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1、公众号：黑洞视角第 1页（共 8页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司高中数学公式及知识点大全（一）2025年高三数学一轮复习高中数学公式和知识点大全（北师大版2019）高中数学公式及知识点大全（一）2025年高三数学一轮复习高中数学公式和知识点大全（北师大版2019）一、集合与常用的逻辑用语一、集合与常用的逻辑用语1、集合（1）集合与元素集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示常见数集的记法：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号NN或 N*ZQRR（2）集合
2、间的基本关系子集：集合 A 中的任意元素都是集合 B 中的元素，记作 真子集：集合 A B，但存在元素 x B，且 x A，记作集合相等：集合 A，B 中元素相同，记作=注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即 ，；任何集合都是自身的子集，即 AA；是指不含任何元素的集合，是指以为元素的集合，即 （3）集合的基本运算并集：A B=x|x A，或 x B交集：A B=x|x A，且 x B补集：CuA=x|x U，且 x A（4）集合的有关性质集合的传递性 A B，B C A C.集合的子集个数：若集合 A 中有个元素，则 A 的子集有2个，真子集有2 1 个，非空真子集有2 2
3、个等价关系：=或 2、常用逻辑用语（1）充分条件与必要条件：若以集合 A 的形式出现，以集合 B 的形式出现，即：|()，：|()，则若 ，则 p 是 q 的充分条件若 ，则 p 是 q 的必要条件若，则 p 是 q 的充分不必要条件若，则 p 是 q 的必要不充分条件若，则 p 是 q 的充要条件（2）全称量词命题，存在量词命题，命题的否定及其真假性全称量词命题“，具有性质()”的否定，是存在量词命题“，不具有性质()”存在量词命题“，具有性质()”的否定，是全称量词命题“，不具有性质()”全称量词命题与存在量词命题真假性相反二、不等式二、不等式1、不等式的性质（1）如果，且，那么 （2）如
4、果，那么 （3）如果，0，那么如果，0，那么 ，那么 （5）如果0，0，那么 如果 0，0，那么 ，其中 n N+，n 2当0 时，其中 n N+，n 2公众号：黑洞视角第 2页（共 8页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2、基本不等式2+22xyyx221+1，当且仅当=时“=”成立使用条件：一正（yx,都是正数）、二定（xy是定值或者yx 是定值）、三相等（yx 时等号成立）若积xy是定值p，则当yx 时和yx 有最小值p2若和yx 是定值s，则当yx 时积xy有最大值241s3、用不等式解决恒成立、有解问题若对 ,，
5、恒成立，则 若 ,，使 成立，则 若对 ,，恒成立，则 若 ,，使 成立，则 若对 ,，恒成立，则 若 ,，使 成立，则 若对 ,，恒成立，则 若 ,，使 成立，则 三三、函数、函数1、函数的定义（1）定义域：指使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数的定义域如下：分式函数中分母不等于 0偶次根式函数的被开方式大于或等于 0=0的定义域是|0对数函数的真数大于 0，指、对数函数的底数大于 0 且不等于 1一次函数、二次函数的定义域均为 R（2）函数的对应法则：函数的对应法则（也称函数的解析式）是表示函数的一种方式，对于不是 yf(x)的形式，求函数的解析式时，一定要注意函数定义域
6、的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式（3）函数的值域：指函数值构成的集合，常见基本初等函数的值域如下：反比例函数kyx（为常数且 0）的值域为,0 0,+一次函数+(k 为常数且 k0)的值域为 R二次函数2+（a，b，c 为常数且 0）当 0 时，二次函数的值域为24,)4acba，当 0 时，二次函数的值域为24(,4acba指数函数=的值域为 0,+对数函数=的值域为 R（4）函数的最值前提设函数 yf x的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都 f xM存在0 xI，使得0f xM对于任意的xI，都 f xM存在0 xI，使得0f xM结论M为最大值M为最小值
7、注意：函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值2、函数的性质（1）函数的单调性定义法：对1,2,，且1 2,)(0)()(21baxfxfxf在上是增函数,)(0)()(21baxfxfxf在上是减函数求导法：设函数)(xfy 在区间,内可导若 0，则 在区间 a,b 上为增函数若 0，则 在区间,上为减函数常用结论公众号：黑洞视角第 3页（共 8页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司若 ,f xg x均为区间 A 上的增(减)函数，则 f xg x
8、也是区间 A 上的增(减)函数若0k，则 kf x与 f x的单调性相同；若0k，则 kf x与 f x单调性相反一些重要函数的单调性和图象：对勾函数刀锋函数超越函数（2）函数的奇偶性对于定义域（定义域需关于原点对称）内任意的x，都有)()(xfxf，则)(xf是偶函数其图象关于轴对称对于定义域（定义域需关于原点对称）内任意的x，都有)()(xfxf，则)(xf是奇函数其图象关于原点对称，若奇函数在 0 处有定义，则 0=0（3）函数的周期性定义：若对于定义域内任意的 x 都有 +=，则 是周期函数，其周期为拓展：若对于定义域内任意的 x 都有 +=+，则 是周期函数，其周期为 若对于定义域内
9、任意的 x 都有 +=+，则 是周期函数，其周期为 2 （4）函数的对称性若对于定义域内任意的 x 都有 +=，则函数 有对称轴，其方程为=+2若对于定义域内任意的 x 都有 +=，则函数 有对称中心，其坐标为+2，03、指数函数（1）分数指数幂mnmnaa（0,am nN，且1n）11mnmnmnaaa（0,am nN，且1n）（2）根式的性质公众号：黑洞视角第 4页（共 8页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司当n为奇数时，nnaa当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a（3）有理指数幂的运算性质(0,)rsr sa
10、aaar sQ()(0,)rsrsaaar sQ()(0,0,)rrraba b abrQ4、对数函数指数式与对数式的互化式:logbaNbaN(0,1,0)aaN对数的换底公式:logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N)推论：log=1log，log log=log对数恒等式：logaNaN(0a,且1a,0N)推论：loglogmnaanbbm(0a,且1a,0N)5、常见的函数图象?k0?y=kx+b?o?y?x?a0?y=a?x?2?+bx+c?o?y?x?-1?-2?1?2?y=x+?1?x?o?y?x?0a1?1?y=?a?x?o?y?x?0a1?1?y=l
11、o?g?a?x?o?y?x四四、三角函数、三角变换、三角函数、三角变换1、弧度制与角度制的转化1=180 0.0171=180 57182、三角函数的定义若角的终边上存在一点,，则=2+2，=2+23、象限角与轴线角终边在第一象限的角 2,2+2终边在第二象限角2+2,+2终边在第三象限角 +2,32+2终边在第四象限角32+2,2+2终边在轴上的角=终边在轴上的角=2+4、同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin5、正弦、余弦的诱导公式（1）2+=，2+=，2+=（2）+=，+=，+=（3）=，=，=（4）=，=，=（5）2 =，2 =，2 =（6）2+=，2+=，2
12、+=口诀：对于 2或 2，可使用“奇变偶不变，符号看象限”进行化简6、和角与差角公式sin()sincoscossin公众号：黑洞视角第 5页（共 8页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司cos()coscossinsintantantan()1tantan7、二倍角公式2=22222cos2cossin2cos11 2sin 22tantan21tan变形（半角公式）：cos22=1+cos2，sin22=1cos2，tan22=1cos1+cos8、和差化积、积化和差公式口诀：口口之和仍口口，口口只差负赛赛，赛赛之和是赛
13、口，赛赛只差变口赛和差化积积化和差+=2+2 2=12(+)+()=2+2 2=12(+)()+=2+2 2=12(+)+()=2+2 2=12(+)()9、辅助角公式=+=2+2 +其中=+=2+2 其中=10、图象变换：将函数=的图象变成函数sin()yx的图象（1）先移动后伸缩将函数=图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx 的图象（2）先伸缩后移动函数sinyx的图象上所
14、有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx 的图象11.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质sinyxcosyxtanyx图象函数性质公众号：黑洞视角第 6页（共 8页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当22xkk 时，max1y；当22xkk 时，min1y 当2xk
15、k时，max1y；当2xkk 时，min1y 既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk 上是增函数；在32,222kkk 上是减函数在2,2kkk上 是增函数；在2,2kkk 上是减函数在,22kkk 上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴五五、统计统计1、样本均值与方差均值：一个容量为的样本，它们的变量值分别为1，2，则均值（平均数）=1+2+=1=1?方差：一个容量为的样本，它们的变量值分别为1，2，均值为，则方差s2=1=1?()2，标准差 s=1=1?()22、百分位数计算一组个数据的
16、第百分位数的步骤按从小到大排列原始数据.计算=%若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据若是整数，则第百分位数为第项与第+1 项数据的平均数3、频率分布表、频率分布直方图及其相关的计算由频率分布表或频率分布直方图进行有关计算时，要掌握下列结论小长方形的面积=组距频率组距=频率各小长方形的面积之和等于 1频数样本量=频率，可变形为频数频率=样本量，样本量频率=频数频率分布直方图中百分位数的计算方法如图，若+0.5，则百分位落在区间,内，且=+0.5 4、一元性回归（1）散点图：两组容量为的样本，它们的变量值分别为1，2，和1，2，将点,在平面直角坐标系中描出得到的图称为散点图（2）
17、线性拟合：在散点图中，如果所有点,分布在某条直线附近，则可以用一条直线去拟合它们，由于不可能所有点都在拟合曲线上，故用=1+?2来衡量所有点与直线的整体接近程度（即相关性强弱）所有点,距直线越近（竖直距离的平方和越小），误差最小，相关性越强，相关系数最大，称该直线公众号：黑洞视角第 7页（共 8页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司方程为两组变量的线性回归方程所有点,距直线越远（竖直距离的平方和越大），误差最大，相关性越弱，相关系数最小，此时直线方程无意义（3）样本相关系数对于两组样本变量,，样本相关系数=1?()()=1?
18、()2=1?()2=1?=12?2=12?2，且 1，越大，两组样本变量的相关性越强 越小，两组样本变量的相关性越弱=0，两组样本变量不相关=1，此时所有的样本对应的点都会在线性回归方程的图象上，但仍然不能认为两组样本变量是函数关系（样本只是总体的一部分，保证不了没被抽取到的样本对应的点也在回归方程的图象上）（4）线性回归方程两组容量为的样本，它们的变量值分别为1，2，和1，2，通常设线性回归方程为=+=1?()()=1?()2=1?=12?2，=5.独立性检验（1）独立性检验假设两个分类变量和，它们的可能取值分别为1，2=1和1，2=1，其 22 列联表为合计121+2+合计+用2=()2(
19、+)(+)(+)(+)的值来对两个变量进行独立性检验（2）在2独立性检验中用下列结果对变量的独立性检验进行判断当2 2.706 时，没有充分的证据判断变量,有关联，即变量,无关联当2 2.706 时，有 90的把握判断变量,有关联当2 3.841 时，有 95的把握判断变量,有关联当2 6.635 时，有 99的把握判断变量,有关联2分布表5 个常用的小概率值和相应的临界值如下表所示0.10.050.010.0050.00122.7063.8416.6357.87910.828根据小概率值=0.1 的独立性检验（在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下）当2 2.706 时，不能认为变量,有关联
20、；当2 2.706 时，能认为变量,有关联根据小概率值=0.05 的独立性检验（在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下）当2 3.841 时，不能认为变量,有关联；当2 3.841 时，能认为变量,有关联（2）复数加法的运算定律、结合律对任何1,2,3，有1+2=2+1，1+2+3=1+2+3六六、平面向量平面向量1、a与b的数量积(或内积):cos|baba2、平面向量的坐标运算(1)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy (2)设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则ba=2121yyxx公众号：黑洞视角第 8页（共 8页）学科网（北京）股
21、份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司(3)设a=),(yx，则22yxa3、两向量的夹角公式若a=11(,)x y,b=22(,)xy，且0b，则121222221122cos|x xy ya babxyxy(a=11(,)x y,b=22(,)xy)4、向量的平行与垂直设?=1,1，?=2,2?=2,2，且?=0?，则?/?=?=?=?0?0?0?0?=0 12+12=05、平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)xxyy.(2)设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy.(3)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy .(4)设a=(,),x yR，则a=(,)xy.(5)设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则ab=1212x xy y.6、正余弦定理正弦定理：=2余弦定理：2=2+2 2,2=2+2 2,2=2+2 2面积公式：=12=12=12=12=12+=47、三角形有几解问题（1）已知三边、两边夹角，一边两角，则三角形无解或一解已知三角，三角形无解或无数解（2）已知两边对角,当 90时，两解，一解当 90时，无解，一解