2a=(&+4)+(&-夕),2a=(7?+)-(/?-a),a +1.得 （）左G Z）,对称轴是直线X =左）（左 Z）（正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于X轴的直线，对称中心为图象与X轴的交点j r rr（5）单 调 性：y=sinx在2 -1,2 +y （左eZ）上单调递增，在j r2k 7r+,2k 7v+（左eZ）单 调 递 减；y=cosx在2%肛2版+句（左eZ）上 单 调 递 减，在2%乃+万，2左乃+2乃（左e Z）上单调递增。16、形如y=/sin（cyx+9）的函数：（1 ）几个物理量：A振 幅；./=
23、：一频率（周期的倒数）；a）x+（p 相 位；*初 相；（2）函数y=/sin（0r+e）表达式的确定：A由最值确定；/由 周 期 确 定；夕由图象上的特殊点确定。7 7 3 7 7（3）函数y=/sin（iyx+e）图象的画法：“五点法”-设X=ox+0，令X=0,求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数了 =/5m（的+夕）+人的图象与了=5足图象间的关系：函数y=sinx的图象纵坐标不 变，横坐标向左（R 0）或向右（0）或向下（k 0 时，/的 方 向 与 l 的方向相同，当 2 0,且。不同向，0是。为锐角的必要非充分条件；当
24、。为钝角时，】0,且Z、坂不反向，B0是。为钝角的必要非充分条件；非零向量a,6夹角。的计算公式：cos 8=%百；_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 琲I ab2）2）,则：向量的加减法运算：4B=（X1X2，必2）。实数与向量的积：4a=九（七,乂）=（4/,4必）。若Z（x”必B C%），贝!1=（%-而,8-乂），即一?向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。平面向量数量积：a=占%2 +乂 七.向量的运算律：1.交 换 律:a+b=b+a,/L（q）=（4）a,ab=b*a；2.结 合 律：a+B+c=（a+B）+c,B-c =a-0 +c j,=；3.分配律
25、：（2+/z）a=Aa+jia,A（4+B）=4a+,（a+B）c=q c+Bc。八.向量平行（共线）的充要条件：a/h o a =Ab=（5）2 =（|）2 0再%一%W 二0。九.向 量 垂 直 的 充 要 条 件：aA.hab=0oa-b=a-b 0玉+必力=。,特 别 地AB AC AB AC阿 同 时 同十.线段的定比分点：1 .定比分点的概念：设 点P是 直 线P,P2上异于p I、p 2的任意一点，若存在一个实数A，使至=2巫，则2叫做点P分 有 向 线 段 职 所 成 的 比，P点叫做有向线段职的以定比为A的定比分点;2.Z的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段P|P 2
26、上时。九0；当P点在线段P|P 2的延长线上时O/lV-1 ；当P点在线段P2Pl的延长线上时。-1 4 0；若 点P分 有 向 线 段 帝 所 成的比为,则点p分有向线段P,R所成的比为43.线段的定比分点公式：设片（七,凹）、（乙,），P（x,y）分 有 向 线 段 而 所成的比为4，则16/41 v_ 为 +1 +2广必+办21 +AX=,特别地，当4 =1时，就得到线段p IP,的中点公式y=X 1+x22乂+8。在使用定比分点的2坐标公式时，应明确（x j）,（玉,乂）、（%,%）的意义，即分别为分点，起 点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据
27、这些点确定对应的定比4。十一、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）I I -H加凶国-+向，特别地，当、3同向或有6|a+fe|=|a|+|d|a|-|6|=|a-l当a、B反向或有6|a|-|i|=|a+6|当、B不共线=I I I -IV 士加V I +（这些和实数比较类似）.（3 ）在 AB C中，若/&,乂）,6（/2），0（3,乃），则 其 重 心 的 坐 标 为17/41第七章数列一,数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集 1,2 ,3，n )的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。二,等差数列的有关
28、概念：1 .等差数列的判断方法：定义法an+l-an=d(d为常数)或a,l+l-an=an-6-(2)o如 设%是等差数 列，求 证:以 bn/L+%(eN*)为通项公式的数列 4 为等差数列。n2 .等差数列的通项：an a1+(-l)d 或=a ,+(-。3 .等差数列的前 和：S,=(q+),S“=叫+也心。2 24 .等差中项：若 a,4 b 成等差数列，则 A 叫做。与人的等差中项，目 4=巴 也。2提 醒：(1 )等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5 个元素：q、d、4 及 S,，其中q、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2
29、。(2 )为 减 少 运 算 量，要 注 意 设 元 的 技 巧，如 奇 数 个 数 成 等 差，可 设 为 ，a-2d,a-d,a,a+d,a +2d.(公差为 d)；偶数个数成等差，可设为.，a-3 4,a-d,a+d,a+3 ,(公差为2d)三,等差数列的性质：1 ,当公差d*0 时，等差数列的通项公式a=q +(-l)d=而+q -是关于的一次函数，且斜率为公差d；前和S=4 +丛p J=|rt2+(a,-|)M 是关于n的二次函数且常数项为0.2.若公差d 0 ,则为递增等差数列，若公差d 0 ,则 lg a J 是等差数列.18/415 .在等差数列出）中，当项数为偶数2时，S偶
30、一S奇=d;项数为奇数2-1时，S奇-S偶中，S2“T=（2-1）研（这里a中 即%）；S奇：“=：（-1）。A6 .若等差数列 4、的前和分别为A“、纥，且 于,/（），则a=(2 w-l)a _ A2n_,bQ-l)bB2z7.“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法 一：由不等式组!”2 （或1%4 确定出前多少项为非负（或b，1+i 4 N 0,非 正）；法 二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 G N*。8.如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的
31、新数列也是等差数列，且新等差数列的公差 是 原 两 等 差 数 列 公 差 的 最 小 公 倍 数.注 意：公 共 项 仅 是 公 共 的 项，其 项 数 不 一 定 相 同，即研究四.等比数列的有关概念：1.等比数列的判断方法：定义法44=q（g为 常 数），其 中0 K o M“工0或4包=&（2 2）。aan an-2.等比数列的通项：a“=atq-或a =。”白。3.等 比数列的前“和：当q =l时，S“=叫；当#1时，5.=弘1二 心=幺 二 组。l-q i-q特 别 提 醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项 和 时，首先要判断公比q是否 为1,再 由q的情况选择求
32、和公式的形式，当不能判断公比q是 否 为1时，要对q分q =1和q#1两种情形讨论求解。4.等比中项：若a,46成等比数列，那 么A叫做。与6的等比中项。提 醒：不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项，且 有 两 个 土 而。提 醒：（1）等比数列的通项公式及前n和 公 式 中，涉 及 到5个 元 素：q、q、。“及S”，其 中4、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即 知3求2 ；（2 ）为减少运19/41算 量,要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，二二,(公比为q );但偶数个q-q数成等比时，不能设为.，因公比不一定为正数，只有公比为
33、正时才可如此设，且公q q比为q2 o5.等比数列的性质：(1)当加+=0+4时，则有=ap-aq,特别地,当+=2 p 时,则有=a j(2)若%是等比数列，则|*、为5 (p,q eN*)、她 成等比数列；若 也 、也 成等比数 列，则 a也、务 成 等 比 数 列；若%是 等 比 数 列，且 公 比 乡*-1 ,则 数 列S,S2n-S“,S3 -$2,也是等比数列。当 q =-1 ,且为偶数时，数列S,2,-S”S3,-S2”,是常数数列0 ,它不是等比数列.(3)若 q 0,q 1 ,则 4 为递增数列；若 q 1,则%为递减数列；若“0,0 q 1 ,则 ,为递减数列；若 0,0
34、q 1,则%为递增数列；若 4 0 ,则缶“为摆动数列；若 4 =1 ,则 为 为常数列.(4)当时，5“=二，这里a+b=0，但“力01工0，这是等比数列-q-q前项和公式的一个特征，据此很容易根据s“，判断数列 4 是否为等比数列。(5)S i=S,“+/S“=S,+g S,”.(6)在等比数列 a,J中，当项数为偶数2 n时，5 偶=q S奇；项数为奇数2 -1 时，5 奇=+q S偶.(7)如果数列 J 既成等差数列又成等比数列，那么数列 对 是非零常数数列，故常数数列”“仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。五.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公
35、式。已知S,(即 q+%+-+%=/()求 知，用作差法：4=快CD”？)。20/41/(!),(=1)已知的 =/()求 ,用作商法：/=/()外。若 见+1-4,=/()求 用累加法：4=(%一%)+(%-4 _ 2)+(。2 一。|)+卬(2 2)。已 知 也=/()求 为,用累乘法：%=-一 色%(2 2)。%*%已知递推关系求知,用 构 造 法(构造等差、等比数列)。特 别 地,(1 )形 如 4=总1+b、4=.I +夕(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为女的等比数列后，再求见.注 意：(1 )用 即=S“-S-求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？
36、(2 2 ,当 =1 时 吗=S1 )(2 )-般地当已知条件中含有对与J 的混合关系时，常需运用关系式*=S,-S,，先将已知条件转化为只含%或S”的关系式，然后再求解。六.数列求和的常用方法：1 .公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检 查 其 公 比 与 1的 关 系，必 要 时 需 分 类 讨 论.；常 用 公 式：1 +2 +3+=:(+1),l2+22+-+n2=n(n +l)(2n+l),I3+23+33+-+3=-2.2 .分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合在在一起，再运用公式法求和.3.倒序相加法
37、：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法).4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前和公式的推导方法).5 .裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：1 :1 1(+1)n n+1_ L _ =(_L_1 _)(+)k n n+k1 1 1 z 1 1 、-=-)k2 k2 1 2 k-k+V21/411 1k k +(左 +1)左1
38、 1 1 1-r-k (k -Y)k k-k11(+1)(+2)=丸 +1)(+1)(1 +2)n 1 1(+1)!！(+l)!2(J +1 -&)=j=-21-4=b,则ac?be2;若a 6 ；若a 6 幺；a b若c a 6 0,则-a -;c-a c-b其中正确的命题是二,不等式大小比较的常用方法：若a，be),则ab；若a 6 0,则,2；a h若a b 网;若 a b,L ，则a 0,h 且 尹 4 b /（根据目标不等式左右的运算结构选用）；a+b（2）a、b、ceR,a2+b2+c2 ab+bc+ca（当且仅当 a=b=c时，取 等 号）；（3 ）若h A 4-n;a b 0,
39、m Q，则2丝 三（糖水的浓度问题Ia a+m五.证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法（比较法的步骤是：作 差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。）.常用的放缩技巧有：1 1 1 1 1 1 1-=-=n +1 (+1)n-n-1 n左 +1 -4k=1.产 产 6的七.一元二次不等式的解集（联系图象 尤其当 =0和 0,玉,乙是 方 程+6 X+C=0的两实根，且X 0ax1+c 0ax2+bx+c 0 xx x2xxx2 x|Xj x x2xxl xx2 =0,.b、x x -2aR x|x=-A|2a 0RR。注意到同样的情形？九.一
40、元二次方程根的分布理论。方程/(x)=a?+法+c=0(。0)在(左,+8)上有两根、在(加,)上有两根、在和伏,+OO)上各有一根的充要条件分别是什么？A0(i f W o、b k-2aA 0/(?)0“)0bm la/)0 )o根的分布理论成立的前提是开区|a|-|6|=|a-ba、b 异号或有 0 O|a-|=|a|+1|N|a|-网 另 a+6 1.十 五.不等式的恒成立，能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法)1).恒成立问题若不等式/(X)A在区间D上恒成立，则等价于在区
41、间Z)/(x)m,n A若不等式/(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上/(X)|MX A成立厕等价于在区间 /(x)mas A；若在区间。上存在实数X使不等式/(x)8成立厕等价于在区间。上的/(月皿,A在区间D上恰成立，则等价于不等式/(x)A的解集为D；若不等式/(%)B在区间D上恰成立，则等价于不等式/(x)B的解集为D.25/41第九章立体几何1.多面体与旋转体的几何性质，侧面积，体 积.多面体：棱 柱，棱 锥，棱 台(正棱柱，正棱锥,正棱台，正四面体)旋转体：圆 柱，圆 锥，圆 台，球(1 )要掌握几何体的性质(2 )能将侧面展开，会求侧面积.(3 )掌握体积公式.柱体的体积
42、V=S h，锥体的体积V=；Sh；台体的体积匕 =ghg+T v?+s2)4(4)球的体积和表面积公式：V =兀 R S=4成 2。3特别注意：正三棱锥与正四面体的联系与区别；棱与侧棱的区别；面对角线与体对角线的区别；几类特殊的平行六面体：平行六面体?直平行六面体?长方体?正四棱柱 招 正方体;2、直观图的画法(斜二侧画法规则)3.三视图学员自行掌握就可，新高考已不作为考查内容，但是对于理解空间几何体有帮助。4、空间点、直线、平面间的关系三个公理和三条推论：公 理 1 ：是判断直线在平面内的常用方法。公理2、证多点共线和找两面交线的方法，公理3 ：公 理 3 和三个推论是确定平面的依据。5、空
43、间直线的位置关系：平 行，相 交，异 面.6、异面直线所成角。的求法：T T(1 )范 围：0 e(0,-;(2 )求 法：子 移(中点平移，顶点平移以及补形法)(3)向量法(主要使用建立空间坐标系，利用向量的夹角公式：C O S。=占a h(绝对值)7直线与平面的位置关系：平 行，相 交，在平面内.8、直线与平面平行的判定和性质：9、直线和平面垂直的判定和性质：10、了解三垂线定理及逆定理：正 定 理：面内的直线与斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。在高考中可以直接使用。11、直线和平面所成的角：(1 )定 义：(2 )范 围：0。,9 0。；(3 )求 法：12、平面与平面的位置关系：
44、平 行，相 交，(垂直).13、两个平面平行的判定和性质：26/4114、二面角：(1 )作平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，然后作一线连一线证一线得出平面角；垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；(2)二面角的范围：0,%；(3 )二面角的求法：转化为求平面角；面积射 影 法：利用面积射影公式S射=5原-cos。，其中0为平面角的大小。法向量法：建空间坐标系，求出两个平面的法向量，然后使用公式.15、两个平面垂直
45、的判定和性质：(1)判 定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。(2)性 质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：线线 线面 面面判定 线_1线 线,面 面 _1面(性 质线线 线_1 _面 面面16、空间距离的求法：(特别强调：优先考虑向量法。立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“T 乍，二 证，三计算”的原则)(1)点到直线的距离：一般作出垂线再求解。(2)点到平面的距离：垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键
46、；体积法：转化为求三棱锥的高；等价转移法。(3 )直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。17、空间向量：(1)空间向量及其运算空间向量的加法与减法，数乘运算及运算律和平面向量类同.共线向量(也叫平行向量)：a/b a=Ab(b 0)-|-|-|/-T f -2-2 T f T Ta 力 cos(cb),ab=ba;a=a;a_Lb=a6=0 i-i-中点向量PM=Q(PA+PB)(M为线段AB的中点)灯 为A48C重 心，则PG=-(P/i+PB+P C).(2)空间角与距离的向量解法：异面直线所成的角设4 e a,B w a,C
47、 c b,D e b，且直线a与b是异面直线，则(蓝,C*就是异面直线。与b所成的角或它的补角；二面角：设 是 二 面 角a-夕的两个面，加，分 别 是 的 法 向 量，当这两个法向27/41量的方向都指向二面角的内部或外部时则这个二面角的大小是乃-(孩了)；当这两个法向量的方向一个指向二面角的内部另一个指向外部时，则这个二面角的大小是(一了直线与平面所成角e:设直线与平面交点为A,p为直线上的点，p点到平面的距离为d,则s in。=色。其 中P点到平面的距离d可以用法向量法求出。P A点到平面的距离：P为平面外一点，A是平面内的任一点，n是平面的法向量，则P点到这个平面的距离是“P A-n(
48、3 )空间位置关系的向量解法：三点B、。共线=；两线平行A B /CD A B =AC D ;-)两线 垂 直L C D A B-C D =O;两平面垂直：设根,分别是平面a，B的法向量，那么a _L =?=028/41第十章直线和圆-.直线的倾斜角：1 .定 义：在平面直角坐标系中，对于一条与X 轴相交的直线/,如果把X 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线/重合时所转的最小正角记为a，那么1就叫做直线的倾斜角。当直线/与X 轴重合或平行时,规定倾斜角为0 ；2 .倾斜角的范围 0,乃）二,直线的斜率：1.定 义：倾斜角不是9 0。的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率左,即左=tana（a
49、 苗 9 0。）；倾斜角为9 0。的直线没有斜率；2 .斜率公式：经过两点6（而,乂）、P,（x,y2）的直线的斜率为k=匚生（xx#x2）;Xj-x23 .直线的方向向量=（1,公,直线的方向向量与直线的斜率有何关系？4 .应 用：证明三点共线：kA B=kBC o三 .直线的方程：1 ,点斜式：已知直线过点（%,%）斜率为左，则直线方程为y-%=k（x-%）,它不包括垂直于x 轴的直线。2 .斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y k x +b，它不包括垂直于x 轴的直线。3 .两 点 式：已知直线经过片（西,弘）、R（W，必）两 点，则直线方程为上二!_ =三二
50、，它不包为一切 马一项括垂直于坐标轴的直线。4 .截距式：已知直线在x 轴 和 v 轴上的截距为a,b，则直线方程为-+=1 ,它不包括垂直于坐标a b轴的直线和过原点的直线。5 .一般式：任何直线均可写成/x+a +C =0（A,B不同时为0）的形式。四 .设直线方程的一些常用技巧：1 .知直线纵截距6 ,常设其方程为丁=去+。；2 .知 直 线 横 截 距,常设其方程为x=wy+x0（它不适用于斜率为0的直线）；3 .知直线过点（X。,%）,当斜率人存在时，常设其方程为歹，当斜率人不存在时，则其方程为X=X0 ；4 .与直线/:/x+绘+C =0平行的直线可表示为/x+8 y+=0 ；5